BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI Dalam bab ini dipaparkan beberapa hasil penelitian yang dilakukan para peneliti sebelumnya, pengertian dasar graf, operasi-operasi pada graf, kelas-kelas graf dan dimensi partisi pada graf. Pemaparan tersebut dibagi dalam dua subbab yaitu tinjauan pustaka dan landasan teori. Subbab tinjauan pustaka memuat hasil-hasil penelitian yang telah dilakukan. Subbab landasan teori memuat pengertian dasar graf, operasi-operasi pada graf, kelas-kelas graf dan dimensi partisi pada graf. 2.1 Tinjauan Pustaka Beberapa peneliti menerapkan konsep dimensi partisi pada kelas-kelas graf tertentu. Pada tahun 2007, Tomescu et al. [18] menentukan dimensi partisi dari graf wheel W n untuk setiap bilangan bulat n 4 dan p bilangan prima terkecil yang memenuhi p(p 1) n adalah (2n) 1/3 pd(w n) p + 1. Selanjutnya, Javaid dan Shokat [11] pada tahun 2008 memperoleh dimensi partisi pada beberapa kelas graf yang berelasi dengan graf wheel, antara lain graf gear, graf helm, graf sunflower, dan graf friendship. Dimensi partisi pada graf gear G 2n dengan n 2 adalah k sedemikian sehingga 2n + 1 < 3k 4 (k + 2)2 k 7. Dimensi partisi pada graf helm H n dengan n 3 adalah k sedemikian sehingga 2n + 1 < 2 k 1 + 3 i=0 2k i 1 C k 1 i (k i) + 1 2 j=0 i=0 2k i j 2 C i,j k 1 (k i j + 1). Dimensi partisi pada graf sunflower SF n dengan n 3 adalah k sedemikian sehingga 2n+1 < 2 k 1 + 4 i=0 2k i 2 Ck 1 i (k i+1)+ 2 4 j=0 i=0 2k i j 1 C i,j k 1 (k i j). Dimensi partisi pada graf friendship f n dengan n 2 adalah k sedemikian sehingga n ( k 2). 4

Pada tahun 2012, Asmiati [1] membuktikan dimensi partisi dari amalgamasi star untuk 2 k m 2 dengan m 4 adalah pd(s k,m ) = m 1, untuk m 1 k m 2 1 adalah pd(s k,m ) = m, dan untuk (m + a 1) 2 1 < k (m + a) 2 1 dengan a 1 adalah pd(s k,m ) = m + a. Pada tahun 2015, Hidayat [10] menunjukkan dimensi partisi pada graf (n, t)-kite, graf barbell, graf double cones, dan graf K 1 + (P m K n ). Dimensi partisi pada graf (n, t)-kite L n,t dengan n 3 dan t 1 adalah pd(l n,t ) = 3. Dimensi partisi pada graf barbell B n,n adalah pd(b n,n ) = 3 untuk n = 3 dan pd(b n,n ) = n + 1 untuk n 4. Dimensi partisi pada graf double cones DC n adalah (6n) 1/3 pd(dc n ) p + 2 dengan p adalah bilangan prima terkecil yang memenuhi p(p 1) n. Dimensi partisi pada graf K 1 + (P m K n ) adalah pd(k 1 + (P m K n )) = 3 untuk m = 2 dan n = 1, 2, sedangkan untuk m dan n lainnya pd(k 1 + (P m K n )) = m + n 1. Selain itu, graf lollipop, graf generalized Jahangir, dan graf C n 2 K m sudah ditentukan dimensi metriknya. Pada tahun 2016, Rachmasari [16] membuktikan dimensi metrik pada graf lollipop dan graf generalized Jahangir. metrik pada graf lollipop adalah dim(l m,n ) = m 1 untuk m 3. Dimensi Dimensi metrik pada graf generalized Jahangir adalah dim(j m,n ) = n untuk m = 3, 2 dim(j m,n ) = 2n+2 untuk m genap, dan dim(j 3 m,n ) = n untuk m ganjil. Se- 2 lanjutnya, Kartika [12] pada tahun 2016 memperoleh dimensi metrik pada graf C n 2 K m, yaitu dim(c n 2 K m ) = 2 untuk m = 2, 3 dan dim(c n 2 K m ) = m 1 untuk m > 3. Pada penelitian ini bertujuan untuk menentukan dimensi partisi dari graf lollipop, graf generalized Jahangir, dan graf C n 2 K m. 2.2 Landasan Teori Berikut diberikan beberapa definisi yang mendasari penelitian ini, yaitu pengertian dasar graf, operasi-operasi pada graf, kelas-kelas graf, dan dimensi partisi pada graf. 5

