APLIKASI DERET FOURIER UNTUK MENGETAHUI WAKTU TERBIT, KULMINASI, DAN TERBENAM MATAHARI SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Guna Memperoleh Gelar Sarjana Strata Satu (S-1) Oleh: NURUL ISHMAH 0801060023 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PURWOKERTO 2012 i
MOTTO Tetap berusaha dan jangan pernah putus asa, karena tidak ada satupun masalah yang tidak dapat diselesaikan. Jangan mengingat orang dari sisi buruknya tetapi ingatlah ia dari sisi baiknya, apabila tidak ada satupun sisi baik yang dapat kau ingat, maka anggaplah dia seseorang yang baru kau kenal. Kesabaran layaknya pedang yang tak pernah tumpul, seperti prajurit yang tak pernah kalah, dan seperti benteng yang tak bisa runtuh, oleh karena itu, berusahalah untuk bersabar karena sesungguhnya kesabaran tidak ada batasnya. Merasa terdzalimi adalah perasaan yang harus dihindari karena ia akan menjauhkanmu dari rasa syukur, sesungguhnya Alloh SWT menyukai hambanya yang pintar bersyukur. v
PERSEMBAHAN Sesungguhnya segala pujian dan persembahan hanya bagi Allah azza wa jalla Shalawat serta salam tercurah untuk diri Rosululloh saw, para sahabat, keluarga dan seluruh ummatnya yang istiqomah hingga akhir zaman. Skripsi ini Kupersembahkan untuk : Ummi Siti Badiyah tercinta Terima kasih tiada terkira kepada ummi atas semua motivasi, dukungan, dan perjuangan selama ini. Sujud syukur kepada Alloh SWT karena telah memilihku menjadi putri ummi. Bapak Nur Fadloli (Alm.) tercinta Terima kasih banyak kepada bapak karena telah berjuang melawan sel kanker yang menggerogoti otak, terima kasih karena tidak pernah menyerah sampai akhir. Salam rindu untuk bapak. vi
ABSTRAK Penelitian ini bertujuan untuk: 1) Mengetahui waktu matahari terbit, waktu matahari berkulminasi, dan waktu matahari terbenam di Masjid Fatimatuzzahra, kecamatan Purwokerto Utara; 2) Mengetahui rentang waktu edaran harian matahari; 3) Membandingkan dan menghitung selisih waktu matahari terbit, waktu matahari berkulminasi dan waktu matahari terbenam antara pengamatan dan perhitungan; 4) Membandingkan dan menghitung selisih rentang waktu edaran harian matahari antara pengamatan dan perhitungan. Langkah-langkah penelitian sebagai berikut: 1) Mentransformasikan deret Fourier ke dalam rumus lintasan edaran harian matahari (sin h); 2) Melakukan pengamatan untuk mengetahui waktu matahari terbit, waktu matahari berkulminasi, dan waktu matahari terbenam; 3) Melakukan perhitungan untuk mengetahui waktu matahari terbit, waktu matahari berkulminasi, dan waktu matahari terbenam; 4) Membandingkan hasil pengamatan dan perhitungan; 5) Membandingkan rentang waktu edaran harian matahari antara hasil pengamatan dan perhitungan. Tempat dan waktu pengamatan di masjid Fatimatuzzahra pada tanggal 23 Maret-1 April 2012. Hasil rata-rata pengamatan diperoleh data matahari terbit pada pukul 5 j 48 m 20 d, matahari berkulminasi pada pukul 11 j 50 m 22,5 d, dan matahari terbenam pada pukul 17 j 47 m 58,13 d. Hasil rata-rata perhitungan diperoleh data matahari terbit pada pukul 5 j 49 m 41,32 d, matahari berkulminasi pada pukul 11 j 48 m 9,39 d, dan matahari terbenam pada pukul 17 j 46 m 37,46 d. Selisih ratarata waktu matahari terbit, berkulminasi, dan terbenam antara pengamatan dan perhitungan yakni waktu matahari terbit sebesar 0 j 3 m 24,75 d, waktu matahari berkulminasi sebesar 0 j 3 m 50,91 d, dan waktu matahari terbenam sebesar 0 j 3 m 1,71 d. Rentang waktu rata-rata edaran harian matahari berdasarkan hasil pengamatan sebesar 11 j 59 m 36,43 d. Rentang waktu rata-rata edaran harian matahari berdasarkan perhitungan sebesar 11 j 56 m 56,14 d. Selisih rata-rata rentang waktu edaran harian matahari antara pengamatan dan perhitungan sebesar 0 j 02 m 55,95 d. Kata kunci : Deret Fourier, waktu matahari terbit, waktu matahari berkulminasi, waktu matahari terbenam vii
