ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

Transkripsi

1 PENDEKATAN REGRESI COX PROPORSIONAL HAZARD DALAM PENENTUAN FAKTOR FAKTOR YANG BERPENGARUH TERHADAP LAMA STUDI MAHASISWA S-1 MATEMATIKA DI UNIVERSITAS AIRLANGGA SKRIPSI ARDI WAHYU AS ARI PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS AIRLANGGA 2012

2 PENDEKATAN REGRESI COX PROPORSIONAL HAZARD DALAM PENENTUAN FAKTOR FAKTOR YANG BERPENGARUH TERHADAP LAMA STUDI MAHASISWA S-1 MATEMATIKA DI UNIVERSITAS AIRLANGGA SKRIPSI Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Bidang Matematika Pada Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga Disetujui oleh : Pembimbing I, Pembimbing II, Drs. Eko Tjahjono, M.Si. NIP Drs. H. Sediono, M.Si NIP

3 LEMBAR PENGESAHAN NASKAH SKRIPSI Judul : Pendekatan Regresi Cox Proporsional Hazard dalam Penentuan Faktor Faktor yang Berpengaruh terhadap Lama Studi Mahasiswa S-1 Matematika di Universitas Airlangga Penyusun : Ardi Wahyu As ari NIM : Tanggal Ujian : 30 Agustus 2012 Disetujui oleh: Pembimbing I, Pembimbing II, Drs. Eko Tjahjono, M.Si. NIP Drs. H. Sediono, M.Si NIP Mengetahui, Ketua Departemen Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga Dr. Miswanto, M.Si NIP

4 PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI ini tidak dipublikasikan, namun tersedia di perpustakaan dalam lingkungan Universitas Airlangga, diperkenankan untuk dipakai sebagai referensi kepustakaan, tetapi pengutipan harus seijin penulis dan harus menyebutkan sumbernya sesuai kebiasaan ilmiah. Dokumen skripsi ini merupakan hak milik Universitas Airlangga

5 KATA PENGANTAR Assalamu alaikum warahmatullahi wabarakatuh. Alhamdulillah, segala puji syukur hanya layak untuk Allah SWT, atas segala nikmat, rahmat, taufiq, serta hidayah-nya yang tiada terkira besarnya, sehingga penyusun dapat menyelesaikan skripsi dengan judul Pendekatan Regresi Cox Proporsional Hazard dalam Penentuan Faktor Faktor yang Berpengaruh terhadap Lama Studi Mahasiswa S-1 Matematika di Universitas Airlangga. Dalam penyusunan skripsi ini, penyusun memperoleh banyak bantuan dari berbagai pihak, karena itu penyusun mengucapkan terima kasih yang sebesarbesarnya kepada : 1. kedua orang tua tercinta yang selalu memberikan do a restu dan kasih sayangnya yang tak berujung kepada penyusun, 2. Drs. Eko Tjahjono,M.Si. dan Drs. Sediono,M.Si. selaku Dosen Pembimbing penyusun yang selalu dengan sabar memberikan arahan dan masukan, 3. Ahmadin, S.Si, M.Si. selaku Dosen Wali, Toha Saifudin S.Si, M.Si. yang telah membantu penyusun dalam mengarahkan dan menyelesaikan proposal awal, serta segenap Dosen Matematika yang telah memberikan banyak ilmu, 4. sahabat-sahabat dekat penyusun yang selalu mengiringi, menemani dan memotivasi : Hikma, Titin, Putri, Desi, teman-teman MU 123, teman-teman Math 08, dan temen teman seperjuangan C.I.S yang sama-sama merantau di Surabaya, 5. serta rekan rekan lain yang tidak dapat disebutkan satu persatu. Akhir kata, semoga skripsi ini bermanfaat untuk pembaca. Wassalamu alaikum warahmatullahi wabarakatuh. Surabaya, Agustus 2012 Ardi Wahyu A.

6 Ardi Wahyu As ari, 2012, Pendekatan Regresi Cox Proporsional Hazard dalam Penentuan Faktor Faktor yang Berpengaruh terhadap Lama Studi Mahasiswa S- 1 Matematika di Universitas Airlangga. ini dibawah bimbingan Drs. Eko Tjahjono,M.Si. dan Drs. Sediono,M.Si., Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga, Surabaya. ABSTRAK Pada dasarnya setiap perguruan tinggi berusaha semaksimal mungkin meningkatkan kelulusan para mahasiswanya karena tingkat keberhasilan mahasiswa dapat mempengaruhi kualitas dari suatu perguruan tinggi. Oleh karena itu diperlukan analisis faktor-faktor yang mempengaruhi lama studi pada mahasiswa S-1 Matematika Universitas Airlangga. Metode analisis survival yaitu suatu metode statistika yang mempelajari lamanya suatu peristiwa atau kejadian yang terjadi atau biasa dikenal dengan nama failure event. Model regresi Cox merupakan model yang sangat terkenal pada analisis survival untuk menjelaskan hubungan antara kegagalan individu pada suatu waktu dengan variabel penjelas dalam adanya penyensoran. Survival yang dimaksud dalam penelitian ini adalah kemampuan mahasiswa untuk menyelesaikan studinya. Hasil penelitian menunjukkan bahwa faktor yang berpengaruh signifikan terhadap lama studi mahasiswa adalah faktor IPK. Model regresi Cox yang diperoleh dalam kasus ini adalah : ( ) ( ) ( ( ) ( )) dengan dan. Dari hasil model yang diperoleh, dapat diketahui bahwa semakin tinggi IPK maka seorang mahasiswa akan semakin cepat lulus. Oleh karena itu semakin tinggi IPK maka akan semakin besar peluang mahasiswa menyelesaikan studi Kata Kunci : Lama Studi Mahasiswa, Survival, Regresi Cox

7 Ardi Wahyu As ari, 2012, Proporsional Hazard Cox Regression Approach in Determining Factors Affecting S-1 Mathematic Students Duration of Study in Airlangga University. This skripsi was supervised by Drs. Eko Tjahjono,M.Si. and Drs. Sediono,M.Si., Department of Mathematics, Faculty of Science and Technology, Airlangga University, Surabaya. ABSTRACT Basically every university struggles to increase graduation rate of its students because the success rate of students can affect the quality of a university. Because of it, analysis of the factors that affect the duration of study in S-1 Mathematic students of Airlangga University is required. A method of survival analysis is a statistical method used to learn the duration of an event or commonly known as failure event. Cox regression model is a very popular model in survival analysis to describe the relationship between the failures of an individual at a time with the explanatory variables with censoring data. Survival meant in this research is the ability of students to complete their studies. Research results show that significant factors influence a student's study duration is the GPA factor. The Cox regression models obtained in this case are: ( ) ( ) ( ( ) ( )) where and. From the obtained model results, it is showed that if the student s GPA is higher then the graduation of the student is earlier. Therefore, if the student s GPA is higher then the probability of the student to complete the study is larger. Keywords : Student s Time Duration, Survival, Cox Regression

8 DAFTAR ISI LEMBAR JUDUL... i LEMBAR PERNYATAAN... ii LEMBAR PENGESAHAN NASKAH SKRIPSI... iii PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI... iv KATA PENGANTAR... v ABSTRAK... vi ABSTRACT... vii DAFTAR ISI... viii DAFTAR TABEL... xi DAFTAR GAMBAR... xiii DAFTAR LAMPIRAN... xiv PENDAHULUAN Latar Belakang Rumusan Masalah Tujuan Manfaat Batasan Masalah... 5 TINJAUAN PUSTAKA Analisis Survival Fungsi Survival dan Fungsi Hazard Tipe Penyensoran Sampel Lengkap Sampel Tersensor Tipe I Sampel Tersensor Tipe II Estimasi Kaplan-Meier Model Regresi Cox Proporsional Hazard Asumsi Model Cox Proporsional Hazard Fungsi Likelihood Cox Likelihood Maksimum Likelihood Estimator (MLE) Estimasi Fungsi Hazard Dasar dan Fungsi Survival Dasar Estimasi Fungsi Kumulatif Hazard Dasar Estimasi Fungsi Kumulatif Hazard... 18

9 2.13 Uji Rasio Likelihood Metode Backward Metode Newton Raphson SPSS METODE PENELITIAN Sumber Data Variabel Penelitian Variabel Dependen atau Variabel Respon Variabel Independen Penyajian Data Metode Analisis PEMBAHASAN Analisis Distribusi Data Analisis Distribusi untuk Faktor IPK Analisis Distribusi untuk Faktor Asal Daerah Analisis Distribusi untuk Faktor Jenis Kelamin Analisis Distribusi untuk Faktor Status SMA Analisis Distribusi untuk Faktor Jalur Masuk Analisis Distribusi untuk Faktor Penghasilan Orang Tua Analisis Distribusi untuk Faktor Rata-Rata NUN SMA Pemeriksaan Asumsi Proporsional Estimasi Survival dari Data Lama Studi Mahasiswa S-1 Matematika dengan Metode Kaplan Meier Melakukan Pemeriksaan Asumsi Proporsional Hazard dengan Menggunakan Plot ( ) Terhadap Waktu Survival ( ) Estimasi Parameter dalam Model Regresi Cox Proporsional Hazard Menentukan Fungsi Parsial Likelihood Menentukan Fungsi Log-Cox Likelihood Menentukan Turunan Pertama Log-Cox Likelihood terhadap Menentukan Turunan Kedua Log-Cox Likelihood terhadap Mengestimasi menggunakan metode Newton-Raphson Estimasi Hazard Dasar ( ) dalam Model Regresi Cox Proporsional Hazard Model Regresi Cox Proporsional Hazard... 53

10 4.5.1 Menghitung Estimasi Parameter Model Cox Proporsional Hazard Menghitung Hazard Dasar Model Cox Proporsional Hazard Menentukan Model Cox Proporsional Hazard Dugaan Peluang Mahasiswa yang Melakukan Studi dan Peluang Mahasiswa yang Lulus pada Berbagai Waktu PENUTUP Kesimpulan Saran DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN

