PENERAPAN ALGORITMA GENETIKA DALAM PENYELESAIAN TRAVELLING SALESMAN PROBLEM WITH PRECEDENCE CONSTRAINTS (TSPPC)

PENERAPAN ALGORITMA GENETIKA DALAM PENYELESAIAN TRAVELLING SALESMAN PROBLEM WITH PRECEDENCE CONSTRAINTS (TSPPC) Yayun Hardianti 1, Purwanto 2 Universitas Negeri Malang E-mail: yayunimoet@gmail.com ABSTRAK: Travelling Salesam Problem (TSP) merupakan permasalahan seorang sales yang harus mengunjungi beberapa kota dan harus melalui setiap kota tersebut tepat satu kali dan kembali lagi ke kota awal dengan jarak tempuh dan biaya minimal. Permasalahn TSP selama ini hanya melihat jarak antara depot dengan pelanggan, tetapi pada kenyataanya permasalahan TSP tidak hanya pada jarak, tetapi juga adanya urutan titik yang harus dikunjungi terlebih dahulu sebelum titik yang lain. Untuk memecahkan masalah tersebut TSP dikembangkan menjadi TSPPC atau Travelling Salesman Problem with Precedence Constraints. TSPPC merupakan permasalahan untuk mencari perjalanan terpendek melalui semua titik dan tiap titik dilewati tepat satu kali dengan tambahan kendala precedence constraints. TSPPC dapat dimodelkan dalam bentuk graph network. Dengan titik sebagai kota dan sisi berarah sebagai precedence relation. Salah satu metode yang digunakan dalam menyelesaiakan TSPPC adalah dengan menggunakan algoritma genetika yang digabungkan dengan konsep topological sort dalam menentukan lintasan yang fisibel.tahapan penyelesaian TSPPC dengan algoritma genetika yaitu: tahap inisialisasi (pembentukan populasi awal), tahap perhitungan nilai fitnes, tahap pemilihan (seleksi) dengan Roullete Wheel, tahap pindah silang dengan moon crossover, dan tahap mutasi (swapping mutation). Topological sort adalah teknik mengurutkan titik-titik pada graph berarah, sedemikian sehingga jika terdapat lintasan dari v i ke v j maka v j dilalui setelah v i. Untuk memudahkan dalam mencari penyelesaian TSPPC terutama saat harus mengunjungi banyak kota, algoritma genetika diimplementasikan dalam bahasa pemrograman Borland Delphi 7. Dari hasil analisis didapat bahwa algoritma genetika yang digabungkan dengan konsep topological sort mampu manghasilkan lebih dari satu alternative solusi untuk TSPPC. Kata Kunci: Algoritma Genetika, Travelling Salesma Problem With Precedence Constraints (TSPPC) Terapan pada teori graph sering digunakan dalam bidang pendistribusian. Dalam aplikasi dunia usaha, distribusi merupakan proses yang sangat berpengaruh pada keberlangsungan suatu usaha. Dengan pengoptimalan biaya distribusi dapat menambah keuntungan bagi perusahaan. Pengoptimalan biaya distribusi dapat dilakukan dengan mencari jalur-jalur distribusi yang paling efisien. Karena dengan diperolehnya rute-rute yang optimal dapat meminimasi biaya distribusi. Salah satu metode untuk mencari rute terpendek dalam pendistribusian adalah Travelling Salesmen Problem (TSP). Definisi dari traveling salesman problem adalah sebagai 1. Yayun Hardianti adalah mahasiswa jurusan matematika FMIPA Universitas Negeri Malang 2. Purwanto adalah dosen jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Malang

