Bab 5: Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2015
Waktu Antar Kedatangan Waktu Antar Kedatangan Misalkan T 1 menyatakan waktu dari kejadian/kedatangan pertama. Misalkan T n menyatakan waktu tersisa antara kejadian ke-n 1 dan kejadian ke-n. Barisan {T n, n = 1, 2,...} adalah barisan waktu antar kejadian (interarrival time).
Waktu Antar Kedatangan Untuk menentukan distribusi dari T n, perhatikan bahwa kejadian {T 1 > t} terjadi jika dan hanya jika tidak ada kejadian dari proses Poisson yang terjadi pada interval [0, t], sehingga P(T 1 > t) = e λt λt (λt)0 = e 0! = P(N t = 0) Jadi, T 1 berdistribusi eksponensial dengan parameter λ atau mean 1 λ.
Waktu Antar Kedatangan Karena T 1 Eksp(λ), maka f T1 (t 1 ) = λe λt 1 Dengan demikian, perhatikan bahwa P(T 2 > t) = E(P(T 2 > t T 1 )) (mengapa demikian?) Bukti: E(P(T 2 > t T 1 )) = P(T 2 > t T 1 )f T1 (t 1 ) t 1 =0 = P(T 2 > t T 1 ) f T1 (t 1 ) t 1 =0 = P(T 2 > t T 1 ) memoryless property = P(T 2 > t)
Waktu Antar Kedatangan Sedangkan P(T 2 > t T 1 ) = P(tidak ada kejadian pada (s, s + t] T 1 = s) = P(tidak ada kejadian pada (s, s + t]) = e λt Dengan demikian, T 2 juga peubah acak eksponensial dengan parameter λ, dan T 2 saling bebas dengan T 1. Hal tersebut berlaku juga untuk T 3, T 4,..., T n, sehingga peubah acak T n dengan n = 1, 2,... juga berdistribusi eksponensial dengan parameter λ dan peubah acak-peubah acak tersebut saling bebas.
Waktu Tunggu Waktu Tunggu Terdapat statistik lain yaitu S n, merupakan waktu kedatangan kejadian ke-n atau waktu tunggu (waiting time) hingga kejadian ke-n S n = T 1 + T 2 +... + T n, n 1
Waktu Tunggu Contoh Misalkan waktu kedatangan turis-turis ke suatu pulau berdistribusi eksponensial dengan mean 1 hari. 1. Berapa waktu yang diharapkan hingga turis kesepuluh datang? 2. Berapa peluang bahwa waktu yang dibutuhkan (elapsed time) antara turis kesepuluh dengan kesebelas datang melebihi 2 hari?
Waktu Tunggu 1. E(S 10 ) = E(T 1 +T 2 +...+T 10 ) = E(T 1 )+...+E(T 10 ) = 10(1) = 10 2. P(T 11 > 2) = e 1(2) = e 2
Perhatikan P(T 1 > t) = e λt λt (λt)0 = e 0! = P(N t = 0) Proses tersebut menyatakan bahwa kejadian pertama akan terjadi setelah t waktu (P(T 1 > t)), atau dapat dinyatakan pula bahwa tidak ada kejadian pada selang waktu [0, t] (P(N t = 0)). Hal ini menunjukkan kaitan antara distribusi eksponensial dengan proses Poisson. adalah proses menghitung (counting process) untuk banyaknya kejadian yang terjadi hingga suatu waktu sering disebut juga proses lompatan (jump process) karena keadaan akan berpindah ke yang lebih tinggi setiap kali kejadian terjadi.
Counting Process Suatu proses stokastik {N t, t 0} dikatakan sebagai proses menghitung (counting process) jika N t menyatakan total banyaknya kejadian yang terjadi sampai waktu t. Beberapa contoh dari proses menghitung adalah sebagai berikut Banyaknya orang yang masuk ke dalam sebuah toko pada/sampai waktu t. Banyaknya bayi yang lahir sampai waktu t Banyaknya gol yang dicetak pemain, dsb
Berdasarkan definisinya, proses menghitung {N t, t 0} harus memenuhi kriteria-kriteria berikut ini i. N t 0 ii. N t bernilai integer (bilangan bulat) iii. Jika s < t, maka N s N t iv. Untuk s < t, N t N s adalah banyaknya kejadian pada interval (s, t]
Sebuah proses menghitung dikatakan memiliki kenaikan independen (independent increments) jika banyaknya kejadian yang terjadi pada selang waktu yang saling asing adalah saling bebas. Sebagai contoh, banyaknya kejadian yang terjadi sampai waktu s (yaitu N s ) saling bebas dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada selang waktu [s, t] (yaitu N t N s ). Sebuah proses menghitung dikatakan memiliki kenaikan stasioner (stationary increments) jika distribusi banyaknya kejadian pada setiap selang hanya bergantung pada panjang selang. Dengan kata lain, suatu proses memiliki kenaikan stasioner jika banyaknya kejadian pada selang (s, s + t) mempunyai distribusi yang sama untuk semua s.
