PROSIDING ISBN : 978 979 16353 3 RUANG LINEAR BERNORMA C (, L ([, b ] An-1 Muslim Ansori Jurusn Mtemtik FMIPA Universits Lmpung Almt : Jln. Soemtri Brodjonegoro No.1 Bndr Lmpung E-mil: nsomth@yhoo.com ABSTRACT In this pper, we wnt to construct new normed liner spce L b from collection of ll Crlemn opertors from ilbert spce into ( [, ] spce denoted by (, ([, ] on [ b., ] C L b, generted by essentilly bounded kernels INTISARI Tulisn ini menyjikn pengkonstruksin sutu rung liner bernorm bru yng merupkn koleksi semu opertor Crlemn dri rung ilbert ke rung L ( [, b ] dinotsikn dengn C (, ( L [, b ] yng dibngkitkn oleh kernel yng terbts essensil pd [ b., ] Kt kunci : Opertor Crlemn, kernel terbts essensil. PENDAULUAN Seperti telh dikethui bhw opertor Crlemn dikembngkn pd L ( [, b ] f b R R dengn b ( yitu koleksi semu fungsi :[, ] f y dy< dn pertm kli dilkukn oleh Crlemn (193. Untuk menghormti penemuny, opertor tersebut dinmkn opertor Crlemn. Opertor Crlemn tersebut berbentuk untuk setip f L ( b [, ] b ( ( (, ( Kf x = k x y f y dy, dengn b (, k x y dy< hmpir untuk setip x [ b, ]. Dlm hl ini, fungsi k dinmkn kernel tu pembngkit opertor K. Penelitin-penelitin tentng opertor Crlemn selnjutny bnyk dilkukn ntr lin oleh Korotkov (1970; 1971; 197. Dlm kry-kyny tersebut, Korotkov Jurusn Pendidikn Mtemtik FMIPA UNY, 5 Desember 009 31
PROSIDING ISBN : 978 979 16353 3 bnyk menjelskn sift-sift kernel opertor Crlemn pd rung ilbert. Penelitinpenelitin terkini berkitn dengn opertor Crlemn ntr lin oleh (1994 memberikn representsi integrl dri opertor-opertor liner menggunkn kernel mulus tipe Mercer ; Novitskii (00 memberikn representsi integrl opertoropertor tk terbts menggunkn kenel mulus; Novitskii (003 memberikn representsi integrl opertor-opertor tertutup menggunkn kenel mulus dn Novitskii (003 memberikn Ekuivlensi Uniter Simultn terhdp opertor Crlemn dengn Kernel mulus sebrng. Pd tulisn ini, kn dikji syrt perlu dn cukup bgi kernel sutu opertor liner dri rung ilbert ke rung ( L [, ] b dn selnjutny membentuk rung opertor Crlemn yng terdiri dri seluruh opertor Crlemn yng dibngkitkn oleh kernel tersebut. ASIL PENELITIAN DAN PEMBAASAN Kjin penelitin ini kn dimuli dengn menyjikn sift-sift dsr opertor Crlemn dri rung ilbert ke rung L ( [, b ]. DEFINISI 1.1 (Weidmnn,1980 Diberikn rung ilbert. Sutu opertor liner ( K : L [, b] dinmkn opertor Crlemn jik d fungsi terukur k:[, b] sehingg untuk setip f hmpir untuk setip x [ b, ]. ( Kf ( x = f, k ( x Selnjutny, k disebut pembngkit (kernel opertor Crlemn K : L. Opertor K yng dibngkitkn oleh kernel k tersebut bersift tunggl, sebb jik K 1 dn K msing-msing merupkn opertor Crlemn yng dibngkitkn oleh sutu fungsi terukur k:[, b], mk untuk setip f berlku Selnjutny, diperoleh ( Kf( x = f k( x dn ( K f ( x f k( x 1,, =. ( 1 ( ( ( (( 1 ( 0 = Kf x Kf x = K K f x Jurusn Pendidikn Mtemtik FMIPA UNY, 5 Desember 009 3