2.2.1 Pengertian Dasar Graf Definisi dalam teori graf meliputi definisi dari graf itu sendiri, sifat adjacent dan incident, degree dari suatu vertex, graf terhubung, subgraf, u-v walk, u-v trail, u-v path, cycle, circuit, jarak dan bridge. Berikut diberikan definisi dalam teori graf menurut Chartrand dan Lesniak [2] dan definisi bridge menurut Chartrand [8]. Definisi 2.2.1. Suatu graf G adalah himpunan tak kosong berhingga V (G) = {v 1, v 2,..., v n } yang disebut vertex dan E(G) = {e 1, e 2,..., e n } merupakan himpunan pasangan tidak berurutan dari anggota-anggota V (G) yang disebut edge. Banyaknya vertex dalam suatu graf disebut order ( V (G) ) dan banyaknya edge dalam suatu graf disebut size ( E(G) ). Contoh graf G 1 yang mempunyai V (G 1 ) = 4 dengan himpunan vertex V (G 1 ) = {v 1, v 2, v 3, v 4 } dan E(G 1 ) = 5 dengan himpunan edge E(G 1 ) = {e 1, e 2, e 3, e 4, e 5 } terlihat pada Gambar 2.1. e1 e4 e5 e2 e3 Gambar 2.1. Graf G 1 Definisi 2.2.2. Jika u dan v adalah sebarang vertex dari graf G yang dihubungkan oleh edge e, dinotasikan e = uv, maka dikatakan u dan v adalah vertex yang saling adjacent. Selanjutnya vertex u dan v dikatakan incident dengan edge e, dan e disebut join vertex dari u dan v. Gambar 2.1 memperlihatkan vertex v 1 dan v 2 saling adjacent, sedangkan vertex v 2 dan v 4 tidak saling adjacent. Vertex v 1 dan v 2 incident terhadap edge v 1 v 2. Definisi 2.2.3. Degree vertex v i dari graf G, dinotasikan deg G v i, adalah banyaknya edge yang incident dengan v i. 6

Gambar 2.1 menunjukkan bahwa deg G1 v 1 = 3, deg G1 v 2 = 2, deg G1 v 3 = 3, dan deg G1 v 4 = 2. Definisi 2.2.4. Suatu graf H adalah subgraf dari G yang dinotasikan H G, jika V (H) V (G) dan E(H) E(G). Definisi 2.2.5. Suatu u v walk dari graf G adalah barisan bergantian antara vertex dan edge yang dimulai dari vertex u dan berakhir di vertex v, sehingga e i = u i 1 u i untuk i = 1, 2,..., n. Suatu u v path adalah u v walk yang tidak mengulang sebarang vertex. Suatu u v trail adalah u v walk yang tidak mengulang sebarang edge. Contoh v 1 v 4 walk pada Gambar 2.1 yaitu v 1, e 4, v 4, e 3, v 3, e 2, v 2, e 1, v 1, e 4, v 4. Contoh v 1 v 4 path pada Gambar 2.1 yaitu v 1, e 5, v 3, e 3, v 4. Contoh v 1 v 4 trail pada Gambar 2.1 yaitu v 1, e 1, v 2, e 2, v 3, e 3, v 4. Definisi 2.2.6. Suatu u v trail dengan u = v, paling sedikit terdiri dari 3 vertex disebut circuit. Circuit yang tidak mengulang sebarang vertex disebut cycle. Contoh circuit pada Gambar 2.1 yaitu v 1, e 1, v 2, e 2, v 3, e 3, v 4, e 4, v 4 dan cycle yaitu v 1, e 5, v 3, e 2, v 2, e 1, v 1. Definisi 2.2.7. Suatu graf G merupakan graf terhubung (connected) jika terdapat suatu u v path antara sembarang dua vertex di G. Jika tidak, maka graf G tidak terhubung (disconnected). Definisi 2.2.8. Jarak dari vertex u ke v di G adalah panjang path terpendek dari vertex u ke v, dinotasikan dengan d(u, v). Definisi 2.2.9. Misalkan G = (V, E) adalah graf terhubung. Misalkan S V dan terdapat suatu vertex v V (G). Maka jarak vertex v terhadap S yang dinotasikan d(v, S) didefinisikan sebagai d(v, S) = min{d(v, x) x S}. Contoh dari jarak dapat dilihat pada Gambar 2.2. 7

