ANALISIS STABILITAS DAN OPTIMAL KONTROL PADA MODEL EPIDEMI TIPE SIR DENGAN VAKSINASI

ANALISIS STABILITAS DAN OPTIMAL KONTROL PADA MODEL EPIDEMI TIPE SIR DENGAN VAKSINASI Oleh Ikhtisholiyah 127 1 72 Dosen Pembimbing Dr. Subiono, M.Sc ABSTRAK Pemodelan matematika dan teori banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari, salah satunya teori kontrol optimal diterapkan pada pengendalian berbagai jenis penyakit. Pada tugas akhir ini pengendalian optimal tidak diterapkan pada penyakit yang khusus, akan tetapi digunakan untuk pola penyebaran penyakit yang mempunyai model epidemi tipe SIR (Susceptible-Infected-Recovery). Untuk menegendalikan pola penyebaran penyakit ini, diperlukan suatu vaksin. Vaksin adalah bahan antigenik yang digunakan untuk menghasilkan kekebalan aktif terhadap suatu penyakit sehingga dapat mencegah atau mengurangi pengaruh infeksi. Pada tugas akhir ini pengendalian penyakit yang mempunyai model epidemi tipe SIR dilakukan dengan vaksinasi untuk meminimalkan individu rentan (S) dan terinfeksi (I) serta memaksimalkan individu yang sembuh (R) secara bersamaan. Kontrol optimal diperoleh dengan menerapkan Prinsip Minimum Pontryagin. Kata Kunci : Model SIR, vaksinasi, kendali optimal, Prinsip Minimum Pontryagin I. PENDAHULUAN Penyakit measles (campak), mumps (gondong), rubella (campak jerman) dan poliomyelitis (polio) merupakan penyakit infeksi yang sangat berbahaya. Penyakit tersebut disebabkan oleh virus yang dapat menyebar melalui kontak langsung dengan penderita, udara, batuk atau bersin dan kotoran mausia [5]. The United Nations Children s Fund (UNICEF) [6] menyebutkan bahwa penyakit tersebut dinilai berbahaya karena dapat menyebabkan komplikasi, kerusakan otak dan organ tubuh lain., cacat seumur hidup, kelumpuhan dan kematian. Menurut UNICEF [6], sekitar 3. anak di Indonesia meninggal dunia setiap tahun karena penyakit measles. Sedangkan menurut World Health Organization (WHO) [8], sekitar 242. anak diseluruh dunia meninggal dunia pada tahun 6 karena penyakit measles. Sementara itu, menurut UNICEF [7], sekitar 32 anak di Indonesia mengalami kelumpuhan karena penyakit poliomyelis. Besarnya jumlah kematian dan kelumpuhan karena penyakit poliomyelis dan measles menunjukkan bahwa penyakit tersebut memang sangat berbahaya dan harus dicegah penyebarannya. Perkembangan ilmu pengetahuan di bidang matematika juga turut memberikan peranan dalam mencegah meluasnya penye-baran penyakit. Peranan tersebut berupa model matematika yang mempelajari penyebaran penyakit yang bersifat endemi dengan memperhatikan faktor kelahiran dan kematian. Model yang dimaksud adalah model epidemi tipe SIR (Susceptible-Infected-Recovery) klasik. Model epidemi tipe SIR klasik telah dikenalkan oleh Kermack dan McKendrick pada tahun 1927. Pada model epidemi SIR klasik, populasi dibagi menjadi tiga kelompok yaitu populasi yang rentan terhadap penyakit (susceptible), populasi yang terinfeksi dan dapat sembuh dari penyakit (infected), populasi yang telah sembuh dari penyakit (recovery). Secara garis besar, model epidemi tipe SIR klasik menggambarkan alur penyebaran penyakit dari populasi susceptible menjadi infected melalui kontak langsung maupun perantara lain. Selanjutnya, populasi infected yang mampu bertahan terhadap penyakit akan sembuh dan memasuki populasi recovery. Pada sebagian kasus, terdapat penyakit yang dapat memasuki kondisi endemi yakni kondisi dimana penyakit menyebar pada suatu wilayah dalam kurun waktu yang sangat lama. Kondisi endemi tersebut dapat terjadi pada penyakit measles, mumps, rubella, dan poliomyelistis. Berdasarkan data WHO [8], penyebaran penyakit dapat ditekan dengan program vaksinasi. Sampai saat ini, program vaksinasi masih dipercaya sebagai cara yang efektif dalam menekan penyebaran penyakit. Menurut WHO [8], pemberian vaksin Measles Mumps Rubella (MMR) terbukti mampu menekan jumlah kematian yang disebabkan oleh penyakit measles, mumps, rubella sekitar 68% pada tahun -6. Penurunan yang signikan juga ditunjukkan pada penyakit poliomyelitis yang dapat ditekan penyebarannya 1