PROSIDING ISBN : 978 979 16353 3 hmpir untuk setip x [ b, ] dn f. Oleh kren itu, ( θl untuk setip f [ b, ], yitu K1 = K. K K f = K f K f = K f = K f 1 1 [, b] 1 CONTO 1. Diberikn fungsi terukur k L ([ b, ] [ b, ] ( (,. ([, ]. Oleh kren itu, k x = k x L b hmpir untuk setip x [ b, ]. Opertor liner ( ( K : L [, b] L [, b] dengn rumus, untuk setip f ( ( (., (,. b (, ( Kf x f k x k x y f y dy = = hmpir untuk setip x [ b, ], merupkn opertor Crlemn yng dibngkitkn oleh k. Selnjutny, notsi (, ([, ] dri ke ( C L b menytkn koleksi semu opertor Crlemn TEOREMA 1.3 (Weidmnn,1980 Jik K C(, L BUKTI : Kren K C(, L sehingg untuk setip f mk K tertutup., mk terdpt fungsi terukur k:[, b] hmpir untuk setip x [ b, ] sutu f * k( x ( Kf ( x = f, k ( x. Dimbil sebrng brisn { f } n yng konvergen ke dn brisn { Kf } konvergen ke sutu g L ( b =, hmpir untuk setip x [ b, ] konvergen ke, ( { f k x } Kf ( x n { } dengn ketunggln limit diperoleh hmpir untuk setip f mk brisn ( [, ]. Kren { } { Kfn x } = f, kn( x = hmpir untuk setip x [ b, ]. Oleh kren itu, g = ( f, k x tu terbukti bhw K tertutup. Jurusn Pendidikn Mtemtik FMIPA UNY, 5 Desember 009 33
PROSIDING ISBN : 978 979 16353 3 TEOREMA 1.4 (Weidmnn,1980 impunn (, ([, ] liner. BUKTI : Dimbil du opertor K1, K C(, L( [, b] C L b merupkn rung sebrng. Oleh kren itu, terdpt fungsi terukur k 1 :[, b] dn k :[, b] sehingg untuk setip f berlku ( Kf( x = f, k( x dn ( K f ( x = f, k ( x 1 1 hmpir untuk setip x [ b, ]. Kren k 1 :[, b] dn k :[, b] terukur mk αk :[, b], k :[, b] 1 sklr α, β. Selnjutny, diperoleh β ( α β :[, ] 1 + k b dn terukur untuk setip (( αk1+ βk f ( x = ( αk1f ( x + ( βkf ( x = ( f, αk1( x + ( f, βk( x = ( f, αk1( x + βk( x = ( f, ( αk1+ βk( x. Jdi, α K1+ β K merupkn opertor Crlemn yng dibngkitkn oleh fungsi terukur αk + βk. 1 Berikut ini kn diberikn slh stu syrt bgi kernel k:[, b] untuk menjdi pembngkit opertor Crlemn K : L sebgi bgin dri hsil utm penelitin ini. Perlu diingt kembli, sutu fungsi k:[, b] diktkn terbts essensil pd [ b, ] jik terdpt himpunn E [ b, ] dengn E = 0 sehingg k:[, b]\ E terbts. Dengn kt lin, jik k:[, b] terbts essensil mk terdpt bilngn rel positip M sehingg sup (.sup ( k x = ess k x M \ E TEOREMA 1.5 Diberikn rung ilbert. Opertor liner K : L merupkn opertor Crlemn jik dn hny jik terdpt fungsi terukur dn terbts essensil k:[, b] sehingg Jurusn Pendidikn Mtemtik FMIPA UNY, 5 Desember 009 34