suatu permasalahan untuk menemukan sikel Hamilton pada graph komplit berbobot yang memiliki total bobot sisi minimum. Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan TSP adalah dengan menggunakan algoritma genetika. Menurut Kusumadewi (2003:278), Algoritma genetika merupakan metode yang adaptif yang biasa digunakan untuk memecahkan suatu pencarian nilai dalam suatu masalah optimasi. Algoritma ini bekerja dengan suatu populasi yang terdiri dari individu-individu, yang masing-masing individu mempresentasikan suatu solusi yang mungkin bagi persoalan yang ada. Dalam kaitan ini, individu dilambangkan dengan suatu nilai fitness yang akan digunakan untuk mencari solusi terbaik dari persoalan yang ada. Permasalahan Travelling Salesman Problem (TSP) yang telah dibahas dalam skripsi-skripsi sebelumnya hanya memperhatikan kendala jarak waktu Akan tetapi pada kenyataanya permasalahan Travelling Salesman Problem (TSP) tidak hanya pada jarak dan waktu saja, tetapi juga adanya kendala urutan kota atau depot yang harus dikunjungi terlebih dahulu sebelum kota atau depot yang lain. Untuk menangani permasalahan Travelling Salesman Problem TSP dengan tambahan kendala urutan titik TSP dikembangkan menjadi Travelling Salesman Problem With Precedence Constraints (TSPPC). Moon dkk. dalam jurnalnya yang berjudul An Efficient Genetic Algorithm for the Travelling Salesman Problem with Precedence Constraints menggunakan algoritma genetika yang digabungkan dengan konsep topological sort untuk menyelesaikan permasalahan Travelling Salesman Problem with Precedence Constraints (TSPPC). PEMBAHASAN Definisi Travelling Salesman Problem With Precedence Constraints (TSPPC) Travelling Salesman Problem with Precedence Constraints merupakan permasalahan untuk mencari perjalanan terpendek melalui semua titik dan tiap titik dilewati tepat satu kali dengan tambahan kendala yaitu adanya urutan titik yang harus dikunjungi terlebih dahulu (precedence constraints). Permasalahan TSPPC dapat dimodelkan dalam bentuk network, dengan titik sebagai kota dan sisi berarah sebagai precedence relation. TSPPC Pada TSPPC diketahui himpunan titik-titik dan waktu perpindahan antar titik dan permasalahannya adalah menemukan suatu perjalanan yang melewati setiap titik-titik tersebut tepat satu kali tanpa harus kembali ke titik awal dengan panjang minimal dengan menempatkan precedence constraints yang diberikan ke dalam perhitungan. Pada TSPPC diberikan suatu urutan kota-kota dan kota-kota tersebut dikunjungi hanya dalam urutan yang ditentukan. Perhatikan Gambar 1, misal dari titik v 1 ke titik v 2 terdapat precedence relation (hubungan urutan titik) yang digambarkan sebagai sisi berarah dari titik v 1 ke titik v 2, maka titik v 1 harus dikunjungi terlebih dahulu sebelum titik v 2, v 1 v 2 Gambar 1. Contoh Graph dengan Precedence Relation

Algoritma Genetika untuk Penyelesaian Travelling Salesman Problem With Precedence Constraints (TSPPC) Langkah-langkah dalam mencari penyelesaian masalah Travelling Salesman Problem With Precedence Constraints (TSPPC) dengan menggunakan algoritma genetika tersebut adalah sebagai berikut: a. Penentuan Parameter Genetika Jumlah populasi (pop_size) merupakan angka yang menunjukkan jumlah kromosom. Jumlah generasi (max_gen) merupakan angka yang menunjukkan jumlah generasi yang diproses Probabilitas crossover (Pc) menunjukkan kemungkinan kromosom dalam satu populasi untuk melakukan pindah silang. Probabilias mutasi (Pm) digunakan untuk menunjukkan kemungkinan banyak gen yang akan mengalami mutasi b. Tahap Inisialisasi (Pembentukan Populasi Awal) Teknik pengkodean yang digunakan pada TSPPC adalah konsep pengkodean dengan bilangan bulat. Pada pengkodean ini setiap struktur kromosom merupakan sebuah string bilangan bulat dari 1 sampai banyaknya titik. Misalkan pada tiap kromosom berisi 7 gen, maka pengkodean gen pada kromosom diperlihatkan pada Tabel 3.1 berikut: Tabel 1. Pengkodean Bilangan Bulat dengan Tujuh Titik Titik v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 Prioritas 5 1 7 2 4 6 3 Dari kromosom yang ditunjukkan dengan string bilangan bulat dari 1 sampai banyaknya titik dapat dibuat lintasan fisibel dengan menggunakan topological sort. Topological sort adalah teknik mengurutkan titik-titik pada graph berarah, sedemikian sehingga jika terdapat lintasan dari v i ke v j maka v j dilalui setelah v i. Perhatikan Tabel 1 baris kedua merupakan prioritas titik ketika ada lebih dari satu titik tanpa sisi masuk akan dipilih saat pencarian lintasan dengan topological sort. Dan algoritma pencarian lintasan fisibel dengan topological sort adalah sebagai berikut: 1. Pilih titik yang tidak mempunyai sisi masuk. Jika semua titik mempunyai sisi masuk maka proses berhenti. Jika ada satu titik yang tidak mempunyai sisi masuk, maka pilih titik tersebut. Jika ada lebih dari satu titik yang tidak mempunyai sisi masuk, maka pilih titik yang mempunyai prioritas lebih besar. Prioritas titik dapat diketahui dari kromosom. 2. Inputkan titik yang terpilih pada lintasan 3. Hapus sisi yang terkait dengan titik tersebut. 4. Ulangi langkah 1,2,3 hingga terbentuk lintasan yang melewati setiap titik tepat satu kali (Moon, dkk, 2001).

