PENYELESAIAN PROGRAM BILANGAN BULAT CAMPURAN DUA KRITERIA DENGAN MENGGUNAKAN METODE BRANCH AND CUT SKRIPSI TAUFIK HIDAYAT RITONGA 110803028 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014
PENYELESAIAN PROGRAM BILANGAN BULAT CAMPURAN DUA KRITERIA DENGAN MENGGUNAKAN METODE BRANCH AND CUT SKRIPSI Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat untuk mencapai gelar Sarjana Sains TAUFIK HIDAYAT RITONGA 110803028 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014
PERSETUJUAN Judul : Penyelesaian Program Bilangan Bulat Campuran Dua Kriteria dengan Menggunakan Metode Branch and Cut Kategori : Skripsi Nama : Taufik Hidayat Ritonga Nomor Induk Mahasiswa : 110803028 Program Studi : Sarjana (S1) Matematika Departemen : Matematika Fakultas : Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Disetujui di Medan, Januari 2015 Komisi Pembimbing: Pembimbing 2, Pembimbing 1, Prof. Dr. Drs. Iryanto, M.Si Dr. Sawaluddin, M.IT NIP. 19460404 197107 1 001 NIP. 19591231 199802 1 001 Disetujui oleh Departemen Matematika FMIPA USU Ketua, Prof. Dr. Tulus, M.Si NIP. 19620901 198803 1 002
PERNYATAAN PENYELESAIAN PROGRAM BILANGAN BULAT CAMPURAN DUA KRITERIA DENGAN MENGGUNAKAN METODE BRANCH AND CUT SKRIPSI Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri. Kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya. Medan, Januari 2015 Taufik Hidayat Ritonga 110803028
PENGHARGAAN Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Allah SWT Yang Maha Esa dan Kuasa atas limpahan rahmat dan karunianya sehingga skripsi ini dapat diselesaikan. Pada skripsi ini, penulis mengangkat judul Penyelesaian Program Bilangan Bulat Campuran Dua Kriteria dengan Menggunakan Metode Branch and Cut. Terimakasih penulis sampaikan kepada Bapak Dr. Sawaluddin, M.IT selaku pembimbing 1 dan Bapak Prof. Dr. Drs. Iryanto, M.Si selaku pembimbing 2 yang berkenan dan rela mengorbankan waktu, tenaga dan pikiran guna memberikan petunjuk dan bimbingannya dalam penulisan skripsi ini. Bapak Dr. Suyanto, M.Kom dan Bapak Dr. Faigiziduhu Bu ulolo, M.Si selaku dosen penguji yang telah memberikan kritik dan saran yang membangun dalam penyempurnaan skripsi ini. Terimakasih kepada Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si dan Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU. Terimakasih kepada Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan FMIPA USU, Pembantu Dekan FMIPA USU, seluruh Staff dan Dosen Matematika FMIPA USU, pegawai FMIPA USU, untuk orang orang tersayang khususnya sahabat penulis Franklin, Joe, Nana, Amik, Endang, Lely, Bang Andi, Kak Rizkika, Kak Mila, Kak Retno, Kak Huide dan seluruh rekan-rekan Matematika 2011 yang tidak bisa diucapkan satu per satu serta semua abang dan kakak senior stambuk 2010 keatas dan adik-adik junior stambuk 2012, stambuk 2013, stambuk 2014 yang selama ini selalu memberi semangat dan mendo akan dalam menyelesaikan skripsi ini. Akhirnya tidak terlupakan kepada Ayahanda tercinta Zulkifli Ritonga, Ibunda tercinta Hj. Asmi Derimi Dongoran, serta saudara saudara penulis yang tersayang Erlina Ritonga, Amd, Safrizal Ritonga, Siti Paisah Ritonga, Erwinsyah Rambe, Abdul Rahman Tambak, Hari Abdi Rambe dan Habib Rahman Rambe serta keluarga dari Ayah dan Mama atas segala perhatian, pengertian, kesabaran, do a, dukungan dan kasih sayang yang telah diberikan kepada penulis selama di bangku perkuliahan hingga akhirnya menyelesaikan skripsi ini.
Penulis juga menyadari masih banyak kekurangan dalam skripsi ini, baik dalam teori maupun penulisannya. Oleh karena itu, penulis mengharapkan saran dari pembaca demi perbaikan bagi penulis. Semoga segala bentuk bantuan yang telah diberikan kepada penulis mendapatkan balasan yang lebih baik dari Allah SWT. Akhir kata penulis berharap semoga tulisan ini bermanfaat bagi para pembaca.