11 DAFTAR TABEL Nomor Judul Halaman 3.1 Tabel Lama Mahasiswa Menyelesaikan Studi Tabel Kaplan-Meier dari Lama Mahasiswa Menyelesaikan Studi Tabel Ringkasan Data Mahasiswa Matematika Angkatan Tabel Distribusi Data Mahasiswa Matematika Angkatan 2006 terhadap Variabel Penjelas atau Faktor Dugaan Tabel Distribusi Data Mahasiswa Matematika Angkatan 2006 untuk Faktor IPK Tabel Distribusi Data Mahasiswa Matematika Angkatan 2006 untuk Faktor Asal Daerah Tabel Distribusi Data Mahasiswa Matematika Angkatan 2006 untuk Faktor Jenis Kelamin Tabel Distribusi Data Mahasiswa Matematika Angkatan 2006 untuk Faktor Jenis Kelamin Tabel Distribusi Data Mahasiswa Matematika Angkatan 2006 untuk Faktor Jalur Masuk Tabel Distribusi Data Mahasiswa Matematika Angkatan 2006 untuk Faktor Penghasilan Orang Tua Tabel Distribusi Data Mahasiswa Matematika Angkatan 2006 untuk Faktor Rata-Rata NUN SMA Tabel Kaplan - Meier dari Lama Mahasiswa Menyelesaikan Studi untuk Faktor IPK Tabel Kaplan - Meier dari Lama Mahasiswa Menyelesaikan Studi untuk Faktor Daerah Asal Mahasiswa 43

12 4.12 Tabel Kaplan - Meier dari Lama Mahasiswa Menyelesaikan Studi untuk Faktor Jenis Kelamin Mahasiswa Tabel Kaplan - Meier dari Lama Mahasiswa Menyelesaikan Studi untuk Faktor Status Asal SMA Tabel Kaplan - Meier dari Lama Mahasiswa Menyelesaikan Studi untuk Faktor Jalur Masuk Tabel Kaplan - Meier dari Lama Mahasiswa Menyelesaikan Studi untuk Faktor Penghasilan Orang Tua Tabel Kaplan - Meier dari Lama Mahasiswa Menyelesaikan Studi untuk Faktor Rata-Rata NUN SMA Tabel Estimasi Awal Parameter Tabel Estimasi Parameter yang Signifikan Tabel Estimasi Hazard Dasar dan Survival Dugaan Peluang Mahasiswa yang Melakukan Studi ( ) pada Berbagai Waktu Dugaan Peluang Mahasiswa yang Lulus ( ) pada Berbagai Waktu 59

13 DAFTAR GAMBAR Nomor Judul Halaman 2.1 Kurva Fungsi Survival Kurva Fungsi Hazard Plot [ [ ( )]] terhadap t yang sejajar Plot [ [ ( )]] terhadap waktu lama mahasiswa menyelesaikan studi (t) untuk faktor IPK Plot [ [ ( )]] terhadap waktu lama mahasiswa menyelesaikan studi (t) untuk faktor Daerah Asal Plot [ [ ( )]] terhadap waktu lama mahasiswa menyelesaikan studi (t) untuk faktor Jenis Kelamin Plot [ [ ( )]] terhadap waktu lama mahasiswa menyelesaikan studi (t) untuk faktor Status SMA Plot [ [ ( )]] terhadap waktu lama mahasiswa menyelesaikan studi (t) untuk faktor Jalur Masuk Plot [ [ ( )]] terhadap waktu lama mahasiswa menyelesaikan studi (t) untuk faktor Penghasilan Orang Tua Plot [ [ ( )]] terhadap waktu lama mahasiswa menyelesaikan studi (t) untuk faktor Rata-Rata NUN SMA Grafik Peluang Mahasiswa yang Melakukan Studi ( ) yang Dipengaruhi IPK pada Berbagai Waktu (t) Grafik Peluang Mahasiswa yang Lulus ( ) yang Dipengaruhi IPK pada Berbagai Waktu (t) 60

14 DAFTAR LAMPIRAN Nomor Judul Lampiran 1 Data Lama Mahasiswa Matematika Universitas Airlangga Tahun 2006 dalam Menyelesaikan Studi 2 Hasil Pengolahan SPSS untuk Model Regresi Cox Proporsional Hazard 3 Algoritma Estimasi Beta untuk Model Regresi Cox pada SPSS

15 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Pada dasarnya setiap perguruan tinggi berusaha semaksimal mungkin meningkatkan kelulusan para mahasiswanya, baik secara kuantitas maupun kualitas. Secara kuantitas diharapkan jumlah mahasiswa yang lulus sama dengan yang terdaftar. Sedangkan secara kualitas diharapkan para mahasiswa dapat lulus dengan IPK yang maksimal dan tepat waktu. Universitas Airlangga merupakan salah satu perguruan tinggi negeri favorit di Indonesia yang mempunyai visi menjadi World Class University. Untuk menuju keinginan tersebut, dibutuhkan kerja keras dan kesungguhan seluruh civitas akademik baik dari pihak mahasiswa, dosen maupun karyawan demi tercapainya visi tersebut. Tingginya tingkat keberhasilan mahasiswa dan rendahnya tingkat kegagalan mahasiswa dapat mencerminkan kualitas dari suatu perguruan tinggi. Salah satu prodi yang berada di dalam naungan Univesitas Airlangga adalah S-1 Matematika. Seorang mahasiswa S-1 dikatakan lulus tepat waktu jika masa studinya tidak melebihi delapan semester. Pada studi pendahuluan yang dilakukan berdasarkan data mahasiswa S-1 Matematika angkatan 2006 yang diperoleh dari Sub Bagian Akademik dan Kemahasiswaan, Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangaa memberikan informasi bahwa mahasiswa yang 1

16 2 menyelesaikan studi melebihi delapan semester sebesar 43,9 % dari mahasiswa keseluruhan. Dalam statistika dikenal metode analisis survival yaitu suatu metode statistika yang mempelajari lamanya suatu peristiwa atau kejadian yang terjadi atau biasa dikenal dengan nama failure event. Kejadian dalam kasus ini merupakan lama studi mahasiswa S-1 Matematika. Dalam analisis survival atau dikenal dengan istilah waktu ketahanan hidup (survival time) atau T merupakan waktu dari awal perlakuan sampai terjadinya respon pertama kali yang ingin diamati. Respon yang dimaksud adalah waktu yang diperlukan sampai suatu peristiwa atau kejadian yang diharapkan terjadi atau mungkin saja belum ditemukan pada saat pengumpulan data berakhir sehingga waktu survival-nya tidak dapat diamati. Pada kondisi demikian, pengamatan tersebut dapat dinyatakan sebagai pengamatan tersensor (Collet, 1994). Sedangkan metode regresi survival adalah metode regresi yang digunakan untuk melihat faktor-faktor yang menyebabkan terjadinya suatu peristiwa atau kejadian (biasa dikenal dengan nama time dependent covariate) dengan variabel responnya adalah waktu ketahanan hidup. Salah satu metode regresi survival yang sering digunakan adalah regresi Cox proporsional hazard (Collet,1994). Survival yang dimaksud dalam penelitian ini adalah kemampuan mahasiswa untuk menyelesaikan studinya Model Cox proporsional hazard merupakan model yang sangat terkenal pada analisis survival. Menurut Kleinbaum dan Klein (2005) hal yang menyebabkan model ini terkenal dan digunakan secara luas adalah :

17 3 1. Model Cox proporsional hazard merupakan model semiparametrik. 2. Dapat mengestimasi hazard rasio tanpa diketahui ( ) atau fungsi hazard dasarnya. 3. Dapat mengestimasi ( ) ( ) dan fungsi survival walaupun ( ) tidak spesifik. 4. Merupakan model robust sehingga hasil dari model Cox hampir sama dengan model parametrik. 5. Model yang aman dipilih ketika berada dalam keraguan untuk menentukan model parametriknya, sehingga tidak ada ketakutan tentang pilihan model parametrik yang salah. Penelitian sebelumnya mengenai analisis faktor-faktor yang mempengaruhi keberhasilan studi mahasiswa program sarjana ekstensi manajemen agribisnis IPB menunjukkan bahwa mahasiswa perempuan memiliki IPK lebih tinggi dan masa studi lebih singkat (Syafrudin, 2006). Sartika (2009) melakukan penelitian tentang analisis faktor-faktor yang berpengaruruh terhadap keberhasilan mahasiswa Politeknik di Politeknik Negeri Bandung dan menunjukkan faktor nilai IPK, jenis kelamin, program studi yang diambil, dan nilai mata kuliah tertentu berpengaruh terhadap lama studi mahasiswa. Selain itu faktor lain usia, asal daerah mahasiswa, penghasilan orang tua, dan jalur masuk juga dianggap berpengaruh oleh Khoirunnisak (2010). Faktor faktor yang diduga yang mempengaruhi daya tahan dalam penelitian ini, yaitu : jenis kelamin, asal daerah mahasiswa, asal sekolah, NUN (Nilai Ujian Nasional) SMA, jalur masuk, IPK (Indeks Prestasi Kumulatif)

18 4 terakhir, dan penghasilan orang tua. Pemilihan faktor faktor tersebut dilakukan berdasarkan pertimbangan ketersediaan data karena mahasiswa yang diteliti saat ini sudah dinyatakan lulus. Pada penelitian ini penyusun mencoba mengidentifikasi faktor-faktor yang mempengaruhi lama studi mahasiswa S1 Matematika Universitas Airlangga dengan regresi Cox proporsional hazard dengan demikian akan diperoleh analisis survival tentang kasus tersebut. 1.2 Rumusan Masalah Berdasarkan uraian latar belakang di atas, maka diperoleh rumusan masalah sebagai berikut : 1. Faktor - faktor apa yang mempengaruhi lama studi mahasiswa S1 Matematika Universitas Airlangga berdasarkan model regresi Cox proporsional hazard? 2. Bagaimana model hubungan dari faktor-faktor yang mempengaruhi lama studi mahasiswa S1 Matematika Universitas Airlangga? 1.3 Tujuan Sesuai rumusan masalah yang telah diperoleh, maka tujuan yang ingin dicapai adalah untuk :

19 5 1. Mengetahui faktor faktor yang mempengaruhi lama studi mahasiswa S-1 Matematika Universitas Airlangga berdasarkan model regresi Cox proporsional hazard, 2. Mengetahui model hubungan dari faktor-faktor yang mempengaruhi lama studi mahasiswa S-1 Matematika Universitas Airlangga. 1.4 Manfaat Diharapkan penelitian ini memberikan informasi mengenai lama studi mahasiswa S-1 Matematika Universitas Airlangga serta faktor-faktor yang mempengaruhi lama studi mahasiswa S-1 Matematika Universitas Airlangga. 1.5 Batasan Masalah Batasan masalah dalam penelitian ini adalah penelitian hanya dilakukan pada mahasiswa S-1 Matematika Univesitas Airlangga tahun angkatan Lama menyelesaikan studi dalam penelitian ini didefinisikan sebagai lama seorang mahasiswa menyelesaikan studi (dalam semester) dan berakhir pada saat dinyatakan lulus (yudisium). Data diambil berdasarkan kelengkapan hasil rekap yang dilaksanakan pada Sub Bagian Akademik dan Kemahasiswaan Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga untuk tahun angkatan 2006.