v w u x z y Gambar 2.2. Graf G 2 Berdasarkan Gambar 2.2, dapat ditunjukkan jarak dari setiap vertex adalah sebagai berikut : d(u, v) = 1, d(u, w) = 2, d(u, x) = 3, d(u, y) = 2, d(u, z) = 1, d(v, u) = 1, d(v, w) = 1, d(v, x) = 2, d(v, y) = 1, d(v, z) = 1, d(w, u) = 2, d(w, v) = 1, d(w, x) = 1, d(w, y) = 1, d(w, z) = 2, d(x, u) = 3, d(x, v) = 2, d(x, w) = 1, d(x, y) = 1, d(x, z) = 2, d(y, u) = 2, d(y, v) = 1, d(y, w) = 1, d(y, x) = 1, d(y, z) = 1, d(z, u) = 1, d(z, v) = 1, d(z, w) = 2, d(z, x) = 2, dan d(z, y) = 1. Misalkan diambil himpunan bagian S = {u, v, w}, maka diperoleh d(u, S) = d(v, S) = d(w, S) = 0, d(x, S) = 1, d(y, S) = 1, dan d(z, S) = 1 Definisi 2.2.10. Jika e adalah edge dari graf G, maka G e adalah subgraf dari G yang memiliki himpunan vertex yang sama seperti G dan semua edge dari G kecuali e. Suatu edge dalam connected graph G disebut bridge jika G e disconnected. 2.2.2 Operasi pada Graf Menurut definisi Chartrand et al. [5] suatu graf dapat dibentuk dengan cara menggunakan operasi-operasi tertentu dalam graf. Berikut diberikan definisi operasi union menurut Chartrand et al. [5] dan definisi operasi amalgamasi menurut Gross et al. [9]. Definisi 2.2.11. Union dari G 1 dan G 2, dinotasikan G 1 G 2, adalah graf dengan V (G 1 G 2 ) = V (G 1 ) V (G 2 ) dan E(G 1 G 2 ) = E(G 1 ) E(G 2 ). Contoh graf dengan operasi union dapat dilihat dalam Gambar 2.3. 8

u1 u2 u1 u2 G1 G2 G1 U G2 Gambar 2.3. Graf G 1, G 2, dan G 1 G 2 Berdasarkan Gambar 2.3, V (G 1 ) = {u 1, u 2 } dan V (G 2 ) = {v 1, v 2, v 3, v 4 } sehingga diperoleh V (G 1 G 2 ) = {u 1, u 2, v 1, v 2, v 3, v 4 }. Definisi 2.2.12. Operasi amalgamasi titik atau vertex dari pasangan vertex graf (G, u) bersama (H, v) adalah graf yang diperoleh dengan menggabungkan vertex u dan v menjadi satu vertex. Sedangkan operasi amalgamasi sisi atau edge apabila diambil dua vertex yang saling adjacent dari masing-masing graf. Terdapat operasi amalgamasi titik atau vertex dan operasi amalgamasi sisi atau edge. Notasi yang digunakan untuk menyatakan operasi amalgamasi adalah untuk amalgamasi titik karena hanya diambil satu vertex dari masing-masing graf sedangkan 2 untuk amalgamasi sisi karena diambil dua vertex dari masingmasing graf. Contoh dari operasi amalgamasi dari dua graf dapat dilihat pada Gambar 2.4. 9

