Modul ke: STATISTIK Probabilitas atau Peluang Fakultas 05Teknik Bethriza Hanum ST., MT Program Studi Teknik Mesin
Pengertian dan Pendekatan Mempelajari probabilitas kejadian suatu peristiwa sangat bermanfaat dalam pengambilan keputusan yang tepat, karena di dunia tidak ada kepastian dan setiap pengambilan keputusan jarang memiliki informasi yang lengkap, sehingga perlu untuk mengetahui berapa besar probabilitas suatu peristiwa kejadian. Probabilitas atau kejadian adalah suatu ukuran tentang kemungkinan suatu peristiwa (event) akan terjadi dimasa depan. Probabilitas dinyatakan dalam 0-1 dalam presentase.
Pendekatan Klasik Mengasumsikan bahwa sebuah peristiwa mempunyai kesempatan untuk terjadi yang sama besar atau memiliki peluang yang sama besar. Probabilitas suatu peristiwa= Jumlah kemungkinan hasil (peristiwa) Jumlah total kemungkinan hasil
Contoh Pendekatan Klasik
Pendekatan Relatif Probabilitas suatu peristiwa tidak dianggap sama, tetapi tergantung pada berapa banyak suatu peristiwa terjadi dari keseluruhan percobaan atau kegiatan yang dilakukan. Percobaan kejadian relatif = Jumlah peristiwa yang terjadi Jumlah total percobaan/kegiatan
Contoh Pendekatan Relatif Dari data diatas terlihat bahwa jumlah bulan inflasi ada 10 dan jumlah bulan deflasi 2dari total 12. oleh karena itu probabilitas terjadinya inflasi = 10/12 0,83 dan deflasi 2/12 = 0,17
Pendekatan Subjektif Menentukan besarnya probabilitas suatu peristiwa didasarkan pada penelitian pribadi dan dinyatakan dalam derajat kepercayaan atau berdasarkan penilaian pribadi. contoh: menurut Menteri Keuangan Indonesia Sri Mulyani pada tahun2007, Indonesia akan mengalami gejalas krisis. Anda akan mendapatkan nilai minimal B untuk mata kuliah statistik 1.
HUKUM DASAR PROBABILITAS 1. HUKUM PENJUMLAHAN 2. HUKUM PERKALIAN 3. TEOREMA BAYES 8
KONSEP DASAR HUKUM PROBABILITAS A. Hukum Penjumlahan P(A ATAU B) = P(A) + P(B) Contoh : P(A) = 0,35, P(B) 0,40 DAN P (C) 0,25 Maka P(A ATAU C ) = 0,35 + 0,25 = 0,60 Peristiwa atau Kejadian Bersama (joint Event) A AB B P(A ATAU B) = P(A) + P(B) P (AB) Apabila P(AB) = 0,2, maka, P(A ATAU B) = 0,35 + 0, 40 0,2 = 0,55 9
Contoh joint event Kegiatan Perusahaan Jumlah Simpati mentari starone Sales(A) 30 50 40 120 Buy(B) 40 30 10 80 sum 70 80 50 200 P(BS) = 40/200 = 0.15 P(AS) = 30/200=0.20 10
KONSEP DASAR HUKUM PROBABILITAS Peristiwa Saling Lepas(MUTUALLY EXLUSIVE) P(AB) = 0 Maka P(A ATAU B) = P (A) + P(B) + 0 = P(A) + P(B) A B Bahwa peristiwa A tidak menjadi bagian peristiwa B. Begitu juga sebaliknya. 11
Contoh Kegiatan Perusahaan Jumlah Simpati mentari starone Sales(A) 30 50 40 120 Buy(B) 40 30 10 80 sum 70 80 50 200 P(A atau B) = P(A) +P(B)-P(AB) = 0.6 + 0.4-0 =1 Prob 3 kartu cellular (P(SMS))=0. P(S atau M/S) = P(S)+P(M)+P(S)-P(SMS) =0.35+0.40+0.25-0 = 1 12
EXCERCISE SUATU PERUSAHAAN MEMERLUKAN BAN MOBIL UNTUK KENDARAAN MILIK PERUSAHAAN. PROB AKAN MEMBELI BAN MEREK UNIROYAL (0,17), GOODYEAR (0,22), LIDAS (0,03), CONTINENTAL (0.29),BRIDGESTONE (0,21), DAN AMSTRONG (0.08).HITUNGLAH PROB BAHWA PERUSAHAAN AKAN MEMBELI: 1. BAN MEREK G atau B 2. Ban Merek U, C atau B 3. Ban Merek L atau A 4. Ban Merek G, C atau A. 13