20 BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Analisis Survival Menurut Kleinbaum dan Klein (2005), analisis survival merupakan sekumpulan prosedur dalam statistika untuk menganalisis data yaitu waktu tahan hidup sampai mengalami kejadian atau event. Waktu dapat dinyatakan dalam tahun, bulan, minggu, atau hari dari awal suatu individu sampai mengalami suatu kejadian, dengan kata lain waktu dapat menyatakan usia dari suatu individu ketika mengalami sebuah kejadian. Pada umumnya kejadian dikenal sebagai kegagalan atau failure misalnya kematian, muncul penyakit, atau beberapa penelitian yang mempunyai dampak negatif. Namun waktu survival juga dapat dinyatakan waktu untuk kembali bekerja setelah melakukan operasi atau kembali sehat, yang dalam kasus ini kegagalan mengakibatkan kejadian positif. Pendapat yang sama juga diungkapkan oleh Collet (1994) bahwa kejadian tidak selalu berujung pada kematian, bisa juga mengenai sembuhnya pasien dari penyakit, berkurangnya gejala penyakit, atau kambuhnya pasien dari kondisi tertentu. 2.2 Fungsi Survival dan Fungsi Hazard menyatakan variabel random dari waktu tahan uji hidup. Karena menyatakan waktu, maka nilai yang mungkin adalah bilangan non negarif, 6

21 7 sehingga harus lebih besar atau sama dengan nol. Sedangkan menyatakan nilai tertentu dari variabel random besar. Fungsi survival ( ) merupakan probabilitas dari seseorang mampu bertahan lebih lama dari beberapa waktu tertentu, sehingga ( ) menyatakan probabilitas variabel random melewati waktu tertentu. Secara teori range merupakan bilangan dari nol sampai tak hingga. Fungsi survival dapat digambarkan sebagai kurva kontinu dan memiliki karakteristik sebagai berikut : 1. tidak meningkat, kurva cenderung turun ketika meningkat, 2. untuk, ( ) adalah awal dari penelitian, karena tidak ada objek yang mengalami kejadian, probabilitas waktu survival 0 adalah 1, 3. untuk ( ) secara teori, jika periode penelitian meningkat maka tidak ada satu pun yang bertahan, sehingga kurva survival mendekati nol. Gambar 2.1 Kurva Fungsi Survival Fungsi hazard menyatakan kemampuan atau potential sesaat per unit waktu untuk suatu kejadian yang dialami, yaitu waktu suatu individu telah

22 8 bertahan hidup sampai waktu. Berbeda dengan fungsi survival yang fokus pada keberhasilan, fungsi hazard fokus pada kegagalan ketika kejadian berlangsung. Sehingga dalam beberapa pemikiran, fungsi hazard dapat dianggap memberikan informasi yang berlawanan dengan fungsi survival. Kurva fungsi hazard juga memiliki karakteristik, yaitu : 1. selalu non negatif, yaitu sama dengan atau lebih besar dari nol, 2. tidak memiliki batas atas. Gambar 2.2 Kurva Fungsi Hazard Selain itu tujuan fungsi hazard dapat digunakan untuk : 1. memberikan gambaran tentang failure rate, 2. mengidentifikasi bentuk model yang spesifik, 3. membuat model matematik untuk analisis survival biasa. (Kleinbaum dan Klein,2005) Misalkan melambangkan waktu survival dari waktu awal sampai terjadinya peristiwa yang merupakan variabel acak yang memiliki karakteristik fungsi survival dan fungsi hazard, Fungsi survival ( ) didefinisikan sebagai

23 9 probabilitas suatu individu dapat bertahan sampai waktu yang lebih besar atau sama dengan waktu. Apabila diketahui fungsi distribusi kumulatif, yaitu : ( ) ( ) ( ) maka diperoleh fungsi survival sebagai berikut : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), Fungsi survival dapat digunakan untuk menyatakan probabilitas suatu individu mampu bertahan dari waktu mula-mula sampai waktu (Collet, 1994). Fungsi hazard ( ) didefinisikan sebagai kemampuan peluang kegagalan sesaat suatu individu pada waktu. Misalkan probabilitas variabel random berada antara dan dengan syarat lebih besar atau sama dengan, maka dapat ditulis sebagai berikut : ( ) Sehingga fungsi hazard adalah ( ), ( ) - { ( ) } ( ), ( ) ( ) - ( ) Atau dapat juga ditulis sebagai berikut :

24 10 ( ), ( ) ( ) - ( ) ( ) ( ) ( ) karena ( ) ( ) ( ) ( ) sehingga diperoleh ( ) ( ) * ( )+ ( ) ( ) * ( )+ ( ) * ( )+ dengan ( ), ( )- (2.1) ( ) ( ) ( ) disebut fungsi hazard kumulatif. Dari persamaan (2.1), fungsi hazard kumulatif dapat diperoleh dari fungsi survival sehingga ( ) ( ( )) (2.2) (Collet, 1994) 2.3 Tipe Penyensoran Untuk mendapatkan data uji hidup biasanya dilakukan eksperimen. Dalam melakukan eksperimen ada beberapa metode yang dilakukan sehingga data yang dihasilkan juga berbeda dari satu metode ke metode lain. Yang membedakan analisis uji hidup dengan bidang-bidang yang lain pada statistika adalah penyensoran. Tipe penyensoran dalam analisis uji hidup adalah sebagai berikut :

25 Sampel Lengkap Pada uji sampel lengkap, eksperimen akan dihentikan jika semua benda atau individu yang telah diuji mati atau gagal. Langkah seperti ini mempunyai suatu keuntungan yaitu dihasilkannya observasi terurut dari semua benda atau individu yang diuji. (Lawless,2003) Sampel Tersensor Tipe I Dalam sampel tersensor tipe I, eksperimen akan dihentikan jika telah dicapai waktu tertentu (waktu penyensoran). Misalkan adalah sampel random dari distribusi tahan hidup dengan fungsi kepadatan peluang ( ), fungsi survival ( ) dan waktu tersensor untuk semua yaitu dengan. Suatu komponen dikatakan terobservasi jika dan tersensor jika. Selanjutnya data sampel uji hidup dicatat sebagai ( ) dan : { (Lawless, 2003) Sampel Tersensor Tipe II Pada pengujian sampel tersensor tipe II, eksperimen akan dihentikan setelah kematian ke- dari komponen yang dioperasikan tercapai. Misalkan adalah sampel random dari distribusi tahan hidup dengan fungsi kepadatan peluang ( ) dan fungsi survival ( ). Eksperimen dikatakan telah selesai jika kegagalan ke- telah dicapai ( ). (Lawless, 2003)

26 Estimasi Kaplan-Meier Cara yang digunakan untuk menggambarkan survival dari sampel acak yaitu menggambarkan grafik fungsi survival atau fungsi distribusi empiris dengan cara estimasi Kaplan-Meier. Selain itu juga memberikan estimasi distribusi secara nonparametrik. Diberikan ( ) yang menyatakan sampel random tersensor, dengan merupakan data terobservasi dan merupakan data tersensor. Misalkan terdapat ( ) dengan waktu yang berbeda, yang menyatakan banyaknya data yang terobesvasi. Kemungkian terjadinya satu atau lebih event yang terobservasi dinotasikan sebagai ( ) atau menyatakan banyaknya event terobservasi pada saat. Estimasi dari ( ) dapat didefinisikan sebagai berikut : ( ) dengan ( ) merupakan banyaknya individu yang beresiko pada saat dengan kata lain banyaknya individu yang belum mengalami kejadian atau event dan tidak tersensor sebelum pada saat. (Lawless, 1982) 2.5 Model Regresi Cox Proporsional Hazard Fungsi survival dan fungsi hazard merupakan analisis yang digunakan untuk melihat perbedaan antara dua kelompok atau lebih. Namun bila ada variabel-variabel bebas yang ingin dikontrol atau bila menggunakan beberapa

27 13 variabel penjelas untuk menjelaskan hubungan antara waktu survival, maka regresi Cox proporsional hazard lah yang digunakan. Jadi regresi Cox proporsional hazard merupakan model yang menggambarkan hubungan antara waktu survival sebagai variabel dependen dengan satu set variabel independen. Variabel independen ini bisa kontinu ataupun kategorik. Cox proporsional hazard merupakan model semiparametrik. Regresi Cox proporsional hazard ini digunakan bila respon yang diobservasi adalah data waktu survival (Kleinbaum dan Klein, 2005). Pada mulanya pemodelan ini digunakan pada cabang statistika khususnya biostatistika yaitu digunakan untuk menganalisis kematian atau harapan hidup seseorang. Namun seiring perkembangan zaman pemodelan ini banyak dimanfaatkan diberbagai bidang. Diantaranya bidang akademik, kedokteran, sosial, science, teknik, pertanian dan sebagainya. Model regresi Cox proposional hazard (Kleinbaum dan Klein, 2005) ditulis dalam bentuk sebagai berikut : ( ) ( ) ( ) (2.3) dengan : ( ) merupakan variabel prediktor atau penjelas, jumlah dari variabel penjelas ( ) fungsi hazard dasar. Dalam memilih model yang sesuai dari regresi Cox proposional hazard diperlukan untuk mengestimasi, koefisien dari variabel penjelas X. Fungsi hazard dasar mungkin juga perlu diestimasi. Namun dua komponen model tersebut dapat diestimasi secara terpisah (Collet, 1994). Oleh karena itu, dapat

