4. Penentuan Titik Tetap I HAIL DAN PEMBAHAAN Analisis titik tetap pada sistem persamaan diferensial sering digunakan untuk menentukan suatu solusi yang tidak berubah terhadap waktu (solusi konstan). Titik tetap dari persamaan diferensial (3.) akan diperoleh dengan d d di menentukan,, d d di, dan direduksi menjadi : d d di tidak bergantung pada persamaan I I I I I I sehingga akan diperoleh persamaan-persamaan di bawah ini : d d di d dan. Karena persamaan d, maka (3.) dapat (4.) I (4.) I I I I I dengan menyelesaikan seara bersamaan maka akan diperoleh dua titik tetap yaitu titik tetap bebas penyakit dan titik tetap endemik.. Titik tetap bebas penyakit E (,, I),,. Titik tetap endemik E (,, I ) dengan, I I I I dan I adalah akar positif dari g() I A I A I A dengan : A ( ) 3
A A ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) 3 4. Analisis Kestabilan Misalkan pada persamaan (4.) dinotasikan sebagai berikut : f (,, I) I g(,, I) h(,, I) I I I I I (4.3) dengan melakukan pelinearan persamaan-persamaan di atas akan diperoleh matriks Jaobi sebagai berikut. J (,, I) f f f I g g g I h h h I I I I I 4.. Kestabilan Titik Tetap Bebas Penyakit berikut : Pelinearan pada titik tetap E akan menghasilkan matriks Jaobi sebagai J E sehingga akan diperoleh nilai eigen dengan menyelesaikan persamaan karakteristik det J E I. Persamaan karakteristik dari J E adalah : 3 ( ) 3 dengan
3 ( ) (4.4) yang selanjutnya disebut sebagai bilangan reproduksi dasar penyebaran penyakit pada strategi vaksinasi C. Perhatikan bahwa nilai eigen yang kesemuanya adalah bilangan real akan negatif jika. Jadi kestabilan di titik tetap bebas penyakit bergantung pada. Kondisi stabil yang dipenuhi ketika dimana disini merupakan bilangan reproduksi dasar individu yang terinfeksi seara langsung oleh individu lain yang sudah terinfeksi bila individu yang terinfeksi tersebut masuk kedalam populasi yang seluruhnya masih rentan. Kondisi stabil asimtotik ketika karena individu yang terinfeksi hanya akan menularkan kurang dari satu individu baru yang terinfeksi yang artinya penyakit akan menghilang dari populasi. ebaliknya, ketika merupakan kondisi yang tidak stabil karena penyakit dapat bertahan dan meningkat dalam populasi. 4.. Kestabilan Titik Tetap Endemik berikut : Pelinearan pada titik tetap E akan menghasilkan matriks Jaobi sebagai J E I I I I I I Jika semua nilai eigen yang diperoleh dari matriks Jaobi J E mempunyai bagian real negatif, maka solusi titik tetap endemik adalah stabil. Nilai eigen tersebut dapat ditentukan dengan menghitung det J E I dan akan diperoleh persamaan karakteristik J E yaitu :
4 3 a a a 3 (4.5) dengan a trae J E J J J J J J a I I 3 3 J J J3 J33 J3 J33 I I a3 det J E I Berdasarkan kriteria outh-hurwitz kondisi kestabilan sistem (3.) pada titik tetap endemik akan stabil jika dan hanya jika persamaan (4.5) memenuhi syarat-syarat berikut : a, a dan aa a 3. Perhatikan bahwa koefisien-koefisien pada persamaan (4.5) bernilai positif, berarti untuk memeriksa kestabilan titik tetap endemik ukup dibuktikan bahwa aa a 3. ehingga : aa a3 I I I I I I I I I I I berdasarkan kriteria outh-hurwits maka disimpulkan titik tetap endemik E adalah stabil asimtotik jika titik tetap endemik ini ada. Berikut ini akan ditunjukkan bahwa keberadaan titik tetap E akan dipengaruhi oleh yaitu akan ada jika. Nilai I adalah akar positif dari g() I A I A I A dengan A A A 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) 3 Karena maka persamaan g() I A I A I A dapat diubah menjadi 3