c. Tahap Perhitungan Nilai Fitnes Setelah diperoleh lintasan yang fisibel, tahap selanjutnya adalah perhitungan nilai fitness. Nilai fitnes dari masing-masing lintasan ditentukan dengan fungsi fitnes yaitu: dengan merupakan waktu perpindahan dari titik i ke titik j dan 0,1,, dengan ketentuan 1, 0, d. Pemilihan (Seleksi) Metode pemilihan yang digunakan adalah Seleksi Roda Roullete. Cara kerja metode ini adalah sebagai berikut: 1. Menghitung fitness relative masing-masing kromosom. Rumus untuk menentukan fitness relative kromosom ke-k adalah fitness kromosom ke-k dibagi dengan total fitness. 2. Menghitung fitness kumulatif q[k], dengan ketentuan Untuk k = 1 maka q[1] = p[1] Untuk k 1 maka q[k] = p[k-1] +p[k] 3. Memilih kromosom yang akan direkomendasikan untuk ikut serta dalam tahap selanjutnya dengan cara: Membangkitkan bilangan random r sebanyak pop_size. Menentukan populasi baru yang terbentuk, dengan ketentuan jika bilangan acak r[k] kurang dari suatu fitnes kumulatif q[k}, maka kromosom ke-k diganti dengan kromosom yang mempunyai nilai fitnes kumulatif q[k ] tersebut. Misal r[1] kurang dari q[3] maka kromosom K[1] diganti dengan kromosom K[3] pada populasi awal. e. Pindah Silang Titik (Crossover) Proses rekombinasi pindah silang atau crossover adalah menyilangkan dua kromosom sehingga membentuk kromosom baru yang harapannya lebih baik daripada kromosom sebelumnya. Tidak semua kromosom pada suatu himpunan akan mengalami proses rekombinasi. Kemungkinan suatu kromosom akan akan mengalami proses pindah silang didasarkan pada probabilitas pindah silang yang telah ditemukan terlebih dahulu. Probablitas crossover dapat menyatakan banyaknya kromosom yang akan dilakukan crossover. Teknik pindah silang yang digunakan adalah moon crossover.. Contoh proses moon crossover diilustrasikan pada Gambar 32. Anggap dua kromosom yang akan dipindahsilangkan adalah p a = [5 1 7 2 4 6 3] dan p b = [3 6 1 4 2 5 7]. Pertama,

pilih substring dari p a secara acak. Pada contoh ini, substring yang terpilih sebagai osp = [7 2]. Kemudian diperoleh sub_p b = [3 6 1 4 5] dari p b. Selanjutnya, g 2 = 1 dan q 1 = 3 karena i 3-1 dan k 0+1. Offspring menjadi osp = [1 7 2 3]. Dengan cara yang sama, tambahkan g 1 dan q 2, dan Offspring menjadi osp = [5 1 7 2 3 6]. Selanjutnya adalah g 7 = 3 dan q 3 =1 titik-titik tersebut sudah muncul pada offspring sehingga tidak dapat ditambahkan titik-titik tersebut pada offspring. Dan terakhir letakkan q 4 pada offspring sehingga menjadi osp = [5 1 7 2 3 6 4]. Dan dengan menggunakan prosedur yang sama, dapat dihasilakan offspring kedua yaitu [3 6 1 4 5 7 2] (Moon, 2001). Procedure : moon crossover Begin Osp null; k 0; select two random chromosome p a and p b, where p a = g 1 g 2 g 3 g 4... g j, and p b = q 1 q 2 q 3 q 4... q j, select two random genes from the p a at random. The substring defined by the two genes; osp the substring between g i and g j selected from the p a; if the length of osp = J then end; else sub_p b the remaining substring results from the delecting genes which are already selected from the p a, ie., sub_p b = p a osp; end_if while (length of osp J) do if i=i then I = J+1; i i 1; k k + 1, k = 1,2,..., length of sub_p b; if g i q k, then osp <osp, g i, q k >; else g i = q k, then osp <osp, g i >; else if j =J then i i 1; k k + 1, k = 1,2,..., length of sub_p b; if g i q k, then osp <, q k, g i, osp >; else g i = q k, then osp < g i, osp >; else i i 1; k k + 1, k = 1,2,..., length of sub_p b; if g i q k, then osp <, g i, osp, q k >; else g i = q k, then osp < g i, osp >; end_if End_while. End_procedure (Moon, dkk, 2001). f. Mutasi (Mutation) Proses mutasi atau pertukaran titik dilakukan setelah proses rekombinasi atau crossover dengan cara memilih kromosom yang akan ditukar secara acak kemudian menentukan titik pertukaran pada kromosom tersebut. Banyaknya gen yang akan mengalami pertukaran dihitung berdasarkan probabilitas mutasi yang telah ditentukan terlebih dahulu. Apabila probabilitas mutasi adalah 100% maka semua gen yang ada pada himpunan tersebut akan mengalami pertukaran. Sebaliknya, jika probabilitas

