Oleh Nara Riatul Kasanah Dosen Pembimbing Drs. Sri Suprapti H., M.Si

Oleh Nara Riatul Kasanah 1209100079 Dosen Pembimbing Drs. Sri Suprapti H., M.Si JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA 2014

PENDAHULUAN

Berjangkitnya penyakit parasitosis Dampak buruk bagi masyarakat Model penyakit parasitosis Penyakit dapat dikontrol Analisa kualitatif pada model penyakit parasitosis

Bagaimana menganalisis titik kesetimbangan dan kestabilan pada model penyakit parasitosis? Bagaimana mensimulasikan model tersebut berdasarkan analisa yang diperoleh?

Batasan Masalah Model penyakit parasitosis hanya untuk arthopoda penghisap darah seperti malaria, demam berdarah dan west nile fever Transmisi vertikal tidak terjadi sehingga semua individu yang baru dimasukkan ke dalam susceptible Kekebalan imunisasi bersifat permanen Susceptible dapat terinfeksi melalui gigitan vektor terinfeksi

Mendapatkan analisa titik kesetimbangan dan kestabilan model penyakit parasitosis. Mendapatkan simulasi model berdasarkan hasil analisa yang diperoleh Mempelajari dinamika dari penyakit parasitosis dengan mengerti fenomena epidemiknya sehingga didapatkan strategi untuk mengontrol penyakit sejenis ini.

Penyakit Parasitosis Parasitologi adalah ilmu yang mempelajari makhluk hidup (organisme) yang hidupnya menumpang (bergantung) pada makhluk hidup yang lain. Sebagai sumber penularan parasitosis dapat berupa : o Tanah dan air yang terkontaminasi. o Makanan yang mengandung parasit. o Arthopoda pengisap darah. o Binatang peliharaan atau binatang liar yang mengandung parasit. o Penderita parasitosis beserta barang-barangnnya atau lingkungannya yang telah terkontiminasi penderita. o Penderitanya dapat dapat menjadi sumber infestasi bagi dirinya sendiri (autoinfeksi). Masalah yang dibahas disini adalah untuk parasit yang disebabkan oleh gigitan seperti penyakit malaria, demam berdarah dan west nile fever[1].

Model Penyakit Parasitosis Model Populasi Host dengan : S(t) : populasi susceptible (yang rentan terhadap penyakit) pada saat t I(t) : populasi infected (yang terinfeksi dan dapat sembuh dari penyakit) pada saat t R(t) : populasi recovered (yang telah sembuh dan kebal dari penyakit) pada saat t µ 1 : laju kematian alami, µ 1 >0 b 1 : laju kelahiran host, b 1 >0 γ : laju kesembuhan per kapita, γ >0 λ 1 S(t)V(t): kontak dari infeksi baru yang ditransmisikan oleh vector

Model Populasi Vektor dengan : V(t) : populasi vektor yang membawa penyakit pada saat t M(t) : populasi vektor yang bebas penyakit pada saat t µ 2 : laju kematian alami, µ 2 >0 b 2 : laju kelahiran vektor, b 2 >0 λ 2 : laju infeksi dari host terinfeksi ke vektor λ 2 M(t)I(t) : kontak dari infeksi baru yang ditransmisikan oleh host terinfeksi

Model Gabungan dari Populasi Host & Vektor dengan : S(t) : populasi susceptible (yang rentan terhadap penyakit) pada saat t I(t) : populasi infected (yang terinfeksi dan dapat sembuh dari penyakit) pada saat t V(t) : populasi vektor yang membawa penyakit pada saat t µ 1 : laju kematian alami host, µ 1 >0 b 1 : laju kelahiran host, b 1 >0 γ : laju kesembuhan per kapita, γ>0 λ 1 S(t)V(t) : kontak dari infeksi baru yang ditransmisikan oleh vektor µ 2 : laju kematian alami vektor, µ 2 >0 b 2 : laju kelahiran vektor, b 2 >0 λ 2 : laju infeksi dari host terinfeksi ke vektor

