1 Sistem Koordinat Polar

1 Sistem Koordinat olar ada kuliah sebelumna, kita selalu menggunakan sistem koordinat Kartesius untuk menggambarkan lintasan partikel ang bergerak. Koordinat Kartesius mudah digunakan saat menggambarkan gerak linear partikel, namun sedikit merepotkan saat digunakan untuk meninjau gerak melingkar 1. osisi suatu titik (misal ) dalam koordinat polar dinatakan oleh notasi (r, θ), dengan r menatakan jarak partikel dari suatu titik acuan (titik asal/origin, misal disebut ) dan θ menatakan sudut antara suatu sumbu acuan ang melalui dan garis ang menghubungkan dengan. Vektor satuan untuk koordinat polar kita simbolkan dengan {ˆr, ˆθ}. Gambaran untuk r, θ, ˆr, dan ˆθ diberikan oleh gambar berikut (gambar kiri). ^θ ^r Gambar 1: Kiri: besaran-besaran dalam koordinat polar. Kanan: uraian vektor-vektor satuan koordinat polar ke komponen-komponenna (warna hijau). Vektor posisi titik dinatakan dengan simbol r dan digambarkan dengan panah warna biru. anjang vektor tersebut adalah r. Sudut θ adalah sudut ang dibentuk oleh vektor r terhadap sumbu- positif. Hal ang menarik dari koordinat polar adalah arah vektor-vektor satuan ˆr dan ˆθ selalu berubah mengikuti posisi titik. Arah vektor ˆr sama dengan vektor r, sedangkan arah ˆθ tegaklurus ˆr dan searah dengan arah bukaan 2 sudut θ. osisi dari titik, dapat dinatakan sebagai r = r = rˆr. (1) Hubungan antara koordinat polar dan Kartesius dapat diperoleh dengan menerapkan trigonometri untuk sudut θ. Hasilna, = r cos θ dan = r sin θ. (2) Vektor-vektor satuan ˆr dan ˆθ juga dapat diuraikan dalam vektor-vektor satuan koordinat Kartesius î dan ĵ sebagai berikut (perhatikan gambar kanan dan ingat ˆr = 1), Latihan: buktikan dˆr = ˆθ dan dˆθ = ˆr. ˆr = cos θ î + sin θ ĵ dan ˆθ = sin θ î + cos θ ĵ. (3) 2 osisi, kecepatan, dan percepatan gerak melingkar Anggaplah suatu partikel ang mula-mula berada di titik lalu bergerak melingkar mengikuti lintasan berwarna ungu pada gambar 2. osisi partikel tersebut akan berubah terhadap waktu. Jika jari-jari lintasan partikel selalu tetap, maka besaran ang berubah dari posisi partikel adalah tersebut adalah θ, sedangkan r nilaina tetap. Karena vektor-vektor satuan bergantung pada θ (lihat persamaan 3), maka selama partikel bergerak arah vektor-vektor satuan ˆr dan ˆθ selalu berubah, atau merupakan fungsi dari waktu t. 1 Walaupun tentu saja, kejadian fisis ang terjadi tidak bergantung sistem koordinat. Benda ang ang bergerak melingkar tetap akan bergerak melingkar, baik dilihat melalui sistem koordinat polar maupun Kartesius 2 ini bukan istilah standar update: 15 September 2016 halaman 1

v r Gambar 2: artikel bergerak melingkar mengikuti lintasan berbentuk lingkaran. Sesuai persamaan (1), posisi partikel adalah r(t) = rˆr(t). (4) Kecepatan partikel adalah turunan pertama dari posisi terhadap waktu, sehingga diperoleh v(t) d r(t) = dr 0 ˆr(t) + r dˆr(t) = r dˆr(t) ˆθ ω = rωˆθ, (5) dengan ω disebut kecepatan sudut. Karena arah ˆθ tegaklurus ˆr, dan ˆr searah dengan jari-jari lingkaran, maka arah ˆθ sejajar dengan garis singgung lingkaran ungu. Dengan demikian, kecepatan v merupakan kecepatan tangensial partikel. Jika nilai kecepatan sudut ω konstan, maka nilai dari laju tangensial juga konstan. Untuk menentukan percepatan, kita turukan kembali kecepatan v(t) terhadap t, diperoleh a d v(t) = dr ωˆθ + r dω α ˆθ + rω dˆθ ˆr ω = rαˆθ rω 2ˆr, (6) dengan α dω disebut percepatan sudut. Suku pertama dari percepatan tersebut (aitu rα) disebut sebagai percepatan tangensial, karena arahna searah dengan ˆθ, dan nilaina bergantung pada percepatan sudut. Jika partikel bergerak dengan kecepatan sudut konstan, maka diperoleh a = rω 2ˆr = v2 r ˆr (ingat persamaan 5). ercepatan ini disebut sebagai percepatan sentripetal, ang arahna menuju pusat lintasan partikel. Nilai percepatan sentripetal bergantung hana pada ω (dan tentu saja r), sehingga partikel ang bergerak melingkar selalu memiliki percepatan jenis ini. Sehingga, kita dapat katakan percepatan sentripetal sebagai percepatan ang menebabkan suatu benda bergerak melingkar. Jika suatu partikel memiliki kedua komponen percepatan (tangensial dan sentripetal), maka besar percepatan partikel tersebut adalah a = a 2 tangensial + a2 sentripetal (7) 3 Kinematika gerak melingkar Secara umum, persamaan kinematika untuk gerak melingkar memiliki bentuk ang serupa dengan pada gerak linear. Kita dapat menuliskan, θ = θ 0 + ω 0 t + 1 2 αt2, (8) ω 2 t = ω 2 0 + aαθ. (9) Untuk mendapatkan hubungan antara besaran-besaran sudut dengan linear, perhatikan gambar 3. Misalkan mulaupdate: 15 September 2016 halaman 2