v5 v5 G v7 H v6 G x H v6 y v6 x G 2 H Gambar 2.4. Operasi amalgamasi titik G H dan operasi amalgamasi sisi G 2 H Berdasarkan Gambar 2.4, vertex x dan y merupakan vertex hasil penggabungan satu vertex pada G dan satu vertex pada H. Vertex x = v 3 v 7 dan vertex y = v 2 v 5. 2.2.3 Kelas-Kelas Graf Graf dapat dibagi menjadi kelas-kelas graf antara lain graf lintasan, graf cycle, graf lengkap, graf lintang, graf lollipop, graf flower, dan graf generalized Jahangir. Berikut akan diberikan definisi dari kelas graf lengkap, graf lintasan, graf lollipop, graf generalized Jahangir, dan graf C n 2 K m. Chartrand dan Lesniak [2] mendefinisikan pengertian graf lengkap dan graf lintasan. Weisstein [19] mendefinisikan graf lollipop, sedangkan Mojdeh dan Ghameshlou [14] mendefinisikan graf generalized Jahangir. Definisi 2.2.13. Suatu graf berorder p yang setiap dua vertex berbeda adjacent disebut graf lengkap dan dinotasikan dengan K p. Sebuah graf lengkap dengan order p memiliki size q = p(p 1)/2. Graf K p untuk 1 p 4 dapat ditunjukkan pada Gambar 2.5. 10

K1 K2 K3 K4 Gambar 2.5. Graf K p untuk 1 p 4 Definisi 2.2.14. Graf lintasan (path) adalah walk yang tidak mengulang sebarang vertex, dinotasikan dengan P n. Contoh dari graf P n untuk 1 < n 4 disajikan pada Gambar 2.6. P2 P3 P4 Gambar 2.6. Graf P n untuk 1 < n 4 Definisi 2.2.15. Graf lollipop dinotasikan dengan L m,n merupakan graf lengkap K m dan graf lintasan P n yang dihubungkan dengan sebuah bridge. Ilustrasi graf lollipop dapat dilihat pada Gambar 2.7. Gambar 2.7. Graf Lollipop L m,n 11

Definisi 2.2.16. Graf generalized Jahangir J m,n dengan n 3 adalah graf nm+1 vertex yang terdiri dari cycle C mn dengan 1 vertex tambahan yang adjacent dengan n vertex dari C mn dengan m jarak yang sama di C mn. Ilustrasi graf generalized Jahangir dapat dilihat pada Gambar 2.8. u2 un u3 un-1 u1 u4 u7 u6 u5 Gambar 2.8. Graf generalized Jahangir J m,n Definisi 2.2.17. Graf C n 2 K m dengan n 3 dan m 2 yaitu suatu graf hasil dari operasi amalgamasi edge atau menggabungkan salah satu edge pada C n dan satu edge pada K m sehingga menjadi satu edge yang incident dengan vertex x dan y. Vertex x dan y juga merupakan vertex yang dimiliki oleh C n dan K m. Ilustrasi graf C n 2 K m disajikan pada Gambar 2.9. un un-1 x -1 u4 y u3 Gambar 2.9. Graf C n 2 K m 12

