BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Persamaan Diferensial merupakan ilmu matematika yang dapat digunakan untuk masalah-masalah dalam kehidupan sehari-hari, diantaranya dalam ilmu kesehatan yaitu pemodelan penyakit, sedangkan dalam bidang teknik yaitu pemodelan perambatan panas pada batang logam, sistem kerja pada pegas dan pemodelan gelombang air laut. Persamaan Diferensial secara umum dibedakan menjadi dua, yaitu Persamaan Diferensial Biasa dan Persamaan Diferensial Parsial. Persamaan Diferensial Biasa adalah Persamaan differensial yang hanya memuat turunan yang terdiri dari satu atau lebih variabel tak bebas dengan satu variabel bebas, sedangkan Persamaan Diferensial Parsial adalah persamaan yang memuat turunan parsial satu atau lebih variabel tak bebas terhadap dua atau lebih variabel bebas (Ross,2004:4).Banyak ditemukan kasus dalam bentuk Persamaan Diferensial Parsial, diantaranya pada pemodelan persamaan panas, persamaan telegraf, persamaan laplace, dan persamaan gelombang. Dalam kehidupan sehari-hari yang menarik perhatian penulis yaitu persamaan gelombang satu dimensi. Salah satu contoh adalah gelombang satu dimensi yang terjadi pada dawai. Penyelesaian analitik menggunakan metode separasi variabel. Metode separasi variabel adalah suatu metode yang digunakan untuk mengubah suatu 1
persamaan diferensial parsial kedalam persamaan diferensial biasa dengan cara memisahkan solusi persamaan diferensial parsial menjadi fungsi-fungsi yang memuat satu variabel. Setelah diperoleh persamaan diferensial biasa, kemudian diselesaikan dengan integral biasa. Berdasarkan langkah tersebut diperoleh solusi dari persamaan parsial. Untuk memeperoleh solusi khusus, maka diperlukan adanya nilai awal dan syarat batas. Terdapat tiga syarat batas yaitu syarat batas direchlet, syarat batas neumann, dan syarat batas robin atau yang bisa dikenal dengan syarat batas campuran. Sebelumnya telah dilakukan penelitian oleh Agus Supratama (2016) tentang bagaimana penyelesaian analitik dari persamaan gelombang dimensi satu menggunakan teknik separasi variabel dengan menerapkan tiga jenis kondisi syarat batas. Hasil dari penelitian tersebut, diperoleh dari persamaan gelombang dimensi satu berdasarkan masing-masing kondisi syarat batas yang telah ditentukan dan penyelesaiannya digambarkan dalam bentuk grafik dua dimensi. Oleh karena itu, penyelesaian analitik dari persamaan gelombang dimensi satu yang telah diteliti akan dihampiri menggunakan metode numerik. Selain menggunakan penyelesaian analitik, persamaan gelombang dapat diselesaikan dengan penyelesaian numerik. Metode numerik merupakan suatu cabang atau bidang ilmu matematika, khususnya matematika rekayasa, yang menggunakan bilangan untuk menirukan proses matematik: proses matematik ini selanjutnya telah dirumuskan untuk menirukan keadaan sebenarnya (Harijono Djojodihardjo,2000:1). 2
Terdapat beberapa metode numerik untuk menyelesaikan persamaan gelombang antara lain Metode Beda Hingga, Metode Elemen Hingga, Metode Volume Hingga. Secara garis besar metode beda hingga memiliki bermacam skema yaitu skema implisit, skema eksplisit, dan Crank-Nicholson (Ririn Sulpiani dan Widowati,2013:21). Metode beda hingga tidak hanya diaplikasikan pada persamaan gelombang saja, telah banyak peneliti peneliti yang mengaplikasikan metode beda hingga untuk menyelesaikan permasalahan fisis lainnya. Salah satu contoh peneliti yang mengaplikasikan metode beda hingga adalah Pangestuti Prima Darajat (2013) yang mengkaji tentang deskripsi tenatang metode beda hingga untuk menyelesaikan persamaan fitzhugh-nagumo. Pembahasan dalam skripsi ini terbatas pada masalah-masalah satu dimensi. Skripsi ini akan