jawab Apabila merek ban tersebut di urutkan dengan A,B,C,D,E dan F. Maka: 1. P( B U E )= P(B) +P(E) = 0,22 +0,21 = 0.43 2. P(A U D U E) = 0.17+0,29+0,21 = )0.67 3. P(C U F)= 0.03 + 0.08 = 0.11 4. P (B U D U F)= 0,22 + 0,29 + 0.08= 0.59. Prob Mutually Exlusive. 14
HUKUM PERKALIAN PROB Hukum Perkalian Peristiwa Independen adalah terjadinya peristiwa tidak mempengaruhi probabilitas kejadian lainnya Rumus kejadian A dan B yang saling Independet sbb: P( A DAN B) = P(A) X P(B) Contoh: ada 3 transaksi saham (S&B), transaksi pertama melakukan transaksi beli, dan pada transaksi ke 2&3 bisa melakukan transaksi beli atau jual (bebas dari pengaruh transaksi pertama) Apabila P(A) 0,35 DAN P(B) = 0,25 Maka P(A DAN B) = 0,35 X 0,25 = 0,0875 15
Kejadian Bersyarat Kejadian Bersyarat P(B A) P(B A) = P(AB)/P(A) 16
KONSEP DASAR HUKUM PROBABILITAS Hukum Perkalian P( A DAN B) = P(A) X P(B) Apabila P(A) 0,35 DAN P(B) = 0,25 Maka P(A B) = 0,35 X 0,25 = 0,0875 Kejadian Bersyarat conditional Probability P(B A) P(B A) = P(AB)/P(A) Peristiwa Pelengkap (Complementary Event) P(A) + P(B) = 1 atau P(A) = 1 P(B) 17
DIAGRAM POHON Diagram Pohon Keputusan Jual atau Beli Probabilitas Bersyarat Jenis Saham BCA 0,35 Probabilitas bersama 1 x 0,6 x 0,35 = 0,21 Suatu diagram berbentuk pohon yang membantu mempermudah mengetahui probabilitas suatu peristiwa 1 Jual 0, 6 Beli 0,4 BLP BNI BCA BLP BNI 0,40 0,25 0,3 5 0,4 0 0,25 1 x 0,6 x 0,40 = 0,24 1 x 0,6 x 0,25 = 0,15 1 x 0,4 x 0,35 = 0,14 1 x 0,4 x 0,40 = 0,16 1 x 0,4 x 0,25 = 0,10 Jumlah Harus = 1.0 0,21+0,24+0,15+0,14 +0,16+0,10 =1,0 18
CONTOH Komposisi dari beberapa tingkatan manajemn Dari 200 orang eksekutuf ditunjukkan sebagai Berikut: TM 18 (Pria) 2 (W), MM 3 6 (P) 24 (w), LM 24 (p) 96 (w) Total P (78) W (122). a. Jika 200 eksekutuf tersebut scara random seorang eksekutif Berapa prob eksekutif Pria atau eksekutif puncak? b. Dipilih 2 orang berapa prob eks Pria dan seorang Eksekutif wanita c. Terpilih eksekutif pria pada pilihan pertama dan terpilih Eksekutif pria lagi pada pilihan kedua, berapa prob? (jawab ex Prob) 19
TEOREMA BAYES Merupakan probabilitas bersyarat-suatu kejadian terjadi setelah kejadian lain ada. Rumus: P(Ai B) = P(Ai) X P (B Ai) P(A1) X P(B A1)+P(A2) X P(B A2) + + P(Ai) X P(B Ai) 20
BEBERAPA PRINSIP MENGHITUNG Factorial (berapa banyak cara yang mungkin dalam mengatur sesuatu dalam kelompok). Factorial = n! Permutasi (sejumlah kemungkinan susunan jika terdapat satu kelompok objek). Permutasi npr = n!/ (n-r)! Kombinasi (berapa cara sesuatu diambil dari keseluruhan objek tanpa memperhatikan urutannya. Kombinasi ncr = n!/r! (n-r)! 21
Konsep Dasar Probabilitas
Pengantar Permutasi -Faktorial Misalkan n adalah bilangan bulat positif. Besaran n faktorial (n!) didefinisikan sebagai hasil kali semua bilangan bulat antara n hingga 1. Untuk n = 0 atau dengan kata lain 0! didefinisikan =1. n! = n.(n-1)(n-2)... 1 0! = 1.
