BAB III MODEL KAPLAN Pada bab ini akan dipaparkan model Kaplan secara terperinci sebelum memodifikasinya menjadi model yang lebih realistis pada bab selanjutnya. Kaplan memberikan suatu model deterministik untuk penyebaran HIV dan AIDS diantara pengguna narkoba dengan jarum suntik. 3.1 Model Kaplan Kaplan mengasumsikan bahwa populasi dimana penyebaran HIV/AIDS terjadi adalah sebesar n orang, dengan n berukuran besar. Populasi tersebut dianggap homogen dan narkoba hanya disuntikkan di galeri-galeri suntik. Suatu galeri suntik adalah sebuah tempat dimana para pengguna narkoba berkumpul untuk berbagi alat suntik narkoba. Kaplan membuat beberapa asumsi sebagai berikut: 1. Semua pertukaran alat suntik narkoba hanya terjadi di galeri-galeri suntik. Di dalam model, suatu galeri suntik didefinisikan sebagai sebuah lokasi dimana para pecandu secara rutin menyewa alat suntik narkoba yang sama. Terdapat m buah galeri suntik dan para pecandu memilih galeri suntik secara acak. Semua pecandu menyuntik satu kali per kunjungan ke galeri suntik. 8
2. Setiap pecandu mengunjungi galeri-galeri suntik berdasarkan Proses Poisson dengan laju kedatangan sebesar λ kali per hari dan kedatangan para pecandu saling bebas satu sama lain. 3. Peralatan menyuntik akan tercemar jika digunakan oleh pecandu yang terinfeksi. Ketika alat suntik yang tercemar digunakan oleh pecandu yang tidak terinfeksi, proses penyuntikan tersebut akan membilas alat suntik (membersihkan alat suntik dari darah yang terinfeksi) dengan peluang sebesar θ. Setiap pecandu yang tidak terinfeksi yang menggunakan alat suntik yang tercemar akan dianggap exposed terhadap HIV. 4. Pecandu yang exposed terhadap HIV akan menjadi terinfeksi dengan peluang sebesar α. Berbagi alat suntik adalah satu-satunya cara pecandu menjadi terinfeksi HIV. 5. Populasi pecandu dianggap konstan sebesar n. Pecandu yang terinfeksi yang lepas dari populasi (misalkan karena kematian atau perpindahan) akan segera tergantikan oleh pecandu yang susceptible. Dengan kata lain, laju kematian dan kelahiran pecandu dianggap sama sebesar μ. 6. Perubahan proporsi pecandu yang terinfeksi pada saat t dianggap cukup kecil sehingga dapat diabaikan. Asumsi 1 dan 2 menunjukkan bahwa populasi pecandu homogen dan para pecandu menyuntikkan narkoba di galeri suntik dengan laju sebesar λ. Asumsi 3 berarti bahwa alat suntik menjadi tercemar ketika digunakan oleh pecandu yang terinfeksi. Pecandu yang tidak terinfeksi mungkin membersihkan darah yang terinfeksi dari jarum yang tercemar ketika menggunakan alat tersebut. Oleh karena itu, pecandu yang tidak terinfeksi beresiko menjadi exposed terhadap HIV sekaligus membersihkan alat suntik untuk pemakai yang berikutnya. Asumsi 5 dan 6 memungkinkan untuk membangun suatu model persamaan diferensial. Berdasarkan asumsi-asumsi tersebut, Kaplan mengkonstruksi model penyebaran HIV pada komunitas pecandu. Misalkan π () t menyatakan fraksi dari populasi 9
yang akan terinfeksi oleh HIV pada saat t, dan misalkan β () t menyatakan peluang bahwa seorang pecandu yang mengunjungi suatu galeri suntik pada saat t akan menjadi exposed terhadap HIV karena menggunakan alat suntik yang tercemar. Dengan mendefinisikan rasio galeri γ = n, diperoleh model berupa m persamaan diferensial yang menggambarkan penyebaran dari penyakit tersebut: dβ = λγπ () t λγβ ()1 t { [ 1 π () t ]( 1 θ )}, dt dπ = [ 1 π( t) ] λβ( t) α π( t) μ. dt (3.1) Bagian pertama dari persamaan 3.1 menunjukkan laju perubahan peluang yang menunjukkan seorang pecandu yang mengunjungi suatu galeri suntik menjadi exposed terhadap HIV karena menggunakan alat suntik yang tercemar per satuan waktu, sedangkan bagian kedua menunjukkan laju perubahan fraksi dari populasi yang akan terinfeksi oleh HIV per satuan waktu. 3.2 Titik Kesetimbangan dan Syarat Kestabilan Dari persamaan 3.1, akan dicari titik-titik kesetimbangan dan syarat kestabilan dari titik-titik tersebut. 3.2.1 Titik Kesetimbangan Model 3.1 memiliki dua titik kesetimbangan, yaitu E ( π β ) = =, = dan μθ μθ E 1 = π =, β = + μ μθ. Titik kesetimbangan E terjadi pada saat seluruh pecandu tidak ada yang terinfeksi, disebut titik kesetimbangan bebas penyakit. 1