Definisi Proses menghitung {N t, t 0} dikatakan sebagai proses Poisson dengan laju λ, λ > 0, jika i. N 0 = 0 ii. Proses memiliki kenaikan independen iii. Banyaknya kejadian di sebarang interval waktu dengan panjang t berdistribusi Poisson dengan mean λt. Untuk setiap s, t 0 P(N t+s N s = n) = e λt (λt)n, n = 0, 1,... n! Berdasarkan kondisi [iii.] proses Poisson memiliki kenaikan stasioner dan E(N t ) = λt menunjukkan bahwa λ dinamakan laju dari proses Poisson.
Contoh 1. Misalkan {N t } adalah proses Poisson dengan laju λ = 3. Hitung a. P(N 4 = 5) b. P(N 4 = 5, N 6 = 9) c. E(2N 2 4N 6 ) d. Var(2N 2 4N 6 )
Penyelesaian: 3 4 (3 4)5 P(N 4 = 5) = e 5!
P(N 4 = 5, N 6 = 9) = P(N 4 = 5, N 6 N 4 = 4) = P(N 4 = 5)P(N 6 N 4 = 4) = e 3 4 (3 4)5 3 2 (3 2)4 e 5! 4!
E(2N 2 4N 6 ) = E(2N 2 ) E(4N 6 ) = 2E(N 2 ) 4E(N 6 ) = 2(3 2) 4(3 6)
Var(2N 2 4N 6 ) = 4 Var(N 2 ) + 16 Var(N 6 ) = 4(3 2) + 16(3 6)
2. Misalkan {N t } proses Poisson dengan laju λ. Misalkan s, t > 0, dan k j 0. Tentukan distribusi N t+s diberikan N s = j.
Penyelesaian: Kita ketahui bahwa N s dengan N t+s N s saling bebas, jadi P(N t+s = k N s = j) = P(N t+s N s = k j N s = j) = P(N t+s N s = k j) = P(N t = k j) λt (λt)k j = e (k j)! Jadi, distribusi N t+s N s = j adalah Poisson dengan parameter (λt).
3. Misalkan {N t } adalah proses Poisson dengan laju λ = 2. Hitung peluang T 2 > 5 diberikan N 4 = 1
Penyelesaian: P(T 2 > 5 N 4 = 1) = P(T 2 > 5 T 1 4) = P(T 2 > 5) = e 2 5 = e 10
4. Misalkan T K menyatakan waktu yang dibutuhkan (elapsed time) untuk klaim-klaim asuransi diproses; T 1 menyatakan waktu yang dibutuhkan hingga klaim pertama diproses. Diketahui T 1, T 2,... saling bebas dan berdistribusi dengan fungsi peluang f (t) = 0.1 e 0.1t, t > 0 dengan t diukur dalam setengah jam. Hitung peluang bahwa setidaknya sebuah klaim akan diproses pada 5 jam ke depan! Berapa peluang bahwa setidaknya 3 klaim diproses dalam 5 jam?
Penyelesaian: P(T 1 10) = 1 P(T 1 > 10) = 1 e 0.1(10) = 1 e 1 Selanjutnya N 10 POI (0.1(10) = 1) Jadi, P(N 10 3) = 1 [P(N 10 = 0) + P(N 10 = 1) + P(N 10 = 2)] = 1 e 1 1 11 12 e e 1 1! 2!
Jumlahan Jumlahan Pandang sebuah proses Poisson {N t, t 0} dengan laju λ, dan misalkan setiap kali sebuah kejadian terjadi diklasifikasikan ke dalam dua tipe, tipe I dengan peluang p dan tipe II dengan peluang 1 p saling bebas satu sama lain. Sebagai contoh, misalkan kedatangan pelanggan pada sebuah toko merupakan proses Poisson dengan laju λ; dan misalkan masing-masing kedatangan pelanggan pria memiliki peluang 1 2 dan kedatangan pelanggan wanita memiliki peluang 1 2.
Jumlahan Misalkan N 1 (t) dan N 2 (t) berturut-turut menyatakan banyaknya kejadian tipe I dan tipe II pada selang [0, t]. Kita mendapatkan N(t) = N 1 (t) + N 2 (t) yang juga merupakan proses Poisson dengan parameter λ 1 + λ 2.
