Analisa Kestabilan dan Penyelesaian Numerik Model Dinamik SIRC pada Penyebaran. Virus Influenza

Transkripsi

1 JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) Analisa Kestabilan dan Penyelesaian Numerik Model Dinamik SIRC pada Penyebaran Virus Influenza Ika Novitasari, M. Setijo Winarko dan Lukman Hanafi Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya setijo_winarko@yahoo.com Abstrak Penyakit Influenza termasuk salah satu jenis penyakit menular yang disebabkan oleh virus influenza. Model SIRC merupakan salah satu model matematika untuk influenza. Pada penulisan ini dianalisa kestabilan dari model SIRC. Analisa model dilakukan untuk mengetahui penyebaran virus influenza yaitu menentukan bilangan reproduksi dasar (R 0 ). Bilangan reproduksi dasar merupakan bilangan yang menyatakan rata-rata terjadinya penularan penyakit yang berlangsung di dalam populasi susceptible. Hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa masih terjadi penyebaran virus influenza saat R 0 > 1 dan tidak terjadi penyebaran virus influenza saat R 0 < 1. Penyelesaian numerik untuk model SIRC dapat diselesaikan menggunakan metode Runge-Kutta Orde 4 (RK4). Metode ini digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial yang bergantung pada nilai awal ukuran langkah waktu (h) yang bervariasi, sehingga dapat memenuhi stabilitas lokal dari titik kesetimbangan. Kata kunci Bilangan Reproduksi Dasar, Influenza, Metode Runge-Kutta Orde 4 (RK4), Model SIRC. I. PENDAHULUAN ERBAGAI jenis penyakit saat ini semakin banyak. Salah Bsatu penyebabnya adalah gaya hidup dan lingkungan yang semakin tidak sehat. Secara umum ada dua jenis penyakit yaitu penyakit menular dan tidak menular. Influenza adalah salah satu jenis penyakit menular yang disebabkan oleh virus influenza pada saluran pernapasan dari hidung sampai trachea. Ada tiga tipe serologi virus influenza yaitu A, B dan C [1]. Adapun beberapa kasus penyakit influenza yang disebabkan oleh beberapa tipe virus di antaranya pada tahun 1918 Spanish flu yang menyebabkan juta kematian oleh virus influenza A subtipe H1N1, tahun 1957 Asian flu yang menyebabkan 1-1,5 juta kematian oleh virus influeza A subtipe H2N2,tahun 1968 Hongkong flu yang menyebabkan 1 juta kematian oleh virus influenza A subtipe H3N2 dan tahun 1997 Avian Influenza yang menyebabkan juta kematian oleh virus influenza A subtipe H5N1 [9]. Perkembangan ilmu pengetahuan di bidang matematika juga turut memberikan peranan dalam mencegah meluasnya penyebaran penyakit influenza. Peranan tersebut berupa model matematika yang mempelajari penyebaran penyakit influenza yang bersifat endemik memperhatikan faktor kelahiran dan kematian. Model dinamik SIRC adalah salah satu model matematika yang menyatakan pola penyebaran virus influenza empat sub-populasi manusia yang terdiri individu susceptible, infected, recovered dan cross-immune [3]. Pada Tugas Akhir ini, dianalisa stabilitas dari model dinamik SIRC pada penyebaran virus influenza dan penyelesaian secara numerik menggunakan metode Runge-Kutta Orde 4 (RK4). Metode ini digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial yang menyangkut nilai awal ukuran langkah waktu yang bervariasi, sehingga dapat memenuhi stabilitas lokal dari titik kesetimbangan [4]. II. METODE PENELITIAN A. Tahap Studi Literatur Pada tahap ini dilakukan identifikasi permasalahan mencari referensi yang menunjang penelitian. Referensi yang dipakai adalah jurnal ilmiah, Tugas Akhir maupun artikel dari internet. B. Tahap Mengkaji Model Dinamik SIRC pada Penyebaran Virus Influenza Pada tahap ini dilakukan kajian model SIRC terlebih dahulu menyusun asumsi-asumsi tertentu sehingga dapat dibuat model kompartemen 4 kelompok individu yaitu individu susceptible (individu yang rentan terhadap penyakit), infected (individu yang terjangkit dan dapat menularkan penyakit), recovered (individu yang telah sembuh dari penyakit) dan cross-immune (individu imunitas silang). C. Tahap Menganalisa Kestabilan Lokal Pada model dinamik SIRC akan ditentukan titik kesetimbangan bebas penyakit dan titik kesetimbangan endemik. Kemudian untuk menentukan kestabilan lokal yaitu membentuk matriks Jacobian pada titik kesetimbangan bebas penyakit dan titik kesetimbangan endemik yang selanjutnya dapat ditentukan nilai eigen matrik Jacobian dari model SIRC. Kestabilan lokal pada titik kesetimbangan bebas penyakit akan didapatkan bilangan reproduksi dasar (R 0 ). D. Tahap Menyusun Simulasi Numerik Runge-Kutta Orde 4 (RK4) Pada tahap ini dilakukan penyusunan simulasi numerik skema Runge-Kutta Orde 4 (RK4) dari model dinamik SIRC pada penyebaran virus influenza. Simulasi menggunakan software pemrograman yaitu MATLAB yang menggambarkan

2 JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) grafik kestabilan dan penyelesaian numerik model dinamik SIRC pada penyebaran virus influenza. E. Tahap Kesimpulan dan Saran Setelah dilakukan analisa dan pembahasan maka akan diambil suatu kesimpulan dan saran sebagai masukan untuk pengembangan penelitian lebih lanjut. III. ANALISIS DAN PEMBAHASAN A. Model Dinamik SIRC pada Penyebaran Virus Influenza Model dinamik SIRC pada penyebaran virus influenza mempunyai asumsi-asumsi sebagai berikut : a. Populasi dibagi menjadi 4 kelompok yaitu : S adalah populasi susceptible yaitu individu-individu yang rentan terhadap penyakit, I adalah populasi infected yaitu individu-individu yang terjangkit dan dapat menularkan penyakit, R adalah populasi individu recovered yaitu individu yang telah sembuh dari penyakit, dan C adalah populasi individu cross-immune yaitu individu yang telah sembuh (recovered) setelah terinfeksi (infected) oleh galur (strain) yang berbeda dari subtipe virus yang sama pada tahun-tahun yang lalu. b. Diasumsikan μ adalah laju kelahiran yang sama laju kematian. Berdasarkan asumsi tersebut, maka jumlah populasi yang mati pada setiap kelompok proposional jumlah populasi pada masing-masing kelompok. Oleh karena itu, jumlah kematian pada kelompok S, I, R, C masing-masing sebesar μs, μi, μr, μc. c. SI adalah laju besarnya populasi yang terinfeksi dimana adalah koefisien transmisi yang merupakan konstanta yang menunjukkan tingkat kontak sehingga terjadi penularan