dengan pemberian vaksin Oral poliomyelitis Vaccine (OPV). Dengan menganalisis suatu penyakit, maka akan didapatkan titik kesetimbangan dan kestabilan dari model epidemi suatu penyakit, sehingga dapat diketahui arah pertumbuhan penyakit ini. Dan dengan diketahui pola penyebaran penyakit, pemerintah dapat memprediksi perkembangan suatu penyakit sehingga dapat segera mengambil kebijakan untuk mencegah terjadinya wabah penyakit menular pada suatu daerah. Hal ini nantinya berkaitan erat dengan pengendalian sistem epidemi tersebut. Pada penelitian sebelumnya, Anggraeni Eka [1] telah mendapatkan penyelesaian numerik dan menganalisis perilaku model epidemi tipe SIR dengan vaksinasi tetapi tidak membahas kontrol atau vaksinasi yang optimal dalam mengatasi pencegahan penularan penyakit tersebut. Pada tugas akhir ini akan dibahas tentang analisis stabilitas pada penyakit yang mempunyai model epidemi tipe SIR dan akan didapatkan kontrol / vaksinasi yang optimal untuk meminimalkan individu rentan (S) dan terinfeksi (I) serta memaksimalkan individu yang sembuh (R) secara bersamaan dengan menggunakan Prinsip Minimum Pontryagin. II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Model Epidemi Tipe SIR Model epidemi klasik adalah model SIR dengan dinamika penting (kelahiran dan kematian) yang diberikan oleh : Untuk mendapatkan strategi vaksinasi yang optimal, dalam tugas akhir ini digunakan teori kontrol optimal serta digunakan model yang disajikan dalam [9] untuk mengurangi jumlah individu yang rentan dan terinfeksi serta meningkatkan jumlah individu yang sembuh. Dalam sistem persamaan diferensial pada (2.1)-(2.3), digunakan tiga variabel state S (t), I (t) dan R (t). Untuk masalah kontrol optimal, digunakan variabel kontrol u(t) U ad yang mempresentasikan proporsi jumlah individu rentan yang diberikan vaksin pada saat t., disini. Dengan adanya pengontrol u(t), maka konstrain sistem dinamik dari persamaan diferensial pada (2.1)-(2.3) menjadi : Tujuan akhir dari masalah kontrol optimal dari model epidemi tipe SIR adalah untuk mendapatkan bentuk yang optimal sehingga meminimalkan fungsi objektif dengan kontrol : dengan (2.7) populasi susceptible (yang rentan terhadap penyakit) pada saat t populasi infectious (yang terjangkit penyakit dan dapat menularkan penyakit pada saat t. populasi recovery (yang telah sembuh / bebas penyakit) pada saat t. konstanta positif untuk menjaga keseimbangan ukuran S(t) dan I(t). bobot parameter positif prosentase jumlah individu rentan yang diberikan vaksin pada saat t. jumlah populasi keseluruhan laju kelahiran dan kematian yang dianggap sama tiap satuan waktu koefisien transmisi laju kesembuhan dari individu terinfeksi 2.2. Titik Setimbang dan Kestabilan Lokal Suatu sistem persamaan diferensial berbentuk Sebuah titik merupakan titik kesetimbangan dari sistem persamaan (2.8) jika memenuhi,,. Kestabilan asimtotis lokal merupakan kestabilan dari sistem linier atau kestabilan dari linierisasi sistem tak linier. Kestabilan lokal pada titik kesetimbangan ditentukan oleh tanda bagian real dari akar-akar karakteristik sistem dari matriks Jacobian yang dihitung di sekitar titik kesetimbangan. Untuk sistem tak linear harus dilinearkan sehingga didapatkan bentuk sistem linear. 2.2.1 Linearisasi Linearisasi adalah proses hampiran persamaan diferensial non linear dengan bentuk linear. Tinjau kembali persamaan (2.8) dimana X, Y dan Z adalah persamaaan nonlinear dan adalah titik kesetimbangan dari persamaan (2.8). Selanjutnya akan dicari pendekatan linear disekitar dengan 2