28 14 diestimasi terlebih dahulu. Ketika menentukan nilai ditemukan solusi yang implisit sehingga diselesaikan secara numerik dengan metode Newton-Raphson. Kemudian nilai yang diperoleh digunakan untuk mengestimasi fungsi hazard dasar. Menurut Kleinbaum dan Klein (2005) dari model Cox proposional hazard, dapat mengestimasi rasio hazard ( ) yang membandingkan dua variabel X yang dinyatakan X * dan X dengan bentuk umum sebagai berikut :, ( )- dengan ( ) ( ). Selain itu dari model Cox proposional hazard juga diperoleh persamaan untuk penyesuaian kurva survival (adjusted survival curves) yang merupakan model Cox fungsi survival yang didefinisikan sebagai berikut : ( ) ( ) ( ) (2.4) dengan : ( ) merupakan variabel prediktor atau penjelas, jumlah dari variabel penjelas ( ) fungsi survival dasar. (Kleinbaum dan Klein, 2005)

29 Asumsi Model Cox Proporsional Hazard Model Cox proporsional hazard mengasumsikan bahwa perbandingan rasio hazard dua prediktor tertentu selalu konstan dari waktu ke waktu. Jadi hazard dari suatu individu, proporsional atau sebanding dengan hazard dari individu lain dengan perbandingannya konstan atau tidak tergantung pada waktu. Asumsi proporsional hazard terpenuhi jika grarik hazard tidak memotong dua atau lebih kategori prediktor. Namun jika fungsi hazard memotong, asumsi proporsional hazard mungkin tidak terpenuhi. Oleh karena itu, untuk memeriksa perpotongan hazard digunakan pendekatan lain untuk mengevaluasi kelayakan asumsi proporsional hazard. Pemeriksaan asumsi proportional hazard dapat dilakukan dengan melihat plot, ( )- atau juga dikenal dengan log-log plot terhadap waktu survival ( ) untuk setiap variabel penjelas. Dalam hal ini fungsi survival ( ) merupakan hasil estimasi metode Kaplan Meier. Apabila plot antar kategori dalam satu variabel penjelas terlihat sejajar atau tidak bersilangan maka asumsi proportional hazard terpenuhi dan variabel penjelas yang bersifat kategori dapat dimasukkan model. Gambar 2.3 Plot [ [ ( )]] terhadap t yang sejajar (Kleinbaum dan Klein, 2005).

30 Fungsi Likelihood Misalkan adalah variabel random yang identik dan independen dari suatu distribusi dengan fungsi kepadatan peluang (fkp) ( ) untuk dan adalah ruang parameter. Fkp bersama antara adalah ( ) ( ) ( ). Jika fkp bersama tersebut dinyatakan sebagai fungsi terhadap maka dinamakan fungsi likelihood yang dinyatakan dengan atau ditulis : ( ) ( ) ( ) ( ) (Hogg dan Craig, 1978) 2.8 Cox Likelihood Collet (1994) menunjukkan fungsi likelihood yang sesuai untuk model proporsional hazard dengan kejadian diberikan berikut: ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) (2.5) dengan ( ) merupakan vektor kovariat untuk individu yang terobservasi pada ( ) kategori waktu ( ) dan ( ( ) ) merupakan himpunan dari waktu pengamatan yang mengalami kegagalan. Penjumlahan dalam persamaan fungsi likelihood ini merupakan jumlahan dari nilai ( ) pada setiap individu yang terobservasi pada waktu ( ). Kemudian jika data terdiri dari waktu survival, yang dinotasikan dengan dan merupakan status sensoring, maka fungsi Cox likelihood dapat dinyatakan sebagai berikut :

31 17 ( ) { ( ) ( ) ( ) } (2.6) dengan ( ) merupakan himpunan dari waktu yang mengalami kegagalan pada waktu. 2.9 Maksimum Likelihood Estimator (MLE) Jika statistik ( ) memaksimumkan fungsi likelihood ( ) maka statistik ( ) dinamakan maksimum likelihood estimator (MLE) dari. (Hogg and Craig, 1978) 2.10 Estimasi Fungsi Hazard Dasar dan Fungsi Survival Dasar Misalkan komponen linear dari model proporsional hazard yang terdapat variabel penjelas X sebanyak p dan telah diperoleh estimasi koefisien variabel, sehingga dapat mengestimasi fungsi hazard dasar. Jika terdapat r waktu kegagalan yang berbeda sehingga diperoleh penyusunan orde waktu ( ) ( ) ( ), dan terdapat banyaknya kegagalan dan banyaknya individu yang belum mengalami kegagalan pada waktu ( ). Estimasi fungsi hazard pada waktu ( ) diberikan berikut : ( ( ) ) (2.7) dengan merupakan solusi dari persamaan yang diberikan berikut : ( ( ) ) ( ) ( ) ( )

32 18 Estimasi fungsi survival dasar dari model regresi Cox proporsional hazard dengan hazard dasar yang telah diestimasi dapat diperoleh dengan persamaan berikut : ( ) (2.8) (Collet, 1994) 2.11 Estimasi Fungsi Kumulatif Hazard Dasar Dari persamaan (2.2) diperoleh ( ) ( ( )), maka fungsi kumulatif hazard dasar dapat diestimasi berikut : ( ) ( ) (2.9) (Collet, 1994) 2.12 Estimasi Fungsi Kumulatif Hazard Dengan mengintegralkan kedua ruas dari persamaan (2.3), maka diperoleh: ( ) ( ) sehingga dapat diestimasi fungsi kumulatif hazard sebagai berikut : ( ) ( ) (2.10) (Collet, 1994) 2.13 Uji Rasio Likelihood Diberikan sampel random dari populasi yang mempunyai pdf ( ) ( ) Ω, dengan Ω =. Fungsi likelihood

33 19 dibawah adalah ( ) ( ) dan fungsi likelihood dibawah adalah ( ) ( ), maka untuk menguji hipotesis versus digunakan statistik uji ( ) ( dengan ( ) ( ) dan ( ) ( ) Daerah kritis untuk uji hipotesis tersebut adalah tolak jika untuk. ( Hogg and Craig, 2004) Menurut Arbia (2006), statistik uji berdistribusi ( ) dengan adalah banyaknya parameter. Untuk tingkat signifikansi, ditolak jika ( ) Metode Backward Metode backward merupakan salah satu metode untuk mendapatkan model terbaik yang dapat menggambarkan hubungan antara waktu survival dengan beberapa variabel penjelas. Berikut ini merupakan langkah yang dilakukan untuk menyeleksi variabel berdasarkan variabel mana yang seharusnya masuk dalam model maupun dihilangkan dalam model menurut Le(1997) adalah sebagai berikut: 1. Membuat model regresi untuk setiap variabel penjelas secara bersama-sama 2. Memilih salah satu variabel penjelas, yang berdasarkan kriteria pemilihan merupakan varabel yang paling akhir untuk dimasukkan dalam model

34 20 3. Melakukan pengujian pada variabel yang terpilih pada langkah II, sehingga dapat diketahui apakah variabel tersebut harus dihilangkan dari model atau tidak 4. Mengulangi langkah II dan III untuk setiap variabel yang ada dalam model. Jika tidak ada kriteria yang cocok lagi berdasarkan langkah III, maka tidak ada lagi variabel yang dihilangkan dari model dan proses telah selesai Metode Newton Raphson Misalkan terdapat bentuk implisit dari ( ) dengan maka iterasi Newton-Raphson adalah sebagai berikut (Lawless, 2003) : Dengan ( ) maka ( ) ( ) (2.11) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) dan ( ) * ( ) + Keterangan : : vektor parameter regresor berukuran pada iterasi ke. ( ) matrik Jacobian pada saat. ( ) Vektor dari fungsi turunan pertama log L. Adapun langkah-langkah dalam metode Newton-Raphson adalah sebagai berikut : 1. Menentukan nilai awal estimator untuk ( ) 2. Menentukan ( ) ( ).

35 21 3. Menghitung estimator berikutnya menggunakan (2.11). 4. Mengulangi iterasi sampai diperoleh nilai max dengan adalah konstanta positif yang ditentukan SPSS Analisis yang dijalankan di SPSS menggunakan prosedur yang sesuai pada dataset SPSS. Sebagian besar pengguna memilih prosedur dengan menunjuk dan mengklik mouse melalui serangkaian dari menu dan kotak dialog. Kode atau perintah syntax yang digunakan untuk analisis survival sebagai berikut : Estimasi fungsi survival dan membandingkan tiap tingkatan Untuk mendapatkan estimator survival dengan Kaplan-Meier, pilih Analyze Survival Kaplan-Meier. Pilih variabel waktu survival (SURVT) dari daftar variabel dan memasukkannya ke dalam Time box, kemudian pilih STATUS variabel dan masukkan ke dalam Status box. Lalu akan dilihat sebuah tanda tanya dalam tanda kurung setelah variabel status yang menunjukkan bahwa nilai event yang akan dimasukkan. Klik tombol Define Event dan masukkan nilai 1 dalam kotak karena STATUS variabel berkode 1 untuk terobesrvasi dan 0 untuk tersensor. Kemudian masukkan variabel faktor. Kemudian klik tanda Save. Klik Next dan kemudian OK untuk melihat output. Memeriksa asumsi proporsional hazard menggunakan kurva log-log survival Kaplan-Meier

36 22 Untuk menghitung log-log survival dapat dihitung dengan memilih Transform Compute dan mendefinisikan variabel baru dalam dialog-box. Kemudian untuk kurva log-log survival Kaplan-Meier dapat dijalankan dengan memilih Graphs Scatter dan kemudian mengklik Simple dan kemudian klik Define di kotak dialog scatterplot. Pilih LLS untuk sumbu Y, SURVT untuk sumbu X, dan varibel faktor di Set Marker by Box. Menjalankan model Cox proporsional hazard Sebuah model Cox proporsional hazard dapat dijalankan dengan memilih Analyze Survival Cox Regression. Pilih variabel waktu survival (SURVT) dari daftar variabel dan memasukkannya ke dalam kotak Time, kemudian pilih STATUS variabel dan masukkan ke dalam kotak Status. Kemudian akan dilihat sebuah tanda tanya dalam tanda kurung setelah Status variabel menunjukkan bahwa nilai event perlu dimasukkan. Klik tombol Define Event dan masukkan nilai 1 dalam kotak karena STATUS variabel diberi kode 1 untuk terobservasi dan 0 untuk tersensor. Klik Next dan pilih daftar variabel faktor dan memasukkan ke dalam kotak kovariat. Klik OK untuk melihat output. (Kleinbaum dan Klein, 2005)