2.2.4 Dimensi Partisi Berikut adalah definisi dan Lema menurut Chartrand et al. [4]. Definisi 2.2.18. Misalkan G adalah graf terhubung. Untuk suatu subhimpunan S pada V (G) dan suatu vertex v pada G, jarak antara v dan S didefinisikan sebagai d(v, S) = min{d(v, x) x S}. Selanjutnya, untuk suatu k-partisi terurut Π = {S 1, S 2,..., S k } pada V (G) dan suatu vertex v pada G, representasi v terhadap Π didefinisikan sebagai r(v Π) = (d(v, S 1 ), d(v, S 2 ),..., d(v, S k )). Himpunan Π disebut partisi pembeda jika r(v Π) berbeda, untuk setiap v V (G). Kardinalitas minimum dari k-partisi pembeda terhadap V (G) disebut dimensi partisi dari G yang dinotasikan dengan pd(g). Lema 2.2.1. Misalkan G adalah graf terhubung, maka 1. pd(g) = 2 jika dan hanya jika G = P n untuk n 2, 2. pd(g) = n jika dan hanya jika G = K n, dan 3. pd(g) = 3 jika G = n-cycle untuk n 3. Lema 2.2.2. Misalkan Π partisi pembeda pada V (G) dengan u, v V (G). Jika d(u, w) = d(v, w) untuk setiap w V (G) {u, v}, maka u dan v termuat pada kelas partisi yang berbeda pada Π. Bukti. Misalkan Π = {S 1, S 2,..., S k }, dengan u dan v termuat pada kelas partisi yang sama pada Π, misal S i, maka d(u, S i ) = d(v, S i ) = 0. Karena d(u, w) = d(v, w) untuk setiap w V (G) {u, v}, maka d(u, S j ) = d(v, S j ) untuk setiap j, dimana 1 j i k. Sehingga, r(u Π) = r(v Π) dan Π bukan merupakan partisi pembeda. v5 v6 v7 v8 Gambar 2.10. Graf lintasan P 8 Sebagai contoh, dicari dimensi partisi dari graf lintasan P 8 pada Gambar 2.10 dengan himpunan vertex V (P 8 ) = {v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6, v 7, v 8 }. Misalkan 13

Π = {S 1, S 2 }, dengan S 1 = {v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6, v 7 }, dan S 2 = {v 8 } diperoleh r(v 1 Π) = (0, 7), r(v 2 Π) = (0, 6), r(v 3 Π) = (0, 5), r(v 4 Π) = (0, 4), r(v 5 Π) = (0, 3), r(v 6 Π) = (0, 2), r(v 7 Π) = (0, 1), r(v 8 Π) = (1, 0). Karena sebarang titik v di P 8 mempunyai representasi r(v Π) yang berbeda sehingga terdapat 2-partisi penyelesaian. Oleh karena itu kardinalitas minimum dari k-partisi pada P 8 adalah 2. Jadi, dimensi partisi dari graf P 8 adalah pd(p 8 ) = 2. 2.3 Kerangka Pemikiran Berdasarkan landasan teori yang telah diberikan, selanjutnya disusun suatu kerangka pemikiran untuk mencapai tujuan penelitian ini. Penentuan dimensi partisi pada penelitian ini mengacu pada Chartrand et al. [4] dan Hidayat [10]. Konsep Chartrand et al. [4] digunakan untuk menentukan dimensi partisi pada graf lollipop, graf generalized Jahangir dan graf C n 2 K m, yaitu dengan terlebih dahulu menentukan k partisi pembeda yang mungkin dari graf tersebut yang dinotasikan dengan S k. Selanjutnya menentukan partisi pembeda yang terdiri dari k partisi tersebut yang dinotasikan dengan Π. Penentuan k partisi pembeda tersebut memperhatikan jarak tiap vertex pada graf tersebut yang digunakan untuk menentukan banyaknya representasi r(v Π) yang mungkin. Kemudian dihitung jarak setiap vertex pada graf tersebut terhadap Π yang telah ditentukan. Himpunan Π dikatakan sebagai partisi pembeda jika setiap vertex pada graf tersebut mempunyai representasi yang berbeda terhadap Π. Setelah menentukan partisi pembeda pada graf yang diteliti, kemudian ditentukan dimensi partisi, yaitu kardinalitas minimum dari k partisi pembeda. Untuk membuktikan teorema, digunakan lema yang mendukung pembuktian teorema. Teknik pembuktian dimensi partisi dari graf lollipop mengadopsi teknik pembuktian yang digunakan Hidayat [10] dalam membuktikan graf (n, t)- kite L n,t dengan menggunakan pola umum tanpa membangun lema. Sedangkan teknik pembuktian pada graf generalized Jahangir dan graf C n 2 K m mengadopsi teknik pembuktian yang digunakan Chartrand et al. [4] dengan membangun lema. 14