d Q r ds Gambar 3: Hubungan antara besaran-besaran sudut dengan linear pada gerak melingkar. Mula-mula partikel berada pada titik dan sesaat kemudian berpindah ke Q. anjang lintasan ang ditempuh oleh partikel adalah ds dan sudut ang dibentuk oleh vektor posisi kedua titik tersebut adalah. mula (saat t = t 0 ) partikel berada pada titik, dan sesaat kemudian (t = t 0 + ) partikel berpindah ke titik Q. anjang lintasan ang ditempuh oleh partikel adalah ds dan sudut ang dibentuk oleh vektor posisi pada kedua saat tersebut adalah. Untuk selang waktu ang sangat singkat Q dapat dianggap sebagai segitiga siku-siku dengan sudut siku-siku di titik. Dari hubungan trigonometri, diperoleh tan() = ds/r. Karena sudut sangat kecil, berlaku tan(), sehingga diperoleh = ds/r, atau ds = r. (10) Kecepatan dan percepatan diperoleh dengan menurunkan jarak tersebut terhadap waktu, v ds = r = rω (11) a dv = r dω = rα. (12) Sekali lagi, kita peroleh hasil ang sama dengan pada persamaan (5) dan (6). Namun, perlu diingat bahwa ds adalah perpindahan partikel pada arah tangensial (meninggung lingkaran), sehingga turunan-turunanna juga merupakan besaran tangensial (kecepatan tangensial dan percepatan tangensial). erlihat bahwa nilai percepatan tangensial bergantung pada α dω. Sehingga untuk gerak melingkar dengan kecepatan sudut ω konstan, percepatan tangensial bernilai nol di seluruh bagian lintasan (baik di titik, Q, maupun lainna). Untuk gerak dengan kecepatan sudut konstan, besar dari laju tangensial juga konstan, namun arahna selalu berubah (aitu selalu meninggung lingkaran). ada besaran vektor, perubahan vektor dapat terjadi karena berubahna besar, arah, maupun keduana. Karena kecepatan tangensial selalu mengalami perubahan arah, maka dikatakan bahwa kecepatan tangensial selalu mengalami perubahan. Sebelumna, telah kita ketahui bahwa perubahan kecepatan tiap satuan waktu disebut sebagai percepatan. Sehingga, kita simpulkan bahwa benda ang bergerak melingkar dengan kecepatan sudut konstan juga mengalami percepatan, dan percepatan tersebut haruslah selain percepatan tangensial. Mari kita namai percepatan tersebut (ang mengubah arah kecepatan tangensial benda ang bergerak melingkar) sebagai percepatan sentripetal. Untuk mendapatkan percepatan sentripetal, kita perlu meninjau perubahan kecepatan tangensial saat di titik Q bila dibandingkan dengan saat di titik. Untuk keperluan ini, mula-mula kita tinjau gerak melingkar dengan laju konstan dan menggambarkan vektor kecepatan di kedua titik seperti pada gambar 4 (gambar kiri). Selisih kedua vektor kecepatan dituliskan sebagai v = v Q v (gambar kanan). erlihat bahwa segitiga ang dibentuk oleh vektor-vektor posisi (aitu r, r Q, dan r) dan vektor-vektor kecepatan ( v, v Q, dan v) kongruen. erbandingan sisi-sisi kedua segitiga memberikan r r Sehingga kita dapat menentukan percepatan, = v v atau v = v r. (13) r a v t = v r = v2 r t r. (14) v update: 15 September 2016 halaman 3