KATA PENGANTAR Puji syukur peneliti panjatkan kehadirat Illahi Robbi atas segala kasih sayang yang tiada henti diberikan sehingga penyusunan skripsi dengan judul Aplikasi deret Fourier untuk mengetahui waktu terbit, kulminasi, dan terbenam matahari dapat terselesaikan dengan baik. Peneliti menyadari bahwa tersusunnya skripsi ini adalah berkat bimbingan, nasehat, petunjuk, serta bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan ini peneliti mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada: 1. Dr. Syamsuhadi Irsyad, S.H, M.H, Rektor Universitas Muhammadiyah Purwokerto. 2. Drs. Joko Purwanto, M.Si, Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan. 3. Chumaedi Sugihandardji, S.Si, M.Si, Ketua Program Studi Pendidikan Matematika dan Pembimbing I yang telah memberikan bimbingan, motivasi, dan pengarahan dalam penyusunan skripsi ini. 4. Drs. Akhmad Jazuli, M.Si, Pembimbing II yang telah memberikan bimbingan, motivasi, dan pengarahan dalam penyusunan skripsi ini. 5. Drs. Chairul Anam, Pendamping dan Pengurus Majlis Tarjih Pimpinan Daerah Muhammadiyah Kabupaten Banyumas yang telah memberikan dukungan dan bimbingan dalam penyusunan skripsi ini. 6. Seluruh pengurus masjid Fatimatuzzahra yang telah memberikan ijin pengamatan dan membantu dalam penyusunan skripsi ini. viii
7. Ketua dan staf Lembaga Pengkajian dan Penelitian Agama Islam (LPPI) Universitas Muhmmadiyah Purwokerto yang telah memberikan motivasi dan ijin kepada peneliti untuk menggunakan theodolite dan ruang LPPI selama proses belajar. 8. Serta semua pihak yang membantu terselesaikannya skripsi ini. Semoga Skripsi ini dapat memberi manfaat bagi peneliti, mahasiswa, dosen dan masyarakat. Semoga Allah SWT berkenan memberi imbalan yang lebih baik. Purwokerto, Juni 2012 Peneliti, ix
DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i LEMBAR PERSETUJUAN... ii HALAMAN PENGESAHAN......iii LEMBAR PERNYATAAN... iv MOTTO.. v PERSEMBAHAN...vi ABSTRAK vii KATA PENGANTAR...viii DAFTAR ISI...ix DAFTAR SIMBOL...xiii DAFTAR TABEL... xiv DAFTAR GAMBAR... xv DAFTAR LAMPIRAN... xvi BAB I. PENDAHULUAN.. 1 A. Latar Belakang...1 B. Rumusan Masalah..5 C. Batasan Masalah... 5 D. Tujuan Penelitian... 6 E. Manfaat Penelitian. 6 BAB II. LANDASAN TEORI. 7 A. Sistem Koordinat Kutub 7 x
1. Fungsi Melingkar.7 2. Limit... 12 3. Kontinuitas...12 4. Turunan....13 5. Integral... 13 6. Deret Fourier...15 7. Konvergensi Deret... 18 8. Ketetapan Dirichlet 19 B. Sistem Koordinat Bola.19 1. Bola Langit 20 2. Sistem Koordinat Ekliptika dan Sistem Koordinat Ekuator....22 3. Deklinasi Matahari.24 C. Sistem Koordinat Horizon... 26 1. Bola Bumi.. 27 2. Posisi Tempat (Lintang dan Bujur Tempat).. 28 3. Edaran Harian Matahari.29 a. Tinggi Matahari... 30 b. Sudut Waktu Matahari. 31 c. Perata Waktu (Equation of Time)... 32 d. Koreksi Waktu Daerah... 32 4. Waktu matahari terbit, berkulminasi, dan terbenam...33 xi
D. Aplikasi Deret Fourier pada Perhitungan Waktu Terbit, Kulminasi, dan Terbenam Matahari... 35 BAB III. METODOLOGI PENELITIAN 37 A. Mengumpulkan Konsep-Konsep yang Mendukung... 37 B. Mentransformasikan deret Fourier ke dalam lintasan edaran harian matahari (sin h).37 C. Tempat dan Waktu Pengamatan... 38 D. Alat Penelitian. 38 E. Menyelesaikan Masalah...39 F. Menarik Kesimpulan... 43 BAB IV. PEMBAHASAN... 44 A. Transformasi deret Fourier pada rumus lintasan edaran harian matahari (sin h)... 44 B. Pengamatan Waktu Terbit, Kulminasi, dan Terbenam Matahari... 52 C. Perhitungan Waktu Terbit, Kulminasi, dan Terbenam Matahari... 53 D. Perbandingan antara Hasil Pengamatan dan Hasil Perhitungan... 58 E. Perbandingan Rentang Waktu Edaran Harian Matahari antara Perhitungan dan Pengamatan... 60 BAB V. PENUTUP... 64 A. Simpulan... 64 B. Saran... 65 DAFTAR PUSTAKA... 66 LAMPIRAN-LAMPIRAN... 67 xii