melakukan ekspansi menurut deret Taylor disekitar titik sebagai berikut : dalam hal ini matriks disebut matriks Jacobian disekitar titik kesetimbangan Karena adalah titik kesetimbangan, maka berlaku sehingga persamaan (2.9) menjadi Bila dilakukan subtitusi maka 2.2.2 Akar- akar Persamaan Karakteristik Definisi 2.1[2] Jika J adalah matriks berukuran n x n maka vektor taknol dinamakan vektor karakteristik dari J yang memenuhi : Jx = x (2.12) untuk suatu skalar. Skalar dinamakan nilai karakteristik dari J dan x dikatakan vektor karakteristik yang bersesuaian dengan. Untuk mencari nilai karakteristik matriks J yang berukuran n x n, maka dapat dituliskan kembali Persamaan (2.12) sebagai Jx = Ix atau secara ekivalen ( J - I ) x = (2.13) Supaya menjadi nilai karakteristik harus ada penyelesaian taknol dari Persamaan (2.13), sehingga persamaan tersebut akan mempunyai penyelesaian taknol jika dan hanya jika det ( J - I ) x = (2.14) atau dapat ditulis J - I = Misalkan jika matriks dengan sehingga diperoleh : diperoleh,,, dan maka dapat Atau Dengan akar-akar karakteristik Persamaan (2.1) ini merupakan hasil linearisasi dari persamaan (2.8) disekitar. Persamaan tersebut dalam bentuk matriks dapat ditulis : 3 2.3. Kestabilan Routh Hurwitz Pada permasalahan tertentu kestabilan titik setimbang tidak bisa diamati karena tanda bagian real nilai eigen tidak mudah ditentukan, oleh karena

itu perlu digunakan metode lain untuk menentukan tanda bagian real nilai eigen. Sebagai contoh untuk matrik yang berukuran dengan tanda bagian real nilai eigen dapat ditentukan dengan menggunakan kriteria kestabilan Routh- Hurwitz (Routh-Hurwitz Stability Criterion). Kriteria kestabilan Routh Hurwitz adalah suatu metode untuk menunjukkan kestabilan sistem dengan memperhatikan koefisien dari persamaan karakteristik tanpa menghitung akar-akar karakteristik secara langsung. Jika diketahui suatu persamaan karakteristik dengan orde ke-n sebagai berikut :. Kemudian susun koefisien persamaan karakteristik menjadi : Tabel 2.1 Tabel Routh Hurwitz menyatakan kondisi optimal yang akan mendorong dan mengatur plant C dari keadaan awal sampai keadaan akhir dengan beberapa konstrain. Kontrol dengan keadaan dan waktu yang sama dapat ditentukan ekstrim berdasarkan performance index yang diberikan. Secara umum, formulasi yang dapat diberikan pada permasalahan kontrol optimal adalah: 1. Mendiskripsikan secara matematik artinya diperoleh metode matematika dari proses terjadinya pengendalian (secara umum dalam bentuk variabel keadaan). 2. Spesifikasi dari performance index. 3. Menentukan kondisi batas dan konstrain fisik pada keadaan (state) dan atau kontrol. Pada umumnya, masalah kontrol optimal dalam bentuk matematik dapat diformulasikan sebagai berikut. Dengan tujuan mencari kontrol yang mengoptimalkan (memaksimumkan atau meminimumkan) performance index: (2.15) Dengan kendala (2.16) dengan Dengan menggunakan akar karakteristik (nilai eigen ), sistem dikatakan stabil atau mempunyai bagian real negatif jika dan hanya jika elemen elemen pada kolom pertama memiliki tanda yang sama. 2.4. Masalah Kontrol Optimal