Sistem Kompartemen Sistem kompartemen merupakan sebuah susunan kerja atau proses yang menunjukkan aliran individu dari satu kompartemen ke kompartemen lainnya seperti saat individu tersebut sehat, tertular penyakit atau sembuh dari penyakit. Berikut ini adalah contoh sederhana bentuk sistem kompartemen : k S AB l A B s t Gambar 2.1 Sistem Kompartemen

Bilangan Reproduksi Dasar Untuk mengetahui timgkat penyebaran suatu penyakit diperlukan suatu parameter tertentu. Parameter yang biasa digunakan adalah Bilangan Reproduksi Dasar (Basic Reproduction Number). Bilangan reproduksi dasar adalah bilangan yang menyatakan banyaknya rata-rata individu infektif sekunder akibat tertular individu infektif primer yang berlangsung di dalam populasi susceptible. Namun adapula yang mengartikan rasio atau perbandingan yang menunjukkan jumlah individu susceptible yang menderita penyakit yang diakibatkan oleh satu individu infected. Jika model memiliki dua titik kesetimbangan yaitu titik kesetimbangan bebas penyakit dan titik kesetimbangan endemik, maka tidak terjadi endemik jika dan terjadi endemik jika [3].

Kestabilan Titik Tetap Titik kesetimbangan dari sistem merupakan titik dimana sistem tersebut tidak mengalami perubahan sepanjang waktu. Pandang persamaan diferensial Sebuah titik merupakan titik kesetimbangan dari persamaan (2.4) jika memenuhi. Karena turunan suatu konstanta sama dengan nol, maka sepasang fungsi konstan merupakan penyelesaian kesetimbangan dari persamaan (2.4) untuk semua

Stabil Asimtotik Lokal Kestabilan asimtotik lokal merupakan kestabilan dari sistem linier atau kestabilan dari linierisasi sistem tak linier. Kestabilan lokal pada titik kesetimbangan ditentukan oleh tanda bagian real dari akar-akar karakteristik sistem dari matriks Jacobian yang dihitung di sekitar titik kesetimbangan. Untuk sistem tak linear harus dilinearkan sehingga didapatkan bentuk sistem linear. Definisi Jika J adalah matriks yang berukuran nxn maka vektor tak nol dinamakan karakteristik dari J jika memenuhi : Jx=Jr Untuk skalar r disebut nilai karakteristik dari J dan x dikatakan vektor karakteristik yang bersesuaian dengan r. Untuk mencari nilai karakteristik matriks J yang berukuran nxn, maka dapat dituliskan kembali persamaan Jx=Jr sebagai Jx=Jir atau ekivalen dengan (ri-j)x=0, mempunyai penyelesaian tak nol jika dan hanya jika ri-j =0

Teorema Titik setimbang karakteristik matriks stabil asimtotis jika dan hanya jika nilai dengan Mempunyai tanda negatif pada bagian real-nya dan tidak stabil jika sedikitnya satu dari nilai karakteristik mempunyai tanda positif pada bagian real-nya[4].

Linearisasi Sistem Linearisasi sistem adalah metode yang lebih mudah untuk menentukan kestabilan suatu sistem dengan menyelidiki pengaruh perubahan kecil pada syarat awal. Jika titik adalah titik kesetimbangan maka diselidiki pengaruh perubahan kecil pada titik kesetimbangan tersebut. Jika titik merupakan titik di sekitar kesetimbangan maka secara matematis titik dapat diekspresikan sebagai Pendekatan fungsi dan dapat ditentukan dengan menggunakan ekspansi deret Taylor. Oleh karena itu, sistem (2.4) dapat didekati sebagai sistem linear

Sistem linear di atas dapat disajikan dalam bentuk matriks Matriks J(x) pada sistem (2.5) merupakan matriks Jacobian[5].