penyakit, individu rentan memperoleh infeksi pada per kapita I. d. CI adalah laju besarnya populasi cross-immune yang terinfeksi dimana adalah koefisien transmisi yang merupakan konstanta yang menunjukkan tingkat kontak sehingga terjadi penularan penyakit, individu crossimmune memperoleh infeksi pada per kapita I. σci adalah besarnya populasi cross-immune yang terinfeksi yang di pengaruhi oleh laju σ yaitu individu cross-immune menjadi infected. e. α, δ, γ, σ masing-masing adalah laju individu infected menjadi recovered, laju individu recovered menjadi crossimmune, laju individu recovered menjadi susceptible dan laju individu cross-immune menjadi infected. Dari asumsi-asumsi tersebut diperoleh model dinamik SIRC pada penyebaran virus influenza ds = μ μs SI + γc di dr dc = SI + σci (μ + α)i = (1 σ)ci + αi (μ + δ)r = δr CI (μ + γ)c (1) Jika N adalah proporsi jumlah seluruh populasi S, I, R dan C, maka N = S + I + R + C, dan diasumsikan total populasi sama 1 yaitu S + I + R + C = 1 dn = ds + di + dr + dc = 0 Berdasarkan persamaan (1) maka daerah penyelesaiannya yaitu, Ω = {(S, I, R, C) R 4 + : (S + I + R + C) 1 } B. Titik Kesetimbangan Model Titik kesetimbangan model dapat diperoleh mengambil ds di dr dc = 0, = 0, = 0, = 0 sehingga didapat: μ μs SI + γc = 0 (2) SI + σci (μ + α)i = 0 (3) (1 σ)ci + αi (μ + δ)r = 0 (4) δr CI (μ + γ)c = 0 (5) Titik kesetimbangan bebas penyakit (disease free equilibrium) adalah suatu keadaan dimana tidak terjadi penyebaran penyakit dalam populasi. Titik tersebut didapatkan saat I = 0. Dari persamaan (2)-(5) dan subtitusi I = 0 maka persamaan (3) terpenuhi, sedangkan persamaan (2),(4) dan (5) menjadi S = μ = 1, R = 0, C = 0 μ Dari uraian diatas diperoleh titik kesetimbangan bebas penyakit yaitu P 0 = S f, I f, R f, C f = (1, 0, 0, 0) Titik kesetimbangan endemik (endemic equilibrium) adalah suatu keadaan dimana terjadi penyebaran penyakit di dalam populasi. Dari persamaan (4) dan (5) dipeoleh δr CI (μ + γ)c = 0 R = C (I δ 1 + μ + γ) (6) (1 σ)ci + αi (μ + δ)r = 0 R = αi 1+(1 σ)c I 1 (7) (μ+δ) Mengeliminasi persamaan (6) dan (7) diperoleh C δαi = 1 I 1 (μ+σδ)+(μ+δ)(μ+γ) (8) Persamaan (8) disubtitusikan ke (6) diperoleh R αi = 1 (I 1 +μ+γ) (9) I 1 (μ+σδ)+(μ+δ)(μ+γ) Dari persamaan (3) diperoleh IS + σc (μ + α) = 0 I 0 sehingga S + σc (μ + α) = 0 (10) Persamaan (8) disubtitusikan ke (10) diperoleh S = μ+α δσαi 1 (11) I (μ+σδ)+(μ+δ)(μ+γ) Dari persamaan (4) diperoleh μ μs S I + γc = 0 S = γc +μ μ+i (12) Persamaan (11) disubtitusikan ke (12), kemudian dilakukan eliminasi diperoleh

3 JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) μ + α δσαi 1 I (μ + σδ) + (μ + δ)(μ + γ) αδγi 1 + μi 1 (μ + σδ) + μ(μ + δ)(μ + γ) (μ + I 1 )I 1 (μ + σδ) + (μ + δ)(μ + γ) = 0 I 2 1 ( 2 μ + 2 α + 2 σδ) + I 1 (μ 2 + μσδ + μα + μ 2 + μγ + μδ + δγ + μα + αγ + αδ μ 2 σδ 2 ) + (μ 3 + μ 2 γ + μ 2 δ + μδγ + μ 2 α + μαγ + μαδ + αδγ μ 2 μγ μδ δγ) = 0 (13) Dari persamaan (13) dapat dibentuk menjadi persamaan kuadrat ai bi 1 + c = 0 (14) a = 2 μ + 2 α + 2 σδ = 2 (μ + α + σδ) b = μ 2 + μσδ + μα + μ 2 + μγ + μδ + δγ + μα + αγ + αδ μ 2 σδ 2 = (μ + α)(2μ + δ + γ) + δ(μσ + γ) (μ δσ) c = μ 3 + μ 2 γ + μ 2 δ + μδγ + μ 2 α + μαγ + μαδ + αδγ μ 2 μγ μδ δγ = (μ + γ)(μ + δ) 1 μ + α = (μ + γ)(μ + δ)(1 R 0 ) R 0 = adalah bilangan reproduksi dasar. Bilangan μ+α reproduksi dasar adalah bilangan yang menyatakan rata-rata penularan penyakit. Titik kesetimbangan endemik adalah P = (S, I, R, C ) S μ + α = δσαi 1 I 1 (μ + σδ) + (μ + δ)(μ + γ) R αi 1 (I 1 + μ + γ) = C = I 1 (μ + σδ) + (μ + δ)(μ + γ) δαi 1 I 1 (μ + σδ) + (μ + δ)(μ + γ) dan I adalah akar dari persamaan ai bi 1 + c = 0 a = 2 (μ + α + σδ); b = (μ + α)(2μ + δ + γ) + δ(μσ + γ) (μ + δσ); c = (μ + γ)(μ + δ)(1 R 0 ); Dari persamaan kuadrat ai bi 1 + c = 0 diperoleh akar persamaan kuadrat yaitu I 1,1 dan I 1,2. c < 0 jika dan hanya jika R 0 > 1 I 1,1 + I 1,2 < 0 I 1,1 + I 1,2 = b a sehingga berlaku b < 0 dan a > 0 I 1,1 I 1,2 < 0 I 1,1 I 1,2 = c a sehingga berlaku c < 0 dan a > 0 Berdasarkan uraian tersebut, eksistensi I pada titik kesetimbangan endemik terpenuhi jika R 0 > 1 (terjadi penyebaran penaykit) maka berlaku koefisien a bernilai positif, b bernilai negatif dan c bernilai negatif. C. Kestabilan Lokal Setelah didapatkan titik kesetimbangan bebas penyakit P 0 dan titik kesetimbangan endemik P selanjutnya akan dianalisa kestabilan lokal dari masing-masing titik kesetimbangan. Karena pada persamaan (1) dapat terlihat bahwa persamaan tersebut adalah tak linear, maka untuk dapat menentukan kestabilan titik kesetimbangan berdasar nilai karakteristik (λ), maka persamaan (1) harus dilinearkan. Hasil pendekatan linear diperoleh matriks jacobian, μ I S 0 γ J = I S + σc (μ + α) 0 σi 0 (1 σ)c + α (μ + δ) (1 σ)i 0 C δ (μ + γ) Ksetabilan lokal pada titik kesetimbangan bebas penyakit yaitu diperoleh dari nilai eigen matriks jacobiannya yaitu μ 0 γ J(P 0 0 (μ + α) 0 0 ) = 0 α (μ + δ) δ (μ + γ) J(P 0 ) λi = 0 Sehingga didapatkan nilai eigen λ 1 = μ λ 2 = (μ + α) λ 3 = (μ + δ) λ 4 = (μ + γ) λ 1, λ 3, λ 4 < 0, sedangkan untuk λ 2 = (μ + α) belum dapat ditentukan tandanya (dapat bernilai positif atau negatif). Berdasarkan nilai eigen λ 2 dapat dianalisa sebagai berikut: λ 2 akan bernilai negatif jika (μ + α) < 0 (μ + α) μ + α < 0 μ + α < 1 Jadi bilangan reproduksi dasar (R 0 ) adalah : R 0 = μ + α Jika R 0 < 1 atau < 1, didapatkan bahwa nilai eigen μ+α λ 1 < 0, λ 2 < 0, λ 3 < 0 dan λ 4 < 0maka berdasarkan sifat stabilitas titik kesetimbangan P 0 stabil asimtotik. Kestabilan lokal pada titik kesetimbangan endemik (P ) dapat dicari mencari nilai eigen dari matriks jacobiannya. Karena subpopulasi R tidak muncul pada persamaan S dan I, tetapi hanya muncul pada persamaan C maka subpopulasi R dapat diabaikan dan persamaan model SIRC dapat direduksi menjadi model tiga dimensi. Untuk menentukan kestabilan lokal pada P, akan disubtitusikan R = 1 S I C untuk mengeliminasi R pada persamaan model SIRC N konstan. Sehingga diperoleh matriks jacobian pada titik endemik yaitu

