PRISMA FISIKA, Vol. IV, No. (1), Hal. 5 3 ISSN : 337- Aplikasi Metode Beda Hingga rank-nicholson Implisit untuk Menentukan Kasus Adveksi-Difusi D pada Sebaran Polutan Di Suatu Perairan Holand Sampera a, Apriansah b * aprogram Studi Fisika Jurusan Fisika, FMIPA Universitas Tanjungpura bprogram Studi Ilmu Kelautan Jurusan Ilmu Kelautan, FMIPA Universitas Tanjungpura Jalan Prof. Dr. H. Hadari Nawawi, Pontianak, Indonesia *Email : apriansahhakim@ahoo.com Abstrak Telah ditentukan pola sebaran konsentrasi polutan pada sungai sintetik dan Sungai Kapuas menggunakan metode beda hingga rank-nicholson Implisit. Metode ini digunakan untuk menelesaikan kasus adveksidifusi D pada sebaran konsentrasi polutan dan membandingkanna dengan metode analitik. Pada sungai sintetik, RMSE ang didapat untuk kasus adveksi-difusi D proses sesaat adalah sebesar,19 1 - dan,11 untuk proses kontinu. Simulasi pola sebaran konsentrasi pada Sungai Kapuas menunjukkan sebaran ang lebih jauh untuk nilai koefisien difusi ang kecil pada saat surut dibandingkan dengan saat pasang. Kata Kunci : Persamaan Adveksi-Difusi, rank-nicholson, Sungai Kapuas 1. Latar Belakang Penebaran polutan di suatu perairan merupakan permasalahan ang sering dijumpai di kalangan masarakat. Sorotan ini mengemuka karena besarna nilai konsentrasi suatu polutan ang terlarut. Berdasarkan kejadian ini diperlukan kajian khusus penebaran polutan pada suatu badan air baik itu melalui pengukuran langsung maupun menggunakan pemodelan dengan perangkat komputer. Dari sisi ekonomis dan kepraktisan, penggunaan pemodelan komputer dapat dijadikan skala prioritas mengingat akurasi ang didapat memungkinkan keadaan fisis di alam dapat dihampiri dengan baik. Metode beda hingga merupakan salah satu metode ang dapat diterapkan untuk kasus fenomena transpor di perairan dangkal dan aliran air tanah. Metode ini biasana dinatakan dengan persamaan adveksi difusi karena metode ini dapat memberikan hasil pendekatan ang cukup akurat [1]. Penelitian tentang penelesaian persamaan adveksi difusi dimensi untuk model sebaran polutan pernah dilakukan oleh Alman menggunakan metode beda hingga Dufort-Frankle dengan asumsi koefisien difusi dan kecepatan aliran ang konstan. Dalam penelitianna Alman menjelaskan bahwa metode beda hingga ang digunakan (Metode Beda Hingga Dufort- Frankle) dapat dipakai untuk menelesaikan persoalan angkutan polutan dalam aliran air ang mengalir dalam aliran terbuka. Persamaan tersebut digambarkan dalam sebuah persamaan differensial parsial ang disebut sebagai persamaan adveksi-difusi D []. Selain itu, berdasarkan metode analitik ang dilakukan oleh Aminuddin [3] menjelaskan bahwa simulasi model analitik D cocok untuk sumber polutan sesaat maupun kontinu sehingga menunjukkan hasil ang sesuai dengan ang diharapkan. Hal di atas mendasari penelitian untuk menelesaikan persamaan adveksi-difusi, serta memodelkan sebaran konsentrasi dari persamaan tersebut. Pemodelan menggunakan metode beda hingga rank-nicholson dapat menjadi informasi awal bagi kalangan akademisi tentang pola sebaran konsentrasi di suatu perairan. Selain itu, juga dapat menjadi referensi ilmiah terkait studi awal penelesaian numerik dari persamaan adveksi-difusi.. Metodologi.1 Desain Model Desain model pada penelitian ini terdiri dari dua desain aitu desain sungai sintetik dan desain Sungai Kapuas. Pada sungai sintetik diasumsikan berbentuk persegi