BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI Dalam bab ini dipaparkan beberapa hasil penelitian yang dilakukan para peneliti sebelumnya, pengertian dasar graf, operasi-operasi pada graf, kelaskelas graf, dan dimensi metrik pada graf. Pemaparan tersebut dibagi dalam tiga subbab yaitu tinjauan pustaka, teori penunjang, dan kerangka pemikiran. Subbab tinjauan pustaka memuat hasil-hasil penelitian yang telah dilakukan. Subbab teori penunjang memuat pengertian dasar graf, operasi-operasi pada graf, kelas-kelas graf, dan dimensi metrik pada graf. Subbab kerangka pemikiran menjabarkan tuntunan untuk memecahkan masalah penelitian. 2.1 Tinjauan Pustaka Konsep tentang dimensi metrik muncul dari himpunan pembeda yang diperkenalkan oleh Slater pada tahun 1975 serta Harary dan Melter pada tahun 1976 (Chartrand et al. [4]). Slater [13] memperkenalkan konsep himpunan pembeda ini dengan istilah locating set, sedangkan Harary dan Melter [7] memperkenalkan himpunan pembeda ini dengan istilah resolving set. Pada tahun 2000, Chartrand et al. [4] telah membuktikan bahwa suatu graf connected G dengan order n memiliki dimensi metrik 1 jika dan hanya jika G = P n. Selain itu, Chartrand et al. [4] juga menemukan bahwa suatu graf connected G dengen order n 2 memiliki dimensi metrik n 1 jika dan hanya jika G = K n. Kemudian Caceres et al. [1] menemukan bahwa dimensi metrik dari P m P n adalah 2. Penelitian ini kemudian dilanjutkan oleh Iswadi et al. [9] yang menemukan bahwa untuk n 1 dan 1 m 2, dimensi metrik dari ((P n P m ) K 1 ) adalah 2. Iswadi et al. [9] juga menuliskan bahwa dimensi 4

metrik pada graf cycle C n untuk n 3 adalah 2. Pada tahun 2007, Tomescu dan Javaid [14] menemukan rumus dimensi metrik dari graf Jahangir J 1,n dan graf J 2,n sebagai berikut. 1. Untuk n 7, dim(j 1,n ) = 2n+2 5. 2. Untuk n 4, dim(j 2,n ) = 2n 3. Selanjutnya, Widodo [15] membuktikan bahwa dimensi metrik pada graf double cones DC n adalah 3 untuk n = 3, 4 dan n untuk n lainnya. Sementara itu, 2 Fikri [5] membuktikan bahwa dimensi metrik dari graf book B n adalah n. Penelitian ini bertujuan untuk memperoleh rumus umum dimensi metrik pada graf lollipop, graf Mongolian tent, dan graf generalized Jahangir. 2.2 Teori Penunjang 2.2.1 Definisi Dasar Graf Definisi graf, jarak, dan isomorfik diambil dari Chartrand dan Lesniak [3], sedangkan definisi adjacent, incident, degree, walk, circuit, connected, bridge, dan complete diambil dari Chartrand [2]. Definisi 2.2.1. Suatu graf G adalah himpunan tak kosong berhingga V (G) = {v 1, v 2,..., v n } yang disebut vertex dan himpunan E(G) = {e 1, e 2,..., e n } merupakan himpunan pasangan tidak berurutan dari anggota-anggota V (G) yang disebut edge. Setiap graf harus memuat minimal satu vertex, tetapi dimungkinkan tidak memiliki edge. Banyaknya vertex pada suatu graf disebut dengan order, dinotasikan V (G). Sedangkan banyaknya edge pada suatu graf disebut dengan size, dinotasikan E(G). Definisi 2.2.2. Jika u dan v adalah sembarang vertex dari graf G yang dihubungkan oleh edge e, dinotasikan e = uv, maka u dan v adalah vertex yang 5

