Edisi: Oktober 07. Vol. 03 No. 0 ISSN: 57-359 E-ISSN: 57-367 Pelabelan Harmonis Ganjil pada Kelas Graf Baru Hasil Operasi Cartesian Product Fery Firmansah, Muhammad Ridlo Yuwono Pend. Matematika, Universitas Widya Dharma Klaten, fery.firmansah004@gmail.com Pend. Matematika, Universitas Widya Dharma Klaten, ridloyuwono90@gmail.com DOI:https://doi.org/0.564/mantik.07.3..87-95 Abstrak Kelas graf yang mempunyai sifat pelabelan harmonis ganjil disebut sebagai graf harmonis ganjil. Graf jaring adalah graf yang diperoleh dari operasi cartesian product dari dua graf lintasan. Kontruksi graf ular jaring terinspirasi dari definisi graf ular dengan mengganti graf lingkaran dengan graf jaring. Pada makalah ini akan ditunjukkan bahwa graf ular jaring memenuhi sifat pelabelan harmonis ganjil sedemikian sehingga graf ular jaring adalah graf harmonis ganjil. Pada bagian akhir akan ditunjukkan juga bahwa gabungan graf ular jaring merupakan graf harmonis ganjil. Kata kunci: cartesian product, gabungan graf, graf harmonis ganjil, graf ular jaring Abstract Graph class which has the characteristic of odd harmonious labeling is called as odd harmonious graph. Net graph is a graph which is gained by using operation Cartesian product of two line graphs. The construction of snake-net graph is inspired by the definition of snake graph replacing the round graph to net graph. In this paper, the study will show that snake-net graph fulfill the characteristic of odd harmonious graph in such a way snake-net graph is the odd harmonious graph. In the end of this paper, it is also shown that the union of snake-net graph is also called as the odd harmonious graph. Keywords: Cartesian product, union graph, odd harmonious graph, snake-net graph. Pendahuluan Pelabelan graf merupakan salah satu topik dari matematika kombinatorik yang berkembang sangat pesat akhir-akhir ini. Selain berkembang secara teori, pelabelan graf juga telah banyak diaplikasikan dalam berbagai bidang keilmuan. Pada mulanya pelabelan graf diperkenalkan oleh Sedlacek tahun 963 yang terinspirasi dari kasus bujur sangkar ajaib yang disebut pelabelan ajaib. Rosa tahun 970, menulis makalah tentang pelabelan graceful yang digunakan untuk menyelesaikan kasus dekomposisi dari graf lengkap. Sampai tahun 06, hasil tentang penelitian pelabelan graf sudah banyak dipubliksikan dalam berbagai jurnal dan makalah yang dikumpulkan dan diperbaharui secara teratur oleh Gallian. Gallian (06) telah merangkum kurang lebih 000 jurnal pelabelan graf dari seluruh peneliti dunia dan dari 000 jurnal tersebut diperoleh kurang lebih 00 kelas graf baru beserta pelabelannya. Selain pelabelan ajaib dan pelabelan graceful, masih terdapat terdapat jenis pelabelan yang lain diantaranya adalah pelabelan harmonis yang 87