5 g( I) A I A I A ( ) dengan A 4 ( )( )( ). 4 Keberadaan titik tetap endemik yaitu E dimana I adalah akar real yang bernilai positif dari persamaan g( I) A I A I A ( ) terpenuhi jika. Jadi 4 titik tetap endemik E akan ada dan stabil jika. Tabel Kondisi Kestabilan Titik Tetap Kondisi E E tabil asimtotik Tidak ada Tidak stabil tabil asimtotik Tabel menunjukkan bahwa dinamika sistem pada strategi vaksinasi C adalah sepenuhnya ditentukan oleh bilangan reproduksi dasar. Ketika titik tetap bebas penyakit E akan stabil asimtotik yang berarti bahwa penyakit tidak akan menyebar dalam populasi atau dengan kata lain pada akhirnya penyakit akan hilang dari populasi. Ketika titik tetap endemik E akan stabil asimtotik yang berarti bahwa penyakit akan tetap ada dan menyebar dalam populasi. _. _. (t).... (t) I(t) _ (t) Gambar 3 Dinamika Populasi,, I dan dengan.5833< Pada Gambar 3 di atas, diberikan parameter.,.5,.5,.6 dan.6 dengan nilai awal ().3, ()., I ().3, () dan.8 yaitu 8% populasi rentan divaksinasi yang
6 menyebabkan.5833 terlihat bahwa kurva,, I dan akan menuju ke titik tetapnya yaitu (.,.555556,,.333333). Kurva I akan menuju nol dan stabil yang artinya bahwa pada akhirnya penyakit akan hilang dari populasi. Program untuk menampilkan Gambar 3 dapat dilihat pada lampiran 4. _. _. (t).... (t) I(t) _ (t) Gambar 4 Dinamika Populasi,, I dan dengan,787 edangkan pada gambar 4, dengan. yaitu % populasi rentan divaksinasi yang menyebabkan.787 kurva,, I dan akan menuju titik tetapnya yaitu (.8574,.3463,.,.67966). Kurva I akan stabil menuju. yang artinya bahwa penyakit akan tetap ada dalam populasi. Progam untuk menampilkan Gambar 4 dapat dilihat pada lampiran 5..6.5.4.3... 3 4 5 t Gambar 5 Dinamika Populasi I terhadap waktu dengan.5833
7 Pada Gambar 5, diberikan nilai awal yang berbeda yaitu I().3, I().4, I().5 dan I ().6 terlihat pada akhirnya kurva I yaitu populasi yang terinfeksi akan stabil menuju nol untuk t yang semakin besar sehingga nilai awal tidak berpengaruh jika berapapun nilai awalnya, pada akhirnya akan menuju nol. Program untuk menampilkan Gambar 5 dapat dilihat pada lampiran 6. 4.3 Efek Dari trategi aksinasi C Hasil analisis pada strategi vaksinasi C menunjukkan bahwa dinamika sistem sepenuhnya ditentukan oleh bilangan reproduksi dasar. ehingga efek dari vaksinasi bergantung pada bilangan reproduksi dasarnya. eara matematis diuraikan sifat-sifat bilangan reproduksi dasar strategi vaksinasi C sebagai berikut :. Ketika yang berarti tidak ada vaksinasi, maka akan tereduksi menjadi yang adalah bilangan reproduksi dasar model I.. Ketika, maka akan terdapat dua kasus, yaitu : i. Kasus yang berarti bahwa individu yang divaksinasi tidak akan terinfeksi maka bilangan reproduksi dasarnya menjadi dan untuk nilai yang semakin besar ( )( ) maka akan mendekati nol. ii. Kasus yang berarti bahwa individu yang divaksinasi masih memiliki kemungkinan untuk terinfeksi maka bilangan reproduksi dasarnya adalah sama dengan dan untuk nilai maka akan mendekati nilai ( )( ). yang semakin besar ehingga untuk menganalisa efek dari strategi vaksinasi C diasumsikan bahwa tanpa vaksinasi penyakit akan endemik atau tetap ada dalam populasi ( maka ).