saling adjacent. Selanjutnya vertex u dan v dikatakan incident dengan edge e, dan e disebut join vertex dari u dan v. Gambar 2.1. Graf G Pada Gambar 2.1, graf G adalah graf ber-order 6 dengan himpunan vertex V (G) = {v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 }. Contoh vertex yang saling adjacent yaitu vertex v 1 dan v 2, selanjutnya vertex v 1 dan v 2 incident dengan edge v 1 v 2. Definisi 2.2.3. Misalkan v vertex dari graf G. Degree vertex v dari graf G, dinotasikan deg v, adalah banyaknya edge yang incident dengan v. Degree setiap vertex dari graf G pada Gambar 2.1 adalah deg v 1 = 2, deg v 2 = 5, deg v 3 = 2, deg v 4 = 3, deg v 5 = 3, dan deg v 6 = 3. Definisi 2.2.4. Suatu u v walk dari graf G adalah barisan bergantian antara vertex dan edge yang dimulai dari vertex u dan berakhir di vertex v. Suatu u v trail adalah u v walk dengan tidak mengulang sembarang edge. Suatu u v path adalah u v walk yang tidak mengulang sembarang vertex. Contoh u v walk pada Gambar 2.1 adalah v 2, v 2 v 3, v 3, v 3 v 4, v 4, v 4 v 2, v 2, v 2 v 3, v 3. Contoh u v trail adalah v 2, v 2 v 3, v 3, v 3 v 4, v 4, v 4 v 2, v 2, v 2 v 5, v 5. Contoh u v path adalah v 1, v 1 v 2, v 2, v 2 v 3, v 3, v 3 v 4, v 4. Definisi 2.2.5. Suatu u v trail dengan u = v, paling sedikit terdiri dari 3 vertex disebut circuit. Circuit yang tidak mengulang sembarang vertex disebut cycle. 6

Graf G pada Gambar 2.1 mempunyai circuit yaitu v 1, v 1 v 2, v 2, v 2 v 3, v 3, v 3 v 4, v 4, v 4 v 2, v 2, v 2 v 6, v 6, v 6 v 1, v 1. Sementara itu, cycle pada graf G adalah v 1, v 1 v 2, v 2, v 2 v 5, v 5, v 5 v 6, v 6, v 6 v 1, v 1. Definisi 2.2.6. Jarak dari vertex u ke v di G adalah panjang path terpendek dari vertex u ke v, dinotasikan dengan d(u, v). Jika tidak ada path yang menghubungkan antara vertex u dan v, maka d(u, v) =. Definisi 2.2.7. Suatu graf G dikatakan connected jika untuk setiap dua vertex u dan v pada G, dapat ditemukan path yang menghubungkan vertex u dan v. Definisi 2.2.8. Bridge adalah suatu edge yang apabila dihapus menyebabkan graf menjadi disconnected. Definisi 2.2.9. Graf G 1 dan G 2 dikatakan isomorfik jika terdapat pemetaan satu-satu ϕ dari V (G 1 ) onto V (G 2 ) sedemikian sehingga ϕ mempertahankan sifat-sifat adjacency-nya, yaitu uv E(G 1 ) ϕuϕv E(G 2 ). Graf H dan H pada Gambar 2.2 adalah contoh graf connected. Graf H dikatakan isomorfik dengan graf H karena terdapat pemetaan satu-satu ϕ dari V (H) onto V (H ) sedemikian sehingga ϕ mempertahankan sifat-sifat adjacency-nya. Gambar 2.2. Graf H dan H yang isomorfik Definisi 2.2.10. Suatu graf dengan n vertex dikatakan complete, dinotasikan K n, jika setiap dua vertex yang berbeda adalah adjacent. 7

Contoh graf complete dapat dilihat pada Gambar 2.3. Gambar 2.3. Graf complete 2.2.2 Operasi pada Graf Operasi-operasi pada graf antara lain union, join, product, dan hasil kali korona. Definisi dari union, join, dan product diambil dari Chartrand dan Lesniak [3], sedangkan hasil kali korona didefinisikan oleh Gallian [6]. Definisi 2.2.11. Union dari G 1 dan G 2 yang dinotasikan G 1 G 2 adalah graf dengan V (G 1 G 2 ) = V (G 1 ) V (G 2 ) dan E(G 1 G 2 ) = E(G 1 ) E(G 2 ). Gambar 2.4 menunjukkan operasi union dari dua graf. Gambar 2.4. Graf G 1 dan G 2 (kiri) dan union G 1 dan G 2 (kanan). Definisi 2.2.12. Join dari G 1 dan G 2 yang dinotasikan G 1 + G 2 adalah graf yang terdiri dari union G 1 G 2 bersama-sama dengan semua edge v i v j, dimana v i V (G 1 ) dan v j V (G 2 ) dengan i, j = 1, 2, 3,.... 8

