SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPL2V) Standar Kompetensi 2. Memahami sistem persamaan linear dua variabel dan menggunakannya dalam pemecahan masalah. Kompetensi Dasar 2.1 Menyelesaikan sistem persamaan linear dua varibel. 2.2 Membuat model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dua variabel. 2.3 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem per-samaan linear dua variabel dan penafsirannya. A. Bentuk Umum Dea membeli sebuah baju dan 2 buah kaos, ia harus membayar Rp. 100.000,00. Adapun Butet membeli sebuah baju dan 3 buah kaos, ia harus membayar Rp. 120.000,00. Dapatkah kalian menentukan harga dari sebuah baju dan sebuah kaos? Perhatikan bahwa selisih uang yang mereka bayarkan adalah Rp. 20.000,00, sedangkan selisih banyaknya kaos yang mereka beli adalah sebuah. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa harga sebuah kaos adalah Rp. 20.000,00. Apabila terdapat dua persamaan linear dua variabel yang berbentuk : ax + by = c px + qy = r maka dikatakan dua persamaan tersebut membentuk Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPL2V). Penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel tersebut adalah pasangan bilangan (x, y) yang memenuhi kedua persamaan tersebut. B. Menyelesaikan SPL2V 1. Metoda grafik Himpunan penyelesaian dari 2x + y = 6 dan x + 2y = 6 adalah Untuk menyelesikannya kedua persamaan kita gambarkan pada grfaik kartesius sebagai berikut: 2x + y = 6 x 0 3 y 6 0 x + 2y = 6 x 0 6 y 3 0 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(2,2)}. Latihan 1. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut dengan metoda grafik! 1. 2x + y = 8 dan x 2y = 4 2. y = x + 2 dan y = 2x Tentukanlah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut dengan metoda grafik! 1. 2x + 3y = 6 dan x y = 3 2. x + y = 5 dan y = x + 1 3. x + y = 2 dan 2x y = 8 By. M. Isral, S.Pd Page 1
2. Metoda substitusi Dengan metode substitusi, himpunan penyelesaian sistem persamaan : 2x + 3y = 6 dan x y = 3 adalah. 2x + 3y = 6... (1) x y = 3... (2) Dari persamaan (2) : x y = 3 diperoleh x = 3 + y disubstitusi ke persamaan (1) sehingga : 2(3 + y) + 3y = 6 6 + 2y + 3y = 6 6 + 5y = 6 5y = 6 6 5y = 0 y = 0 : 5 y = 0 x = 3 + y x = 3 + 0 x = 3 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(3,0)} Latihan 2. Tentukanlah himpunan penyelesaian sistem persamaan berikut dengan metode substitusi, jika x dan y variabel pada bilangan real! 1. x + y = 5 dan y = x + 1 2. x + 5y = 5 dan x + y + 5 = 0 Tentukanlah himpunan penyelesaian sistem persamaan berikut dengan metode substitusi, jika x dan y variabel pada bilangan real! 1. y = x dan 3x + y = 2 2. 2x + 3y = 0 dan x + y = 1 3. 2x + y + 5 = 2 dan 3y + 2x = 5 4. 4x + 3y = 6 dan 2x y = 3 3. Metoda eliminasi Dengan metode eliminasi, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan 2x + 3y = 6 dan x y = 3. Untuk menentukan nilai x, maka dieliminasi y dengan cara berikut: 2x + 3y = 6 kali 1 2x + 3y = 6 1x 1y = 3 kali 3 3x 3y = 9 + 5x = 15 x = 15 : 5 x = 3 By. M. Isral, S.Pd Page 2