Titik kesetimbangan E 1 terjadi ketika terdapat pecandu yang exposed terhadap HIV dan pecandu yang terinfeksi HIV. Eksistensi titik kesetimbangan E 1 adalah pada saat π > dan β >. Pandang penyebut dari π, yaitu μ μθ μ( 1 θ) + = +. Karena θ adalah peluang sehingga < θ < 1, maka + μ μθ >. Oleh karena itu, π > diperoleh jika dan hanya jika μθ >. Begitu juga dengan β > diperoleh jika dan hanya jika pembilangnya positif atau μθ >. Jadi, syarat eksistensi dari titik kesetimbangan E 1 adalah 1 μθ >. Dari syarat eksistensi E 1, diperoleh nilai Basic Reproduction Ratio dari model Kaplan, yaitu R = μθ Interpretasi biologis R adalah bahwa dengan masuknya satu pecandu yang terinfeksi ke dalam populasi pecandu yang susceptible dan populasi jarum suntik yang tidak tercemar akan menyebabkan kurang lebih R kasus baru infeksi HIV pada populasi tersebut. 3.2.2 Syarat Kestabilan Syarat kestabilan diperoleh dengan cara pelinieran di sekitar titik titik kesetimbangannya. Pelinieran mula-mula dilakukan dengan cara mencari matriks Jacobi dari persamaan 3.1 pada titik kesetimbangannya kemudian diperoleh persamaan karakteristiknya. Berdasarkan titik kesetimbangan model, syarat kestabilan terbagi menjadi dua, yaitu: 1. Kestabilan pada Titik Kesetimbangan Non Endemik (Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit) 11
Matriks Jacobi dari persamaan 3.1 terhadap waktu di titik kesetimbangan bebas penyakit E ( π β ) = =, = adalah λγθ λγ μ Persamaan karakteristik dari matriks Jacobi di titik kesetimbangan bebas penyakit adalah 2 as + bs + c, dengan (3.2) Model akan stabil apabila nilai eigen dari persamaan karakteristiknya bernilai negatif. Dari persamaan 3.2 terlihat bahwa a > dan b >, maka agar nilai eigennya bernilai negatif haruslah c >. c > diperoleh jika R < 1 dengan R = μθ Maka dapat diketahui bahwa titik kesetimbangan bebas penyakit dari persamaan 3.1 akan stabil asimtotik lokal jika dan hanya jika R < 1 dan tidak stabil untuk R > 1 a = 1, b = μ+ λγθ, c = λγ θμ ( ). 2. Kestabilan pada Titik Kesetimbangan Endemik Titik kesetimbangan endemiknya, yaitu E μθ 1 π, β μθ = = = + μ μθ dengan Matriks Jacobinya di titik tersebut adalah ( μθ )( 1 θ ) μθ λγ 1+ 1 ( 1 θ ) λγ 1 + μ μθ μθ 1 μ + μθ + μ μθ Persamaan karakteristik dari matrik Jacobi di titik kesetimbangan endemik adalah 2 ps + qs+ r, dengan 12
p = 1, + 2 2 + 2 + + q = + μ μθ 3 2 2 2 2 2 2 λ γα + λ γαμ 2λ γαμθ λγθμ + λγθ μ r =. + μ μθ 2 2 2 2 2 2 2 λ α μ μθ μ μ θ μ θ λ γα Selanjutnya dengan aturan Descartes akan ditentukan apakah akar dari polinom tersebut bernilai negatif. Dengan mensubstitusikan s = s ke dalam persamaan karakteristiknya, maka diperoleh persamaan koefisien-koefisien ˆp = p, ˆq = q, dan ˆr = r sehingga, 2 ˆ ˆ ˆ ps + qs+ r dengan pˆ = 1, 2 2 2 2 2 2 2 λ α μ μθ μ μ θ μ θ λ γα + 2 2 + 2 + + qˆ =, + μ μθ 3 2 2 2 2 2 2 λ γα + λ γαμ 2λ γαμθ λγθμ + λγθ μ rˆ =. + μ μθ (3.3) Agar memenuhi syarat akar-akar real negatif menurut aturan Descartes, maka haruslah terdapat dua kali pergantian tanda dari koefisien ˆp ke ˆq, dan dari ˆq ke ˆr. Dari persamaan 3.3 diketahui bahwa p ˆ > dan q ˆ <, maka aturan untuk akar-akar real negatif Descartes akan terpenuhi jika r ˆ > atau ( μθ ) λγ >. ( μθ ) λγ > jika dan hanya jika R > 1 dengan R = μθ Maka kestabilan titik kesetimbangan endemik persamaan 3.1 akan stabil asimtotik lokal jika dan hanya jika R > 1. 13