Kriteria Kestabilan Routh Hurwitz Kriteria kestabilan Routh Hurwitz adalah suatu metode untuk menunjukkan kestabilan sistem dengan memperhatikan koefisien dari persamaan karakteristik tanpa menghitung akar-akar karakteristik secara langsung. Jika diketahui persamaan karakteristik dengan orde ke-n sebgai berikut : Selanjutnya, koefisien persamaan karakteristik dapat disusun menjadi sebuah tabel sebagai berikut :

dengan Tabel (2.2) tersebut dilanjutkan mendatar dan menurun hingga diperoleh nilai nol. Semua akat tersebut dilanjutkan bernilai negatif pada bagian realnya jika dan hanya jika elemen-elemen dari kolom pertama pada Tabel (2.2) mempunyai tanda yang sama[6].

Studi literatur Kajian Model Penyakit Parasitosis Bilangan Reproduksi Dasar dan Stabilitas Titik Kesetimbangan Simulasi Model Kesimpulan dan Saran

Analisis dan pembahasan

Model Penyakit Parasitosis A. Model Parasitosis pada Populasi Host dengan : S : populasi susceptible (yang rentan terhadap penyakit) I : populasi infected (yang terinfeksi dan dapat sembuh dari penyakit) R : populasi recovered (yang telah sembuh dan kebal dari penyakit) µ 1 : laju kematian alami, µ 1 >0 b 1 : laju kelahiran host, b 1 >0 γ : laju kesembuhan per kapita, γ >0 λ 1 SV : kontak dari infeksi baru yang ditransmisikan oleh vector

Model Penyakit Parasitosis B. Model Parasitosis pada Populasi Vektor dengan : V : populasi vektor yang membawa penyakit M : populasi vektor yang bebas penyakit µ 2 : laju kematian alami, µ 2 >0 b 2 : laju kelahiran vektor, b 2 >0 λ 2 : laju infeksi dari host terinfeksi ke vektor λ 2 MI : kontak dari infeksi baru yang ditransmisikan oleh host terinfeksi

Model Penyakit Parasitosis C. Model Gabungan dengan : S : populasi susceptible (yang rentan terhadap penyakit) I : populasi infected (yang terinfeksi dan dapat sembuh dari penyakit) V : populasi vektor yang membawa penyakit R : populasi recovered (yang telah sembuh dan kebal dari penyakit) M : populasi vektor yang bebas penyakit µ 1 : laju kematian alami host, µ 1 >0 b 1 : laju kelahiran host, b 1 >0 γ : laju kesembuhan per kapita, γ>0 λ 1 SV : kontak dari infeksi baru yang ditransmisikan oleh vektor µ 2 : laju kematian alami vektor, µ 2 >0 b 2 : laju kelahiran vektor, b 2 >0 λ 2 : laju infeksi dari host terinfeksi ke vektor

Model Penyakit Parasitosis D. Model Gabungan Setelah Reduksi dengan : S : populasi susceptible (yang rentan terhadap penyakit) pada saat t I : populasi infected (yang terinfeksi dan dapat sembuh dari penyakit) pada saat t V : populasi vektor yang membawa penyakit pada saat t µ 1 : laju kematian alami host, µ 1 >0 b 1 : laju kelahiran host, b 1 >0 γ : laju kesembuhan per kapita, γ>0 λ 1 SV : kontak dari infeksi baru yang ditransmisikan oleh vektor µ 2 : laju kematian alami vektor, µ 2 >0 b 2 : laju kelahiran vektor, b 2 >0 λ 2 : laju infeksi dari host terinfeksi ke vektor

Model Penyakit Parasitosis

Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit Titik kesetimbangan bebas penyakit dapat diperoleh dengan mengambil dimana pada keadaan ini tidak ada infeksi penyakit di dalam populasi sehingga didapatkan nilai bila diambil nilai maka untuk nilai dapat dicari sebagai berikut : Jadi, titik kesetimbangan bebas penyakit model penyakit parasitosis adalah