panjang tanpa memperhatikan kedalaman sungai sehingga kedalaman sungai dianggap seragam. Desain tersebut merupakan sebuah bidang datar horizontal dengan lebar dan panjang masingmasing adalah 15 meter dan 1 meter serta titik sumber konsentrasi ang diinjeksikan berada pada titik =1 meter dan =75 meter seperti pada Gambar 1. Kasus adveksi-difusi ang dikaji memiliki dua proses aitu untuk sumber sesaat dan sumber kontinu dengan nilai konsentrasi awal 1 ppm. Untuk proses sesaat diberikan nilai kecepatan aliran sebesar,1 m/s dan,5 m/s dan koefisien difusi sebesar,1 m /detik dan,5 m /detik. Kemudian untuk proses kontinu kecepatan aliranna sebesar,5 5
PRISMA FISIKA, Vol. IV, No. (1), Hal. 5 3 ISSN : 337- dan 1 m/s serta nilai difusivitas,5 dan 1 m /detik. Gambar 1. Desain model sungai sintetik Pada Gambar di atas merupakan desain model Sungai Kapuas dengan lebar dan panjang domain sungai adalah 1 meter dan 5 meter dengan sumber konsentrasi kontinu terletak di tepian sungai.. Penelesaian Masalah dengan Solusi Analitik Persamaan (1) di bawah ini merupakan persamaan adveksi-difusi D ang akan diselesaikan untuk mencari solusi analitikna [3]. u v D t (1) Dari persamaan (1) didapatkan solusi analitikna sebagai berikut: ( ut ) D ( vt ) D B (,, t) e e () D D Sumber Konsentrasi Gambar. Desain model Sungai Kapuas [] Kemudian untuk sarat awal dan sarat batas dari solusi analitik di atas adalah sebagai berikut: Sarat awal: (,,) dan sarat batas: (,, ) Dimana B merupakan massa ang dirataratakan terhadap kedalaman (M/h) sehingga diperoleh: ut vt Dt Dt M / h (,, t) e e (3) D t D t Solusi di atas tidak dapat didefinisikan pada waktu t= detik dan koefisien difusi D= m /detik, sehingga memerlukan modifikasi agar terdefinisi dalam keadaan t= detik dan D= m /detik. Hal ini dapat diatasi dengan cara menambahkan konstanta s pada solusi di atas. 1 Dengan menambahkan s, agar solusi terdefinisi pada t= s, u =v= m/s dan D=D= m /s. Sehingga diperoleh: ut vt M / h s D s D t t (,, t) e e () s D t s D t Jika nilai awal (,, ), maka diperoleh: M h, maka persamaan () akan menjadi sebagai berikut: (,, ) s D t s D t t e e ut vt s D t s D t (5) Solusi analitik untuk proses kontinu adalah sebagai berikut: unt vnt n s D s D nt nt (,, t ) e e () s D nt s D nt dengan: = Konsentrasi (ppm) = Konsentrasi awal (ppm), = Titik sumber uv, = Kecepatan (m/s) D, D = Koefisien difusi (m /detik) M h t n = Massa (kg) = Kedalaman (m) = Waktu (s) = Jumlah interval waktu 57
PRISMA FISIKA, Vol. IV, No. (1), Hal. 5 3 ISSN : 337-.3 Penelesaian Masalah dengan Metode rank-nicholson Metode rank-nicholson merupakan metode beda hingga ang digunakan untuk menelesaikan persamaan panas dan persamaan diferensial parsial ang sejenisna [5]. Penelesaian masalah dengan metode beda hingga rank-nicholson ini aitu dengan mendiskritisasi persamaan adveksi-difusi D menggunakan skema rank-nicholson untuk memodelkan sebaran polutan di sungai sintetik dan sungai kapuas. Langkah sumbu 1 1 1 n n n n n n i, j i, j u i1, j i1, j i1, j i1, j t D 1 1 1 n n n n n n i1, j i, j i1, j i1, j i, j i1, j ut Dt Dt 1 1 n n 1 i1, j i, j ut Dt ut Dt 1 n n i1, j i 1, j Dt n ut Dt 1 i, j i1, j Langkah sumbu 1 1 1 n n n n1 n1 n1 i, j i, j v i, j1 i, j1 i, j1 i, j1 t D 1 1 1 n n n n1 n1 n1 i, j1 i, j i, j1 i, j1 i, j i, j1 n (7) () (9) vt Dt Dt 1 n1 n1 i, j 1 i, j vt Dvt vt Dvt 1 n n1 i, j 1 i, j 1 Dt vt Dt 1 1 1 n n i, j i, j 1 (1). Analisis