GRAF BERARAH Definisi, Matriks, dan Relasi

GRAF BERARAH Definisi, Matriks, dan Relasi OLEH: I GUSTI AYU WAHYUNDARI (E1R011018) IRWANSYAH (E1R011020) ANISA ULFA (E1R011005) EKA KURNIAWAN (E1R010039) MADE DEWI ARINI (E1R010051) Prodi Matematika Jurusan MIPA Fakultas Keguruan Dan Ilmu Pendidikan Universitas Mataram 2013 1

KATA PENGANTAR Puji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena atas karuni-nya kami dapat menyelesaikan resume ini tepat pada waktunya dan tanpa halangan yang berarti. resume berjudul GRAF BERARAH, DEFINISI,MATRIK,DAN RELASI ini merupakan tugas yang diberikan pembimbing mata kuliah teori graf sebagai tugas awal semester ganjil. Tugas ini berisi resume pelajaran teori graf bagian graf berarah khususnya define graf berarah dan matriks serta relasi. Atas keberhasilan penulisan resume ini, kami juga ingin sampaikan terima kasih kepada pihak-pihak yang turut membantu baik secara langsung maupun tidak langsung, antara lain:dosen pembimbing mata kuliah teori graf ibu Syahrul Azmi M.pd, sahabat-sahabat dan semua pihak yang membantu namun tidak dapat kami sebutkan namanya satu-persatu. Berkat dukungan dan bantuan dari semua pihak, akhirnya penulisan resume ini dapat terselesaikan dengan hasil yang cukup memuaskan. Namun, tak dapat dipungkiri bahwa tulisan ini masih memiliki banyak kekurangan dan jauh dari kata sempurna. Oleh karena itu, kami harap pembaca dapat memaklumi segala kekurangan yang mengkin pembaca temukan nanti. Dengan segala kerendahan hati, kami berharap pembaca dapat menikmati tulisan kami ini. Semoga karya sederhana ini dapat bermanfaat bagi siapapun yang membaca. Mataram, 14 September 2013 Penulis, 2

DAFTAR ISI 1. DEFINISI GRAPH BERARAH 1.1 Menggambar Diagram dari Sebuah Digraph... 1 1.2 Istilah Dalam Diagraph... 2 1.3 Jenis-Jenis Diagraph... 5 1.4 Keterhubungan pada graf berarah... 8 2. MATRIKS DAN RELASI 2.1 Bentuk Matriks dari Sebuah Diagraph... 9 3. APLIKASI GRAF BERARAH BERBOBOT(BERNILAI)... 12 DAFTAR PUSTAKA... 14 3

1. DEFINISI GRAPH BERARAH Berdasarkan arahnya, graf dibedakan menjadi graf berarah dan graf tak berarah. Graf berarah atau dapat disebut diagraf adalah sebuah graf yang disusun oleh sebuah himpunan simpul dan sebuah himpunan sisi yang merupakan pasangan terurut dari simpul-simpulnya. Kemudian sisi pada graf berarah lebih dikenal dengan busur. Pada busur urutan simpul dalam penulisannya mempunyai arti. Sebagai contoh busur (A,B) menunjukan bahwa busur berasal dari A menuju B, sedangkan busur (B,A) menunjukan bahwa busur berasal dari B menuju A. sehingga jelas bahwa busur (A,B) (B,A) Gambar: A (A,B) B A (B,A) B Notasi penulisan graf berarah sama dengan graf tak berarah, yaitu: G = (V, E) Dimana G = Graph berarah V = Simpul atau Vertex, atau Node, atau Titik E = Busur ( sisi yang merupakan pasangan terurut dari simpul-simpul) 1.1 Menggambar Diagram dari Sebuah Digraph G = G(V, E) Setiap simpul v dalam V diwakili oleh sebuah noktah (bulatan kecil) dan setiap busur e = [u, v] diwakili oleh sebuah panah, yaitu, sebuah kurva berarah, dari titik awalnya u ke titik akhirnya v. Gambarkan Digraph G(V, E) dimana V = {A, B, C, D} dan E terdiri dari delapan busur (edge berarah), -,, -,, -,, -,, -,, -,, -,, -, 4

Biasanya kita menyatakan sebuah digraph dengan menggambarkan diagramnya dari pada menuliskan verteks-verteks dan edge-edgenya. A e 1 D e 2 e 3 e 4 e 6 e 8 B e 5 C e 7 1.2 Istilah Dalam Diagraph istilah yang terdapat dalam graf berarah hampir sama dengan graf tak berarah. Berikut akan dijelaskan beberapa istilah baru dalam graf berarah: a. Derajat ke luar (out degree) suatu simpul adalah banyaknya ruas yang mulai / keluar dari simpul tersebut. b. Derajat ke dalam (in degree) suatu simpul adalah banyaknya ruas yang berakhir / masuk ke simpul tersebut. c. Total simpul pada graf berarah adalah jumlah derajat keluar dan derajat ke dalam. d. Simpul berderajat ke dalam = 0 disebut sumber (source), sedangkan simpul berderajat ke luar = 0 disebut muara (sink). e. Pengertian jalan (walk), lintasan (trail), jalur (path) dan sirkuit (cycle) berlaku pula pada graf berarah, dimana harus sesuai dengan arah ruas. Kalau tidak sesuai dengan arah ruas-nya, maka disebut sebagai semi walk, semi path atau semi trail. 5