Pada prinsipnya, tujuan dari kontrol optimal adalah menentukan signal yang akan diproses dalam plant dan memenuhi konstrain fisik. Kemudian, pada waktu yang sama dapat ditentukan ekstrim (maksimum/minimum) yang sesuai dengan kriteria performance index. Performance index merupakan ukuran kuantitas dari performance suatu sistem. Performance index (2.15) dikatakan dalam bentuk Lagrange ketika, dalam bentuk Mayer ketika Kontrol merupakan kontrol optimal, jika disubtitusikan ke dalam sistem dinamik (2.16) akan memperoleh state yang optimal dan pada saat yang sama juga mengoptimalkan performance index (2.15). 2.5. Prinsip Minimum Pontryagin Prinsip Minimum Pontryagin merupakan suatu kondisi sehingga dapat diperoleh penyelesaian kontrol optimal yang sesuai dengan tujuan. (memaksimalkan performance index). Berikut ini, akan dibahas contoh kasus yang menjadi ide dasar untuk membantu mendapatkan penyelesaian optimal control pada suatu model. Diberikan permasalahan dengan suatu kontrol yang terbatas sebagai berikut: Gambar 2.1 Skema Kontrol Pada gambar tersebut optimal control adalah mendapatkan optimal control (u* ), tanda * 4 untuk dapat ditulis sedemikian hingga dengan menggabungkan

persamaan (2.17) dan (2.18) dengan pengali lagrange dapat diperoleh misalkan adalah integral dari sampai untuk L padahal untuk dengan mengasumsikan bahwa, sehingga dapat ditulis kembali sehingga diperoleh dengan memilih yang memenuhi (2.24) sehingga persamaan (2.23) dapat direduksi menjadi berarti untuk bernilai minimum dapat ditulis seperti berikut sedemikian hingga untuk yang optimal maka merupakan solusi maka dengan mengurangkan kedua persamaan diatas akan diperoleh karena mempunyai nilai awal maka kemudian dilakukan ekspansi deret Taylor terhadap persamaan (2.22) sedemikian hingga menjadi 5 untuk itu, dibutuhkan suatu kemungkinan untuk memodifikasi yang memenuhi persamaan (2.25). Jika kontrol optimal adalah pada batas bawah untuk maka modifikasi control, jadi dibutuhkan, sehingga. Dengan cara yang sama, jika kontrol optimal pada batas atas maka bentuk modifikasi kontrol, jadi dibutuhkan, sehingga. Kesimpulannya jika jika jika supaya persamaan (2.24) konsisten untuk semua, karena itu dipilih Jika Jika Jika.(2.26) atau ekuivalen dengan berakibat berakibat berakibat berarti jika penyelesaian persamaan (2.17)- (2.19) maka harus terdapat fungsi sedemikian hingga memenuhi persamaan (2.18), (2.19), (2.24) dan (2.26). 2.6 Simulasi Simulasi pada model epidemi tipe SIR, akan diselesaikan dengan menggunakan DOTcvpSB versi R21_E3 (Dynamic Optimization Toolbox Control Vector Parameterizations in System Biology) merupakan salah satu toolbox matlab

untuk optimisasi dinamik dalam bidang biologi, yang dibuat oleh Thomas Hirmajer, dkk, dari Instituto de Investigaciones Marinas-CSIC. DOTcvpSB menggunakan pendekatan parameter vektor kontrol (Control Vektor Parameterization) untuk menyelesaikan masalah dinamik optimisasi integer campuran dan kontinu. DOTcvpSB sudah berhasil diterapkan untuk menyelesaikan beberapa masalah dalam bidang sistem biologi dan teknik bioproses. DOTcvpSB diimplementasikan dalam software Matlab yang juga didesain untuk sistem operasi komputer yang berbasis windows dan linux [3]. III. METODE PENELITIAN Metode yang digunakan untuk memecahkan permasalahan dalam tugas akhir ini adalah sebagai berikut: 1. Mencari Titik Setimbang 2. Analisis Stabilitas Model Epidemi tipe SIR. 3. Penyelesaian Optimal Kontrol 4. Simulasi 5. Analisis Hasil Penyelesaian dan Simulasi. IV. ANALISIS DAN PEMBAHASAN 4.1 Deskripsi Model dan Asumsi Model epidemi