4 JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) J(P ) μ I (μ + α)a (μ + α)b + δσαi 1 1 γ A + B = I 1 0 σi 1 δa δb δαi 1 δ δ I A + B 1 μ γ A = I 1 (μ + σδ) B = (μ + δ)(μ + γ) Nilai eigen diperoleh dari det(j(p 0 ) λi) = 0 maka diperoleh nilai eigen berbentuk sebuah polinomial karakteristik sebagai berikut: λ 3 + a 1 λ 2 + a 2 λ + a 3 = 0 a 1 = δ + 2I 1 + 2μ + γ a 2 = I 1 (I 1 + α + 3μ + δσ + γ + δ) + B a 3 = I 1 A + B 2 I 2 1 D 1 + I 1 D 2 + D 3 dimana A = I 1 (μ + σδ) B = (μ + δ)(μ + γ) D 1 = (μ + σδ)(μ + α + σδ) D 2 = B(μ + α + σδ) + (μ + σδ)(μ + α)(δ + μ + γ δσ) + δ(μσ γ) + δ 2 σα(σ 1) + δ αγ σ(μ + γ) D 3 = B(μ + α)(δ + μ + γ + δσ) + δ(μσ + γ) Karena dalam menentukan akar-akar karakteristik dari persamaan polinomial diatas tidak dapat diselesaikan cara biasa, maka dapat menggunakan kriteria kestabilan Routh-Hurwitz untuk menentukan kestabilannya. Tabel 1 Persamaan Karakteristik Routh-Hurwitz λ 3 1 a 2 0 λ 2 a 1 a 3 0 λ 1 b 1 b 2 0 λ 0 c Polinomial orde 3 mempunyai akar negatif pada bagian realnya jika dan hanya jika elemen-elemen dari kolom pertama pada tabel Routh-Hurwitz mempunyai tanda yang sama. Sehingga didapatkan: (i) a 1 > 0 (ii) a 2 > 0 (iii) b 1 = a 1a 2 a 3 a 1 > 0 Karena a 1 > 0 maka a 1 a 2 a 3 > 0 a 1 a 2 > a 3 supaya memenuhi maka nilai a 2 > 0 (iv) c 1 = b 1a 3 b 1 = a 3 > 0 Supaya a 1 > 0, a 2 > 0, a 3 > 0, b 1 > 0 dan c 1 > 0 maka I 1 > 0. I 1 adalah akar dari persamaan ai bi 1 + c = 0, sehingga berlaku ai bi 1 + c > 0 c > 0 μ+α 1 R0 > 0 R 0 > 1 Dari hasil analisa diatas dapat disimpulkan jika R 0 > 1 maka berakibat a 1 > 0, a 2 > 0, a 3 > 0, b 1 > 0 dan c 1 > 0, serta titik kesetimbangan endemik P adalah stabil asimtotik. Pada kolom pertama Tabel 1 memiliki tanda yang sama yaitu positif. Titik kesetimbangan endemik stabil asimtotik yang berarti jumlah individu infected bertambah sehingga virus influenza akan meningkat dan terjadi penyebaran (endemik). D. Penyelesaian Numerik Untuk penyelesaian numerik menggunakan metode Runge- Kutta Orde 4 (RK4) yang merupakan salah satu metode numerik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial yang menyangkut nilai awal ukuran langkah waktu yang bervariasi. Misalnya diberikan persamaan diferensial ds = f(t, S, I, R, C) μ μs SI + γc di dr dc = g(t, S, I, R, C) SI + σci (μ + α)i = i(t, S, I, R, C) (1 σ)ci + αi (μ + δ)r = j(t, S, I, R, C) δr CI (μ + γ)c Integrasi numerik dari persamaan metode Runge- Kutta orde empat dinyatakan sebagai berikut: S n+1 = S n (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ) : k 1,S = hf(t n, S n ) k 2,S = hf t n + h, S 2 k 3,S = hf t n + h, S 2 k 4,S = hf(t n + h, S n + k 3 ) I n+1 = I n + 1 (k k 2 + 2k 3 + k 4 ) : k 1,I = hg(t n, I n ) k 2,I = hg t n + h, I 2 k 3,I = hg t n + h, I 2 k 4,I = hg(t n + h, I n + k 3 ) R n+1 = R n + 1 (k k 2 + 2k 3 + k 4 ) : k 1,R = hi(t n, I n ) k 2,R = hi t n + h, R 2 k 3,R = hi t n + h, R 2 k 4,R = hi(t n + h, R n + k 3 ) C n+1 = C n + 1 (k k 2 + 2k 3 + k 4 ) : k 1,C = hj(t n, C n ) k 2,C = hj t n + h, C 2 k 3,C = hj t n + h, C 2 k 4,C = hj(t n + h, C n + k 3 ) h adalah langkah waktu. Selanjutnya membuat simulasi numerik menggunakan software MATLAB. Nilai parameter yang digunakan sesuai pada tabel 2 dan nilai awal yang digunakan adalah S(0) = 0.15, I(0) = 0.001, R(0) = 0.409, C(0) = 0.44.