Edisi: Oktober 07. Vol. 03 No. 0 ISSN: 57-359 E-ISSN: 57-367 diperkenalkan oleh Graham dan Sloane pada tahun 980 dan pelabelan harmonis ganjil yang diperkenalkan oleh Liang dan Bai pada tahun 009. Liang dan Bai [0] telah menunjukkan sifat-sifat khusus yang dimiliki oleh graf harmonis ganjil, serta beberapa kelas graf yang memenuhi pelabelan harmonis ganjil. Hasil penelitian yang relevan dengan penelitian ini diantaranya dapat dilihat di Abdel-Aal []; Alyani, et. al. []; Firmansah & Sugeng [3]; Firmansah [4]; Firmansah & Syaifuddin [5]; Firmansah & Yuwono [6]; Jeyanthi dan Philo [7], Jeyanthi, et. al. [8], Saputri et. al. []; dan Vaidya & Shah []. Pada makalah ini akan diberikan kontruksi kelas graf baru hasil operasi cartesian product dari graf lintasan P m dan P n yaitu graf jaring L m,n = P m P n. Untuk m = n = 3 diperoleh graf jaring L 3,3 yang akan membentuk graf ular jaring kl 3,3. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa graf ular jaring kl 3,3 memenuhi sifat-sifat pelabelan harmonis ganjil sehingga graf ular jaring kl 3,3 adalah keluarga baru dari graf harmonis ganjil. Dibagian akhir akan ditunjukkan bahwa gabungan graf ular jaring kl 3,3 kl 3,3 juga merupakan keluarga dari graf harmonis ganjil.. Kajian Teori Misalkan Z n adalah himpunan bilangan bulat modulo n. Simbol [a, b] didefinsikan oleh {x x Z, a x b} dan [a, b] d didefinsikan oleh {x x Z, a x b, x a(mod d)}. sedemikian sehingga menginduksi f : E(G) Z q yang didefinisikan oleh f (uv) = (f(u) + f(v))(mod q) yang bersifat bijektif, dan f adalah pelabelan harmonis dari graf G(p, q). Definisi. [0] Graf G(p, q) dikatakan graf harmonis ganjil jika terdapat fungsi injektif f: V(G) [0,q ] = {0,,, 3,, q } sedemikian sehingga menginduksi fungsi f : E(G) [,q ] = {, 3, 5,7,,q } yang didefinisikan oleh f (uv) = f(u) + f(v) yang bersifat bijektif, dan f adalah pelabelan harmonis ganjil dari graf G(p, q). Definisi.3 [0] Graf ular kc 4 dengan k adalah graf terhubung dengan k blok yang memiliki titik potong blok berupa lintasan dan setiap k blok isomorfik dengan graf ular C 4 3. Hasil Penelitian dan Pembahasan 3. Pelabelan Harmonis Ganjil pada Graf Ular Jaring Pada bagian ini diberikan definisi dari graf ular jaring kl 3,3 yang terinspirasi dari graf ular kc 4 yaitu dengan mengganti graf lingkaran C 4 dengan graf jaring L 3,3. Definisi 3. Graf ular jaring kl 3,3 dengan k adalah graf terhubung dengan k blok yang memiliki titik potong blok berupa lintasan dan setiap k blok isomorfik dengan graf jaring L 3,3. Graf G(p, q) adalah graf G dengan order p = V(G) simpul dan size q = E(G) busur. Definisi. [9] Graf G(p, q) dikatakan graf harmonis jika terdapat fungsi injektif f: V(G) Z q Berikut pada Gambar diberikan notasi simpul, notasi busur dan kontruksi dari graf ular jaring kl 3,3 dengan k. 88