Titik Kesetimbangan Endemik Titik kesetimbangan endemik yaitu suatu keadaan dimana terjadi infeksi penyakit di dalam populasi. Titik kesetimbangan endemik bisa didapatkan dengan mengambil nilai untuk persamaan (4.6). Selanjutnya, akan diperoleh :

. Bilangan Reproduksi Dasar Bilangan reproduksi dasar didapat dari nilai. model penyakit parasitosis Bilangan reproduksi dasar untuk model penyakit parasitosis adalah

Kestabilan Lokal Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit Sistem dinamik (4.6) akan dilinearisasi di sekitar titik kesetimbangan bebas penyakit. Linearisasi sistem (4.6) menggunakan matriks Jacobian 3x3. Maka bentuk matriks Jacobian dari sistem tersebut adalah Titik kesetimbangan (4.7) maka diperoleh matriks Jacobian disubstitusikan ke pers.

Persamaan karakteristik dari matriks Jacobian di atas didapatkan dari dimana adalah matriks satuan 3x3. Selanjutnya, didapatkan polynomial karakteristik sebagai berikut : yang ekivalen dengan Dimana Persamaan karakteristik di atas mempunyai nilai eigen negatif yaitu. Dan nilai eigen yang lain didapatkan dengan menyelesaikan persamaan kuadrat

Mudah dihitung bahwa dengan, maka. Sebaliknya, jika maka dan persamaan kuadrat hanya mempunyai satu akar positif. Sehingga, jika titik kesetimbangan bebas penyakit tidak stabil. Berdasarkan kriteria Hurwitz hanya persamaan kuadrat yang mempunyai bagian real negatif saja yang titik kesetimbangannya stabil asimtotis lokal.

Kestabilan Lokal Titik Kesetimbangan Endemik Linearisasi dari sistem (4.5) menggunakan matriks Jacobian 3x3 adalah persamaan (4.6) yaitu Dan untuk titik kesetimbangan endemik matriks linearisasi sebagai berikut diberikan Persamaan karakteristik dari matriks Jacobian di atas didapatkan dari, dimana adalah matriks satuan 3x3.

Persamaan karakteristik menjadi Yang ekivalen dengan Dimana Didapatkan = dan harus bernilai positif karena sehingga harus bernilai positif karena sehingga

Sehingga didapatkan Karena dan positif. Mudah dihitung bahwa Dan Jelas terlihat bahwa jika Berdasarkan kriteria Routh Hurwitz, titik kesetimbangan endemik stabil asimtotis lokal di.

Dengan mengambil parameter Simulasi Dengan nilai awal Didapat Gambar 4.2 Grafik Kestabilan yang dipengaruhi titik kesetimbangan bebas penyakit

Laju Pertumbuhan Host Susceptible Pada awal laju pertumbuhannya, host susceptible mengalami kenaikan karena tidak ada infeksi yang terjadi di dalam populasi. Kemudian konstan karena tidak ada penambahan individu baru. Laju Pertumbuhan Host Infective Laju pertumbuhan host infective tidak terjadi. Laju Pertumbuhan Vektor Infective Laju pertumbuhan vektor infective juga tidak terjadi karena tidak ada pertumbuhan pada populasi vektor.

Dengan mengambil parameter Dengan nilai awal Didapat Gambar 4.3 Grafik Kestabilan yang dipengaruhi titik kesetimbangan endemik

Laju Pertumbuhan Host Susceptible Pada awal laju pertumbuhannya, host susceptible mengalami kenaikan karena laju kelahiran host, dan mengalami penurunan karena terjadi infeksi penyakit dan kematian alami pada populasi host. Kemudian konstan karena tidak ada penambahan individu baru dan tidak ada pengurangan host susceptible yang terinfeksi. Laju Pertumbuhan Host Infective Pada awal laju pertumbuhan host infective mengalami penurunan karena kematian alami pada host infective. Dan mengalami kenaikan karena banyak host susceptible yang mulai terinfeksi penyakit. Kemudian konstan karena tidak ada penambahan host yang terinfeksi lagi. Laju Pertumbuhan Vektor Infective Pada awal laju pertumbuhan vektor infective mengalami kenaikan karena laju kelahiran vektor lebih banyak daripada host. Kemudian konstan karena tidak ada penambahan vektor infective yang baru.