f. Busur sejajar (parallel) Busur-busur dengan titik awal yang sama dan dengan titik akhir yang sama disebut busur sejajar (parallel)., - dan, - adalah busur sejajar. (Meskipun, - dan, - mempunyai verteks yang sama tetapi mereka tidak sejajar karena mereka mempunyai titik awal dan titik akhir yang berbeda.) g. Sisi arah ganda (bidirected) adalah sisi yang terdiri dari 2 busur dengan arah berlawanan. Contoh: Dapat digambarkan juga dengan: Contoh soal: 1. Terangkan secara formal graph G yang ditunjukkan pada gambar dibawah ini! Jawab: Gambar diatas menunjukan sebuah digraph G(V, E) dimana V= {A, B, C, D} dan E terdiri dari tujuh edge-edge berarah, -, -, -, -, -, -, - 2. Tunjukkan suatu loop dan busur sejajar dalam digraph pada soal nomor 1! Jawab: Busur, - adalah sebuah loop dan dua busur dari C ke D adalah sejajar. 6

3. Terangkan secara formal setiap digraph G pada gambar dibawah. (a) (b) Jawab: Sebuah gambaran formal dari G adalah menuliskan V(G) dari verteksverteksnya dan menuliskan E(G) dari busur-busurnya. Jadi pada gambar 3(a) ( ) * + ( ) *, -, -, -, -, -, -, -, - Pada gambar 3(b) ( ) * + ( ) *, -, -, -, -, -, -, - 4. Tunjukkan suatu loop atau busur sejajar dalam digraph pada soal 3(a) Jawab: Busur, - adalah sebuah loop. Digraph tidak mempunyai busur sejajar. 5. Tunjukkan suatu loop atau busur sejajar dalam digraph pada soal 3(b) Jawab: Terdapat sebuah loop, - dan dua busur sejajar dari A ke B 6. Gambarkan diagram untuk setiap graf berarah G berikut dimana ( ) * + dan a. ( ) *, -, -, -, -, -, -+ b. ( ) *, -, -, -, -, -, -, -+ Jawab: Pertama gambarkan verteks-verteksnya kemudian hubungkan mereka dengan panah untuk mewakili busur-busur yang diberikan. Solusinya ditunjukan pada gambar dibawah. 7

(a) (b) 7. Tunjukan suatu loop atau busur sejajar pada sebuah digraph dimana ( ) * + ( ) *, -, -, -, -, -, -, -, -, -+ Jawab: menurut definisi, suatu busur dimana titik awalnya juga merupakan titik akhirnya disebut loop. Jadi, -dan, - adalah loop. Sembarang dua atau lebih busur dimana titik awal dan akhir yang terkait adalah sama disebut busur sejajar. Jadi, -dan, -adalah busur-busur sejajar. 1.3 Jenis-jenis graf berarah 1. Diagraph sederhana adalah diagraph yang tidak mengandung loop dan busur sejajar. Gambar: 8

2. Diagraf tak sederhana adalah graf yang mengandung loop atau busur sejajar atau keduanya. Gambar: 3. Diagraf lengkap adalah graf lengkap yang setiap sisinya adalah sisi arah ganda.dari sembarang simpul u v pada graf ada lintasan daru u ke v. 4. Oriented diagraf adalah diagraf yang tidak mengandung sisi arah ganda atau tidak ada busur yang simetri. 5. Tournament adalah sebuah oriented graf yang lengkap yaitu graf berarah yang mana setiap pasangan simpulnya dihubungkan oleh sisi yang bukan sisi arah ganda dan memiliki arah yang unik. 9

6. Diagraf berakar. graf berarah G=(V,E) dikatakan memiliki akar r V jika untuk setiap simpul v V terjangkau dari r.dengan kata lain selalu ada lintasan berarah dari r ke v. Gambar: 7. Pohon berarah adalah diagraf yang mempunyai akar dan graf nya berbentuk pohon.arah pada graf haruslah keluar dari akar bukan masuk ke akar. 10

8. Jaringan (network) adalah diagraf yang mempunyai bobot. Aplikasi diagraf berbobot akan dijelaskan pada bagian aplikasi graf berarah(diagraf) berbobot pada bagian akhir. 1.4 Keterhubungan pada graf berarah Contoh diagraph terhubung: Pada graf berarah terdapat 3 pengertian keterhubungan, yakni : Diagraph terhubung lemah, sebuah graf berarah di mana dimungkinkan untuk mencapai setiap simpul dari simpul lain dengan melintasi busur dalam beberapa arah (yaitu, tidak harus dalam arah yang menuju titik yang akan dituju). Simpul dalam graf berarah terhubung lemah harus memiliki minimal 1 derajat masuk atau derajat keluar Diagraph terhubung unilateral, jika antara setiap 2 simpul u dan v pada graf, terdapat jalur dari u ke v atau dari v ke u. 11