Edisi: Oktober 07. Vol. 03 No. 0 ISSN: 57-359 E-ISSN: 57-367 w w k u 0 v v u u uk v k uk v k u k v w v v k w k v k Gambar Notasi simpul, notasi busur dan kontruksi dari graf ular jaring kl 3,3 Berdasarkan kontruksi pada Gambar diperoleh definisi himpunan simpul dan himpunan busur dari graf ular jaring kl 3,3 dengan k sebagai berikut: V(kL 3,3 ) = {u i 0 i k} {v i j i k, j =,} {w i j i k, j =,} dan E(kL 3,3 ) = {u i v (i+) j 0 i k, j =,} v i j u i i k, j =,} v (i ) j w i j i k, j =,} w j j i v (i) i k, j =,} Selanjutnya diberikan sifat yang menyatakan bahwa graf ular jaring kl 3,3 dengan k adalah graf harmonis ganjil yang dinyatakan dalam Teorema 3.. Teorema 3. Graf ular jaring kl 3,3 dengan k adalah graf harmonis ganjil. BUKTI. Berdasarkan himpunan himpunan simpul dan himpunan busur dari graf ular jaring kl 3,3 dengan k diperoleh order p = V(kL 3,3 ) = 9k dan size q = E(kL 3,3 ) = k. Berikut didefinisikan fungsi pelabelan simpul f: V(kL 3,3 ) {0,,,3,4k } f(u i ) = 4i, 0 i k (.) f(v j i ) = 4i + j 5, i k, j =, (.) f(w i j ) = 4k 6i 4j + 4, i k, j =, (.3) Berdasarkan fungsi pelabelan simpul f pada persamaan (.), (.), dan (.3) diperoleh himpunan simpul f (V(kL 3,3 )) setelah dilabel sebagai berikut. f (V(kL 3,3 )) = {0,4,8,,,8k},5,9,,8k 3,3,7,,,8k } 4k 6,4k,4k 38,,8k + 0, 4k 0,4k 6,4k 4,,8k + 6 } = {0,,3,4,5,7,8,9,,,8k 3,8k,8k, 8k + 6,8k + 0,,4k 0,4k 6} = {0,,3,4,,4k 6} Terlihat bahwa fungsi pelabelan simpul f memberikan label yang berbeda pada setiap simpul dan memenuhi f (V(kL 3,3 )) = {0,,3,4,,4k 6} {0,,,3,4k } sedemikian sehingga fungsi pelabelan simpul f memenuhi sifat pemetaan injektif. Langkah selanjutnya akan ditunjukan bahwa fungsi pelabelan busur f memenuhi sifat pemetaan bijektif. Berdasarkan definisi f (uv) = f(u) + f(v) maka fungsi pelabelan simpul f akan menginduksi pelabelan busur f : E(kL 3,3 ) {,3,5,7,,4k }, sehingga didapatkan kontruksi fungsi pelabelan busur f sebagai berikut: f (u i v (i+) j ) = 8i + j, 0 i k, j =, (.4) f (v i j u i ) = 8i + j 5, i k, j =, (.5) f (v (i ) j w i j ) = 4k 8i j + 5, i k, j =, (.6) f (w j j i v (i) ) = 4k 8i j + 9, i k, j =, (.7) Berdasarkan fungsi pelabelan busur f pada persamaan (.4), (.5), (.6) dan (.7) diperoleh himpunan busur f (E(kL 3,3 )) setelah dilabel sebagai berikut; 89
Edisi: Oktober 07. Vol. 03 No. 0 ISSN: 57-359 E-ISSN: 57-367 f (E(kL 3,3 )) = {,9,7,5,,6k 7,3,,9,7,,6k 5 } 5,3,,9,,6k 3,7,5,3,3,,6k } 4k 5,4k 3,4k,4k 9,,6k + 3, 4k 7,4k 5,4k 3,4k 3,,6k + } 4k,4k 9,4k 7,4k 5,,6k + 7, 4k 3,4k,4k 9,4k 7,,6k + 5 },3,5,7,9,3,5,7,9,,3,5,7,9,,6k 7,6k 5,6k 3,6k 6k +,6k + 3,6k + 5,6k + 7,,4k 3,4k 9,4k 7,4k 5, = { } 4k 3,4k,4k 9,4k 7,4k 5,4k 3,4k,4k 9, 4k 7,4k 5,4k 3,4k = {,3,5,7,,4k }. Terlihat bahwa fungsi pelabelan busur f ular jaring kl 3,3 dengan k adalah graf harmonis memberikan label yang berbeda pada setiap busur ganjil. dan f (E(kL 3,3 )) = {,3,5,7,,4k } sedemikian sehingga fungsi pelabelan busur f memenuhi sifat pemetaan bijektif. Akibatnya graf Contoh 3.3 Diberikan contoh pelabelan harmonis ganjil pada graf ular jaring 7L 3,3 pada Gambar. 