5 JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) Tabel 2 Parameter Nilai Minimum (Min) dan Maksimum (Max) pada Model Dinamik SIRC [2]. Parameter Nilai Min Nilai Max Satuan μ per tahun α per tahun δ per tahun γ per tahun σ 0 1 per tahun per tahun Dengan nilai input parameter pada Tabel 2 yaitu μ = 0.02, α = 73, δ = 1, γ = 0.5, σ = 0.05, = 100 maka didapatkan grafik berikut, Gambar 3. Grafik Individu Infected terhadap Waktu (Tahun) Variasi μ 1 = 0.02 dan μ 2 = Gambar 1. Grafik masing-masing individu dalam populasi terhadap waktu (tahun) h = Pada Gambar 1 menunjukkan bahwa masing-masing individu berada pada kondisi setimbang saat t > 80 tahun. Kondisi setimbang ini mengacu pada titik setimbang endemik dari sistem yaitu S = , I =1.8473e-005, R =0.0013, C = Dari grafik tersebut didapatkan pula nilai bilangan reproduksi dasar yaitu R 0 = Hal ini menunjukkan bahwa masih terjadi penyebaran virus influenza karena nilai R 0 > 1 yang menunjukkan bahwa titik kesetimbangan endemik tersebut stabil. Parameter yang sangat berpengaruh terhadap penularan penyakit yang mana berkaitan bilangan reproduksi R 0 yaitu parameter, μ dan α. Jadi untuk mengetahui seberapa besar penularan virus influenza, maka akan dilakukan variasi nilai input yaitu yaitu 50 dan 100, μ yaitu dan 0.02, α yaitu 73 dan Gambar 4. Grafik Individu Infected terhadap Waktu (Tahun) Variasi α 1 = 73 dan α 2 = Pada Gambar 2-4 adalah hasil grafik variasi parameter, μ dan α yang berpengaruh terhadap penyebaran penyakit. Jika nilai bilangan reproduksinya kurang dari 1 maka tidak terjadi penyebaran penyakit, sedangkan jika nilai bilangan reproduksinya lebih besar 1 maka terjadi penyebaran penyakit. Dalam penyelesaian numerik tentunya variasi nilai h (ukuran langkah waktu) sangat berpengaruh terhadap kestabilan numeriknya. Berikut akan diinputkan variasi nilai h untuk mengetahui apakah memenuhi kestabilan numeriknya, nilai h yaitu 0.1, 0.05, 0.01, Gambar 2. Grafik Individu Infected terhadap Waktu (Tahun) Variasi 1 = 100 dan 2 = 50 Gambar 5. Grafik masing-masing individu dalam populasi terhadap waktu (tahun) saat h = 0.005

6 JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) Gambar 5. Grafik masing-masing individu dalam populasi terhadap waktu (tahun) saat h = 0.01 Gambar 6. Grafik masing-masing populasi terhadap waktuv (tahun) saat h = 0.05 Gambar 7. Grafik masing-masing populasi terhadap waktu (tahun) saat h = 0.1 Dari hasil simulasi pada Gambar 5-7 yang telah dilakukan bahwa saat nilai h kecil maka sistem akan stabil ditunjukkan hasil grafik yang konvergen dalam arti menuju suatu titik yaitu titik kesetimbangan, maka memenuhi kestabilan secara numerik. Sedangkan saat nilai h besar maka sistem menjadi tidak stabil ditunjukkan hasil grafik yang divergen dalam arti grafik tidak menuju suatu titik yaitu titik kesetimbangan, maka tidak memenuhi kestabilan secara numerik. Oleh karena itu nilai h sangat berpengaruh terhadap kestabilan numerik, sehingga skema numerik Runge-Kutta Orde 4 (RK4) memenuhi