tipe SIR yang akan dibahas mempunyai asumsi-asumsi sebagai berikut: a. Populasi dibagi menjadi 3 kelompok yaitu : S(t) adalah populasi susceptible (individuindividu yang rentan terhadap penyakit) pada saat t. I(t) adalah populasi infectious (individuindividu yang terjangkit penyakit dan dapat menularkan penyakit, tetapi belum menunjukkan adanya gejala penyakit awal) pada saat t. R(t) adalah populasi recovery (individuindividu yang telah sembuh/bebas penyakit) pada saat t. b. Diasumsikan adalah laju kelahiran yang sama dengan laju kematian. Sedangkan N adalah jumlah populasi keseluruhan dari populasi susceptible, infectious, dan recovery, jumlah poupulasi yang lahir dalam populasi tiap satuan waktu selalu konstan. Jumlah populai yang lahir proposional dengan total populasi N. oleh karena itu, jumlah populasi yang lahir dalam populasi adalah. Jumlah populasi yang lahir tersebut akan memasuki kelompok S(t). c. Berdasarkan asumsi laju kelahiran sama dengan laju kematian, maka jumlah populasi yang mati pada setiap kelompok proposional dengan jumlah populasi pada masing-masing kelompok. Oleh karena itu, jumlah kematian 6 pada kelompok masing masing sebesar. d. adalah laju besarnya populasi yang terinfeksi dimana adalah koefisien transmisi yang merupakan konstanta yang menunjukkan tingkat kontak sehingga terjadi penularan penyakit, individu rentan memperoleh infeksi pada per kapita dan laju kejadian/timbulnya penyakit standar pada populasi yang terinfeksi. e. adalah laju kesembuhan dari individu yang telah terinfeksi. f. u(t) yang mempresentasikan prosentase populasi rentan yang divaksinasi per unit waktu. Sehingga persamaan untuk : Populasi Susceptible yakni, besarnya laju populasi yang rentan dipengaruhi oleh jumlah populasi yang lahir dalam populasi dan akan menurun dengan adanya laju kematian alami serta laju populasi yang terinfeksi. Populasi Infected yakni, besarnya laju populasi yang terinfeksi dipengaruhi oleh laju populasi yang terinfeksi dan akan menurun dengan adanya populasi yang sembuh serta laju kematian alami. Populasi Recovery yakni, besarnya laju populasi yang sembuh dipengaruhi oleh laju kesembuhan dari populasi yang terinfeksi dan akan menurun dengan adanya laju kematian alami. 4.2 Titik Setimbang Model 4.2.1 Titik Setimbang Bebas Penyakit Titik kesetimbangan bebas penyakit ( disease-free equilibrium) adalah suatu keadaan dimana tidak terjadi penyebaran penyakit menular dalam populasi. Titik tersebut didapatkan pada saat I(t)= yakni suatu keadaan dimana tidak terjadi infeksi/penularan pada populasi. Sehingga didapatkan titik setimbang bebas penyakit yaitu 4.2.2 Titik Setimbang Endemi Titik setimbang endemi (endemic equilibrium) yaitu suatu kondisi dimana

terjadi penyebaran penyakit menular di dalam populasi tersebut. Didapatkan dari. Sehingga didapatkan titik setimbang endemi yaitu : 1, 1 + 1. 4.3 Kestabilan Lokal 4.3.1 Kestabilan Lokal Titik Setimbang Bebas Penyakit Pada titik setimbang matrik jacobiannya adalah Nilai eigen diperoleh dari : = maka Dari nilai maka akan didapatkan nilai sebagai berikut : a. Jika atau Akan didapatkan bahwa nilai eigen dari dan, maka berdasarkan sifat stabilitas titik setimbang dilihat dari akar akar karakteristiknya (nilai eigen ) maka titik setimbang tidak stabil. b. Jika atau Akan didapatkan bahwa nilai eigen dari, maka berdasarkan sifat stabilitas titik setimbang dilihat dari akar akar karakteristiknya (nilai eigen ) maka titik setimbang stabil asimtotis. 