Hasil Analisis hasil dilakukan untuk melihat perbedaan hasil dari metode ang digunakan aitu antara metode numerik rank-nicholson dan metode analitik, karena metode analitik merupakan solusi eksak ang umum digunakan dalam penerapan kasus dikehidupan nata walaupun masih ada kesalahan ang didapatkan dari metode analitik ini. Hasil ang baik dari metode ang digunakan dinatakan dalam error atau tingkat kesalahan dari sebuah metode. Tingkat kesalahan atau error didapatkan dengan menghitung Root Mean Square Error (RMSE) dari hasil metode rank- Nicholson dan metode analitik seperti persamaan (11), sehingga dengan error ang didapatkan akan terlihat baik atau burukna penggunaan metode pada kasus ang ditinjau. Nilai RMSE didapatkan dari persamaan berikut []: 1 RMSE e e dengan: N ( i ) i (11) N i 1 e i = nilai eksak (analitik) e i = nilai hampiran/prediksi 3. Hasil dan Pembahasan Pola sebaran konsentrasi polutan untuk kasus adveksi-difusi pada sungai sintetik memiliki dua proses aitu sumber sesaat dan sumber kontinu. Setiap proses memiliki waktu simulasi ang berbeda aitu t=9 detik dan t=1 detik untuk proses sesaat, sedangkan untuk proses kontinu, waktu ang digunakan adalah selama t=3 detik dan t= detik. Penerapan dari variasi waktu ini untuk melihat pengaruh waktu terhadap pola sebaran konsentrasi. Selain itu variasi dari nilai koefisien difusi dan kecepatan aliran juga dilakukan untuk melihat pengaruh dari nilai ang diberikan. Proses adveksi-difusi D sesaat melibatkan nilai-nilai kecepatan dan koefisien difusi, 5
PRISMA FISIKA, Vol. IV, No. (1), Hal. 5 3 ISSN : 337- dimana untuk nilai-nilai ang kecil pola sebaranna tidak terlalu luas dan sedikit menebar serta perpindahanna tidak terlalu jauh sebagaimana ang ditunjukkan pada Gambar 3. Kemudian untuk Gambar, jika waktu ang digunakan lebih besar maka pola sebaran konsentrasina lebih luas dan menebar jika dibandingkan dengan waktu ang lebih kecil. Selain pola sebaran, dari kedua gambar tersebut juga menunjukkan kurva konsentrasi terhadap jarak untuk kedua model ang digunakan. Sebagaimana ang telah ditampilkan pada Gambar untuk waktu simulasi 1 detik konsentrasina jauh lebih kecil jika dibandingkan dengan waktu 9 detik baik untuk model analitik maupun model rank-nicholsonna. Akan tetapi pada gambar tersebut menunjukkan bahwa nilai konsentrasi untuk model rank-nicholsonna selalu lebih kecil dari konsentrasi model analitik baik untuk waktu ang lebih lama maupun untuk waktu ang lebih cepat. 1 1 1 1 3 5 7 9 1.5.1.15..5.3 1 Gambar. Pola sebaran proses sesaat untuk u=,5 m/s, D=,5 m /s dan t=1 detik dan kurva konsentrasi terhadap jarak model analitik model rank-nicholson Pada Gambar untuk waktu ang lebih lama memiliki pola sebaran ang semakin luas dan semakin jauh pergeseranna jika dibandingkan dengan waktu ang lebih kecil seperti Gambar 5. Selain itu untuk kurva konsentrasina mengalami penurunan seiring bertambahna waktu simulasi..3.5..15.1.5 1 1 1 1 3 5 7 9 1.1..3..5. 1..5..3..1 1 1 1 1 3 5 7 9 1.5.1.15..5.3 1.3.5..15.1.5 1 1 1 1 3 5 7 9 1.1..3..5. 1 Gambar 3. Pola sebaran proses sesaat untuk u=,5 m/s, D=,5 m /s dan t=9 detik dan kurva konsentrasi terhadap jarak model analitik model rank-nicholson..5..3..1 1 1 1 1 3 5 7 9 1.5.1.15..5.3 1 Gambar 5. Pola sebaran proses sesaat untuk u=,1 m/s, D=,1 m /s dan t=9 detik dan kurva konsentrasi terhadap jarak model analitik model rank-nicholson.3.5..15.1.5 1 1 1 1 3 5 7 9 1.5.1.15..5.3 1.3.5..15.1.5 1 1 1 1 3 5 7 9 1 1-3 15 1 5 1.15.1.5 59