8 Tabel Bilangan eproduksi Dasar Kasus lim ( )( ) lim Untuk mengamati efek dari strategi vaksinasi C ini perlu diimplementasikan kedalam suatu ontoh penyakit yang sesuai dengan model I dalam hal ini penyakit ampak. ehingga dilakukan simulasi komputer dengan bantuan perangkat lunak Mathematia 7. dengan nilai-nilai parameter yang diambil dari d Onofrio et al (7).. merupakan laju rekrutmen atau laju kematian alami manusia, yakni. L hidup. D 75 365.43/hari terinfeksi mendapatkan kekebalan..3653/hari, dimana L adalah angka harapan, D 7 hari adalah waktu rata-rata individu yang 3. Dimisalkan.5 maka diperoleh nilai.5/hari adalah waktu rata-rata individu yang rentan terinfeksi sebelum mengalami proses vaksinasi. 4.3. Kasus Dimisalkan individu yang divaksinasi tidak akan terinfeksi ( ) yang berarti bahwa efektivitas vaksin sangat tinggi. eara matematis akan sama dengan yang akan menuju ke nol untuk nilai yang semakin besar. Karena lim maka dapat disimpulkan bahwa penyakit bisa diberantas dengan
9 strategi C. Namun jika kemungkinan bagi penerima vaksin terinfeksi diabaikan, hal ini dapat menyebabkan over evaluating dari efek vaksinasi C..... Gambar 6 Bilangan eproduksi Dasar pada kasus Pada Gambar 6 terlihat bahwa akan stabil turun menuju ke nol seiring dengan membesarnya nilai. Jika maka akan diperoleh nilai kritis.83787 dan agar maka. Artinya dengan strategi vaksinasi C maka minimal.83787% populasi rentan harus divaksinasi setiap hari. Program untuk menampilkan Gambar 6 dapat dilihat pada lampiran 8. _. _. (t).... (t) I(t) _ (t) Gambar 7 Dinamika populasi,, I dan, pada kasus dan.973 Pada Gambar 7, ketika dilakukan strategi vaksinasi C dengan. atau.% populasi rentan divaksinasi yang divaksinasi setiap hari yang menyebabkan.973 terlihat bahwa kurva stabil naik menuju ke.8 dan kurva akan turun stabil dari nilai awal.3 menuju titik tetapnya.,
kurva turun stabil menuju nol begitu juga dengan kurva I. edangkan pada Gambar 8 ketika dengan strategi. atau.% populasi rentan yang divaksinasi setiap hari yang menyebabkan.877, akan berlaku hal yang sama dengan gambar 7. Program untuk menampilkan Gambar 7 dan Gambar 8 dapat dilihat pada lampiran 9 dan lampiran. _. _. (t).... (t) I(t) _ (t) Gambar 8 Dinamika populasi,, I dan, pada kasus dan.877 Pada Gambar 7 dan Gambar 8 terlihat bahwa terjadi over evaluating karena kemungkinan individu yang divaksinasi terinfeksi diabaikan yang berarti bahwa kondisi yang diperlukan untuk memberantas penyakit ( ) akan hilang, sehingga dengan strategi vaksinasi C ini maka penyakit akan bisa diberantas dengan strategi vaksinasi apapun atau nilai berapapun. 4.3. Kasus Dimisalkan individu yang divaksinasi bisa terinfeksi ( ), seara matematis adalah penurunan fungsi dari sehingga akan turun menuju untuk nilai yang semakin besar. Karena lim, ( )( ) maka kondisi yang diperlukan agar penyakit bisa diberantas haruslah. Jika, maka akan terdapat konstanta yang unik yaitu yang menyebabkan sehingga kondisi untuk memberantas penyakit haruslah.