Contoh Jumlahan 1. Mahasiswa-mahasiswa Stat UII akan datang ke Gedung Baru FMIPA melewati pintu barat atau pintu timur gedung (pintu utaranya sedang diperbaiki). Kedatangan mahasiswa melalui dua pintu tersebut berturut-turut mengikuti proses Poisson dengan parameter λ 1 = 1 2 dan λ 2 = 3 2 per menit. a. Berapa peluang tidak ada mahasiswa datang pada selang waktu 5 menit? b. Hitung mean waktu antar kedatangan mahasiswa-mahasiswa tersebut! c. Berapa peluang seorang mahasiswa benar-benar datang melalui pintu barat? d. Berapa peluang setidaknya ada 2 orang yang masuk gedung dalam 5 menit?
Jumlahan Penyelesaian: N B POI ( ) 1, N T POI 2 maka N(t) = N B (t) + N T (t) POI (2) Karena λ = 2 = 1 2 + 3 2, maka T 1 Eksp(2), ( ) 3 2 a. Peluang tidak ada mahasiswa datang pada selang waktu 5 menit adalah P(T 1 > 5) = e 2(5) = e 10
Jumlahan b. Mean waktu antar kedatangan mahasiswa-mahasiswa E(T K ) = 1 2 c. Peluang seorang mahasiswa benar-benar datang melalui pintu barat P(T B < T T ) = 1 2 1 2 + 3 2 = 1 4 d. Peluang setidaknya ada 2 orang masuk gedung dalam 5 menit P(N 5 2) = 1 P(N 5 = 0) P(N 5 = 1) = 1 e 2 5 2 5 (2 5)1 e 1! = 1 e 10 10e 10
Jumlahan 2. Seorang mahasiswi UII sedang menjadi selebriti medsos. Dia memiliki 3 akun media sosial yang masing-masing memiliki jumlah follower yang selalu bertambah setiap waktu. Penambahan jumlah follower mengikuti tiga proses Poisson sebagai berikut Penambahan jumlah follower di instagram: 2/menit Penambahan jumlah follower di facebook: 4/menit Penambahan jumlah follower di twitter: 3/menit
Jumlahan Tentukan: a. Waktu harapan hingga penambahan follower berikutnya b. Waktu harapan hingga penambahan follower instagram berikutnya c. Peluang bahwa follower akun twitternya akan bertambah pada 1 2 menit ke depan
Jumlahan Penyelesaian: N(t) = N IG (t) + N FB (t) + N TW (t) dengan parameter λ = λ IG + λ FB + λ TW = 9. Sehingga a. E(T ) = 1 9 b. E(T IG ) = 1 2 c. T TW Eksp(λ TW = 3), maka ( P T TW < 1 ) 2 = 1 e 3 1 2 = 1 e 3 2
Latihan Latihan 1. Di suatu terminal bis, bis A dan bis B datang saling bebas mengikuti proses Poisson. Sebuah bis A datang setiap 12 menit dan sebuah bis B datang setiap 8 menit. Misalkan Vina akan melakukan observasi terhadap bis-bis tersebut. a. Berapa peluang bahwa tepat 3 bis A akan datang pada 36 menit pertama dan tepat 2 bis B akan datang pada 16 menit pertama? b. Hitung mean waktu tunggu (expected waiting time) hingga sebuah bis datang!
Latihan 2. Sebuah perusahaan asuransi memiliki dua jenis polis yaitu polis A dan polis B. Pengajuan klaim yang datang mengikuti proses Poisson dengan parameter 9 (per hari). Pemilihan klaim secara acak menunjukkan bahwa peluang polis jenis A terpilih adalah 1 3. Hitung peluang bahwa klaim-klaim polis jenis A (atau B) yang diajukan pada suatu hari kurang dari 2. Berapa peluang bahwa total klaim yang diajukan pada suatu hari kurang dari 2?
Latihan 3. Adi datang ke halte bis Transjogjakarta pukul 09.00 pagi. Informasi yang ada adalah sbb: hingga pukul 09.45, bis akan datang mengikuti proses Poisson dengan parameter 2 (per 30 menit) mulai pukul 09.45, bis akan datang mengikuti proses Poisson dengan parameter 1 (per 30 menit) Berapa waktu tunggu yang diharapkan (expected waiting time) Adi hingga sebuah bis datang?
Pustaka Pustaka Pustaka Ross, Sheldon M. 2007. Introduction to Probability Models; 9th Edition. New York: Academic Press. Syuhada, Khreshna I.A. Materi Kuliah: MA4181 Pengantar Proses Stokastik. Departemen Matematika ITB, Bandung. Taylor, Howard M. dan Samuel Karlin. 1975. A First Course in Stochastic Processes; Second Edition. New York: Academic Press. Virtamo, J. 38.143 Queueing Theory/ Probability Theory.