Diagraph terhubung kuat, jika antara setiap 2 simpul u dan v pada graf, terdapat lintasan dari u ke v dan dari v ke u. Semua simpul dalam graf berarah terhubung harus memiliki derajat masuk minimal 1. 2. MATRIKS DAN RELASI Misalkan ( ) sebuah graph berarah tanpa busur sejajar. Maka adalah sebuah himpunan bagian dari dan juga adalah sebuah relasi dari Sebaliknya, jika adalah sebuah relasi pada sebuah himpunan maka ( ) adalah sebuah graph berarah tanpa busur sejajar.sehingga diagraph tanpa busur sejajar dan relasi pada sebuah himpunan adalah satu dan sama konsep. Contoh graf berarah menggambarkan suatu relasi : Relasi x mencolek y, digambarkan sebagai graf berarah. 12

Graf berarah di atas menggambarkan relasi terhadap himpunan yang sama, V V Contohnya ada di bawah ini V = { Bomi, Mila, Enjel, Krungo } Relasi di antara mereka (V V) adalah @: x mencolek y. Bomi @ Mila (Bomi mencolek Mila) Bomi @ Krungo (Bomi mencolek Krungo) Mila @ Mila (Mila mencolek diri sendiri) Mila @ Krungo (Mila mencolek Krungo) Enjel @ Mila (Enjel mencolek Mila) Enjel @ Krungo (Enjel mencolek Krungo) Krungo @ Bomi (Krungo mencolek Bomi) Krungo @ Krungo (Krungo mencolek diri sendiri) Jika digambarkan dengan digram panah akan menjadi BOMI MILA ENJEL KRUNGO BOMI MILA ENJEL KRUNGO Bentuk matriks dari suatu diagraph Misalkan adalah sebuah graph berarah dengan verteks-verteks. Matriks adalah matriks ( ) berukuran dimana = jumlah busur yang berawal dari dan berakhir di.jika tidak mempunyai busur sejajar maka entri-entri dari adalah bilangan nol atau satu. Jika tidak demikian,entri-entrinya adalah bilangan bulat tidak negative. Sebaliknya, setiap matriks ukuran dengan entri-entri bilangan bulat tidak negative secara unik mendefinisikan sebuah diagraph dengan verteks. 13

Contoh: [ ] Keterangan: matriks diatas menggambarkan bahwa ada1busur dari ke, 1 busur dari ke,1 busur dari ke, 2 busur dari ke busur dan 1 busur dari ke. Contoh soal: Tentukan matriks M untuk setiap diagraph pada gambar dibawah ini Jawab: matriks M untuk sebuah diagraph dengan verteks adalah matriks kuadrat dimana sama dengan jumlah busur yang berawal dari dan berakhir di sehingga: [ ] [ ] (a) (b) Teorema Misalkan adalah matriks dari sebuah graf berarah.maka entri ke dari memberikan jumlah path(jalur) dengan banyak dari simpul ke simpul. 14

3. Aplikasi Graph Berarah Berbobot (network) Jika busur-busur dan/atau verteks-verteks dari sebuah graph berarah diberi angka atau nilai dengan suatu data maka graph berarah tersebut disebut graph berarah berlabel/network/jaringan. Berikut beberapa aplikasi graf berarah berbobotdalam kehidupan nyata. 1.Persebaran imigrasi Perhatikan tiga Negara bagian yang ditunjukan pada diagraph dibawah. Angka-angka yang dipetakan ke setiap busur mewakili persentase dari penduduk sebuah Negara bagian yang bermigrasi dari Negara bagian awal ke Negara bagian akhir setiap tahun. Jadi, 10% dari penduduk New York pindah ke Calofornia setiap tahunnya sedangkan 14% penduduk California pindah ke New York,dst. 2. Jalur jalan raya 15

3. Penggambaran rantai makanan Aplikasi graf dalam ekosistem digunakan untuk penggambaran rantai makanan. Graf yang digunakan adalah graf berarah. Simpul awal merupakan makhluk hidup yang dimangsa, sedangkan simpul tujuan merupakan makhluk hidup pemangsa. 16

DAFTAR PUSTAKA Liprchotz, Seymour. 2002. MATEMATIKA DISKRIT Jilid 2. Jakarta: Salemba Teknika. Hayati, Laila dan Azmi, Syahrul. 2013. Graph Theory. Mataram: PGMIPABI Universitas Mataram. http://yusminpadangga.blogspot.com/2011/12/tugas-teori-graph.html diakses tanggal 13 September 2013. http://id.wikipedia.org/wiki/teori_graf diakses tanggal 13 September 2013. http://mathworld.wolfram.com/directedgraph.html diakses tanggal 13 oktober 2013 17