PRISMA FISIKA, Vol. IV, No. (1), Hal. 5 3 ISSN : 337-1.15 1 1 1 1 1 1.1 1 1.5 1 3 5 7 9 1 1-3 15 1 5 1 Gambar. Pola sebaran proses sesaat untuk u=,1 m/s, D=,1 m /s dan t=1 detik dan kurva konsentrasi terhadap jarak model analitik model rank-nicholson 1 3 5 7 9 1 1 3 5 7 9 1 1 Gambar. Pola sebaran proses kontinu untuk u=,5 m/s, D=,5 m /s dan t= detik dan kurva konsentrasi terhadap jarak model analitik model rank-nicholson Pola sebaran untuk proses kontinu menampilkan sebaran ang memanjang karena konsentrasi ang keluar secara terus menerus dari titik sumber ang diinjeksikan seperti ang ditunjukkan pada Gambar 7 dan Gambar untuk waktu ang berbeda. 1 1 1 1 Gambar 9 memperlihatkan pola sebaran ang semakin melebar dan memanjang karena dipengaruhi oleh nilai kecepatan dan difusivitas ang besar, sehingga untuk waktu ang lebih lama akan menebabkan sebaran ang semakin memanjang dan melebar dari titik sumber ang diinjeksikan seperti pada Gambar 1. 1 1 1 1 1 1 1 3 5 7 9 1 1 3 5 7 9 1 1 3 5 7 9 1 1 1 1 3 5 7 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 5 7 9 1 1 3 5 7 9 1 1 Gambar 7. Pola sebaran proses kontinu untuk u=,5 m/s, D=,5 m /s dan t=3 detik dan kurva konsentrasi terhadap jarak model analitik model rank-nicholson 1 3 5 7 9 1 1 3 5 7 9 1 1 Gambar 9. Pola sebaran proses kontinu untuk u=1 m/s, D=1 m /s dan t=3 detik dan kurva konsentrasi terhadap jarak model analitik model rank-nicholson 1 1 1 1 1 1 3 5 7 9 1 1 3 5 7 9 1 1 1 1 1 1 1 1 3 5 7 9 1 1 3 5 7 9 1 1
PRISMA FISIKA, Vol. IV, No. (1), Hal. 5 3 ISSN : 337-1 1 1 1 1 3 5 7 9 1 1 3 5 7 9 1 1 Gambar 1. Pola sebaran proses kontinu untuk u=1 m/s, D=1 m /s dan t= detik dan kurva konsentrasi terhadap jarak model analitik model rank-nicholson Hasil dari pola sebaran dengan model rank-nicholson ang telah ditampil memiliki RMSE untuk masing-masing kasus dengan nilai ang divariasikan seperti pada tabel berikut ini. Tabel 1. RMSE kasus Adveksi-difusi D sesaat No Gambar Koefisien Waktu 11. Pola Kecepatan sebaran Metode rank- RMSE Difusi Nicholson pada Sungai Kapuas 1 9,5,5 1. 1-3 1 untuk,5 nilai D=,5 m /detik 1.1 saat 1-3 3 9,1,1 1.1 1 surut 1 jam jam -3 1,1,1.19 1 - Tabel. RMSE kasus Adveksi-difusi D kontinu No Waktu Kecepatan Koefisien Difusi RMSE 1 3,5,5,,5,5,7 3 3 1 1,93 1 1,11 Pada Tabel 1 menunjukkan RMSE untuk kasus adveksi-difusi D proses sesaat dengan nilai RMSE ang sangat kecil baik untuk waktu ang relatif lebih cepat maupun waktu ang lebih lama. Hal ini menunjukkan bahwa kesalahan dari metode rank-nicholson sangat kecil jika dibandingkan dengan metode analitikna, sehingga metode ini sangat baik digunakan untuk menelesaikan persamaan adveksi-difusi D serta menentukan pola sebaran untuk kasus adveksi-difusi untuk proses sesaat. Kemudian untuk proses kontinu sebagaimana ang ditunjukkan pada Tabel, juga memiliki RMSE ang relatif kecil baik untuk waktu simulasi ang kecil maupun dengan waktu ang lebih besar. Akan tetapi untuk waktu simulasi ang lebih besar, nilai RMSE juga meningkat baik untuk nilai kecepatan dan koefisien difusi ang kecil ataupun ang relatif lebih besar. Hal ini terjadi karena pada kasus adveksi-difusi D proses kontinu konsentrasi ang keluar dari titik sumberna secara terusmenerus sehingga adana sedikit perbedaan antara metode ang digunakan. Gambar 1. Pola sebaran Metode rank- Nicholson pada Sungai Kapuas untuk nilai D= m /detik saat pasang 1 jam jam Penerapan Metode rank-nicholson pada Sungai Kapuas telah menunjukkan hasil ang sesuai dengan fenomena tranpor polutan ang terjadi di alam, karena pola sebaran konsentrasi ang diinjeksikan menebar seiring bertambahna waktu. Begitu juga dengan nilai konsentrasina ang semakin berkurang ketika 1