37 BAB III METODE PENELITIAN 3.1 Sumber Data Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder tentang lama studi mahasiswa (dalam semester) S-1 Matematika di Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga tahun angkatan 2006, yaitu sebanyak 73 mahasiswa. 3.2 Variabel Penelitian Variabel Dependen atau Variabel Respon Variabel dependen dalam penelitian ini adalah waktu yang diperlukan oleh mahasiswa S-1 Matematika di Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga tahun angkatan 2006 dalam menjalankan studi dari waktu awal studi hingga akhir studi dinyatakan lulus S-1 yang dilambangkan dengan huruf t dan satuan waktunya adalah semester dengan ketentuan sebagai berikut : 1. Jika seorang mahasiswa diketahui waktu lama studi (dalam semester) dinyatakan lulus sampai dengan semester gasal tahun ajaran 2011/2012 maka waktu survival tersebut dinyatakan data terobservasi. 2. Seorang mahasiswa yang lama studinya (dalam semester) sampai dengan lulus dinyatakan data tersensor jika masa studinya melebihi semester gasal tahun ajaran 2011/

38 Variabel Independen 1. Nilai Indeks Prestasi Kumulatif / IPK ( ) 1 : 2 : 3 : 2. Asal daerah mahasiswa ( ) 1 : Surabaya 2 : Luar Surabaya 3. Jenis kelamin mahasiswa ( ) 1 : Peremupan 2 : Laki laki 4. Status asal SMA ( ) 1 : Negeri 2 : Swasta 5. Jalur masuk ( ) 1 : PMDK Prestasi 2 : PMDK Umum 3 : SPMB 6. Penghasilan orang tua ( ) 1 : <Rp ,00 2 : Rp ,00 Rp ,00 3 : Rp ,00 - Rp ,00 4 : Rp ,00 Rp ,00

39 25 5 : Rp ,00 Rp ,00 7. Rata rata nilai Ujian Nasional (NUN) SMA ( ) 1. : 2. : 3.3 Penyajian Data Tabel 3.1 Individu( ) Tabel Lama Mahasiswa Menyelesaikan Studi N Keterangan : : lama mahasiswa (dalam semester) menyelesaikan studi sampai dinyatakan yusidium : variabel dikotomi yang menyatakan status tersensor ( ) atau terobservasi ( ) : variabel independen atau prediktor : banyaknya individu yang diamati

40 26 Tabel 3.2 Tabel Kaplan-Meier dari Lama Mahasiswa Menyelesaikan Studi ( ) ( ) ( ) ( ) Keterangan : : lama mahasiswa (dalam semester) menyelesaikan studi sampai dinyatakan yusidium : banyaknya mahasiswa terobservasi yang masih melakukan studi sampai sebelum pada saat : banyaknya mahasiswa menyelesaikan studi sampai dinyatakan yudisium pada saat ( ) : estimasi fungsi survival pada saat 3.4 Metode Analisis 1. Untuk mengetahui faktor faktor yang memenuhi asumsi proporsional hazard dengan langkah langkah sebagai berikut : a. melakukan estimasi survival dari data lama studi mahasiswa S1 Matematika dengan metode Kaplan-Meier, b. melakukan pemeriksaan asumsi proporsional hazard dengan menggunakan plot [ [ ( )]] terhadap waktu survival ( ).

41 27 2. Untuk mengetahui model hubungan faktor faktor yang mempengaruhi waktu survival mahasiswa S1 Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga dengan langkah langkah sebagai berikut : a. melakukan estimasi parameter model Cox proporsional hazard secara terpisah dengan langkah langkah berikut : i. menentukan estimasi parameter dari persamaan (2.6) dengan metode maksimum likelihood, ii. menghitung nilai, iii. melakukan uji signikansi parameter dengan uji Rasio Likelihood dan seleksi model dengan metode backward, iv. menghitung estimasi fungsi hazard dasar dari yang diperoleh, b. menyusun model regresi Cox proporsional hazard dari estimasi yang diperoleh, c. menghitung taksiran fungsi survival dari model yang terbentuk untuk mengetahui peluang mahasiswa S-1 Matematika yang masih studi pada waktu ke t, d. membuat grafik taksiran fungsi survival untuk mengetahui perbandingan peluang mahasiswa S-1 Matematika yang masih studi dari setiap kategori variabel penjelas pada waktu survival (t).

42 BAB IV PEMBAHASAN 4.1 Analisis Distribusi Data Tabel 4.1 Tabel Ringkasan Data Mahasiswa Matematika Angkatan 2006 Frekuensi Prosentase Informasi Kejadian Terobervasi 66 90,4% Tersensor 7 9,6% Total ,0% *Sumber : Hasil Pengolahan SPSS Dari tabel 4.1 diatas terlihat bahwa banyaknya mahasiswa yang terobservasi atau banyaknya mahasiswa matematika angkatan 2006 yang lulus (yudisium) sampai semester gasal tahun ajaran 2011/2012 yaitu 66 mahasiswa atau 90,4%. Sedangkan banyaknya mahasiswa yang tersensor atau banyaknya mahasiswa matematika angkatan 2006 yang masih melakukan studi sampai semester gasal tahun ajaran 2011/2012 sebanyak tujuh mahasiswa atau 9,6%. Tabel 4.2 Tabel Distribusi Data Mahasiswa Matematika Angkatan 2006 terhadap Variabel Penjelas atau Faktor Dugaan Jenis Faktor IPK 1=IPK 2,75 2=2,75 < IPK 3,50 3=IPK > 3,50 Asal Daerah 1=Surabaya 2=Luar Surabaya Jenis Kelamin 1=Perempuan 2=Laki-Laki Status SMA 1=Negeri 2=Swasta Jalur Masuk 1=PMDK Prestasi 2=PMDK Umum 3=SPMB Penghasilan Orang Tua 1=<Rp =Rp Rp Frekuensi

43 29 3=Rp Rp =Rp Rp Rata NUN SMA 1=6,00 <rata NUN 8,00 2=rata NUN >8,00 *Sumber : Hasil Pengolahan SPSS Dari tabel 4.2 terlihat bahwa mahasiswa matematika angkatan 2006 untuk faktor IPK frekuensi terbesar pada kategori II (2,75 < IPK 3,50), untuk faktor asal daerah frekuensi terbesar pada asal daerah luar Surabaya, untuk faktor jenis kelamin frekuensi terbesar pada mahasiswa yang berjenis kelamin perempuan, untuk faktor status SMA frekuensi terbesar pada mahasiswa dengan status asal SMA negeri, untuk faktor jalur masuk frekuensi terbesar pada mahasiswa yang berasal dari SPMB, untuk faktor penghasilan orang tua frekuensi terbesar pada kategori III (Rp Rp ), dan untuk faktor rata NUN SMA frekuensi terbesar pada kategori III (rata NUN >8,00) Analisis Distribusi untuk Faktor IPK Tabel 4.3 Tabel Distribusi Data Mahasiswa Matematika Angkatan 2006 IPK pada Semeter VI IPK 2,75 2,75 < IPK 3,50 IPK > 3,50 untuk Faktor IPK Lama Studi (Semester) Jumlah Mahasiswa Mahasiswa Terobservasi Mahasiswa Tersensor Total Total Total 7 7 0

44 30 IPK pada Semeter VI Frekuensi Total Frekuensi Terobsevasi Frekensi Tersensor IPK 2, ,75< IPK 3, IPK > 3, Keseluruhan *Sumber : Hasil Pengolahan SPSS Dari tabel 4.3 terlihat bahwa pada kategori IPK 2,75 dari 17 mahasiswa terdapat 11 mahasiswa teroservasi dan enam mahasiswa tersensor di semester XI, dan pada kategori 2,75 < IPK 3,50 dari 49 mahasiswa terdapat 48 mahasiswa teroservasi dan hanya satu mahasiswa tersensor di semester XI. Sedangkan pada kategori IPK > 3,50 seluruh mahasiswa terobservasi, yaitu sebanyak tujuh mahasiswa. Selain itu dari tabel 4.3 dapat dilihat bahwa untuk kategori dan untuk kategori mahasiswa menyelesaikannya studi paling lama sampai sebelas semester, sedangkan untuk kategori mahasiswa menyelesaikan studinya paling lama sampai delapan semester Analisis Distribusi untuk Faktor Asal Daerah Tabel 4.4 Tabel Distribusi Data Mahasiswa Matematika Angkatan 2006 untuk Faktor Asal Daerah Asal Daerah Waktu (Semester) Frekuensi Total Frekuensi Terobsevasi Frekuensi Tersensor Surabaya Total Luar Surabaya Total

45 31 Asal Daerah Frekuensi Total Frekuensi Terobsevasi Frekensi Tersensor Surabaya Luar Surabaya Keseluruhan *Sumber : Hasil Pengolahan SPSS Dari tabel 4.4 terlihat bahwa pada kategori asal daerah Surabaya dari 32 mahasiswa terdapat 27 mahasiswa teroservasi dan 5 mahasiswa tersensor di semester XI. Sedangkan pada kategori asal daerah luar Surabaya seluruh mahasiswa dari 41 mahasiswa terdapat 39 mahasiswa teroservasi dan 2 mahasiswa tersensor di semester XI Analisis Distribusi untuk Faktor Jenis Kelamin Tabel 4.5 Tabel Distribusi Data Mahasiswa Matematika Angkatan 2006 Peremupan Laki-laki untuk Faktor Jenis Kelamin Jenis Kelamin Lama Studi (Semester) Jumlah Mahasiswa Mahasiswa Terobservasi Mahasiswa Tersensor Total Total Asal Daerah Frekuensi Total Frekuensi Frekensi Terobsevasi Tersensor Perempuan Laki-laki Keseluruhan *Sumber : Hasil Pengolahan SPSS Dari tabel 4.5 terlihat bahwa dari 51 mahasiswa perempuan terdapat 50 mahasiswa teroservasi dan hanya satu mahasiswa tersensor di semester XI.