Untuk menentukan nilai y, maka dieliminasi x dengan cara sebagai berikut: 2x + 3y = 6 kali 1 2x + 3y = 6 1x 1y = 3 kali 2 2x 2y = 6 5y = 0 y = 0 : 5 y = 0 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(3,0)} Latihan 3. metode eliminasi, jika x dan y variabel pada himpunan bilangan real! 1. x + y = 1 dan x + 5y = 5 2. 3x + 2y = 12 dan 2x y = 8 3. 2x + y = 5 dan 3x 2y = 4 4. x + y = 12 dan 3x y = 4 metode eliminasi, jika x dan y variabel pada himpunan bilangan real! 1. x + 2y = 4 daan 2x y = 3 2. 2x 4y = 10 dan x + 2y = 9 3. x + y = 6 dan -x + 3y = 2 4. x + 2y = 4 dan 2x + 4y = 5 5. 3x y = 2 dan 6x 2y = 4 4. Metoda gabungan eliminasi dan subtitusi Diketahui sistem persamaan linear dua variabel 2x + 3y = 18 dan 3x + 2y = 12. Nilai 2x 3y adalah. Dengan metoda gabungan langkah pertama yang dilakukan adalah mengeliminasi salah satu variabel, sebagai berikut : Untuk mendapatkan nilai y, maka dieliminasi x 2x + 3y = 18 kali 3 6x + 9y = 54 3x + 2y = 12 kali 2 6x + 4y = 24 5y = 30 y = 30 : 5 y = 6 Untuk mendapatkan nilai x maka y = 6 disubtitusi ke salah satu persamaan : 2x + 3y = 18 2x +3(6) = 18 2x + 18 = 18 2x = 18 18 2x = 0 x = 0 : 2 x = 0 Maka nilai dari 2x 3y = 2(0) 3(6) = 0 18 = 18 By. M. Isral, S.Pd Page 3
Latihan 4. metode gabungan eliminasi dan substitusi, jika x dan y variabel pada himpunan bilangan real! 1. x + y = 7 dan x y = 3 2. 3x + 2y = 6 dan 2x y = 5 3. 2x + 5y = 8 dan x + 5y = 2 4. y = 2x 5 dan y = x + 3 metode gabungan eliminasi dan substitusi, jika x dan y variabel pada himpunan bilangan real! 1. x + 2y = 3 dan x + y = 5 2. 2x 3y = 3 dan y = 2x 1 3. x + 2y 1 = 0 dan y x + 4 = 0 4. x + 4y = 8 dan 2x y = 3 C. Model Matematika SPL2V Harga 8 buah buku tulis dan 6 buah pensil Rp. 14.400,00. Harga 6 buah buku tulis dan 5 buah pensil Rp. 11.200,00. Jumlah harga 5 buah buku tulis dan 8 buah pensil adalah. Misalkan : b : harga sebuah buku tulis p : harga sebuah pensil Harga 8 buah buku tulis dan 6 buah pensil R. 14.400,00 8b + 6p = 14.400 (kedua ruas dibagi 2) 4b + 3p = 7.200... (1) Harga 6 buah buku tulis dan 5 buah pensil Rp. 11.200,00 6b + 5p = 11.200... (2) Pertanyaannya Harga 5 buah buku tulis dan 8 buah pensil adalah. 5b + 8p = Untuk menentukan harga sebuah buku dan/atau sebuah pensil kita selesaikan dengan metoda substitusi atau eliminasi atau gabungan keduanya. 8b + 3p = 7.200 kali 5 20b + 15p = 36.00 6b + 5p = 11.200 kali 3 18b +15p = 33.600 2b = 2.400 b = 2.400 : 2 b = 1.200 Harga satu buah buku Rp. 1.200,00 b = 1.200 disubstitusikan ke salah satu persamaan : 6b + 5p = 11.200 6(1.200) + 5p = 11.200 7.200 + 5p = 11.200 5p = 11.200 7.200 5p = 4.000 p = 4.000 : 5 P = 800 By. M. Isral, S.Pd Page 4