4.3.2 Kestabilan Lokal Titik Setimbang Endemi Pada titik setimbang dengan : Nilai eigen diperoleh dari : maka sehingga didapatkan nilai eigen Karena laju kematian alami untuk nilai maka, sedangkan untuk belum dapat ditentukan tandanya (dapat bernilai positif atau negatif). Oleh karena itu, akan dicari bilangan Reproduksi Dasar terlebih dahulu. Dari persamaan (2.1) - (2.3) dapat dicari Basic Reproductive ( ), dimana bertujuan untuk mengetahui dinamik penyebaran penyakit, artinya apakah penyakit tersebut terjadi endemi (wabah penyakit) atau tidak. Berdasarkan nilai eigen dapat dianalisa sebagai berikut : persamaan karakteristiknya adalah : dengan, Sedangkan akan bernilai positif jika bernilai negatif jika. dan Oleh karena itu, Basic Reproductive ( ) adalah : 7 misalkan :

dengan mensubtitusikan nilai-nilai persamaan (4.1) sehingga diperoleh : pada Hal pertama yang harus dilakukan adalah menentukan fungsi Hamiltonian ) apabila persamaan diatas ditulis dalam bentuk umum polynomial orde 3 menjadi : Selanjutnya untuk mendapatkan akar-akar karakteristik (nilai eigen ) dari polynomial derajat 3 digunakan kriteria kestabilan Routh-Hurwitz untuk menentukan kestabilannya Berdasarkan Prinsip Minimum Pontryagin, maka harus memenuhi persamaan state, co-state dan kondisi stationer. 1. Persamaan State polynomial orde 3 mempunyai akar negatif pada bagian realnya jika dan hanya jika elemem-elemen dari kolom pertama pada tabel Routh-Hurwitz mempunyai tanda yang sama. Sehingga didapatkan ketika berakibat. maka titik setimbang endemi yaitu : Dengan kondisi batas sebagai berikut : 2. Persamaan co-state adalah stabil asimptotik. 4.4 Penyelesaian Kontrol Optimal Pada penyelesaian kontrol optimal ini akan dibahas tentang penyelesaian menggunakan kontrol optimal untuk mendapatkan vaksinasi yang optimal dengan fungsi tujuan sebagai berikut : Model tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan optimal kontrol dimana variabel kontrolnya adalah u dan variabel keadaannya Dengan kondisi batas sebagai berikut 3. Kondisi Stationer Sedangkan konstrainnya adalah : Karena, sehingga diperoleh Dengan kondisi batas 8 Dengan mensubstitusikan persamaan (4.11 ) maka didapatkan sistem yang optimal

Suscetible Individuals Infected Individuals Susceptible Individuals Recovered Indiiduals Infected Individuals 1 4.5 Simulasi Tabel 4.1 Parameter dan Nilainya [9] Parameter Nilai.95.53.1 175 1 2 Tabel 4.2 Parameter Komputasi [9] Parameter Komputasi Simbol Nilai Waktu akhir hari Batas bawah kontrol Batas atas kontrol.9 Initial condition populasi susceptible Initial condition 175 populasi infected Initial condition 1 populasi recovery Pemberian vaksinasi HASIL SIMULASI Gambar 4.2 Populasi Infected ( yang terinfeksi ) Tanpa Kontrol 11 9 7 5 3 1 Gambar 4.3 Populasi Recovered ( sembuh ) Tanpa Kontrol 1 1 Gambar 4.4 Populasi Susceptible ( rentan ) Dengan Kontrol 1 Gambar 4.1 Populasi Susceptible ( rentan ) Tanpa Kontrol Gambar 4.5 Populasi Infected (yang terinfeksi) Dengan Kontrol 9

Control Variables Recverd Individuals 1 populasi yang terinfeksi memberikan suatu hasil yang optimal dengan fungsi objektif yang minimum. Gambar 4.6 Populasi Recovered (sembuh) Dengan Kontrol Dari hasil analisis pada Gambar 4.1 Gambar 4.6 menunjukkan bahwa populasi yang rentan (susceptible) terjadi penurunan pada awal periode dengan kontrol yang optimal berupa pemberian vaksin dan nilai cost function dan pada saat populasi yang terinfeksi (infected) berkurang mengakibatkan populasi yang sembuh (recovered) meningkat pada awal pengendalian sampai akhir periode pengendalian. Dengan kondisi seperti ini dapat diketahui bahwa selama hari / 2 bulan populasi yang terinfeksi menurun karena