PENYELESAIAN PROGRAM BILANGAN BULAT CAMPURAN DUA KRITERIA DENGAN MENGGUNAKAN METODE BRANCH AND CUT ABSTRAK Metode branch and cut merupakan suatu metode yang digunakan untuk menyelesaikan masalah linear programming yang menghasilkan berupa penyelesaian dalam bentuk bilangan bulat (integer), metode ini merupakan perpaduan metode branch and bound dengan metode cutting plane. Metode ini selalu digunakan dalam menyelesaikan permasalahan single objective linear integer programming. Dalam tulisan ini akan ditunjukkan suatu permasalahan dua kriteria (bicriteria) yang diselesaikan dengan metode branch and cut. Permasalahan tersebut disebut bicriteria linear programming. Dalam menyelesaikan permasalahan ini penulis menggunakan parametric simplex algorithm kemudian diiringi dengan metode branch and cut apabila tidak diperoleh suatu penyelesaian yang tidak berupa bilangan bulat (integer). Kata Kunci: Branch and cut, branch and bound, cutting plane, bicriteria linear programming, parametric simplex algorithm
SOLVING BICRITERIA MIXED INTEGER PROGRAMMING USING BRANCH AND CUT METHOD ABSTRACT Branch and cut method is a method that used to solve linear programming problems that deliver the solution in integer form, this method is a mix of branch and bound method with the cutting plane method. This method is always used in a single objective problem to solve integer linear programming. A bicriteria problems that solved by the branch and cut method will be shown in this paper. These problems are called bicriteria linear programming. The writer use simplex parametric algorithm to solving this problem then followed by the branch and cut method, if not obtained a solution that is not an integer. Keyword: Branch and cut, branch and bound, cutting plane, bicriteria linear programming, parametric simplex algorithm
DAFTAR ISI PERSETUJUAN PERNYATAAN PENGHARGAAN ABSTRAK ABSTRACT DAFTAR ISI DAFTAR TABEL DAFTAR GAMBAR DAFTAR LAMPIRAN Halaman i ii iii v vi vii ix x xi BAB 1 PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang 1 1.2 Perumusan Masalah 2 1.3 Batasan Masalah 3 1.4 Tinjauan Pustaka 3 1.5 Tujuan Penelitian 6 1.6 Manfaat Penelitian 6 1.7 Metodologi Penelitian 7 BAB 2 LANDASAN TEORI 8 2.1 Program Linier 8 2.1.1 Syarat Utama Program Linier 9 2.1.2 Karakterisrik Program Linier 10 2.1.3 Asumsi dalam Program Linier 11 2.1.4 Metode Simpleks 12 2.2 Program Bilangan Bulat 14 2.2.1 Program Bilangan Bulat Murni (Pure Integer Programming) 15 2.2.2 Program Bilangan Bulat Campuran (Mixed Integer Programming) 15 2.2.3 Program Bilangan Bulat Biner (Binary Integer Programming) 16 2.3 Metode Penyelesaian Masalah Program Bilangan Bulat 17 2.3.1 Metode Pendekatan Grafik 17 2.3.2 Metode Cutting Plane 18 2.3.3 Metode Branch and Bound 25 BAB 3 HASIL DAN PEMBAHASAN 36 3.1 Program Linier Dua Kriteria 36 3.2 Metode Branch and Cut 38 3.3 Penyelesaian Masalah Program Bilangan Bulat Dua Kriteria
dengan Menggunakan Metode Branch and Cut 40 3.4 Penyelesaian Contoh Kasus Program Bilangan Bulat Dua Kriteria dengan Menggunakan Metode Branch and Cut 45 BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN 61 4.1 Kesimpulan 61 4.2 Saran 61 DAFTAR PUSTAKA 62 DAFTAR LAMPIRAN 64
DAFTAR TABEL Nomor Judul Halaman Tabel 2.1 Bentuk Tabel Simpleks Program Linier 13 2.2 Solusi Optimum Masalah Program Linier 19 2.3 Penambahan Kendala Gomory 21 2.4 Solusi Optimum Contoh 2.2 22 2.5 Penambahan Kendala Gomory Pertama 23 2.6 Solusi Optimum dengan Penambahan Kendala Gomory Pertama 23 2.7 Penambahan Kendala Gomory Kedua 24 2.8 Solusi Optimum dengan Penambahan Kendala Gomory Kedua 24 2.9 Solusi Optimum Contoh 2.3 26 2.10 Solusi Optimum pada Bagian A 28 2.11 Solusi Optimum pada Bagian C 29 2.12 Solusi Optimum pada Bagian D 30 2.13 Solusi Optimum pada Bagian E 31 2.14 Solusi Optimum pada Bagian G 33 2.15 Solusi Optimum pada Bagian H 34 3.1 Bentuk Tabel Simpleks Program Linier Dua Kriteria 38 3.2 Bahan Baku dan Jumlah Persediaan Bahan Baku 46 3.3 Bahan Baku Pembuatan Satu Bungkus dan Jumlah Persediaan Bahan Baku Tipang 46 3.3 Waktu Proses Produksi Satu Jenis Tipang 47 3.3 Pendapatan Penjualan dan Biaya Produksi pada Pembuatan Jenis Tipang 47
DAFTAR GAMBAR Nomor Judul Halaman Gambar 2.1 Penyelesaian Program Bilangan Bulat dengan Pendekatan Grafik 18 2.2 Diagram Prosedur Permasalahan dengan Metode Branch and Bound 35 3.1 Diagram Penyelesaian Permasalahan Program Linier Dua Kriteria dengan Metode Branch and Cut 45 3.2 Diagram Penyelesaian Contoh Kasus Permasalahan Program Linier Dua Kriteria dengan Metode Branch and Cut 59
DAFTAR LAMPIRAN Nomor Judul Halaman Lamp 1 Pembahasan Masalah Program Linier Dua Kriteria Menggunakan Parametric Simplex Algorithm 64 2 Pembahasan Masalah Program Linier Dua Kriteria dengan Menerapkan Percabangan (Branch) 67 3 Pembahasan Masalah Program Linier Dua Kriteria dengan Menerapkan Percabangan (Branch) 70 4 Pembahasan Masalah Program Linier Dua Kriteria dengan Menerapkan Pemotongan (Cut) 73 5 Pembahasan Masalah Program Linier Dua Kriteria dengan Menerapkan Pemotongan (Cut) 76 6 Pembahasan Contoh Kasus Program Linier Dua Kriteria Menggunakan Parametric Simplex Algorithm 79 7 Pembahasan Contoh Kasus Program Linier Dua Kriteria dengan Menerapkan Percabangan (Branch) 87 8 Pembahasan Contoh Kasus Program Linier Dua Kriteria dengan Menerapkan Percabangan (Branch) 95 9 Pembahasan Contoh Kasus Program Linier Dua Kriteria dengan Menerapkan Pemotongan (Cut) 97