SIGNAL & SPECTRUM O L E H : G U TA M A I N D R A Rangkaian Elektrik Prodi Teknik Elektro Fakultas Teknik 2017
TUJUAN PERKULIAHAN Memahami berbagai pernyataan gelombang sinyal Memahami konsep harmonisa Memahami sinyal periodic yang dipandang sebagai suatu spectrum
PERNYATAAN GELOMBANG SINYAL Gelombang periodic dan aperiodik Sinyal kausal dan non kausal Nilai sesaat Amplitudo Nilai puncak ke puncak (V pp ) Nilai puncak Nilai rata-rata Nilai efektik
PERIODIK DAN APERIODIK Suatu gelombang dinyatakan periodic jika gelombang tersebut selalu berulang setiap selang waktu tertentu. Jadi jika v(t) adalah sebuah gelombang periodic, maka v(t + T 0 ) untuk semua nilai t dengan T 0 adalah periode (waktu ang diperlukan untuk membentuk satu gelombang). Sinyal aperiodic adalah sinyal yg tidak periodik. Gambar 1 : Sinyal aperiodik Gambar 2 : Sinyal periodik
CONTOH SINYAL PERIODIK DAN TIDAK PERIODIK v a t = sin(2π4t) (sinyal periodik) v b t = 10e t 2 (sinyal aperiodik) v c t = sin 2π 10e t 2 aperidik) t (sinyal Periodic_aperiodik.m Note : Sinyal eksponensial adalah sinyal yang tidak periodik (aperiodic)
SINYAL KAUSAL DAN NON-KAUSAL Sinyal kausal adalah sinyal yang bernilai nol sebelum saat Ts tertentu atau dengan kata lain sinyal yang bernilai nol untuk semua waktu negatif (-t). Sinyal non kausal adalah sinyal yang bernilai tidak nol untuk semua waktu negatif (- t). Sinyal anti kausal adalah sinyal yang bernilai 0 untuk semua t yang bernilai positif. Sinyal Kausal Sinyal non-kausal Sinyal anti-kausal Jika sebuah fungsi sinyal dikalikan dengan sinyal anak tangga (step) maka akan didapatkan hasil berupa sinyal kausal. Pada kenyataannya sebuah sinyal non-kausal tidak mungkin untuk dibuat, terkecuali dimimplementasikan dengan menggunakan memory yang menyimpan keadaan pada saat t < 0
NILAI SESAAT Nilai amplitudo gelombang v t, i(t) ataupun p(t)pada suatu saat t tertentu disebut nilai sesaat dari bentuk gelombang itu. Misalkan : Jika diketahui sebuah fungsi arus i t = 2sin(2π3t), tentukan nilai pada saat t = 2! i 2 = 2 sin 2π3.2 i 2 = 1.22 Nilai sesaat i pada saat t = 2 adalah 1.22
AMPLITUDO Pada umumnya amplitudo gelombang berubah terhadap waktu diantara dua nilai ekstrem yaitu amplitudo maksimum (V max ) dan amplitudo minimum(v min ) V max V min
VPP (NILAI AMPLITUDE PUNCAK KE PUNCAK) Nilai amplitudo puncak-ke-puncak menyatakan fluktuasi total dari amplitudo dan didefinisikan sebagai: V max V pp = V max V min Nilai puncak V p adalah nilai absolut dari amplitudo V p = Max V max, V min V min
NILAI RATA-RATA Nilai rata- secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut ini: V avg = 1 T t 0 t 0 +T v x dx Untuk sinyal periodik selang waktu T sama dengan T 0 Sinyal rata-rata juga digunakan untuk mengetahui apakah dalam sebuah sinyal terdapat komponen konstan atau komponen yg tidak berubah terhadap waktu. Komponen konstan ini disebut juga komponen searah dari sinyal.