sifat stabilitas model SIRC ketika ukuran langkah waktu (h) kecil. IV. 3BKESIMPULAN Berdasarkan keseluruhan hasil analisa yang telah dilakukan dalam penyusunan Tugas Akhir ini, dapat diperoleh kesimpulan sebagai berikut : 1. Bilangan reproduksi dasar dari model SIRC pada penyebaran virus influenza adalah R 0 = μ + α Karena untuk menentukan terjadinya penyebaran penyakit influenza bergantung terhadap nilai R 0, oleh karena itu parameter yang berpengaruh adalah (koefisien transmisi yang menunjukkan tingkat kontak sehingga terjadi penularan penyakit), μ (laju kelahiran dan laju kematian alami), dan α (laju perpindahan individu infected menjadi recovered). Titik setimbang bebas penyakit adalah stabil asimtotik jika dan hanya jika R 0 < 1, hal ini menunjukkan bahwa tidak terjadi penularan penyakit ketika R 0 kurang dari satu. Sedangkan titik kesetimbangan endemik adalah stabil asimtotik jika dan hanya jika R 0 > 1, hal ini menunjukkan bahwa terjadi penularan penyakit ketika R 0 lebih dari satu. 2. Kestabilan numerik model SIRC metode Runge- Kutta Orde 4 (RK4) bergantung terhadap nilai h(ukuran langkah waktu). Hasil penyelesaian numerik input variasi nilai h yaitu 0.005, 0.01, 0.05 dan 0.1, didapatkan jika nilai h 0.05 maka sistem stabil ditunjukkan hasil grafik yang bersifat konvergen ke titik kesetimbangan. Sedangkan jika nilai h > 0.05 maka sistem tidak stabil ditunjukkan hasil grafik yang bersifat menjauhi titik kesetimbangan. V. 4BDAFTAR PUSTAKA [1] El-Shahed, M. dan Eid, A. (2011). The Fractional SIRC Model and Influenza A.Mathematical Problems in Engineering Vol Hal 1-9 [2] Casagrandi,R., Bolzoni, L.,Levin, S.A dan Andreasen, V. (2006). The SIRC Model and Influenza A. Mathematical with Applications Vol 20. Hal [3] Chinviriyasit, W. (2007). Numerical Modelling of the Transmission Dynamics of Influenza. Optimization and System Biology. Hal [4] Lambret, J.D. (1991). Numerical Methods for Ordinary Differential Systems: The Initial Value Problem. England : Wiley, Chichester. [5] Chinviriyasit, S dan Chinviriyasit, W. (2009). Mathematical Study of an Influenza Model with Seasonal Forcing in Transmission Rate. Mathematical Theory, Modeling and Computing Vol 3. Hal [6] Jodar L., Villanueva, R.J., Arenas, A.J., Gonzales, G.C. (2008). Nonstandard Numerical Methods for a Mathematical Model for Influenza Disease. Mathematics and Computers in Simulation Vol 79. Hal [7] Finizio N. dan Landas G. (1998). Ordinary Differential Equation With Modern Application. California :Wasdsworth Publishing Company. [8] Linda J.S. Allen. (2007). An Introduction to: Mathematical Biology. United States: Prentice Hall. [9] Rahmalia, D. (2010). Pemodelan Matematika dan Analisis Stabilitas dari Penyebaran Penyakit Flu Burung. Tugas Akhir S1 Jurusan Matematika ITS Surabaya. [10] Rosydah, B.M. (2008). Analisis Stabilitas dan Penyelesaian Numerik Pada Model Sistem Brusselator Berpasangan. Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya, Tugas Akhir S2 Jurusan Matematika.