Definisi 2.2.13. Product dari G 1 dan G 2 yang dinotasikan G 1 G 2 merupakan graf yang memiliki himpunan vertex V (G 1 ) V (G 2 ) dan dua vertex (u 1, u 2 ) dan (v 1, v 2 ) adjacent dalam G 1 G 2 jika dan hanya jika u 1 = v 1 dan u 2 v 2 E(G 2 ), atau u 2 = v 2 dan u 1 v 1 E(G 1 ). Definisi 2.2.14. Hasil kali korona dari G 1 dan G 2 yang dinotasikan G 1 G 2 merupakan graf yang diperoleh dari salinan G 1 sebanyak satu dan salinan G 2 sebanyak order dari G 1 dan menghubungkan vertex ke-i dari G 1 dengan setiap vertex pada salinan ke-i pada G 2. Gambar 2.5 menunjukkan operasi join dan product dari dua graf. Gambar 2.6 menunjukkan operasi hasil kali korona dari dua graf. Gambar 2.5. Operasi join (kiri) dan product (kanan) dari G 1 dan G 2. Gambar 2.6. P 3 C 3. 9

2.2.3 Kelas-Kelas Graf Berikut akan diuraikan definisi dari kelas graf lollipop, graf Mongolian tent, dan graf generalized Jahangir. Definisi graf lollipop diambil dari Hoory et al. [8], definisi graf Mongolian tent diambil dari Lee [11], dan definisi graf generalized Jahangir diambil dari Mojdeh dan Ghameshlou [12]. Definisi 2.2.15. Graf lollipop yang dinotasikan L m,n untuk m 3 adalah graf yang dibentuk dengan menghubungkan graf complete K m dengan graf path P n oleh sebuah bridge. Gambar 2.7 merupakan contoh graf lollipop. Gambar 2.7. Graf lollipop L m,n Definisi 2.2.16. Graf Mongolian tent yang dinotasikan M m,n adalah graf yang memuat P m P n, n bilangan ganjil, dan menambahkan satu vertex di atas grid kemudian menggabungkan setiap vertex pada baris pertama dari P m P n ke vertex tersebut. Definisi 2.2.17. Graf generalized Jahangir yang dinotasikan J m,n untuk n 3 adalah graf dengan mn+1 vertex yang terdiri dari cycle C mn dengan satu vertex tambahan yang adjacent ke n vertex pada C mn dan berjarak m satu sama lain pada C mn. Gambar 2.8 merupakan contoh graf Mongolian tent. Sedangkan contoh graf generalized Jahangir dapat dilihat pada Gambar 2.9. 10

Gambar 2.8. Graf Mongolian tent M m,n Gambar 2.9. Graf generalized Jahangir J m,n 2.2.4 Dimensi Metrik Menurut Chartrand et al. [4], misalkan G adalah suatu graf connected dengan himpunan vertex V (G) dan himpunan edge E(G). Misalkan W = {w 1, w 2,..., w k } adalah subhimpunan dari V (G). Untuk setiap v V (G), representasi vertex v terhadap W didefinisikan sebagai k-pasang terurut 11

r(v W ) = (d(v, w 1 ), d(v, w 2 ),..., d(v, w k )). Himpunan W dikatakan sebagai himpunan pembeda dari G jika untuk setiap dua vertex berbeda x, y V (G) berlaku r(x W ) r(y W ). Himpunan pembeda dengan kardinalitas terkecil disebut himpunan pembeda minimum atau basis dari G. Dimensi metrik dari G, dinotasikan dim(g), didefinisikan sebagai banyaknya elemen dari suatu basis di G. Jika dim(g) = k maka G dikatakan berdimensi metrik k. Sebagai contoh, diberikan graf G 3 pada Gambar 2.10. Gambar 2.10. Graf G 3 Dengan memilih himpunan vertex W 1 = {v 1, v 2, v 3, v 4 }, diperoleh representasi untuk semua vertex pada G 3 terhadap W 1 adalah r(v 1 W 1 ) = (0, 1, 2, 1), r(v 2 W 1 ) = (1, 0, 1, 1), r(v 3 W 1 ) = (2, 1, 0, 2), r(v 4 W 1 ) = (1, 1, 2, 0), r(v 5 W 1 ) = (1, 2, 1, 1), r(v 6 W 1 ) = (2, 1, 2, 2). Setiap vertex pada G 3 memiliki representasi yang berbeda sehingga W 1 merupakan himpunan pembeda dari graf G 3. Misalkan dipilih himpunan vertex W 2 = {v 1, v 2, v 4 }, diperoleh representasi untuk semua vertex pada G 3 terhadap W 2 sebagai berikut. r(v 1 W 2 ) = (0, 1, 1), r(v 2 W 2 ) = (1, 0, 1), r(v 3 W 2 ) = (2, 1, 2), 12