NILAI EFEKTIF (NILAI RMS) Nilai efektif (rms) menunjukkan nilai rata-rata daya yang dibawa oleh sinyal. Misalkan: sebuah resistor diberikan tegangan v(t), maka nilai daya dapat dihitung dengan menggunakan: p t = 1 R v(t) 2 Daya rata rata dirumuskan dengan : P avg = 1 T P avg = 1 R t 0 +T t 0 Sehingga : 1 T t 0 p(t) dt t 0 +T v(t) 2 dt 1 t 0 +T T t0 V rms = v(t) 2 dt 1 T t 0 +T t o Adalah nilai rata-rata dari kuadrat gelombang Akar dari besaran nilai rata rata kuadrat gelombang disebut dengan nilai rms atau nilai efektif. v(t) 2 dt Sehingga untuk mencari daya ratarata dapat dengan mudah hanya menggunakan : P avg = 1 R V rms 2
CONTOH KASUS V p = 6V; V pp = 6V ; T = 3 2 V avg = 1 6dt + 3 0 V avg = 4V 2 3 0dt = 1 3. 12 + 0 = 4V Tentukan nilai : 1. Tegangan puncak (V p ) 2. Tegangan puncak-puncak (V pp ) 3. Tegangan rata rata V avg 4. Tegangan efektif (V rms ) V rms = 1 6 3 2 dt + 0 V rms = 4.9V 2 2 3 0 2 dt = 1. 72 + 0 = 4.9 V 3
SPEKTRUM SINYAL Suatu sinyal dapat dinyatakan sebagai suatu spektrum yang menunjukan perilaku sinyal sebagai fungsi frekuensi. Suatu sinyal dapat dipandang dari kawasan waktu dalam bentuk gelombang (fungsi waktu) atau suatu sinyal dapat dipandang dari kawasan frekuensi dalam bentuk spectrum. Suatu sinyal periodik dapat diuraikan menjadi jumlah dari beberapa komponen sinus, dengan amplitudo, sudut fasa, dan frekuensi yang berlainan. Dalam penguraian sinyal, sinyal akan terdiri dari komponen-komponen sinyal yang berupa komponen searah (nilai rata-rata dari sinyal), komponen sinus dengan frekuensi dasar f 0, dan komponen sinus dengan frekuensi harmonisa nf 0
FREKUENSI HARMONISA Frekuensi harmonisa adalah nilai frekuensi yang merupakan perkalian frekuensi dasar f 0 dengan bilangan bulat n. Frekuensi f 0 disebut sebagai frekuensi dasar karena frekuensi ini yang menentukan periode sinyal T 0 = 1 f 0 Frekuensi harmonisa dimulai dari harmonisa kedua (2f 0 ) harmonisa ketiga (3f 0 ) dan seterusnya. Harmonisa ke n mempunyai frekuensi nf 0
CONTOH SINYAL HARMONISA Diketahui sebuah sinyal sinus seperti dibawah ini: v t = 3 cos 2πf 0 t f 0 = 3hz k = 1 (komponen searah) Dimana 7 sinyal digunakan untuk mengharmonisa sinyal dasar adalah : v t = 3 cos 2π(nf 0 )t 7 n=1 3 cos 2π(nf 0 )t Jadi persamaan dari sinyal harmonisa tersebut adalah : harmonisa.m v t = 1 + 3 cos 2πf 0 t + 7 n=1 3 cos 2π(nf 0 )t
CONTOH KASUS Diketahui sebuah sinyal yang terharmonisa, dipenuhi oleh persamaan berikut ini: v t = 10 + 40 cos 2πf 0 t + 20 sin 2π(2f 0 )t 10cos(2π(4f 0 )t) Untuk melihat spectrum dari sinyal tersebut maka harus disamakan bentuk persamaannya dengan bentuk standar v t = A cos(2πft + ) Dengan menggunakan identitas trigonometri : sin x = cos x 90 cos x = cos x + 180 v t = 10 + 40 cos 2πf 0 t + 20 cos 2π2f 0 t 90 + 10cos(2π4f 0 t + 180 ) Frekuensi 0 f 0 2f 0 4f 0 Amplitudo 10 40 20 10 Sudut fase - 0-90 180
BENTUK SPEKTRUM
IMPLEMENTASI PENGURAIAN SINYAL Penguraian sinyal menjadi penjumlahan harmonisa-harmonisanya dapat diperluas untuk semua bentuk sinyal gelombang periodik. (bahkan untuk gelombang persegi!! Bagaimana bisa?) Selama sinyal gelombang yang akan direkontruksi adalah sinyal yang periodik maka sinyal tersebut dapat dibentuk dari penjumlahan harmonisa sinus. v t = 10 sin 2πft + 10 3 sin 2π3ft + 10 5 10 sin 2π5ft + + sin 2π21ft 21 harmonisa_persegi.m
BENTUK SPEKTRUM Frekuensi f 0 3f 0 5f 0 7f 0 9f 0 11f 0 13f 0 15f 0 17f 0 19f 0 21f 0 23f 0 25f 0 27f 0 Amplitudo 10 3.3 2 1.42 1.1 0.9 0.76 0.66 0.58 0.52 0.47 0.43 0.4 0.37 Sudut fase 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Note : Selisih antara frekuensi tertinggi dengan frekuensi terendah disebut dengan lebar pita (band width)
REKONSTRUKSI GELOMBANG PERSEGI Penguraian suatu sinyal periodik menjadi suatu spektrum sinyal tidak lain adalah pernyataan fungsi periodik kedalam deret Fourier. f t = a 0 + a n cos 2πnf 0 t + b n sin(2πnf 0 t) harmonisa_persegi.m NEXT DERET FOURIER