Arah dari percepatan sentripetal ditentukan oleh arah vektor v. Dari gambar, terlihat bahwa arah v adalah menuju pusat putaran. elah kita dapatkan besar dan arah percepatan sentripetal seperti pada bagian sebelumna. Δ v Dq r Q Q r r v Q Δθ Q Δθ r Q Gambar 4: Kiri: gambaran vektor-vektor posisi dan kecepatan benda saat berada pada titik dan Q. Kanan: jika titik dan Q dibuat berhimpit, maka segitiga ang dibentuk oleh vektor-vektor posisi dan perubahanna ( r, r Q, r) serta vektor-vektor kecepatan dan perubahanna ( v, v Q, v) adalah dua segitiga ang kongruen. erhatikan pula bahwa arah v berkebalikan dengan r. 4 Gaa Sentripetal Secara sederhana, gaa sentripetal adalah gaa-gaa ang menghasilkan percepatan sentripetal. Karena arah percepatan sentripetal adalah radial, maka gaa sentripetal adalah jumlah semua komponen gaa ang bekerja pada pada arah radial. Contoh ang cukup sederhana, ketika sebuah benda diikat oleh tali kemudian diputar hingga membentuk lintasan lingkaran pada bidang horizontal, tegangan tali (ang arahna menuju pusat putaran) berperan sebagai gaa sentripetal. Sehingga pada arah radial berlaku F = masentripetal = mv 2 /r. (15) Gambar 5: Benda diikat tali dan berputar dalam lintasan lingkaran ang berada pada bidang horizontal. Anak panah merah menunjukkan arah putaran benda. Contoh berikutna, jika lingkaran ang dilintasi benda terikat tali tersebut berada pada bidang vertikal. Ketika benda berada di posisi tertinggina, maka benda mengalami gaa tegangan tali (kita sebut ) dan gaa berat (mg) ke bawah (menuju pusat putaran), maka saat itu gaa sentripetal ang bekerja pada benda adalah jumlahan kedua gaa tersebut. Sehingga pada arah radial berlaku, F = masentripetal + mg = mv 2 /r (16) Kemudian ketika benda berada di titik terendahna, arah tegangan tali adalah ke atas (menuju pusat putaran) dan gaa berat ke bawah (menjauhi titik pusat putaran), sehingga gaa sentripetal ang dialami benda adalah mg, F = masentripetal mg = mv 2 /r (17) update: 15 September 2016 halaman 4

mg mg Gambar 6: Benda diikat tali dan berputar dalam lintasan lingkaran ang berada pada bidang vertikal. Gambar kiri menunjukkan diagram benda bebas saat benda berada di titik tertinggi lintasan, sedangkan kanan saat benda berada pada titik terendahna. Anak panah merah menunjukkan arah putaran benda. Contoh soal: 1. Suatu benda bermassa m tergantung pada sebuah tali ringan sepanjang L. Ujung tali ditambatkan ke titik dan benda diputar sehingga membentuk aunan kerucut seperti pada gambar. entukan hubungan antara sudut θ dengan laju sudut (ω) terhadap sumbu vertikal ang melalui. q L Jawab: Benda mengalami gerak melingkar dengan pusat putaran ada di titik, aitu titik pada bidang lingkaran ang tepat berada di bawah titik. Jari-jari lintasan benda adalah r = L sin θ. Selain itu, pada arah vertikal benda berada pada kondisi setimbang. Diagram benda bebas untuk benda adalah sebagai berikut q cosq q sinq mg egangan tali ang mengarah radial berperan sebagai gaa sentripetal, sehingga sin θ = mω 2 r = mω 2 L. (18) Sedangkan pada arah vertikal benda mengalami kesetimbangan, cos θ = mg. (19) update: 15 September 2016 halaman 5

Dari kedua persamaan tersebut diperoleh cos θ = g ω 2 L. (20) erlihat bahwa jika ω membesar maka sudut θ juga membesar. 2. ada gambar berikut, benda m 1 dan m 2 dihubungkan menggunakan tali 1, kemudian benda m 2 dihubungkan ke suatu titik ang berperan sebagai pusat putaran menggunakan tali 2. Anggap kedua tali identik (kekuatan dan panjangna sama). Sistem kemudian diputar pada bidang vertikal dengan posisi kedua benda dan pusat putaran dijaga selalu segaris. ada titik tertinggi, diketahui m 2 bergerak dengan kecepatan v. (a) entukan tegangan tiap tali. (b) Jika putaran dibuat semakin cepat, tali manakah ang akan putus lebih dulu? [Serwa, 2010] Jawab: Gaa sentripetal ang bekerja pada tiap benda saat berada di posisi tertinggi adalah 1 + m 1 g = m 1 v 2 1/(2l) (21) 2 + m 2 g 1 = m 2 v 2 2/(l). (22) Karena posisi kedua benda dan pusat putaran selalu segaris, maka laju sudut kedua benda bernilai sama, ω = v 1 2l = v 2 l. (23) Karena v 2 = v, maka v 1 = 2v. Substitusikan nilai kecepatan masing-masing benda ke persamaan 21 dan 22 menghasilkan Dari kedua persamaan diperoleh atau 1 + m 1 g = 2m 1 v 2 /(l) (24) 2 + m 2 g 1 = m 2 v 2 /(l). (25) 1 = 2m 1 v 2 /l m 1 g (26) 2 = (2m 1 + m 2 ) v 2 /l (m 1 + m 2 )g. (27) 2 1 = m 2 ( v 2 /l g ). (28) Jika v cukup besar, maka 2 1 > 0 atau 2 > 1. Sehingga tali kedua akan putus terlebih dahulu. update: 15 September 2016 halaman 6