Selanjutnya, akan ditunjukkan parameter-parameter apa saja yang mempengaruhi terhadap level titik kesetimbangan dari infeksi terhadap populasi manusia. Gambar 4.4 Variasi dari infeksi populasi terhadap waktu untuk b1 dimana parameter yang lainnya

Gambar 4.5 Variasi dari infeksi populasi terhadap waktu untuk dimana parameter yang lainnya

Gambar 4.6 Variasi dari infeksi populasi terhadap waktu untuk dimana parameter yang lainnya

Gambar 4.7 Variasi dari infeksi populasi terhadap waktu untuk dimana parameter yang lainnya

Berdasarkan Gambar 4.4-4.7, Bilangan Reproduksi Dasar penyakit parasitosis bergantung pada banyak parameter seperti laju kelahiran pada kedua populasi yaitu host dan vektor serta laju transmisi penyakit. Dan dapat disimpulkan bahwa ketika parameter-parameter di atas dinaikkan, maka level titik kesetimbangan dari populasi yang terinfeksi juga naik.

Kesimpulan 1. Diperoleh Bilangan Reproduksi Dasar Bilangan Reproduksi Dasar meningkat jika beberapa parameter berikut dinaikkan yaitu laju kelahiran kedua populasi host dan vektor dan laju tranmisi penyakit 2. Diperoleh dua titik kesetimbangan yaitu : a. Titik kesetimbangan bebas penyakit b. Titik kesetimbangan endemik

3. Pengaruh titik kesetimbangan pada kestabilan lokal pada enyakit parasitosis adalah : a. Jika maka titik keseimbangan bebas penyakit bersifat stabil asimtotis, namun jika maka tidak stabil. b. Jika maka titik kesetimbangan endemik bersifat stabil asimtotis,

Saran Pada penelitian ini tidak dibahas mengenai analisis kestabilan global dari model penyakit parasitosis dan diasumsikan transmisi vertikal tidak terjadi. Oleh karena itu, penulis menyarankan kepada pembaca yang tertarik masalah ini agar pada penelitian selanjutnya menyertakan analisis global dari model penyakit parasitosis dan memperhatikan adanya transmisi vertikal serta dapat diteliti lebih lanjut mengenai upaya pengendalian dan pencegahannya.

[1] www.rahmatblogg.com/2012/07/parasitologi.html diakses pada tanggal 27 Maret 2013 [2] Yang, H., Wei, H., Li, X.2010. Global Stability of An Epidemic Model for Vector-Borne Disease.J Syst Sci Complex Vol. 23, Hal. 279-292 [3] Rahmalia, Dinita.2010. Permodelan Matematika dan Analisis Stabilitas dari Penyebaran Penyakit Flu Burung.Tugas Akhir.Jurusan Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. [4] Finizio, N. dan Landas, G.1988. Ordinary Differential Equations with Modern Applications.California: Wadsworth Publishing Company. [5] Nugroho, Susilo.2009. Pengaruh Vaksinasi terhadap Penyebaran Penyakit dengan Model Endemi SIR.Tugas Akhir.Jurusan Matematika Universitas Sebelas Maret. [6] Anggraeni, E.2010. Penyelesaian Numerik dan Analisis Perilaku Model Epidemi Tipe SIR dengan Vaksinasi untuk Pencegahan Penularan Penyakit.Tugas Akhir. Jurusan Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya.

Terima Kasih