6 46 30 5 9 3 7 0 4 8 6 0 4 3 58 7 4 5 9 6 3 7 5 0 8 4 6 78 94 55 5 47 43 39 35 3 9 56 5 48 44 40 36 3 53 49 45 4 37 33 66 8 98 Gambar Pelabelan harmonis ganjil pada graf ular jaring 7L 3,3 3. Pelabelan Harmonis Ganjil pad Gabungan Graf Ular Jaring Hasil penelitian selanjutnya adalah pelabelan harmonis ganjil pada gabungan graf ular jaring kl 3,3 kl 3,3 dengan k. Berikut diberikan definisi dari gabungan graf ular jaring kl 3,3 kl 3,3 dengan k yang dinyatakan dalam Definisi 3.4. kl3 kl dengan Definisi 3.4 Graf,3 3, 3 adalah gabungan dua graf ular jaring 3, 3 k. k kl dengan Notasi simpul, notasi busur dan kontruksi dari gabungan graf ular jaring kl 3,3 kl 3,3 dengan k diberikan pada Gambar 4 sebagai berikut. 90
Edisi: Oktober 07. Vol. 03 No. 0 ISSN: 57-359 E-ISSN: 57-367 u 0 v w v u u uk v k w k uk v k u k v w v v k w k v k x 0 y z x y x xk y k z k xk y k x k y z y k L k 3,3 L3,3 y k z k y k Gambar 3 Notasi simpul, notasi busur dan kontruksi dari gabungan graf ular jaring kl 3,3 kl 3,3 Berdasarkan kontruksi pada Gambar 4, diperoleh definisi himpunan simpul dan himpunan busur dari gabungan graf ular jaring kl 3,3 kl 3,3 dengan k sebagai berikut. V(kL 3,3 kl 3,3 ) = {u i 0 i k} v i j i k, j =,} w i j i k, j =,} {x i 0 i k} y i j i k, j =,} z i j i k, j =,} dan E(kL 3,3 kl 3,3 ) = {u i v (i+) j 0 i k, j =,} v i j u i i k, j =,} {v j j (i ) w i i k, j =,} wi j j v (i) i k, j =,} x i y j (i+) 0 i k, j =,} {y j i x i i k, j =,} y j j (i ) z i i k, j =,} zi j j y (i) i k, j =,}. Pada Teorema 3. diperoleh bahwa graf ular jaring kl 3,3 dengan k adalah graf harmonis ganjil, maka berikut diberikan sifat yang menyatakan bahwa gabungan graf ular jaring kl 3,3 kl 3,3 dengan k memenuhi fungsi pelabelan harmonis ganjil sedemikian sehingga gabungan graf ular jaring kl 3,3 kl 3,3 dengan k adalah graf harmonis ganjil. Teorema 3.5 Gabungan graf ular jaring kl 3,3 kl 3,3 dengan k adalah graf harmonis ganjil. BUKTI. Berdasarkan himpunan himpunan simpul dan himpunan busur dari gabungan graf ular jaring kl 3,3 kl 3,3 dengan k diperoleh order p = V(kL 3,3 kl 3,3 ) = 8k dan size q = E(kL 3,3 kl 3,3 ) = 4k. Berikut didefinisikan fungsi pelabelan simpul f: V(kL 3,3 kl 3,3 ) {0,,,3,48k } f(u i ) = 4i, 0 i k (.) f(v i j ) = 4i + j 5, i k, j =, (.) f(w i j ) = 4k 6i 4j + 4, i k, j =, (.3) f(x i ) = 4i +, 0 i k (.4) f(y i j ) = 4k + 4i + j 7, i k, j =, (.5) f(z i j ) = 4k 6i 4j + 6, i k, j =, (.6) Berdasarkan fungsi pelabelan simpul f pada persamaan (.), (.), (.3), (.4), (.5), dan (.6) 9