PRISMA FISIKA, Vol. IV, No. (1), Hal. 5 3 ISSN : 337- jauh dari sumber. Parameter ang digunakan dari Sungai Kapuas hana kecepatan aliran air Sungai Kapuas saat menuju pasang dan surut. Gambar 13. Pola sebaran Metode rank- Nicholson pada Sungai Kapuas untuk nilai D=3,5 m /detik saat surut 1 jam jam Pola sebaran konsentrasi di Sungai Kapuas saat menuju pasang dan surut dapat dilihat pada Gambar 11 dan Gambar 1 untuk nilai difusivitas ang kecil. Pada gambar-gambar tersebut diterapkan variasi waktu aitu dengan waktu 1 jam dan jam. Pola sebaran konsentrasi dengan waktu ang lebih lama akan semakin panjang dan jauh dari titik sumber ang diinjeksikan. Pada Gambar 13 merupakan sebaran konsentrasi dengan nilai koefisien difusi ang lebih besar untuk arus saat surut dan pada Gambar 1 merupakan arus saat pasang. Dari gambar tersebut menunjukkan hasil ang sama dengan kasus untuk nilai koefisien difusi ang kecil, bedana hana terdapat pada lebar dan panjang sebaran konsentrasina. Untuk kasus dengan nilai koefisien difusi ang besar sebaranna semakin melebar dan tidak begitu memanjang karena dipengaruhi oleh nilai difusivitasna sehingga sedikit menghambat sebaran untuk lebih memanjang dari titik sumber. Selain itu untuk sebaran pada arus saat pasang juga selalu lebih pendek dibandingkan dengan arus saat surut, hal ini dikarenakan nilai arus saat pasang ang digunakan dari data ang didapat lebih kecil dari arus saat surut. Gambar 1. Pola sebaran Metode rank- Nicholson pada Sungai Kapuas untuk nilai D=3,5 m /detik saat pasang 1 jam jam. Kesimpulan Penerapan Metode rank-nicholson pada kasus adveksi-difusi D untuk proses sesaat dan kontinu dengan variasi nilai kecepatan dan koefisien difusi untuk waktu simulasi ang kecil maupun ang relatif lebih besar menunjukkan hasil ang baik. Hal ini ditunjukkan oleh RMSE ang didapat relatif kecil. Berdasarkan hasil simulasi dapat disimpulkan bahwa metode rank-nicholson sangat baik digunakan untuk menelesaikan persamaan adveksi-difusi dua dimensi. Daftar Pustaka [1] Ribal. Metode Beda Hingga Makasar, Draft Lecture Note on Finite Difference Methods: Universitas Hassanuddin;. [] Alman, Kusuma J, Khaeruddin, Aris N, Toaha S. Suatu Tinjauan Numerik Persamaan Adveksi Difusi -D Transfer Polutan dengan Menggunakan Metode Beda Hingga Dufort Frankel. KNM XVII. Surabaa; 1. [3] Aminuddin. Solusi Analitik Persamaan Transpor Adveksi-Difusi 1D dan D Horizontal Menggunakan Teknik Transformasi Fourier Untuk Pemodelan Dispersi Polutan Di Suatu Perairan Bandung: Institut Teknologi Bandung; 1999. [] Google earth V 7.1.5.1557. ( April 15). Sungai Kapuas, Kalimantan Barat. 1 1.73 S, 19 3.9 T, Ketinggian
PRISMA FISIKA, Vol. IV, No. (1), Hal. 5 3 ISSN : 337- Mata 33 meter. NES/Atrium 15. http://www.earth.google.com [ November 15]. [5] Fadugba SE, Zelibe S, Edogbana OH. rank Nicolson Method for Solving Parabolic Partial Differential Equations. IJAM. 13; 1(3): p. -3. [] hai T, Draler RR. Root Mean Square Error (RMSE) or Man Absolute Error (MAE). Geoscientific Model Development. 1;(7): p. 17-15. 3