RELASI DAN FUNGSI A. Relasi I. Pengertian Relasi Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah hubungan yang memasangkan anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B. Misalkan A={Adi, Boni, Chris} dan B={Matematika, IPA, IPS}, maka dapat dibentuk suatu relasi antara himpunan A dan himpunan B. Relasi yang tepat dari himpunan A ke himpunan B adalah menyukai. Dan relasi dari himpunan B ke himpunan A adalah disukai. II. Cara menyatakan relasi Ada 3 cara untuk menyatakan relasi yaitu : a. Diagram panah b. Diagram Cartesius c. Himpunan pasangan berurutan Dari kedua contoh sebelumnya, dapat dibentuk suatu himpunan pasangan berurutan yang menyatakan relasi dari himpunan A ke himpunan B = {(1, A), (1, B), (2, B), (3, B), (3, C)}. 1. Misalkan A = {1,2,3,4,5} dan B = {2,3,4,5,6,7}. Buatlah relasi dari A ke B yang menyatakan 1 kurangnya dari dan nyatakan dalam diagram panah. 2. Misalkan A = {2,3,4,5} dan B = {2,3,4,5,6}. Buatlah relasi dari A ke B yang menyatakan faktor dari dan nyatakan dalam diagram Cartesius. 3. Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B dapat dinyatakan dengan {(1,1), (2,4), (3, 9), (4, 16)}. Relasi apakah yang tepat untuk masalah tersebut. Nyatakan relasi tersebut dalam diagram Cartesius. B. Fungsi (Pemetaan) I. Pengertian Fungsi Fungsi atau pemetaan dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B. Syarat suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B merupakan fungsi adalah :
Setiap anggota himpunan A mempunyai pasangan di himpunan B Setiap anggota himpunan A dipasangkan dengan tepat satu anggota himpunan B. Contoh fungsi Contoh bukan fungsi Tentukan apakah setiap relasi berikut merupakan fungsi atau tidak : 1. {(1,3), (2,4), (2,5), (3,3), (4,3), (5,6)} 2. {(1,1), (2,4), (3,6), (4,8)} II. Menentukan Banyaknya Pemetaan yang Mungkin Jika banyaknya anggota himpunan A adalah n(a) = a dan banyaknya anggota himpunan B adalah n(b) = b, maka banyak pemetaan dari A ke B adalah b a. Dan banyaknya pemetaan dari B ke A adalah a b. 1. Jika A={bilangan prima kurang dari 8} dan B={huruf vokal}. Hitung banyak pemetaan a. dari A ke B b. dari B ke A III. Notasi dan Nilai Fungsi Cara menulis notasi fungsi : f x y atau f x f(x) Dibaca : fungsi f memetakan x anggota A ke y anggota B. Himpunan A disebut domain (daerah asal). Himpunan B disebut kodomain (daerah kawan). Himpunan C B yang memuat y disebut range (daerah hasil). 1.
Domain = A = {1, 2, 3} Kodomain = B = {A, B, C} Range = {A, B} 2. Diketahui f(x) = 2x 2 + x 1. Tentukan nilai fungsi f(x) untuk x = 2 dan bayangan 1. f(x) = 2x 2 + x 1 f(2) = 2. (2) 2 + 2 1 = 2.4 + 2 1 = 9 f( 1) = 2. ( 1) 2 + ( 1) 1 = 2.1 1 1 = 0 1. Diketahui himpunan A = {1,2,3,4} dan B = {3,4,5,6,7}. Dan relasi dari A ke B adalah 2 kurangnya dari. a. Apakah relasi tersebut merupakan fungsi? b. Tentukan domain. c. Tentukan kodomain. d. Tentukan range. 2. Diketahui suatu fungsi f(x) = 3x 5. Tentukan a. Bayangan -2 b. Asal dari 1 IV. Menentukan Rumus Fungsi Suatu fungsi didefinisikan dengan rumus f(x) = ax + b. Jika diketahui f(3) = 14 dan f(5) = 20, maka tentukan : a. Nilai a dan b b. Bentuk/rumus fungsi Cara lain : Masukkan x = 3 dan f(x) = 14 ke f(x) = ax + b, sehingga diperoleh 14 = a(3) + b 14 = 3a + b 14 3a = b Masukkan x = 5, f(x) = 20, b = 14 3a ke f(x) = ax + b sehingga 20 = a(5) + 14 3a 20 = 5a + 14 3a 20 = 2a + 14 6 = 2a a = 3
Lalu masukkan a = 3, x = 3, f(x) = 14 ke f(x) = ax + b sehingga 14 = 3.3 + b 14 = 9 + b b = 5 Jadi bentuk fungsinya f(x) = 3x + 5 1. Diketahui f(x) = ax + b, jika f(2) = 5 dan f( 4) = 7, maka tentukan rumus fungsinya. 2. Diketahui f(x) = ax + b, jika f(1) = 3 dan f(0) = 5, maka tentukan nilai dari f ( 5 2 ). V. Grafik Fungsi Diketahui f(x) = 3x 5 dengan domain = {x 0 x 5, x bilangan cacah}. Gambarlah grafiknya pada bidang Cartesius. f(x) = 3x 5 f(0) = 3.0 5 = 5 f(1) = 3.1 5 = 2 f(2) = 3.2 5 = 1 f(3) = 3.3 5 = 4 f(4) = 3.4 5 = 7 f(5) = 3.5 5 = 10 Hasilnya dapat disajikan dalam bentuk tabel Kemudian tabel tersebut disajikan dalam diagram Cartesius dan titik-titiknya dihubungkan.
Gambarlah grafik fungsi f(x) = x + 3 dengan domain = {x 0 x 8, x bilangan bulat}. C. Korespondensi Satu- Satu Korespondensi satu-satu dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B dan sebaliknya, setiap anggota himpunan B dengan tepat satu anggota himpunan A. Jadi, banyaknya anggota himpunan A dan B harus sama (n(a) = n(b)). Jika n(a) = n(b) = n, maka banyaknya korespondensi satu-satu dari A ke B adalah n! = n (n 1) (n 2) 1. (n! dibaca n faktorial) Berapa banyak korespondensi satu-satu dari himpunan A={bilangan prima kurang dari 13} ke B={huruf vokal}?