pemberian kontrol. Dan ini berarti bahwa penyebaran penyakit yang mempunyai model epidemi tipe SIR dapat ditekan dengan kontrol yang optimal sebagai berikut : 1.9.8.7 u 1 V. PENUTUP 5.1 Kesimpulan Dari analisis yang dilakukan pada model epidemi tipe SIR, maka akan diperoleh kesimpulan sebagai berikut : 1. Pada analisis stabilitas dapat diketahui bahwa Kestabilan lokal titik setimbang bebas penyakit bersifat stabil asimtotis untuk sedangkan untuk titik setimbang endemik stabil asimtotis untuk. bersifat 2. Pada optimal kontrol dapat diketahui bahwa Pada model pengendalian epidemi tipe SIR dengan kontrol vaksinasi diselesaikan dengan menerapkan Prinsip Minimum Pontryagin dan dapat diketahui bahwa nilai kontrol yang optimal didapat : dengan prosentase populasi rentan yang diberikan vaksin pada saat t. 3. Hasil simulasi dengan DOTcvpSB menunjukkan keefektifan pengendalian dengan kontrol vaksinasi dapat mengurangi populasi yang terinfeksi sehingga penyebaran penyakit dapat ditekan dan meminimumkan biaya dalam pemberian vaksin..6.5.4 Gambar 4.7 Kontrol Untuk kontrol yaitu prosentase jumlah populasi rentan yang diberikan vaksin pada saat t pada awal periode pengendalian adalah maksimal yakni sebesar.9, kemudian bergerak menurun dan konstan pada saat kurang lebih 6 hari / 2 bulan sampai pada akhir periode pengendalian sehingga setelah itu hanya.3 dari populasi rentan yang harus diberikan vaksin. Hal ini mengakibatkan pemberian vaksin pada individu yang rentan semakin berkurang karena populasi ini mulai mengalami kesembuhan. Hasil dari penerapan kontrol / pemberian vaksin yang dilakukan dalam mengendalikan 1 5.2 Saran Pada penelitian ini tidak dibahas mengenai analisis kestabilan global dari model epidemi tipe SIR, dan diasumsikan laju kelahiran sama dengan laju kematian serta tidak diperhatikan masa inkubasi, oleh karena itu penulis menyarankan pada pembaca yang tertarik masalah ini agar pada penelitian selanjut-nya menyertakan analisis global dari model epidemi tipe SIR dan memperhatikan masa inkubasi serta laju kelahiran yang tidak sama dengan laju kematian. DAFTAR PUSTAKA [1] Anggraeni, E. (21), Penyelesaian Numerik dan Analisis Perilaku Model Epidemi Tipe SIR dengan Vaksinasi Untuk Pencegahan Penularan Penyakit. Tugas Akhir S1 Jurusan Matematika ITS Surabaya.

[2] Finizio, N. dan Landas, G. 1988. Ordinary Differential Equations with Modern Applications. California: Wadsworth Publishing Company. [3] Hirmajer, T., Canto, E.B., dan Banga, J.R., (9), DOTcvpSB: a Matlab Toolbox for Dynamic Optimization in Systems Biology, User s Guide Technical Report, Instituto De Investigaciones Marinas [IIM-CSIC], Spanyol. [4] Kamien, M.I. dan Schwarz, N.L. 1991. Dynamics Optimization: The Calculus Of Variations and Optimal Control In Economics And Management. Norh Holland. Amsterdam. [5] Nugroho, Susilo. (9). Pengaruh Vaksinasi Terhadap Penyebaran Penyakit Dengan Model Endemi SIR. Tugas Akhir S1 Jurusan Matematika Universitas Sebelas Maret. [6] UNICEF, Going the extra mile: UNICEF Indonesia immunization drive reaches remote areas http://www.unicef.org/indonesia/reallives_7295.ht ml. Diakses pada tanggal 21 juni 211, pukul 22. WIB. [7] UNICEF, Polio: stories from West Java, http://www. unicef.org/indonesia/reallives_2956.html. Diakses pada tanggal 21 juni 211, pukul 22. WIB. [8] WHO,Measles,http://www.who.int/mediacentre/ factsheets/fs286/en/. Diakses pada tanggal 21 juni 211, pukul 22. WIB. [9] Zaman. Gul, Hyo Jung. Il, Yang. H.K, 21 Stability Analysis And Optimal Vaccination Of An SIR Epidemic Model, Biosystem. 93 (8) 24-249. 11