Edisi: Oktober 07. Vol. 03 No. 0 ISSN: 57-359 E-ISSN: 57-367 diperoleh himpunan simpul f (V(kL 3,3 kl 3,3 )) setelah dilabel sebagai berikut. f (V(kL 3,3 kl 3,3 )) = {0,4,8,,,8k},5,9,,8k 3,3,7,,,8k } 4k 6,4k,4k 38,,8k + 0, 4k 0,4k 6,4k 4,,8k + 6 },6,0,4,,8k + } 4k,4k + 3,4k + 7,4k +,,3k 5 4k +,4k + 5,4k + 9,4k + 3,,3k 3 } 4k 4,4k 0,4k 36,4k 5,,8k + 4k 8,4k 4,4k 40,4k 56,,8k + 8 } 0,,,3,4,5,6,7,8,9,,8k 3,8k,8k, 8k +,8k + 6,8k + 8,8k + 0,, = { 4k 0,4k 8,4k 6,4k 4,4k,4k +,,3k 5,3k 3 } = {0,,,3,4,,3k 3} Terlihat bahwa fungsi f memberikan label yang berbeda pada setiap simpul dan f (V(kL 3,3 kl 3,3 )) = {0,,,3,4,,3k 3} {0,,,3,48k } sedemikian sehingga fungsi pelabelan simpul f memenuhi sifat pemetaan injektif. Setelah menunjukan fungsi pelabelan simpul f memenuhi pemetaan injektif, selanjutnya akan ditunjukan bahwa fungsi pelabelan busur memenuhi pemetaan bijektif. Fungsi pelabelan f akan menginduksi pelabelan f : E(kL 3,3 kl 3,3 ) {,3,5,7,,48k } yang diperoleh dari f (uv) = f(u) + f(v), sehingga didapatkan fungsi pelabelan busur sebagai berikut: f f (u i v (i+) j ) = 8i + j, 0 i k, j =, (.7) f (v i j u i ) = 8i + j 5, i k, j =, (.8) f (v (i ) j w i j ) = 4k 8i j + 5, i k, j =, (.9) f (w j j i v (i) ) = 4k 8i j + 9, i k, j =, (.0) f (x i y (i+) j ) = 4k + 8i + j, 0 i k, j =, (.) f (y i j x i ) = 4k + 8i + j 5, i k, j =, (.) f (y (i ) j z i j ) = 48k 8i j + 5, i k, j =, (.3) f (z j j i y (i) ) = 48k 8i j + 9, i k, j =, (.4) Berdasarkan fungsi pelabelan busur f pada persamaan (.7), (.8), (.9), (.0), (.), (.), (.3) dan (.4) diperoleh himpunan busur f (E(kL 3,3 kl 3,3 )) setelah dilabel sebagai berikut. f (E(kL 3,3 kl 3,3 )) = {,9,7,5,,6k 7,3,,9,7,,6k 5 } 5,3,,9,,6k 3,7,5,3,3,,6k } 4k 5,4k 3,4k,4k 9,,6k + 3, 4k 7,4k 5,4k 3,4k 3,,6k + } 4k,4k 9,4k 7,4k 5,,6k + 7, 4k 3,4k,4k 9,4k 7,,6k + 5 } 4k +,4k + 9,4k + 7,4k + 5,,40k 7, 4k + 3,4k +,4k + 9,4k + 7,,40k 5 } 9
Edisi: Oktober 07. Vol. 03 No. 0 ISSN: 57-359 E-ISSN: 57-367 4k + 5,4k + 3,4k +,4k + 9,,40k 3, 4k + 7,4k + 5,4k + 3,4k + 3,,40k } 48k 5,48k 3,48k,48k 9,,40k + 3, 48k 7,48k 5,48k 3,48k 3,,40k + } 48k,48k 9,48k 7,48k 5,,40k + 7, 48k 3,48k,48k 9,48k 7,,40k + 5 },3,5,7,9,3,5,7,9,,3,5,7,9,,6k 7,6k 5,6k 3,6k 6k +,6k + 3,6k + 5,6k + 7,,4k 3,4k 9,4k 7,4k 5, 4k 3,4k,4k 9,4k 7,4k 5,4k 3,4k,4k 9, 4k 7,4k 5,4k 3,4k, 4k +,4k + 3,4k + 5,4k + 7,4k + 9,4k +,4k + 3,4k + 5, = 4k + 7,4k + 9,4k +,4k + 3,4k + 5,4k + 7,4k + 9, 4k + 3,,40k 7,40k 5,40k 3,40k, 40k +,40k + 3,40k + 5,40k + 7,,48k 3,48k 9,48k 7, 48k 5,48k 3,48k,48k 9,48k 7,48k 5,48k 3, 48k,48k 9,48k 7,48k 5,48k 3,48k } { = {,3,5,7,,48k }. Terlihat bahwa fungsi f memberikan label yang berbeda pada setiap busur dan f (E(kL 3,3 kl 3,3 )) = {,3,5,7,,48k } sehingga fungsi pelabelan busur f memenuhi sifat pemetaan bijektif. Telah ditunjukkan bahwa fungsi pelabelan simpul f memenuhi pemetaan injektif sedemikian sehingga menginduksi fungsi pelabelan busur f yang bijektif. Akibatnya gabungan graf ular jaring kl 3,3 kl 3,3 dengan k adalah graf harmonis ganjil Contoh 3.6 Berikut pada Gambar 4 diberikan contoh pelabelan harmonis ganjil dari gabungan graf ular jaring 7L 3,3 7L 3,3 93