Pengantar Permutasi -Faktorial Contoh: Tuliskan 10 faktorial pertama : Penyelesaian: 0! = 1 1! = 1 2! = 2.1 = 2 3! = 3.2.1 = 6 4! = 4.3.2.1 = 24 Dst...
Pengantar Permutasi -Faktorial Latihan Soal 1. 2.
FAKTORIAL Faktorial digunakan untuk mengetahui berapa banyak cara yang mungkin dalam mengatur sesuatu dalam suatu kelompok. Dalam matematika perhitungan faktorial dilambangkan dengan (!) 0! Artinya 1 n! Artinya = n x (n-1)x(n-2)x...2 x 1
Ada beberapa cara menyusun urutan dari 5 perusahaan yang memberikan deviden terbesar? Menyusun urutan 5 perusahaan = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 cara
Permutasi Permutasi adalah penyusunan kembali suatu kumpulan objek dalam urutan yang berbeda dari urutan yang semula. Urutan diperhatikan Perulangan tidak diperbolehkan
Misalkan Masalah penyusunan kepanitiaan yang terdiri dari Ketua, Sekretaris dan Bendahara dimana urutan dipertimbangkan merupakan salah satu contoh permutasi. Jika terdapat 3 orang (misalnya Amir, Budi dan Cindy) yang akan dipilih untuk menduduki posisi tersebut, maka dengan menggunakan Prinsip Perkalian kita dapat menentukan banyaknya susunan panitia yang mungkin, yaitu:
Pertama menentukan Ketua, yang dapat dilakukan dalam 3 cara. Begitu Ketua ditentukan, Sekretaris dapat ditentukan dalam 2 cara. Setelah Ketua dan Sekretaris ditentukan, Bendahara dapat ditentukan dalam 1 cara. Sehingga banyaknya susunan panitia yang mungkin adalah 3.2.1 = 6.
Secara formal, permutasi dapat didenisikan sebagai berikut. Denisi 3.1 Permutasi dari n unsur yang berbeda x1,x2,..,xn adalah pengurutan dari n unsur tersebut.
Contoh 3.1 Tentukan permutasi dari 3 huruf yang berbeda, misalnya ABC! Penyelesaian Permutasi dari huruf ABC adalah ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Sehingga terdapat 6 permutasi dari huruf ABC.
Teorema 3.1 Terdapat n! permutasi dari n unsur yang berbeda.
Contoh 3.2 Gunakan Teorema 3.1 untuk mencari berapa banyak permutasi dari huruf ABC? Penyelesaian Terdapat 3 unsur dari huruf ABC, jadi banyaknya permutasinya adalah 3!, atau Terdapat 3.2.1 = 6 permutasi dari huruf ABC.
Contoh 3.3 Berapa banyak permutasi dari huruf ABCDEF jika huruf ABC harus selalu muncul bersama?