Harga satu buah pensil adalah Rp. 800,00 5b + 8p = 5(1.200) + 8(800) = 6.000 + 6.400 = 12.400 Jadi harga 5 buah buku tulis dan 8 buah pensil adalah Rp. 12.000,00 Latihan 5. 1. Harga 12 pensil dan 8 buku Rp 44.000,00 sedangkan harga 9 pensil dan 4 buku Rp 31.000,00. Jumlah uang yang harus dibayarkan untuk 2 pensil dan 5 buku adalah.... 2. Pada sebuah tempat parkir terdapat 84 kendaraan yang terdiri dari sepeda motor dan mobil (roda empat). Setelah dihitung jumlah roda seluruhnya ada 220. Jika tarif parkir untuk sepeda motor Rp 300,00 dan untuk mobil Rp 500.00, maka besar uang parkir yang diterima tukang parkir tersebut adalah... 1. Harga 3 pasang sepatu dan 5 buah tas adalah Rp 290.000,00. sedangkan harga 4 pasang sepatu dan 2 buah tas Rp 200.000,- Harga 3 pasang sepatu dan 2 buah tas adalah.... 2. Pada suatu ladang terdapat 12 ekor hewan terdiri dari ayam dan kambing, sedangkan jumlah kaki hewan itu ada 40 buah. Banyak kambing diladang tersebut adalah... 3. Diketahui keliling sebuah persegi panjang adalah 70 cm dan panjangnya 5 cm lebih dari lebarnya. Maka luas persegi panjang itu adalah.... By. M. Isral, S.Pd Page 5
Evaluasi Silangi(X) salah stu huruf A, B, C, atau D jawaban yang benar! 1. Himpunan penyelesaian sari system persamaan 4x y = 11 dan 2x + 3y = -5 adalah. A. {(2, -3)} C. {(-2, -3)} B. {(-2, 3)} D. {(2, 3)} 2. Diketahui sistem persamaan 3x + 7y = 1 dan 2x 3y = 16. Nilai x y = A. 8 C. -10 B. 6 D. -12 3. Diketahui sistem persamaan 3x + 2y = 8 dan x 5y = 37. Nilai 6x + 4y adalah A. -30 C. 16 B. -16 D. 30 4. Diketahui : 3x + 4y = 7 dan 2x + 3y = 16. Nilai 2x 7y adalah. A. -24 C. 4 B. -4 D. 24 5. Himpunan penyelesaian dari 2x + 4y = 22 dan 3x 5y = 11 x, y R adalah A. {(3, 4)} C. {(3, -4)} B. {(-3, 4)} D. {(-3, -4)} 6. Jika x dan y memenuhi sistem persamaan 5x 3y = 20 dan 3x 5y = 4, maka nilai 6x 4y adalah A. 20 C. 42 B. 22 D. 62 7. Fungsi f ditentukan dengan rumus f(x) = ax + b. Jika f(2) = 1 dan f(4) = 7, maka nilai a + 2b adalah. A. -7 C. 2 B. -2 D. 7 8. Di toko alat tulis, Tuti membeli 2 pensil dan 3 buku tulis seharga Rp. 15.500,00. Di toko yang sama, Lina membeli 4 pensil dan 1 buku tulis seharga Rp. 13.500,00. Bila Putri membeli 1 pensil dan 2 buku tulis di toko tersebut, Putri harus membayar sebesar. A. Rp. 6.000,00 C. Rp. 8.500,00 B. Rp. 7.000,00 D. Rp. 9.500,00 9. Pada sebuah toko, Hida dan Anis membeli terigu dan beras merek yang sama. Hida membeli 6 kg terigu dan 10 kg beras seharga Rp. 84.000,00, sedangkan Anis membeli 10 kg terigu dan 5 kg beras seharga Rp. 70.000,00. Harga 8 kg terigu dan 20 kg beras adalah. A. Rp. 152.000,00 C. Rp. 128.000,00 B. Rp. 130.000,00 D. Rp. 120.000,00 10. Harga 3 kg jeruk dan 2 kg rambutan Rp. 30.500,00. Sedangkan harga 4 kg jeruk dan 3 kg rambutan jenis yang sama adalah Rp. 42.000,00. Harga 1 kg jeruk adalah. A. Rp. 4.000,00 C. Rp. 7.000,00 B. Rp. 4.500,00 D. Rp. 7.500,00 By. M. Isral, S.Pd Page 6