ebaliknya jika maka yang mengakibatkan penyakit tidak bisa diberantas untuk setiap nilai. Kasus ketika dan Pada kasus ini diasumsikan.5.75 dan..4.......8.6.4....5..5. Gambar 9 Bilangan eproduksi Dasar pada kasus.4.......8.6.4....5..5. Gambar Bilangan eproduksi Dasar untuk memberantas penyakit pada kasus dengan. Pada Gambar 9 terlihat bahwa kurva akan stabil turun menuju ketika semakin besar artinya dengan strategi vaksinasi C ini adalah kondisi yang diperlukan untuk memberantas penyakit. Jika dimisalkan maka akan diperoleh nilai kritis.7638555 seperti yang terlihat pada Gambar
. ehingga haruslah minimal.7638555% dari populasi rentan harus divaksinasi setiap hari agar penyakit bisa diberantas. Program untuk menampilkan Gambar 9 dan Gambar dapat dilihat pada lampiran. Kasus ketika dan Pada kasus ini diasumsikan.5.55 dan..... Gambar Bilangan eproduksi Dasar untuk memberantas penyakit pada kasus dengan. Pada Gambar, ketika, terlihat bahwa nilai kritis agar penyakit bisa diberantas adalah.74946 yang berarti bahwa minimal.74946% populasi rentan harus divaksinasi setiap hari. Nilai kritis ini lebih keil dari nilai kritis ketika. Hal ini berarti bahwa ketika kemungkinan individu yang divaksinasi untuk terinfeksi lebih keil dari kemungkinan individu yang divaksinasi mendapatkan kekebalan yaitu dengan efektivitas vaksin yang tinggi akan melemahkan nilai kritis yang diperlukan untuk memberantas penyakit. Program untuk menampilkan Gambar dapat dilihat pada lampiran. Dari hasil simulasi pada penyakit ampak, didapatkan dua nilai kritis yaitu, ( ).7638555 dan ( ).74946 yang artinya bahwa minimal,7638555% populasi rentan harus divaksinasi setiap hari ketika atau,74946% populasi rentan harus
3 divaksinasi setiap hari ketika, terlihat bahwa ketika efektifitas vaksin semakin tinggi yang menyebabkan pengurangan nilai dan kenaikan nilai akan semakin melemahkan nilai kritis yang diperlukan untuk memberantas penyakit. Dari hasil analisis matematis dan simulasi didapatkan nilai parameter dan sangat mempengaruhi nilai, dimana adalah laju individu yang divaksinasi terinfeksi dan / adalah waktu rata-rata penerima vaksin mendapatkan kekebalan penuh, nilai kedua parameter ini ditentukan oleh efektifitas vaksin. Jika vaksin semakin efektif maka nilai akan semakin meningkat dan mengurangi nilai sehingga nilai akan semakin keil yang artinya melemahkan kondisi yang diperlukan untuk memberantas penyakit. aksinasi sangat membantu untuk mengendalikan penyebaran penyakit dengan dapat menurunkan bilangan reproduksi dasarnya dan mengurangi fraksi individu yang terinfeksi pada tahap endemik. Tapi ada kondisi yang diperlukan agar penyakit bisa diberantas. Jika kemungkinan bagi individu penerima vaksin untuk terinfeksi diabaikan, hal ini dapat menyebabkan over evaluating dari efek vaksinasi yang berarti bahwa kondisi yang diperlukan untuk memberantas penyakit akan hilang, sehingga penyakit akan bisa diberantas dengan strategi apapun atau nilai berapapun. Efektifitas strategi vaksinasi bergantung pada kemungkinan penerima vaksin untuk terinfeksi keil ( keil) atau waktu untuk mendapatkan kekebalan singkat ( besar). Jadi semakin tinggi efektifitas vaksin akan semakin melemahkan kondisi yang diperlukan untuk memberantas penyakit.