r(v 4 W 2 ) = (1, 1, 0), r(v 5 W 2 ) = (1, 2, 1), r(v 6 W 2 ) = (2, 1, 2). Himpunan vertex W 2 bukan merupakan himpunan pembeda karena terdapat vertex dengan representasi yang sama yaitu r(v 3 W 2 ) = (2, 1, 2) = r(v 6 W 2 ). Selanjutnya misalkan dipilih himpunan vertex W 3 = {v 1, v 2, v 3 }, diperoleh representasi untuk semua vertex pada G 3 terhadap W 3 adalah r(v 1 W 3 ) = (0, 1, 2), r(v 2 W 3 ) = (1, 0, 1), r(v 3 W 3 ) = (2, 1, 0), r(v 4 W 3 ) = (1, 1, 2), r(v 5 W 3 ) = (1, 2, 1), r(v 5 W 3 ) = (2, 1, 2). Setiap vertex dari G 3 memiliki representasi yang berbeda terhadap W 3 sehingga W 3 adalah himpunan pembeda dari graf G 3. Untuk kasus graf G 3, tidak diperoleh himpunan pembeda yang memiliki 1 atau 2 elemen. Dengan demikian, diperoleh dim(g 3 ) = 3 dan W 3 merupakan suatu basis dari G 3. Misalkan dipilih himpunan vertex W 4 = {v 4, v 5, v 6 }, diperoleh representasi untuk semua vertex pada G 3 terhadap W 4 sebagai berikut. r(v 1 W 4 ) = (1, 1, 2), r(v 2 W 4 ) = (1, 2, 1), r(v 3 W 4 ) = (2, 1, 2), r(v 4 W 4 ) = (0, 1, 2), r(v 5 W 4 ) = (1, 0, 1), r(v 5 W 4 ) = (2, 1, 0). Setiap vertex pada G 3 memiliki representasi yang berbeda sehingga W 4 juga merupakan basis dari G 3. Basis lain dari graf G 3 yaitu W 5 = {v 1, v 2, v 6 }, W 6 = {v 1, v 3, v 5 }, W 7 = {v 1, v 5, v 6 }, W 8 = {v 2, v 3, v 4 }, W 9 = {v 2, v 4, v 6 }, dan W 10 = {v 3, v 4, v 5 }. 2.3 Kerangka Pemikiran Berdasarkan landasan teori, dapat disusun suatu kerangka pemikiran untuk menyelesaikan permasalahan yang ditinjau dalam penelitian ini. Menurut Chartrand et al. [4], dimensi metrik pada graf G yang dinotasikan dim(g) didefinisikan sebagai banyaknya elemen dari suatu basis di G. Basis adalah himpunan pembeda dengan kardinalitas minimum. 13

Menurut Chartrand et al. [4], suatu graf G dengan order n memiliki dimensi 1 jika dan hanya jika G = P n. Karena L m,n P n, M m,n P n, dan J m,n P n, sehingga dimensi metrik dari graf lollipop, graf Mongolian tent, dan graf generalized Jahangir tidak mungkin diperoleh konstan 1. Langkah awal untuk menentukan dimensi metrik pada graf lollipop, graf Mongolian tent, dan graf generalized Jahangir adalah menghitung jarak setiap vertex ke vertex lainnya dan membuat tabel jarak dari setiap graf yang akan diteliti. Kemudian ditentukan himpunan pembeda yang merepresentasikan semua vertex pada graf tersebut. Langkah selanjutnya adalah memilih himpunan pembeda dengan kardinalitas minimum untuk menjadi basis. Kardinalitas dari basis ini kemudian menjadi dimensi metrik pada graf-graf tersebut. Langkahlangkah tersebut terus dilakukan hingga ditemukan pola dimensi metrik pada setiap graf. Pola dimensi metrik inilah yang kemudian menjadi rumus dimensi metrik pada graf lollipop, graf Mongolian tent, dan graf generalized Jahangir. Pembuktian pola umum dimensi metrik pada graf lollipop dibuat dengan mengacu pada teknik pembuktian yang dilakukan oleh Widodo [15]. Pembuktian pola umum dimensi metrik pada graf Mongolian tent diadopsi dari teknik pembuktian pada Iswadi et al. [9] dan Fikri [5]. Sedangkan pembuktian pola umum dimensi metrik pada graf generalized Jahangir menggunakan teknik pembuktian yang dilakukan oleh Tomescu dan Javaid [14]. 14