DAFTAR SIMBOL SIMBOL ARTI δ α φ λ d+2p d Deklinasi matahari Asensiorekta matahari Lintang tempat Bujur tempat Integral tentu antara interval d, d + 2p n =1 Penjumlahan n = 1 sampai f + (t) f (t) Limit kanan fungsi f Limit kiri fungsi f xiii
DAFTAR TABEL Tabel 1: Nilai fungsi sinus, cosinus, dan tangen... 10 Tabel 2: Variasi nilai fungsi sin t dan cos t pada 0 t 2π... 10 Tabel 3: Hasil pengamatan waktu matahari terbit, berkulminasi, dan terbenam.. 53 Tabel 4: Deklinasi matahari dan equation of time...54 Tabel 5: Besar sudut waktu pada saat h = 0...56 Tabel 6: Hasil perhitungan waktu matahari terbit, berkulminasi, dan terbenam...58 Tabel 7: Perbandingan hasil pengamatan dan perhitungan waktu matahari terbit, kulminasi, dan terbenam di masjid Fatimatuzzahra...... 59 Tabel 8: Perbandingan rentang waktu edaran harian matahari antara pengamatan dan perhitungan...63 xiv
DAFTAR GAMBAR Gambar 1: Sistem koordinat kutub... 7 Gambar 2: Lingkaran... 8 Gambar 3: Lingkaran dengan titik pusat di (0,0) dan berjari jari r... 8 Gambar 4: Fungsi melingkar... 9 Gambar 5: Grafik sin t... 11 Gambar 6: Grafik cos t... 11 Gambar 7: Gambar 8: Sistem koordinat bola...20 Lintasan bumi mengelilingi matahari...21 Gambar 9: Bola langit. 21 Gambar 10: Sistem koordinat ekliptika...22 Gambar 11: Sistem koordinat ekuator...24 Gambar 12: Perjalanan semu tahunan matahari (deklinasi matahari)...25 Gambar 13: Sistem koordinat horizon... 26 Gambar 14: Bumi... 28 Gambar 15: Perjalanan matahari dari terbit hingga terbenam tepat di ekuator langit δ = 0...30 Gambar 16: Aplikasi deret Fourier...36 Gambar 17: Grafik cos t...45 Gambar 18: Grafik deret Fourier...48 Gambar 19: Grafik lintasan edaran harian matahari... 51 xv
DAFTAR LAMPIRAN LAMPIRAN 1. BUKTI TEOREMA... 68 A. Bukti Teorema A... 69 LAMPIRAN 2. IDENTITAS FUNGSI TRIGONOMETRI...70 A. Identitas Fungsi Trigonometri... 71 LAMPIRAN 3. BUKTI PERSAMAAN... 72 A. Bukti Persamaan 2... 73 B. Bukti Persamaan 3... 73 C. Bukti Persamaan 4... 74 D. Bukti Persamaan 5... 75 E. Bukti Persamaan 6... 76 F. Bukti Persamaan 7... 77 G. Bukti Persamaan 8... 79 LAMPIRAN 4. GAMBAR SISTEM KOORDINAT HORIZON... 80 A. Gambar a: Tinggi matahari pada φ < 0 dan δ < 0... 81 B. Gambar b: Tinggi matahari pada φ < 0 dan δ = 0... 81 C. Gambar c: Tinggi matahari pada φ < 0 dan δ > 0... 81 D. Gambar d: Tinggi matahari pada φ = 0 dan δ < 0... 82 E. Gambar e: Tinggi matahari pada φ = 0 dan δ = 0... 82 F. Gambar f: Tinggi matahari pada φ = 0 dan δ > 0... 82 G. Gambar g: Tinggi matahari pada φ > 0 dan δ < 0... 83 xvi
H. Gambar h: Tinggi matahari pada φ > 0 dan δ = 0... 83 I. Gambar i: Tinggi matahari pada φ > 0 dan δ > 0... 83 LAMPIRAN 5. GAMBAR KOORDINAT PENGAMATAN... 84 A. Koordinat pengamatan di masjid Fatimatuzzahra... 85 LAMPIRAN 6. DOKUMENTASI... 86 A. Theodolite... 87 B. Pangamatan waktu matahari terbit...88 C. Pangamatan waktu matahari berkulminasi... 89 D. Pangamatan waktu matahari terbenam... 90 LAMPIRAN 7. DATA PERHITUNGAN TAHUN 2012... 91 A. Data Perhitungan Waktu Matahari Terbit, Kulminasi, Terbenam, dan Tinggi Matahari Saat Berkulminasi Tahun 2012... 92 LAMPIRAN 8. SURAT-SURAT... 107 A. Surat keputusan... 108 B. Surat ijin penelitian... 110 xvii