pertukaran yang digunakan adalah 0% maka tidak ada gen yang mengalami pertukaran. Teknik pertukaran yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah Swapping Mutation. Cara kerja metode ini adalah sebagai berikut: Membangkitkan bilangan acak sebanyak total bit (jumlah kromosom dikalikan dengan pop_size) untuk menentukan gen yang termutasi. Bilangan acak yang dibangkitkan adalah bilangan real antara 0 sampai 1. Mencari letak bilangan acak yang kurang dari probabilitas mutasi. Menukarkan gen dengan bilangan acak kurang dari probabilitas mutasi dengan gen sesudahnya. Sebagai contoh untuk proses swapping mutation, misal bilangan acak yang kurang dari probabilitas mutasi terletak pada bit ke-2 pada suatu kromosom, maka posisi gen ke-2 ditukar dengan posisi gen ke-3. Ilustrasi untuk proses ini terdapat pada Gambar 2 1 2 3 4 5 6 Setelah ditukar kromosom menjadi 1 3 2 4 5 6 Gambar 2. Proses Swap Mutation Metode seleksi dalam algoritma genetika dilakukan secara random, sehingga ada kemungkinan bahwa kromosom yang sebenarnya sudah baik tidak bisa turut serta pada generasi berikutnya karena tidak lolos seleksi. Untuk itu perlu kiranya ada pelestarian kromosom-kromosom terbaik, sehingga kromosom-kromosom yang sudah baik tersebut bisa lolos seleksi. Muhlenbein mengusulkan adanya perbaikan pada algoritma genetika yang dikenal dengan nama Breeder Gas (BGA). Pada BGA ini digunakan parameter r yang menunjukkan kromosom-kromosom terbaik. Kromosom-kromosom ini akan tetap dipertahankan pada generasi berikutnya dengan cara menggantikan sebanyak r kromosom pada generasi tersebut secara acak (Kusumadewi, 2003:313). Penyelesaian dengan algoritma genetika menghasilkan pilihan alternatif solusi lebih dari satu, sehingga jika salah satu solusi tidak dimungkinkan untuk diterapkan, maka masih terdapat solusi lain yang bisa dilakukan. PENYELESAIAN DENGAN ALAT BANTU PROGRAM Untuk mempermudah dalam pencarian solusi TSPPC dengan algoritma genetika maka dibuat program dengan Borland Delphi sebagai alat bantu. Gambar 3 adalah flowchart penyelesaian TSPPC dengan Algoritma genetika.

Star Tentukan Inisialisasi Pilih titik yang tidak mempunyai Inputkan titik yang terpilih pada Membentuk Lintasan Populasi Baru Populasi Pilih titik yang tidak mempunyai sisi masuk Inputkan titik yang terpilih pada lintasan Hapus sisi yang terkait dengan titik tersebut Hapus sisi yang terkait dengan Tidak Apakah semua titik Ti Apakah semua titik sudah Mutasi (Swap Mutation) Tidak YA Apakah lintasan yang tebentuk sudah sebanyak Ti Y Apakah lintasan yang tebentuk Pindah silang (Moon Crossover) Hitung nilai Y Hitung nilai Seleksi (Roda Roullete) Cari Nilai Fitnes Apakah jumlah generasi sudah terpenuhi? Belum Sudah Selesai Gambar 3. Flowchart Algeritma Genetika pada TSPPC Salah satu contoh kasus permasalahan TSPPC adalah seorang sales akan melakukan perjalanan ke 6 kota untuk mengirim barang. Sales tersebut berangkat dari satu kota ke kota lainnya. Setiap kota dikunjungi tepat satu kali, dan salesman tersebut tidak boleh melanggar ketentuan kota-kota mana yang harus terlebih dahulu dikunjungi sebelum kota yang lain (salesman tidak boleh melanggar precedence constraints). Permasalahan ini dapat diselesaikan dengan alat bantu program GA-