mengkaji pemodelan persamaan gelombang beserta penyelesaian analitik dengan menggunakan metode separasi variabel dan penyelesaian numerik dengan menggunakan metode beda hingga. Oleh karena itu penulis ingin mengetahui perbedaan dari penyelesaian analitik dan penyelesaian numerik pada persamaan gelombang. Sehingga, peneliti dapat mengetahui hasil dari solusi masalah tersebut. Berdasarkan latar belakang penulis tertarik untuk melakukan penelitian dengan judul Perbandingan Penyelesaian Analitik dan Numerik dengan Metode Beda Hingga pada Persamaan Gelombang. 3
B. Identifikasi Masalah Dari latar belakang, dapat diidentifikasikan beberapa masalah sebagai berikut 1. Penyelesaian masalah fisika terlebih dahulu harus dimodelkan secara matematis hingga mendapat suatu persamaan secara matematis. 2. Persamaan matematis dari masalah fisika mayoritas berupa persamaan diferensial parsial. 3. Penyelesaian persamaan diferensial parsial dapat diperoleh secara analitik, namun langkah-langkah yang cukup rumit dapat menjadi hambatan. 4. Penyelesaian analitik yang berupa fungsi matematika masih harus dihitung lagi untuk mendapatkan hasil akhir. 5. Terdapat beberapa metode numerik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan dari permasalahan fisika tersebut namun dengan langkah-langkah yang cukup panjang juga. C. Batasan Masalah Beberapa asumsi permasalahan yang perlu diperhatikan dalam tugas akhir ini, sebagai beriku. 1. Persamaan gelombang dimensi satu pada getaran dawai. 2. Persamaan gelombang yang akan dibahas adalah persamaan gelombang dimensi satu. 3. Penyelesaian persamaan gelombang secara analitik dan numerik hanya mengambil satu syarat batas yaitu diriclet. 4. Skema yang digunakan dalam metode beda hingga adalah skema eksplisit. 4
D. Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang yang dijelaskan di atas, diperoleh rumusan masalah sebagai berikut. 1. Bagaimana model matematika persamaan gelombang dalam dimensi satu?. 2. Bagaimana penyelesaian analitik pada persamaan gelombang dalam dimensi satu?. 3. Bagaimana penyelesaian numerik dengan metode beda hingga pada persamaan gelombang dalam dimensi satu?. 4. Bagaimana perbandingan penyelesaian analitik dan penyelesaian numerik pada persamaan gelombang?. E. Tujuan Penulisan Berdasarkan rumusan masalah di atas, tujuan penulisan tugas akhir ini adalah sebagai berikut. 1. Menjelaskan model matematika persamaan gelombang dalam dimensi satu. 2. Menyelesaikan persamaan gelombang dimensi satu secara analitik menggunakan metode separasi variabel. 3. Menyelesaikan persamaan gelombang dimensi satu secara numerik menggunakan metode beda hingga. 4. Mengetahui hasil perbandingan dari penyelesaian analitik dan penyelesaian numerik pada persamaan gelombang dimensi satu. F. Manfaat Penulisan Berdasarkan tujuan penelitian yang hendak dicapai, maka penelitian ini diharapkan mempunyai manfaat atau kegunaan sebagai berikut: 5
1. Bagi Mahasiswa a) Menambah pengetahuan tentang model matematika persamaan gelombang dimensi satu. b) Dapat menyelesaiakan persamaan gelombang dimensi satu secara analitik dengan metode separasi variabel. c) Dapat menyelesaikan persamaan gelombang dimensi satu secara numerik dengan metode beda hingga. d) Menambah pengetahuan tentang bagaimana perbandingan dari penyelesaian analitik dan penyelesaian numerik dalam menyelesaikan persamaan gelombang dimensi satu. 2. Bagi Universitas Hasil penelitian ini diharapkan dapat menambah bahan refrensi yang bermanfaat bagi Universitas Negeri Yogyakarta, khususnya pada jurusan Pendidikan Matematika. 3. Bagi Pembaca Hasil penelitian ini diharapkan dapat digunakan sebagai bahan acuan dalam penelitian persamaan gelombang dimensi satu. 6