ANALISIS KESTABILAN MODEL SEII T (SUSCEPTIBLE-EXPOSED-ILL- ILL WITH TREATMENT) PADA PENYAKIT DIABETES MELLITUS TUGAS AKHIR SKRIPSI Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan Guna Memperoleh Gelar Sarjana Sains Oleh : Hesti Endah Lestari NIM 13305144002 PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 2017 i
LEMBAR PERSETUJUAN ii
LEMBAR PENGESAHAN iii
PERNYATAAN Yang bertanda tangan dibawah ini saya : Nama : Hesti Endah Lestari NIM : 13305144002 Program Studi : Matematika Judul TAS : ANALISIS KESTABILAN MODEL SEII T (SUSCEPTIBLE- EXPOSED-ILL-ILL WITH TREATMENT) PADA PENYAKIT DIABETES MELLITUS Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi ini benar-benar karya saya sendiri. Sepanjang pengetahuan saya tidak terdapat karya atau pendapat yang ditulis atau diterbitkan orang lain kecuali sebagai acuan atau kutipan dengan mengikuti kata penulisan karya ilmiah yang telah lazim. Apabila terbukti bahwa pernyataan ini tidak benar maka sepenuhnya menjadi tanggung jawab saya dan saya bersedia menerima sanksi sesuai peratuan yang berlaku. Yogyakarta, 1 Juni 2017 Yang menyatakan, Hesti Endah Lestari NIM. 13305144002 iv
MOTTO Man Jadda Wa Jadda Barang siapa yang bersungguh-sungguh, akan mendapatkannya. Siapa yang keluar mencari ilmu dan ia berniat akan mengamalkan dengan ilmunya, niscaya ilmunya memberi manfaat akan dia, walau hanya sedikit ilmu yang dicapainya Abdul Hasan Al-Waa izh Dan barang siapa yang menempuh suatu perjalanan untuk mencari suatu ilmu, maka Allah akan mudahkan baginya suatu jalan menuju Surga HR. Muslim v
HALAMAN PERSEMBAHAN Tulisan sederhana ini saya persembahkan untuk Kedua orangtua saya, Bapak Sutrisno dan Mamak Nariyati, yang senantiasa memberikan dukungan, nasehat, dan kasih sayang yang tak terkira serta naungan doa yang selalu mengalir tulus tiada hentinya. Teruntuk laki-laki istimewa kedua Rendra Permana Putra yang selalu mengisi hati saya, canda tawa yang sangat menyebalkan, memberikan semangat super, dan dukungan yang sangat berkesan. Teruntuk rekan-rekan Matematika E 2013 yang sangat istimewa, terimakasih kebersamaan yang sangat berharga. Semua sahabat terbaik dan teristimewa, terimakasih untuk waktu-waktu berharga ketika bersama kalian, semangat dan dukungan, dan terimakasih untuk indahnya persahabatan yang kita jalin. vi
ANALISIS KESTABILAN MODEL SEII T (SUSCEPTIBLE-EXPOSED-ILL- ILL WITH TREATMENT) PADA PENYAKIT DIABETES MELLITUS Oleh: Hesti Endah Lestari NIM. 13305144002 ABSTRAK Diabetes mellitus merupakan penyakit tidak menular mematikan yang penyebaran berasal dari dalam diri setiap individu yang gaya hidupnya pasif dan tidak sehat serta memiliki pola makan yang tidak baik. Penelitian ini bertujuan untuk menjelaskan model matematika masalah penyebaran penyakit diabetes mellitus tanpa faktor genetik dengan perawatan. Selanjutnya dianalisa kapan penyakit akan menghilang atau tetap ada dalam populasi. Tahapan analisis model penyebaran penyakit diabetes mellitus tanpa faktor genetik dengan perawatan yaitu menjelaskan pembentukan model SEII T (Susceptible-Exposed-ILL-ILL with treatment), dilanjutkan dengan menentukan titik ekuilibrium dan nilai bilangan reproduksi dasar ( ), menganalisa kestabilan di sekitar titik ekuilibrium dan melakukan simulasi