TSPPC. Gambar 4 berikut merupakan graph permasalahan dan Tabel 2 menunjukkan waktu perjalanan dari satu titik ke titik lain. Tabel 2. Waktu Perjalanan Gambar 4. Graph Permasalahan Dan dari program diperoleh hasil solusi lintasana yaitu v0 v2 v5 v1 v3 v4 seperti yang terlihat pada Gambar 5 dengan nilai fitnes 39. Gambar 5. Graph Solusi PENUTUP Kesimpulan 1. Langkah-langkah penyelesaian algoritma genetika yang digabungkan dengan konsep topological sort dalam Travelling Salesman Problem with Precedence Constraints (TSPPC) yaitu: tahap inisialisasi, tahap perhitungan nilai fitnes, tahap pemilihan dengan Roullete Wheel, tahap crossover dengan moon crossover, tahap mutasi dengan swapping mutation. 2. Contoh permasalahan Travelling Salesman Problem with Precedence Constraints (TSPPC) yang diselesaikan dengan algoritma genetika adalah pada kasus sales yang akan melakukan perjalanan ke beberapa kota untuk mengirim barang. Sales tersebut harus mengunjungi tiap kota tepat satu kali dan tidak boleh melanggar ketentuan kota mana yang harus terlebih dahulu dikunjungi sebelum kota yang lain.. 3. Implementasi program GA-TSPPC dalam penyelesaian Travelling Salesman Problem with Precedence Constraints (TSPPC) diawali dengan menginputkan data. Data input/masukan yang terdiri dari data jumlah titik, data hubungan urutan

titik, data waktu perpindahan antar titik, parameter genetika (ukuran populasi, probabilitas crossover, probabilitas mutasi, jumlah generasi). Proses yang dijalankan setelah menginputkan data adalah membangkitkan populasi awal, dari populasi awal ditentukan lintasan, selanjutnya perhitungan nilai fitnes untuk masing-masing kromosom,selanjutnya dilakukan proses seleksi, crossover, mutasi dan pelestarian kromosom terbaik. Proses tersebut berlanjut sampai mencapai generasi yang ditentukan. Dan dihasilkan data output/ keluaran yang berupa solusi lintasan dengan total waktu perjalanan beserta graphnya. Saran 1. Program GA-TSPPC dapat digunakan untuk menacari lintasan pendistribusian yang memperhatikan urutan kota atau depot yang harus dikunjungi terlebih dahulu dengan titik maksimal 50 titik. 2. Selain algoritma genetika, TSPPC dapat diselesaikan dengan algoritma-algoritma lain seperti algoritma Branch-and-Bound dan program dynamic. TSPPC tidak hanya dapat diaplikasikan pada masalah pendistribusian saja, tetapi TSPPC dapat diaplikasikan pada masalah lain seperti: pengambilan keputusan dan urutan proses mesin. DAFTAR RUJUKAN Kusumadewi, Sri. 2003. Artificial Intelegence: Teknik dan Aplikasinya. Yogyakarta: Graha Ilmu. Moon, C., Kim, J., Choi, G., Seo, Y. 2001. An Efficient Genetic Algorithm for The Travelling Salesman Problem With Precedence Constraints. European Journal of Operational Research, (Online), vol 140, 606-617, (http://www.elsevier.com), diakses tanggal 15 November 2012. Razali, N.M., Geraghty, J. 2012. Genetic Algorithm to Solve Process Sequencing Modelled as The Travelling Salesman Problem with Precedence Constraints. Malaysia: University Malaysia Pahang. Setyananda, Darmawan. 2012. Petunjuk Praktikum Struktur Data. Buku tidak diterbitkan. Malang: Universitas Negeri Malang. Uktaviya, Rina. 2012. Penerapan Metode Pindah Silang Cycle Crossover (CX) Untuk Travelling Salesman Problem (TSP). Skripsi tidak diterbitkan. Malang: Universitas Negeri Malang.