PROSIDING ISBN : 978 979 16353 3 hmpir untuk setip x [ b, ]. BUKTI : Kren K C(, L sehingg untuk setip f ( Kf ( x f k ( x mk terdpt fungsi terukur k:[, b] berlku ( Kf ( x = f, k ( x hmpir untuk setip x [ b, ]. Oleh kren itu, ( Kf ( x = f k ( x f k ( x, hmpir untuk setip x [ b, ]. Seblikny, kren k:[, b] fungsi terukur dn terbts essensil pd [ b, ] sehingg hmpir untuk setip x [ b, ], mk Dengn kt lin Kf L ( b ( Kf ( x f k ( x ( Kf ( x f ess k ( x.sup. [, ] untuk setip f f, opertor liner K : L dpt dirumuskn dengn hmpir untuk setip x [ b, ] ( Kf ( x = f, k ( x. Terbukti, K C(, L.. Selnjutny, untuk setip Selnjutny, notsi (, ([, ] Crlemn dri ke ( essensil k:[, b] ( ( C L b menytkn koleksi semu opertor L [, ] b yng dibngkitkn oleh fungsi terukur dn terbts (. Didefinisikn fungsi norm pd, ([, ].: C, L [, b] R dengn rumus ( K = ess.sup k x. C TEOREMA 1.6 impunn, ([, ] terhdp norm.. C ( C L b, C L b merupkn rung liner bernorm Jurusn Pendidikn Mtemtik FMIPA UNY, 5 Desember 009 35
PROSIDING ISBN : 978 979 16353 3 ( BUKTI : (i Untuk setip opertor K C, L terbts essensil k:[, b] diperoleh ( K = ess.sup k x 0 C, dengn pembngkit fungsi dn ( ( K = 0 ess.sup k x = 0 k x = 0 k = θ K = O C (O opertor nol hmpir di mn-mn pd [ b., ] ( (ii Untuk setip K C, L dengn fungsi pembngkit terbts essensil k:[, b] dn sklr α, diperoleh (.sup ( α K = ess.sup α k x = α ess k x = α K. C (iii Untuk setip K, L C (, L essensil k:[, b] dn l:[, b] Jdi, C dengn fungsi pembngkit terbts, diperoleh ( ( K + L = ess.sup k x + l x C ( ( ( ess.sup k x + l x (.sup ( ess.sup k x + ess l x K + L C C K + L K + L C C C Berdsrkn (i,(ii,(iii dn Teorem 1.4, terbukti bhw C (, L ([, b ] merupkn rung liner bernorm. KESIMPULAN DAN SARAN Penelitin lnjutn dlm thp penyelesin (, ([, ] C L b terhdp norm. merupkn rung Bnch. C yitu menunjukkn bhw Jurusn Pendidikn Mtemtik FMIPA UNY, 5 Desember 009 36
PROSIDING ISBN : 978 979 16353 3 DAFTAR PUSTAKA Korotkov, V.B., 1970, Chrcteristic Properties of Integrl Opertors with Kernels of Crlemn Type,Siberin Mth. Journl, 11,1,84-104. Korotkov, V.B., 1971, Crlemn Opertors in Spces of Abstrc Functions I, Siberin Mth. Journl, 1,4,516-5. Korotkov, V.B., 1971, Crlemn Opertors in Spces of Abstrc Functions II, Siberin Mth. Journl, 1,4,53-530. Novitskii,I.M., 1994, Integrl Representtion of Liner Opertors by Smooth Crlemn Kernels of Mercer Type, Proc. London Mth. Soc., 3,161-177. Novitskii,I.M., 00, Integrl Representtion of unbounded Opertors by Smooth Crlemn Kernels, Preprint. Novitskii,I.M., 003, Integrl Representtion of Closed Opertors s Bi-Crlemn Opertors with rbitrrily Smooth, Reserch Report, Fr Estern Brnch of The Russin Acdemy of Science. Novitskii,I.M., 003, Simultneous Unitry equivlence to Crlemn Opertors with Arbitrrily Smooth Kernels, Reserch Report, Fr Estern Brnch of The Russin Acdemy of Science. Weidmnn, J., 1980, Liner Opertors in ilbert Spces, Springer Verlg, New York. Jurusn Pendidikn Mtemtik FMIPA UNY, 5 Desember 009 37