Penyelesaian : Karena huruf ABC harus selalu muncul bersama, maka huruf ABC bisa dinyatakan sebagai satu unsur. Dengan demikian terdapat 4 unsur yang dipermutasikan, sehingga banyaknya permutasi adalah 4.3.2.1 = 24
1. Misalkan dalam kelas matematika diskrit ada 20 mhs. Akan di pilih seorang yang akan menjadi ketua kelas dan seorang bendahara. Ada berapa banyak cara untuk memilih ketua dan bendahara??
Soal latihan : 2. Berapa banyak kata yang dapat terbentuk dari kata BOSAN???
Soal latihan : 3. Berapakah jumlah kemungkinan membentuk 3 angka dari 5 angka berikut : 1, 2, 3, 4, 5, jika: a. Tidak boleh ada pengulangan angka; b. Boleh ada pengulangan angka.
Soal latihan : 4. Terdapat 5 buku kimia, 4 buku fisika dan 2 buku matematika yang masing-masing buku berbeda satu sama lain. Berapa banyak cara untuk menyusun buku buku tersebut ke dalam sebuah rak jika setiap buku dikelompokan sesuai dengan jenisnya??
Definisi 3.2 Permutasi-r dari n objek adalah jumlah kemungkinan urutan r buah objek yang dipilih dari n buah objek, dengan r n, yang dalam hal ini, pada setiap kemungkinan urutan tidak ada objek yang sama. Dan dapat di notasikan dengan P(n,r).
Teorema 3.2 Banyaknya permutasi-r dari n unsur yang berbeda adalah
Atau dengan kata lain, secara umum permutasi r objek dari n buah objek dapat di hitung dengan persamaan berikut : Jika r = n, maka persamaan menjadi
Contoh 3.4 Tentukan permutasi-3 dari 5 huruf yang berbeda, misalnya ABCDE.
Contoh 3.5 Gunakan Teorema 3.2 untuk menentukan permutasi-3 dari 5 huruf yang berbeda, misalnya ABCDE.
Penyelesaian Karena r = 3 dan n = 5 maka permutasi-3 dari 5 huruf ABCDE adalah Jadi banyaknya permutasi-3 dari 5 huruf ABCDE adalah 60.
1. Sebuah undian dilakukan menggunakan angka yang terdiri dari 7 digit. Jika digit digit dalam suatu angka diharuskan berbeda satu dengan yang lain, ada berapa kemungkinan nomor undian???
2. Berapa banyak jumlah urutan berbeda yang dihasilkan jika memasukan 6 buah bola yang berbeda kedalam 3 buah kotak, dan masing masing kotak hanya boleh diisi 1 buah bola???
3. Berapa banyak String yang dapat dibentuk yang terdiri dari 4 huruf berbeda dan diikuti dengan 3 angka yang berbeda pula??
4. Tentukan banyaknya susunan 3 huruf berbeda yang dapat diperoleh dari kata SMART???
5. Berapa banyak permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8 orang disediakan 4 buah kursi, sedangkan satu orang di antaranya selalu duduk d kursi tertentu??
6. Misalkan X={a, b, c, d} a. Hitunglah Permutasi dari X b. Hitunglah Permutasi-3 dari X
KOMBINASI Kombinasi digunakan kita tertarik beberapa cara sesuatu diambil dari objek tanpa memperhatikan urutannya. Misal ada 10 bank dan kita hanya mengambil 3 bank tanpa memperhatikan urutannya Apabila dalam permutasi dibedakan susunannya BCA,BNI dengan BNI,BCA,maka dalam kombinasi tidak dibekan susunannya sehingga susunan BCA,BNI
Kombinasi ncr = n!/r! (n-r)! Ada 5 bank yang mengajukan kredit portofolio ke Bank Indonesia. Sementara di Bank Indonesia hanya akan memilih 2 bank saja. Ada berapa kombinasi bank yang dapat dipilih oleh Bank Indonesia? Misalkan nama banknya A,B,C,D,E maka:
TERIMA KASIH 55