Edisi: Oktober 07. Vol. 03 No. 0 ISSN: 57-359 E-ISSN: 57-367 Gambar 4 Pelabelan harmonis ganjil pada gabungan graf ular jaring 7L 3,3 7L 3,3 4. Penutup Pada makalah ini telah didapatkan kelas graf baru yang merupakan hasil operasi cartesian product yang memenuhi sifat-sifat pelabelan harmonis ganjil yaitu graf ular jaring kl 3,3 dengan k dan gabungan graf ular jaring kl 3,3 kl 3,3 dengan k sedemikian sehingga diperoleh keluarga baru dari graf harmonis ganjil. Hasil penelitian ini bisa dilanjutkan untuk graf ular jaring kl m,n dengan m, n, k dan gabungannya kl m,n kl m,n dengan m, n, k. Ucapan Terima Kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Ristek Dikti yang telah memberi dukungan financial terhadap penelitian ini melalui Hibah Penelitian Dosen Pemula (PDP) tahun 07. Referensi [] Abdel-Aal, M. E. New Families of Odd Harmonious Graphs. International Journal of Soft Computing, Mathematics and Control, 3(), (04) -3. [] Alyani, F., Firmansah, F., Giyarti, W., dan Sugeng, K. A. The Odd Harmonious Labeling of kcn-snake Graphs for Spesific Values of n, that is, for n = 4 and n = 8. Proceeding IndoMS International Conference on Mathemathics and Its Applications, UGM dan IndoMS. (03) 5-30. 6-7 November, Yogyakarta. [3] Firmansah, F., dan Sugeng, K. A. Pelabelan Harmonis Ganjil pada Graf Kincir Angin Belanda dan Gabungan Graf Kincir Angin Belanda. Magistra, No 94 Th. XXVII, ISSN 05-95, (05) 56-9. 94
Edisi: Oktober 07. Vol. 03 No. 0 ISSN: 57-359 E-ISSN: 57-367 [4] Firmansah, F. 06. Pelabelan Harmonis Ganjil pada Gabungan Graf Ular dan Graf Ular Berlipat. Proceeding Konferensi Nasional Matematika dan Pembelajarannya (KNPMP ) UMS. (06) 809-88. Maret, Surakarta. [5] Firmansah, F. dan Syaifuddin, M. W. Pelabelan Harmonis Ganjil pada Graf Kincir Angin Double Quadrilateral. Proceeding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika, FKIP UNY, (06) 53-58. 5 November, Yogyakarta. [6] Firmansah, F. dan Yuwono, M. R. Odd Harmonius Labeling on Pleated of the Dutch Windmill Graphs. Cauchy Jurnal Matematika Murni dan Aplikasi, 4(4). (07) 6-66. p-issn: 086-038, e-issn: 477-3344. [7] Jeyanthi, P. dan Philo, S. Odd Harmonious Labeling of Some Cycle Related Graphs. Proyecciones Journal of Matematics, 35(). (06) 85-98. [8] Jeyanthi, P., Philo, S. dan Sugeng, K.A. Odd Harmonious Labeling of Some New Families of Graphs. SUT Journal of Mathematics. 5(). (05) 53-65. [9] Gallian, J. A. A Dynamic Survey of Graph Labeling. The Electronic Journal of Combinatorics, 8. (06) #DS6. [0] Liang, Z., dan Bai, Z. On The Odd Harmonious Graphs with Applications, J. Appl. Math. Comput., 9, (009) 05-6. [] Saputri, G. A., Sugeng, K. A., dan Froncek, D. The Odd Harmonious Labeling of Dumbbell and Generalized Prims Graphs, AKCE Int, J. Graphs Comb., 0(), (03) -8. [] Vaidya, S. K., dan Shah, N. H. Some New Odd Harmonious Graphs. International Journal of Mathematics and Soft Computing, (), (0) 9-6. 95