46 32 Sedangkan dari 22 mahasiswa laki-laki terdapat 16 mahasiswa teroservasi dan enam mahasiswa tersensor di semester XI Analisis Distribusi untuk Faktor Status SMA Tabel 4.6 Tabel Distribusi Data Mahasiswa Matematika Angkatan 2006 untuk Faktor Asal Daerah Status SMA Lama Studi (Semester) Jumlah Mahasiswa Mahasiswa Terobservasi Mahasiswa Tersensor Negeri Total Swasta Total Status SMA Frekuensi Total Frekuensi Terobsevasi Frekensi Tersensor Negeri Swasta Keseluruhan *Sumber : Hasil Pengolahan SPSS Dari tabel 4.6 terlihat bahwa pada kategori status SMA negeri dari 65 mahasiswa terdapat 60 mahasiswa teroservasi dan lima mahasiswa tersensor di semester XI. Sedangkan pada kategori status SMA swasta dari delapan mahasiswa terdapat enam mahasiswa teroservasi dan dua mahasiswa tersensor di semester XI.

47 Analisis Distribusi untuk Faktor Jalur Masuk Tabel 4.7 Tabel Distribusi Data Mahasiswa Matematika Angkatan 2006 untuk Faktor Jalur Masuk Jalur Masuk Lama Studi Jumlah Mahasiswa Mahasiswa (Semester) Mahasiswa Terobservasi Tersensor Total Total Total Status SMA Frekuensi Total Frekuensi Frekensi Terobsevasi Tersensor PMDK Prestasi PMDK Umum SPMB Keseluruhan PMDK Prestasi PMDK Umum SPMB *Sumber : Hasil Pengolahan SPSS Dari tabel 4.7 terlihat bahwa pada kategori PMDK Prestasi dari empat mahasiswa terdapat tiga mahasiswa teroservasi dan satu mahasiswa tersensor di semester XI. Pada kategori PMDK Umum dari 21 mahasiswa terdapat 17 mahasiswa teroservasi dan empat mahasiswa tersensor di semester XI. Sedangkan pada kategori PMDK Prestasi dari 48 mahasiswa terdapat 46 mahasiswa teroservasi dan dua mahasiswa tersensor di semester XI.

48 Analisis Distribusi untuk Faktor Penghasilan Orang Tua Tabel 4.8 Tabel Distribusi Data Mahasiswa Matematika Angkatan 2006 untuk Faktor Penghasilan Orang Tua Penghasilan Orang Tua Lama Studi (Semester) Jumlah Mahasiswa Mahasiswa Terobservasi Mahasiswa Tersensor I Total II Total III Total IV Total Penghasilan Orang Tua Frekuensi Total Frekuensi Terobsevasi Frekensi Tersensor I II III IV Keseluruhan *Sumber : Hasil Pengolahan SPSS Dari tabel 4.8 terlihat bahwa tidak ada mahasiswa yang tersensor untuk kategori I dan II, sedangkan pada kategori I terdapat tiga mahasiswa teroservasi dan pada kategori II terdapat lima mahasiswa teroservasi. Pada kategori III dari 50 mahasiswa terdapat 44 mahasiswa teroservasi dan enam mahasiswa tersensor di semester XI. Kemudian pada kategori IVI dari 15 mahasiswa terdapat 14 mahasiswa teroservasi dan hanya satu mahasiswa tersensor di semester XI.

49 35 Selain itu dari tabel 4.8 dapat dilihat bahwa untuk kategori penghasilan orang tua <Rp ,00 studi paling lama sampai delapan semester, untuk kategori penghasilan orang tua Rp ,00 Rp ,00 studi paling lama sampai sembilan semester, sedangkan untuk kategori penghasilan orang tua Rp ,00 Rp ,00 dan kategori penghasilan orang tua Rp ,00 Rp ,00studi paling lama sampai sebelas semester Analisis Distribusi untuk Faktor Rata-Rata NUN SMA Tabel 4.9 Tabel Distribusi Data Mahasiswa Matematika Angkatan 2006 Rata NUN SMA 6,00 < rata NUN 8,00 untuk Faktor Rata-Rata NUN SMA Lama Studi (Semester) Jumlah Mahasiswa Mahasiswa Terobservasi Mahasiswa Tersensor Total rata NUN > 8, Total Asal Daerah Frekuensi Total Frekuensi Terobsevasi Frekensi Tersensor 6,00<rataNUN 8, rata NUN > 8, Keseluruhan *Sumber : Hasil Pengolahan SPSS Dari tabel 4.9 terlihat bahwa pada kategori 6,00<rataNUN 8,00 dari 14 mahasiswa terdapat sepuluh mahasiswa teroservasi dan empat mahasiswa tersensor di semester XI. Sedangkan pada kategori rata NUN > 8,00 dari 59

50 36 mahasiswa terdapat 56 mahasiswa teroservasi dan tiga mahasiswa tersensor di semester XI. 4.2 Pemeriksaan Asumsi Proporsional Estimasi Survival dari Data Lama Studi Mahasiswa S-1 Matematika dengan Metode Kaplan Meier Sebelum menggambarkan plot [ [ ( )]] terhadap waktu survival (t), dibutuhkan estimasi survival, yaitu probabilitas mahasiswa yang masih studi pada waktu t semester. Menurut Lawless (1983), estimasi dari ( ) dapat diestimasi secara empiris dengan metode Kaplan-Meier yang dapat didefinisikan ( ) dengan merupakan lama mahasiswa Matematikan (dalam semester) menyelesaikan studi sampai dinyatakan lulus dari mahasiswa ke-j, menyatakan banyaknya mahasiswa terobservasi yang telah menyelesaikan studi sampai dinyatakan yudisium pada saat, dan menyatakan banyaknya mahasiswa terobservasi yang masih melakukan studi sampai sebelum pada saat ( [ ] =banyaknya data yang tersensor pada saat ) Kemudian dari estimasi survival diperoleh, yang dalam kasus ini merupakan estimasi probabilitas mahasiswa yang belum lulus atau masih melakukan studi akan dapat dihitung juga estimasi probabilitas mahasiswa yang sudah lulus (yudisium) yaitu ( ). Maka, dengan kata lain nilai estimasi probabilitas mahasiswa yang sudah lulus (yudisium) sama dengan ( ). Berikut

51 37 hasil perhitungan estimasi survival untuk masing masing kategori dapat dilihat pada tabel 4.10 sampai tabel Tabel 4.10 Tabel Kaplan - Meier dari Lama Mahasiswa Menyelesaikan Studi untuk Faktor IPK ( ) [ [ ( )]] ( ) ( ) ( ) [ [ ( )]] ( ) ( ) ( ) [ [ ( )]] ( ) ( ) * *Sumber : Hasil Pengolahan SPSS Dari tabel 4.10 dapat dilihat bahwa nilai estimasi probabilitas mahasiswa yang masih studi ( ) untuk masing-masing kategori, semakin lama studinya semakin kecil probabilitas mahasiswa yang masih studi sehingga probabilitas mahasiswa yang dapat menyelesaikan studi semakin lama semakin besar. Selain itu dari tabel 4.10 terlihat bahwa semakin tinggi nilai IPK yang diperoleh maka probabilitas mahasiswa yang dapat menyelesaikan studi untuk setiap kategori semakin lama semakin besar. Hal ini dapat ditunjukkan untuk kategori nilai ( ) maka probabilitas mahasiswa yang dapat menyelesaikan studi pada semester delapan sebesar 0,20529 atau 20,529% dari total mahasiswa, untuk kategori nilai ( )

52 38 maka probabilitas mahasiswa yang dapat menyelesaikan studi pada semester delapan sebesar 0,61225 atau 61,225% dari total mahasiswa, dan untuk kategori nilai ( ) maka probabilitas mahasiswa yang dapat menyelesaikan studi pada semester delapan sebesar 1 atau 100%. Sehingga semakin tinggi IPK semakin besar untuk peluang menyelesaikan masa studi. Tabel 4.11 Tabel Kaplan - Meier dari Lama Mahasiswa Menyelesaikan Studi untuk Faktor Daerah Asal Mahasiswa Surabaya ( ) [ [ ( )]] ( ) ( ) Luar Surabaya ( ) [ [ ( )]] ( ) ( ) *Sumber : Hasil Pengolahan SPSS Pada tabel 4.11 menunjukkan bahwa nilai estimasi probabilitas mahasiswa yang masih studi ( ) untuk masing-masing kategori semakin lama studinya semakin kecil probabilitas mahasiswa yang masih studi sehingga probabilitas mahasiswa yang dapat menyelesaikan studi semakin lama semakin besar. Selanjutnya pada tabel 4.11 dapat dilihat bahwa untuk kategori mahasiswa Surabaya nilai ( ) maka probabilitas mahasiswa yang dapat menyelesaikan studi pada semester delapan sebesar 0,09375 atau 9,375% dari total mahasiswa dan untuk kategori mahasiswa luar Surabaya nilai ( )

53 39 maka probabilitas mahasiswa yang dapat menyelesaikan studi pada semester delapan sebesar 0, atau 14,6341% dari total mahasiswa. Sehingga peluang mahasiswa Surabaya dapat menyelesaikan masa studi lebih kecil daripada mahasiswa luar Surabaya. Tabel 4.12 Tabel Kaplan - Meier dari Lama Mahasiswa Menyelesaikan Studi untuk Faktor Jenis Kelamin Mahasiswa Perempuan ( ) [ [ ( )]] ( ) ( ) Laki-Laki ( ) [ [ ( )]] ( ) ( ) *Sumber : Hasil Pengolahan SPSS Dari tabel 4.12 terlihat bahwa nilai estimasi probabilitas mahasiswa yang masih studi ( ) untuk masing-masing kategori semakin lama studinya semakin kecil probabilitas mahasiswa yang masih studi sehingga probabilitas mahasiswa yang dapat menyelesaikan studi semakin lama semakin besar. Selanjutnya dari tabel 4.3 dapat dilihat bahwa untuk kategori mahasiswa berjenis kelamin perempuan nilai ( ) maka probabilitas mahasiswa yang dapat menyelesaikan studi pada semester delapan sebesar 0,64706 atau 64,706% dan untuk kategori mahasiswa berjenis kelamin laki-laki nilai ( ) maka probabilitas mahasiswa yang dapat menyelesaikan studi pada semester delapan sebesar 0,36364 atau 36,364% dari total mahasiswa.