dengan menggunakan Maple 13 berdasarkan data dari Kota Yogyakarta tahun 2014. Dari hasil analisa dapat disimpulkan bahwa penyebaran penyakit diabetes mellitus dipengaruhi oleh laju kontak infektif individu yang rentan terhadap individu yang laten, laju rekrutmen, dan laju kematian alami, dengan kata lain peningkatan laju perpindahan individu laten terhadap individu sakit tanpa perawatan hanya mempengaruhi perilaku solusi dalam menuju titik ekuilibrium endemik dan tidak berpengaruh pada tingkat penyebaran penyakit diabetes mellitus. Selanjutnya pada kasus di Kota Yogyakarta, populasi yang terjangkit diabetes mellitus akan semakin berkurang atau bahkan menghilang jika nilai dari laju kontak infektif individu yang rentan terhadap individu yang laten kurang dari, sebaliknya penyakit diabetes mellitus akan tetap ada dalam populasi jika nilai dari laju kontak infektif individu yang rentan terhadap individu yang laten lebih dari Berdasarkan simulasi yang dibentuk dari model SEII T, diperoleh kesimpulan jika laju kontak infektif individu yang rentan menjadi individu yang laten semakin besar, maka tingkat penyebaran penyakit diabetes mellitus semakin besar. Kata kunci: diabetes mellitus, model SEII T, dan analisis kestabilan. vii
KATA PENGANTAR Assalamu alaikum wr. wb. Alhamdulillah, puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas berkat rahmat dan karunia-nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi dengan judul Analisis Kestabilan Model SEII T (Susceptible-Exposed-ILL- ILL with Treatment) pada Penyakit Diabetes Mellitus Tugas akhir ini dibuat sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains (S.Si) dan dapat terselesaikan tidak lepas dari dukungan, bantuan, dan kerjasama dari berbagai pihak. Pada kesempatan ini, penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dan memberikan dukungan kepada penulis, yaitu: 1. Dr. Hartono selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta. 2. Dr. Ali Mahmudi selaku Ketua Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta yang telah memberikan kelancaran dalam urusan akademik. 3. Dr. Agus Maman Abadi selaku Ketua Program Studi Matematika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta yang selalu memberikan bantuan dan fasilitas sampai terselesainya tugas akhir ini. 4. Dwi Lestari, M.Sc. selaku Dosen Pembimbing Skripsi dan Dosen Pembimbing Akademik dan Husna Arifah, M.Sc. selaku Dosen Pembimbing Skripsi yang telah memberikan nasehat, pengarahan, saran, viii
bimbingan, dan masukan sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan tugas akhir ini. 5. Bapak dan ibu dosen Jurusan Pendidikan Matematika yang telah memberikan ilmu kepada penulis secara langsung maupun tidak langsung. 6. Bapak, ibu, dan keluarga yang tidak pernah lelah memberikan dukungan dan doa untuk penulis. 7. Teman-teman, sahabat-sahabat, dan semua pihak yang telah memberikan motivasi dan membantu secara langsung maupun tidak langsung sehingga dapat memperlancar proses penyusunan tugas akhir ini. Penulis menyadari bahwa dengan keterbatasan kemampuan sehingga penulisan tugas akhir ini jauh dari sempurna. Oleh karena itu, penulis sangat mengharap kritik dan saran yang dapat membangun tugas akhir ini agar menjadi lebih baik. Akhir kata, semoga tugas akhir ini dapat bermanfaat untuk setiap orang yang membacanya. Aamiin. Wassalamu alaikum wr. wb. Yogyakarta, 1 Juni 2017 Penulis, Hesti Endah Lestari NIM. 13305144002 ix
DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i LEMBAR PERSETUJUAN... ii LEMBAR PENGESAHAN... iii PERNYATAAN... iii MOTTO... v HALAMAN PERSEMBAHAN... vi ABSTRAK... vii KATA PENGANTAR... vii DAFTAR ISI... x DAFTAR TABEL... xii DAFTAR GAMBAR... xiii DAFTAR LAMPIRAN... xiv DAFTAR SIMBOL... xv BAB I PENDAHULUAN... 1 1.1 Latar Belakang Masalah... 1 1.2 Identifikasi Masalah... 6 1.3 Pembatasan Masalah... 6 1.4 Rumusan Masalah... 6 1.5 Tujuan Penelitian... 7 1.6 Manfaat Penelitian... 7 BAB II LANDASAN TEORI... 9 2.1 Pemodelan Matematika... 9 2.2 Nilai Eigen dan Vektor Eigen... 11 2.3 Persamaan Diferensial... 14 2.4 Sistem Persamaan Diferensial... 16 2.5 Titik Ekuilibrium... 18 2.6 Linearisasi Sistem Persamaan Diferensial Nonlinear... 20 x
2.7 Kestabilan Titik Ekuilibrium... 24 2.8 Bilangan Reproduksi Dasar... 32 2.9 Kriteria Routh-Hurwitz... 36 BAB III PEMBAHASAN... 40 3.1 Perumusan Masalah Nyata... 40 3.2 Formulasi Model Matematika... 42 3.3 Titik Ekuilibrium... 47 3.4 Bilangan Reproduksi Dasar ( )... 52 3.5 Kestabilan Titik Ekuilibrium... 54 3.6 Simulasi Model... 64 BAB IV PENUTUP... 73 4.1 Kesimpulan... 73 4.2 Saran... 75 DAFTAR PUSTAKA... 76 LAMPIRAN... 78 xi
DAFTAR TABEL Tabel 1. Tabel Routh-Hurwitz... 36 Tabel 2. Variabel dan Parameter... 43 xii
DAFTAR GAMBAR Gambar 1. Proses Pemodelan Matematika... 10 Gambar 2. Ilustrasi Kestabilan... 25 Gambar 3. Diagram Alir Model Matematika Penyakit Diabetes Mellitus tanpa Faktor Genetik dengan Perawatan... 46 Gambar 4. Grafik Simulasi untuk dengan... 66 Gambar 5. Grafik Simulasi untuk dengan... 67 Gambar 6. Grafik Simulasi untuk dengan... 68 Gambar 7. Grafik Simulasi untuk dengan... 69 Gambar 8. Grafik Simulasi untuk dengan dan... 71 xiii
DAFTAR LAMPIRAN Lampiran 1. Program Maple 13 simulasi model untuk dengan... 78 Lampiran 2. Program Maple 13 simulasi model untuk dengan... 79 Lampiran 3. Program Maple 13 simulasi model untuk dengan... 80 Lampiran 4. Program Maple 13 simulasi model untuk dengan... 81 Lampiran 5. Program Maple 13 simulasi model untuk dengan dan... 82 xiv
DAFTAR SIMBOL ( ) Jumlah individu susceptible ( ) Jumlah individu exposed ( ) Jumlah individu sakit ( ) Jumlah individu sakit dengan perawatan ( ) Jumlah individu dalam populasi Nilai eigen Matriks identitas Himpunan bilangan real Kondisi awal Turunan terhadap Himpunan terbuka Himpunan bagian atau sama dengan Elemen/anggota Titik ekuilibrium Turunan terhadap ( ( )) Matriks Jacobian di Himpunan bilangan real berdimensi Himpunan bilangan real berdimensi Bagian real dari nilai eigen ke Bilangan reproduksi dasar xv
Bilangan asli ( ) Nilai eigen dominan dari matriks Laju rekrutmen pada populasi Laju kematian alami Laju kontak infektif individu yang rentan terhadap individu yang laten Laju perpindahan individu laten terhadap individu sakit tanpa perawatan Laju perpindahan individu laten terhadap individu sakit dengan adanya perawatan Laju kematian akibat penyakit tanpa perawatan Laju kematian akibat penyakit dengan adanya perawatan Titik ekuilibrium bebas penyakit Titik ekuilibrium endemik xvi
1