54 40 Maka, mahasiswa berjenis kelamin perempuan mempunyai peluang lebih besar untuk menyelesaikan masa studi daripada mahasiswa berjenis kelamin laki-laki. Tabel 4.13 Tabel Kaplan - Meier dari Lama Mahasiswa Menyelesaikan Studi untuk Faktor Status Asal SMA Negeri F ( ) [ [ ( )]] ( ) ( ) Swasta F ( ) [ [ ( )]] ( ) ( ) *Sumber : Hasil Pengolahan SPSS Dari tabel 4.13 terlihat bahwa nilai estimasi probabilitas mahasiswa yang masih studi ( ) untuk masing-masing kategori semakin lama studinya semakin kecil probabilitas mahasiswa yang masih studi sehingga probabilitas mahasiswa yang dapat menyelesaikan studi semakin lama semakin besar. Selanjutnya dari tabel 4.13 dapat dilihat bahwa untuk kategori mahasiswa yang berasal dari SMA negeri nilai ( ) maka probabilitas mahasiswa yang dapat menyelesaikan studi pada semester delapan sebesar 0,12308 atau 12,308% dan untuk kategori mahasiswa yang berasal dari SMA swasta nilai ( ) maka probabilitas mahasiswa yang dapat menyelesaikan studi pada semester delapan sebesar 0,125 atau 12,57% dari total

55 41 mahasiswa. Sehingga mahasiswa yang berasal dari SMA swasta mempunyai peluang lebih besar untuk menyelesaikan masa studi daripada mahasiswa yang berasal dari SMA negeri. Tabel 4.14 Tabel Kaplan - Meier dari Lama Mahasiswa Menyelesaikan Studi untuk Faktor Jalur Masuk PMDK Prestasi F ( ) [ [ ( )]] ( ) ( ) PMDK Umum F ( ) [ [ ( )]] ( ) ( ) SPMB F ( ) [ [ ( )]] ( ) ( ) *Sumber : Hasil Pengolahan SPSS Dari tabel 4.14 terlihat bahwa nilai estimasi probabilitas mahasiswa yang masih studi ( ) untuk masing-masing kategori semakin lama studinya semakin kecil probabilitas mahasiswa yang masih studi sehingga probabilitas mahasiswa yang dapat menyelesaikan studi semakin lama semakin besar. Selain itu pada tabel 4.14 dapat dilihat bahwa untuk mahasiswa dari PMDK prestasi nilai ( ) maka probabilitas mahasiswa yang dapat menyelesaikan studi pada semester delapan sebesar 0,5 atau 50% dari total mahasiswa, untuk kategori mahasiswa dari PMDK umum nilai ( )

56 42 maka probabilitas mahasiswa yang dapat menyelesaikan studi pada semester delapan sebesar 0,04762 atau 4,762% dari total mahasiswa, dan kategori mahasiswa dari SPMB nilai ( ) maka probabilitas mahasiswa yang dapat menyelesaikan studi pada semester delapan sebesar 0,12500 atau 12,500% dari total mahasiswa. Tabel 4.15 Tabel Kaplan - Meier dari Lama Mahasiswa Menyelesaikan Studi untuk Faktor Penghasilan Orang Tua <Rp ,00 F ( ) [ [ ( )]] ( ) ( ) * Rp ,00-Rp ,00 F ( ) [ [ ( )]] ( ) ( ) * Rp ,00-Rp ,00 F ( ) [ [ ( )]] ( ) ( ) Rp ,00-Rp ,00 F ( ) [ [ ( )]] ( ) ( ) *Sumber : Hasil Pengolahan SPSS Dari tabel 4.15 terlihat bahwa nilai estimasi probabilitas mahasiswa yang masih studi ( ) untuk masing-masing kategori semakin lama studinya semakin kecil probabilitas mahasiswa yang masih studi sehingga probabilitas mahasiswa

57 43 yang dapat menyelesaikan studi semakin lama semakin besar. Selain itu pada tabel 4.15 dapat dilihat bahwa untuk kategori penghasilan orang tua <Rp ,00 nilai ( ) maka probabilitas mahasiswa yang dapat menyelesaikan studi pada semester delapan sebesar 1,00 atau 100%, untuk kategori penghasilan orang tua Rp ,00 Rp ,00 nilai ( ) maka probabilitas mahasiswa yang dapat menyelesaikan studi pada semester delapan sebesar 0,8 atau 80% dari total mahasiswa, untuk kategori penghasilan orang tua Rp ,00 Rp ,00 nilai ( ) maka probabilitas mahasiswa yang dapat menyelesaikan studi pada semester delapan sebesar atau 52%, dan untuk kategori penghasilan orang tua Rp ,00 Rp ,00 nilai ( ) maka probabilitas mahasiswa yang dapat menyelesaikan studi pada semester delapan sebesar 0,53333 atau 53,333% dari total mahasiswa. Tabel 4.16 Tabel Kaplan - Meier dari Lama Mahasiswa Menyelesaikan Studi untuk Faktor Rata-Rata NUN SMA 6,00<rata NUN 8,00 F ( ) [ [ ( )]] ( ) ( ) Rata NUN > 80 F ( ) [ [ ( )]] ( ) ( ) *Sumber : Hasil Pengolahan SPSS

58 44 Dari tabel 4.17 terlihat bahwa nilai estimasi probabilitas mahasiswa yang masih studi ( ) untuk masing-masing kategori semakin lama studinya semakin kecil probabilitas mahasiswa yang masih studi sehingga probabilitas mahasiswa yang dapat menyelesaikan studi semakin lama semakin besar. Selanjutnya dari tabel 4.17 dapat dilihat bahwa untuk kategori nilai ( ) maka probabilitas mahasiswa yang dapat menyelesaikan studi pada semester delapan sebesar 0,07143 atau 7,143% dari total mahasiswa dan untuk kategori untuk kategori nilai ( ) maka probabilitas mahasiswa yang dapat menyelesaikan studi pada semester delapan sebesar 0,13559 atau 13,559% dari total mahasiswa. Sehingga untuk kategori mempunyai peluang lebih kecil untuk menyelesaikan masa studi daripada kategori Melakukan Pemeriksaan Asumsi Proporsional Hazard dengan Menggunakan Plot [ [ ( )]] Terhadap Waktu Survival ( ) Pemeriksaan asumsi proporsional dilakukan sebelum penentuan model regresi Cox proporsional hazard. Hal itu dapat diketahui secara grafis melalui plot [ [ ( )]] terhadap waktu survival (t) untuk setiap faktor, yaitu faktor jenis kelamin, asal daerah, IPK pada semester VI, dan rata rata NUN SMA. Gambar plot [ [ ( )]] terhadap waktu lama studi untuk setiap faktor dapat dilihat pada gambar 4.1 sampai gambar 4.7 berikut.

59 45 *Sumber : Hasil Pengolahan SPSS Gambar 4.1 Plot [ [ ( )]] terhadap waktu lama mahasiswa menyelesaikan studi (t) untuk faktor IPK *Sumber : Hasil Pengolahan SPSS Gambar 4.2 Plot [ [ ( )]] terhadap waktu lama mahasiswa menyelesaikan studi (t) untuk faktor Daerah Asal

60 46 *Sumber : Hasil Pengolahan SPSS Gambar 4.3 Plot [ [ ( )]] terhadap waktu lama mahasiswa menyelesaikan studi (t) untuk faktor Jenis Kelamin *Sumber : Hasil Pengolahan SPSS Gambar 4.4 Plot [ [ ( )]] terhadap waktu lama mahasiswa menyelesaikan studi (t) untuk faktor Status SMA

61 47 *Sumber : Hasil Pengolahan SPSS Gambar 4.5 Plot [ [ ( )]] terhadap waktu lama mahasiswa menyelesaikan studi (t) untuk faktor Jalur Masuk *Sumber : Hasil Pengolahan SPSS Gambar 4.6 Plot [ [ ( )]] terhadap waktu lama mahasiswa menyelesaikan studi (t) untuk faktor Penghasilan Orang Tua

62 48 *Sumber : Hasil Pengolahan SPSS Gambar 4.7 Plot [ [ ( )]] terhadap waktu lama mahasiswa menyelesaikan studi (t) untuk faktor Rata-Rata NUN SMA Dari gambar 4.1 sampai 4.7 dapat diketahui bahwa variabel penjelas yang diduga masuk dalam model menunjukkan seluruh variabel mempunyai bentuk garis yang sejajar pada setiap kategorinya. Menurut Kleinbaum dan Klein (2005), apabila plot antar kategori dalam satu variabel penjelas terlihat sejajar atau tidak bersilangan maka asumsi proportional hazard terpenuhi dan variabel penjelas yang bersifat kategori dapat dimasukkan model. Sehingga semua variabel dalam kasus ini memenuhi asumsi proporsional hazard dan dapat dimasukkan ke dalam model regresi Cox proporsional hazard. 4.3 Estimasi Parameter dalam Model Regresi Cox Proporsional Hazard Karakteristik analisis survival yang mengakomodasi adanya sensoring membuat estimasi parameter pada pemodelan unit survival dengan fungsi

63 49 likelihood semakin kompleks. Metode Maximum Likelihood Estimator (MLE) tidak dapat digunakan secara langsung untuk proses estimasi karena adanya sensoring pada model regresi Cox proporsional hazard yang merupakan model semiparametrik, dimana hazard dasarnya mempunyai distribusi tertentu sehingga untuk menduga parameter model, Kalbleish dan Prentice (2002) menyarankan menggunakan Metode Maximum Partial Likelihood Estimator (MPLE). Adapun langkah-langkah sebagai berikut : Menentukan Fungsi Parsial Likelihood Misalkan terdapat n pengamatan (mahasiswa), dengan r pengamatan (mahasiswa) yang teramati (yang sudah dinyatakan lulus) yang diurutkan sehingga r order waktu kelulusan dinotasikan dengan ( ) ( ) ( ) dan { } { ( ( ) )} merupakan himpunan pengamatan yang mengalami kejadian dimana mahasiswa yang diamati sudah dinyatakan lulus atau risk set pada waktu ( ) yaitu waktu kelulusan mahasiswa ke-j. Peluang bahwa mahasiswa ke-j jika diketahui mahasiswa tersebut berada di dalam pada waktu ( ) adalah : ( ( ) ( )) ( ( ) ) ( ( ) ) (4.1) Jika persamaan (4.1) disubstitusikan ke dalam model Cox proporsional hazard (persamaan 2.3), maka diperoleh persamaan: ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) (4.2) Kemudian perkalian peluang dari setiap pengamatan yang terobservasi akan membentuk fungsi parsial likelihood yang bergantung pada atau Cox likelihood seperti persamaan berikut:

64 50 ( ) * ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) + (4.3) Misalkan terdapat data dengan n pengamatan waktu survival, dinotasikan sebagai dan merupakan status sensoring, maka fungsi Cox likelihood dapat dinyatakan sebagai: ( ) { ( ) ( ) ( ) } (4.4) dengan ( ) merupakan himpunan dari waktu yang terobservasi yang mengalami kejadian pada waktu dengan Menentukan Fungsi Log-Cox Likelihood Untuk mengestimasi parameter dengan maksimum likelihood terlebih dahulu menentukan log-likelihood agar mempermudah pencarian penduga. Dari persamaan (4.4) maka persamaan log-likelihoodnya dinyatakan sebagai:, ( )- * { ( ) ( ) ( ) } +, ( )- *{ ( ) ( ) ( ) } { ( ) ( ) ( ) } +, ( )-, *{ ( ) ( ) ( ) } +-, ( )- {, ( )- [ ( ) ( ) ]}, ( )- { [ ( ) ( ) ]} (4.5) Untuk mendapatkan estimasi parameter dari fungsi likelihood, maka dicari estimasi parameter yang akan memaksimumkan fungsi likelihood atau loglikelihood-nya, yaitu turunan pertama disamadengankan nol.

65 Menentukan Turunan Pertama Log-Cox Likelihood terhadap Untuk mendapatkan estimasi parameter dari fungsi likelihood, maka dicari estimasi parameter yang akan memaksimumkan fungsi likelihood atau loglikelihood-nya, yaitu turunan pertama disamadengankan nol. Misal :, ( )- ( ), ( )- [ ] (4.6) [, ( )- ] dengan { {, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) - ( ) ( ) } } Karena persamaan (4.6) merupakan persamaan yang berbentuk implisit, maka untuk mencari estimasi parameter menggunakan pendekatan metode numerik yaitu metode Newton-Raphson Menentukan Turunan Kedua Log-Cox Likelihood terhadap Misal :, ( )-, ( )-, ( )- ( ), ( )-, ( )-, ( )- (4.7) [, ( )-, ( )-, ( )- ] [ ]

66 52 dengan { ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( )/ ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( )/ ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( )/ ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( )/ ( ) ( ) { ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( )/ ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( )/ ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( )/ ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( )/ ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( )/ ( ) ( ) - } - - } Mengestimasi menggunakan metode Newton-Raphson. Turunan pertama dari fungsi log-likelihood-nya masih berbentuk implisit, maka untuk mencari estimasi parameter model pada kasus ini menggunakan bantuan software SPSS dimana algoritma yang dipakai dalam mengestimasi parameter menggunakan metode Newton-Raphson. Adapun langkah-langkah dalam metode Newton-Raphson sebagai berikut : 1. Menentukan nilai awal [ ] 2. Dari persamaan (4.6) dan persamaan (4.7), maka dihitung dapat baru ( ) dengan menggunakan rumus berikut :

67 53 ( ) ( ) 3. Menghitung nilai koreksi, yaitu ( ) ( ) 4. Ulangi langkah kedua dan ketiga hingga nilai koreksi mendekati nol atau nilai kesalahan yang dinginkan. 4.4 Estimasi Hazard Dasar ( ) dalam Model Regresi Cox Proporsional Hazard Untuk mendapatkan estimasi hazard dasar proporsional hazard maka dengan estimator ( ) dalam model regresi Cox selanjutnya diperoleh estimasi parameter, maka selanjutnya dicari estimasi dengan menggunakan persamaan (2.7). Karena pada kasus ini menggunakan adanya sensoring maka persamaan (2.7) menjadi sebagai berikut: ( ( ) ) dengan *( ( ) ( ) ( ) ) ( ) + Perhitungan estimasi hazard dasar ( ) dalam model regresi Cox proporsional hazard pada kasus ini menggunakan bantuan software SPSS. 4.5 Model Regresi Cox Proporsional Hazard Setelah mengetahui variabel - variabel yang telah memenuhi asumsi proporsional hazard, maka diperoleh model awal regresi Cox proporsional hazard untuk kasus ini sebagai berikut : ( ) ( ) ( ) dengan

68 54 IPK dan ( ) daerah asal mahasiswa dan ( Surabaya luar Surabaya) jenis kelamin mahasiswa dan ( perempuan laki-laki) status asal SMA dan ( negeri swasta) jalur masuk dan ( PMDK Prestasi PMDK Umum SPMB) penghasilan orang tua dan ( < Rp ,00 Rp ,00 Rp ,00 Rp ,00 Rp ,00; Rp ,00 Rp ,00) rata rata NUN SMA dan ( ) Pengolahan data untuk model regresi Cox proporsional hazard dilakukan dengan menggunakan bantuan software SPSS. Untuk mengetahui model hubungan faktor faktor yang mempengaruhi waktu survival mahasiswa S1 Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga dengan langkah langkah sebagai berikut : Menghitung Estimasi Parameter Model Cox Proporsional Hazard Perhitungan estimasi parameter dalam kasus ini menggunakan bantuan software SPSS. Hasil perhitungan yang diperoleh dari SPSS dapat dilihat pada tabel 4.17.

69 55 Tabel 4.17 Tabel Estimasi Awal Parameter Nama Variabel IPK IPK(1) IPK(2) asal_daerah JK status_sma jalur_masuk jalur_masuk(1) jalur_masuk(2) penghasilan_ortu penghasilan_ortu(1) penghasilan_ortu(2) penghasilan_ortu(3) rata_nun *Sumber : Hasil Pengolahan SPSS Setelah diperoleh nilai parameter model regressi Cox proporsional hazard, selanjutnya dilakukan uji apakah parameter tersebut mempunyai nilai yang signifikan terhadap model dengan menggunakan uji Rasio Likelihood. Hipotesis uji yang digunakan yaitu : (tidak ada pengaruh) (ada pengaruh) Tolak terjadi jika dengan atau 0,05%. Hasil pengolahan SPSS untuk model regresi Cox proporsional hazard menggunakan metode backward stepwise Likelihood Ratio pada software SPSS (Lampiran 2) dapat dilihat terdapat tujuh iterasi dalam pemilihan faktor yang signifikan. Pada iterasi pertama kovariat yang dimasukkan ke dalam model adalah

70 56 IPK, asal daerah, jenis kelamin, status SMA, jalur masuk, penghasilan orang tua, dan rata NUN SMA. Kemudian pada iterasi kedua kovariat yang dikeluarkan dari model adalah penghasilan orang tua, iterasi ketiga kovariat yang dikeluarkan dari model adalah jalur masuk, iterasi keempat kovariat asal daerah, iterasi kelima kovariat yang dikeluarkan dari model adalah status SMA, iterasi keenam kovariat yang dikeluarkan dari model adalah rata NUN SMA, dan pada iterasi ketujuh yang dikeluarkan dari model adalah jenis kelamin. Karena yang mempunyai nilai signifikan hanya faktor IPK, maka faktor yang dianggap mempengaruhi lama studi mahasiswa hanya faktor IPK dengan besarnya pengaruh kovariat terhadap model dapat dilihat pada tabel Tabel 4.18 Tabel Estimasi Parameter yang Signifikan Nama Variabel ( ) IPK IPK(1) IPK(2) *Sumber : Hasil Pengolahan SPSS Dari tabel 4.18 diperoleh nilai dari parameter yang telah diestimasi untuk yaitu, untuk yaitu, dan untuk yaitu. Dari hasil estimasi yang diperoleh, dapat diketahui bahwa semakin tinggi IPK maka seorang mahasiswa akan semakin cepat lulus. Hal itu dapat ditunjukkan pada nilai ( ) yang merupakan pengali dari nilai hazard, karena semakin tinggi nilai IPK semakin besar nilai ( ).

71 Menghitung Hazard Dasar Model Cox Proporsional Hazard Setelah diperoleh hasil estimasi parameter, kemudian dicari estimasi hazard dasar dengan menggunakan bantuan software SPSS. Hasil perhitungan yang diperoleh dari SPSS dapat dilihat pada tabel Lama Studi (Semester) Tabel 4.19 Tabel Estimasi Hazard Dasar dan Survival Kumulatif Hazard Dasar ( ) Hazard Dasar ( ) Survival Dasar ( ) *Sumber : Hasil Pengolahan SPSS Menentukan Model Cox Proporsional Hazard Setelah diperoleh hasil estimasi parameter dan hazard dasarnya, persamaan model umum regresi Cox proporsional hazard adalah : dengan ( ) ( ) ( ( ) ( )) dan. Kemudian model regresi Cox proporsional hazard untuk setiap semester adalah: ( ) ( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( ) ( ))

72 Dugaan Peluang Mahasiswa yang Melakukan Studi ( ) dan Peluang Mahasiswa yang Lulus ( ) pada Berbagai Waktu Setelah diperoleh estimasi parameter serta estimasi hazard dan survival dasar, maka dapat dilakukan dugaan peluang mahasiswa yang melakukan studi ( ) dan peluang mahasiswa yang lulus ( ) pada berbagai waktu yang ditunjukkan pada tabel 4.20 dan 4.21, sedangkan simulasi grafiknya dapat dilihat pada gambar 4.8 dan 4.9. Tabel 4.20 Dugaan Peluang Mahasiswa yang Melakukan Studi ( Berbagai Semester ) pada Peluang Mahasiswa yang Masih Studi IPK lama studi (semeser) Tabel 4.21 Dugaan Peluang Mahasiswa yang Lulus ( Semester ) pada Berbagai Peluang Mahasiswa yang Lulus IPK lama studi (semeser)

73 59 *Sumber : Hasil Pengolahan SPSS Gambar 4.8 Grafik Peluang Mahasiswa yang Melakukan Studi ( ) yang Dipengaruhi IPK pada Berbagai Waktu (t) *Sumber : Hasil Pengolahan SPSS Gambar 4.9 Grafik Peluang Mahasiswa yang Lulus ( ) yang Dipengaruhi IPK pada Berbagai Waktu (t)