PERKIRAAN SELANG KEPERCAYAAN UNTUK PARAMETER PROPORSI PADA DISTRIBUSI BINOMIAL Jainal, Nur Salam, Dewi Sri Susanti Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lambung Mangkurat Email: jainalja07@gmail.com ABSTRAK Selang kepercayaan adalah sebuah selang antara dua angka yang diperoleh dari perkiraan titik sebuah parameter. Karena besar nilai parameter tidak diketahui, sehingga yang dipakai dalam perkiraan adalah sebuah peluang. Nilai parameter yang diperkirakan adalah proporsi. Tujuan penelitian ini adalah menentukan perkiraan selang kepercayaan untuk parameter proporsi pada distribusi Binomial. Hasil dari penelitian ini adalah perkiraan selang kepercayaan untuk parameter proporsi pada distribusi Binomial dengan menggunakan metode besaran pivot dengan ukuran sampel 30 dan < 30. Kata Kunci: Selang Kepercayaan ( αα), Distribusi Binomial, Proporsi, Metode Maksimum, Metode Besaran Pivot Kemungkinan. PENDAHULUAN Perkiraan parameter populasi menurut Bain & Engelhardt [] dilakukan dengan menggunakan statistik sampel dan diwujudkan dengan dua bentuk yaitu perkiraan titik dan perkiraan selang. Perkiraan titik digunakan untuk menetapkan sebuah nilai yang sesuai untuk parameter populasi berdasarkan data sampel yang diamati. Namun perkiraan titik untuk parameter populasi tidak begitu akurat karena hanya memiliki satu nilai untuk memperkirakan nilai parameter populasinya. Oleh sebab itu, dibuatlah perkiraan selang dimana perkiraan selang mempunyai cakupan rentang nilai untuk memperkirakan nilai parameter populasinya. Dalam penentuan perkiraan selang suatu parameter populasi yang tidak diketahui, ada beberapa metode yang dapat digunakan salah satunya adalah metode besaran pivot. Metode besaran pivot digunakan untuk memperkirakan selang dari parameter yang tidak diketahui dengan menggunakan distribusi statistik sampel. Sahoo [3] menjelaskan bahwa dalam pengamatan data sampel yang dilakukan pada suatu percobaan atau suatu data yang diperoleh akan menghasilkan distribusi tertentu. Variabel acak yang mencirikan banyaknya kejadian berhasil dalam n percobaan Bernoulli yang bersifat independen dan dari percobaan yang satu dengan yang laiya memiliki nilai peluang berhasil yang sama untuk kejadiaya dikenal dengan variabel acak yang berdistribusi Binomial dengan parameter p dan n. Menurut Walpole [4] perkiraan titik untuk parameter proporsi pada suatu percobaan Binomial diberikan oleh statistik pp. Dengan demikian, statistik pp akan digunakan sebagai nilai perkiraan titik untuk parameter proporsi tersebut. Namun, jika parameter proporsi yang tidak diketahui itu tidak terlalu dekat pada 0 atau, maka dapat dibuat selang kepercayaan untuk parameter proporsinya. Berdasarkan uraian di atas, penulis ingin mengkaji tentang selang kepercayaan untuk parameter proporsi pada distribusi Binomial.
2. TINJAUAN PUSTAKA 2. Fungsi Pembangkit Momen Fungsi pembangkit momen merupakan suatu teknik untuk menentukan jenis distribusi peluang dari fungsi variabel acaknya yang didefinisikan sebagai berikut: Definisi 2.. [3] Jika XX adalah variabel acak, maka nilai ekspektasi dari ee tttt sebagai berikut: MM XX (tt) = EE(ee tttt ) () Teorema 2..2 [3] Misalkan XX adalah variabel acak dengan fungsi pembangkit momen MM XX (tt). Jika aa, bb R, maka. MM XX+aa (tt) = ee aaaa MM XX (tt) 2. MM bbbb (tt) = MM XX (bbbb) 3. MMXX+aa(tt) = ee aaaa bb MM XX tt bb bb 2.2 Distribusi Normal Definisi 2.2. [3] Variabel acak XX dikatakan berdistribusi Normal, XX~NN(μμ, σσ 2 ) dengan parameter μμ dan σσ 2 dimana < μμ < dan σσ 2 > 0, jika fungsi kepadatan peluangnya berbentuk sebagai berikut: ff(xx) = σσ 2ππ ee 2 xx μμ σσ 2 ; < xx < (2) Teorema 2.2.2 [3] Jika variabel acak XX berdistribusi Normal XX~NN(μμ, σσ 2 ), maka fungsi pembangkit momen, rata-rata, dan variansi dari variabel acak XX tersebut secara berturutturut adalah: MM XX (tt) = ee μμμμ + 2 σσ2 tt 2, EE(XX) = μμ, VVVVVV(XX) = σσ 2 2.3 Distribusi Normal Baku Definisi 2.3 [3] Variabel acak XX berdistribusi Normal XX~NN(μμ, σσ 2 ) disebut distribusi Normal Baku jika μμ = 0 dan σσ 2 = yang dinotasikan dengan XX~NN(0,) dan fungsi kepadatan peluangnya adalah: ff(xx) = 2ππ ee 2 xx2 ; < xx < (3) 2.4 Distribusi t Teorema 2.4. [] Jika Z ~ N(0,) dan U ~ χχ 2 (vv) dengan Z dan U adalah variabel acak bebas, maka variabel acak T didefinisikan sebagai berikut: TT = ZZ merupakan sebuah nilai variabel acak TT yang mempunyai distribusi tt dengan UU vv vv =, dengan fungsi kepadatan peluang sebagai berikut: Γ vv + 2 ff(tt; vv) = ππππ Γ vv tt2 + 2 vv (vv+) 2 < tt < (4) Teorema 2.4.2 [4] Jika xx dan ss 2 adalah rata-rata dan ragam suatu sampel acak xx, xx 2,, xx berukuran yang diambil dari suatu populasi XX~NN(μμ, σσ 2 ), maka tt = xx μμ merupakan sebuah nilai variabel acak T yang berdistribusi t dengan derajat kebebasan ss vv =. 2.5 Distribusi Binomial Definisi 2.5 [3] Variabel acak XX disebut variabel acak binomial dengan parameter p dan n, XX~BBBBBB(pp, ) jika fungsi kepadatan peluangnya berbentuk sebagai berikut: 2
ff(xx) = xx ppxx ( pp) xx, xx = 0,,,, pp = qq (5) Dimana 0 pp adalah peluang keberhasilan dari percobaan Binomial. 2.6 Perkiraan Titik Definisi 22. 66. [6] Perkiraan titik dari sebuah parameter adalah sebuah nilai statistik yang digunakan untuk memperkirakan parameter. Definisi 2.6.2 [4] Statistik θθ dikatakan sebagai perkiraan tak bias untuk parameter θθ bila EE θθ = θθ. 2.7 Perkiraan Selang Definisi 2.7. [6] Selang kepercayaan adalah sebuah selang antara dua angka yang diperoleh dari perkiraan titik sebuah parameter. Definisi 2.7.2 [] Jika XX, XX 2,, XX mempunyai fungsi kepadatan peluang bersama ff(xx, xx 2,, xx ; θθ); θθ Ω, dimana Ω merupakan ruang parameter berupa selang terbuka dalam R. Dengan θθ = l(xx, xx 2,, xx ) merupakan batas bawah selang kepercayaan dan θθ 2 = uu(xx, xx 2,, xx ) merupakan batas atas selang kepercayaan, maka selang kepercayaan adalah jika memperoleh suatu keadaan: P[l(xx, xx 2,, xx ) < θθ < uu(xx, xx 2,, xx )] = αα P θθ < θθ < θθ 2 = αα (6) dengan αα adalah koefisien taraf nyata (level of significance). 2.8 Besaran Pivot Definisi 2.8 [] Jika QQ = φφ(xx,, XX ; θθ) adalah suatu variabel acak yang hanya membentuk fungsi dalam XX,, XX dan θθ, maka QQ disebut suatu besaran pivot jika distribusinya tidak bergantung (bebas) pada θθ atau parameter lain yang tidak diketahui. 2.9 Distribusi Penarikan Sampel untuk Nilai Rata-rata Teorema 2.9 Limit Pusat [4] Bila sampel acak berukuran ditarik dari suatu populasi yang besar atau tak hingga dengan nilai rata-rata µ dan variansi σσ 2, maka nilai rata-rata sampel xx akan menyebar menghampiri distribusi Normal dengan nilai rata-rata μμ XX = μμ dan simpangan baku σσ XX = σσ xx μμ. Dengan demikian, zz = merupakan nilai variabel acak Normal baku ZZ. σσ 3. HASIL DAN PEMBAHASAN Menurut Herrhyanto [2] untuk menentukan perkiraan selang kepercayaan untuk sebuah parameter yang tidak diketahui dari sebuah distribusi digunakan metode besaran pivot. Langkah-langkah Metode Besaran Pivot sebagai berikut: a) Menentukan perkiraan titik yang bersifat tak bias untuk parameter. b) Menentukan distribusi dari perkiraan titik yang bersifat tak bias untuk parameter tersebut. c) Menentukan besaran pivot. d) Menentukan distribusi dari besaran pivot tersebut. e) Mensubstitusikan besaran pivot ke dalam bentuk umum perkiraan selang dengan tingkat kepercayaan ( αα), yaitu: P(aa < bbbbbbbbbbbbbb pppppppppp < bb) = αα Dengan aa dan bb adalah nilai luas daerah sebelah kiri dan kanan di bawah kurva distribusinya sebesar αα 2. f) Melakukan perubahan bentuk pada bagian (e) sedemikian hingga akan menghasilkan bentuk sebagai berikut: 3
P(cc < pppppppppppppppppp < dd) = αα Dengan cc dan dd adalah dua buah bentuk statistik. Berikut ini akan dijelaskan langkah-langkah tersebut: Jurnal Matematika Murni dan Terapan εpsilon Perkiraan Selang Kepercayaan untuk Parameter Proporsi pada Distribusi Binomial dengan Ukuran Sampel 3333. a) Menentukan Perkiraan Titik yang Bersifat Tak Bias untuk Parameter. Jika xx,, xx adalah sampel acak berukuran dan bersifat independen (saling bebas) yang berasal dari variabel acak distribusi Binomial, maka fungsi kepadatan peluangnya adalah: ff(xx) = xx ppxx ( pp) xx, xx = 0,,, (7) Fungsi likelihood dari persamaan (7) adalah: LL(pp, ) = xx ii pp xx ii( pp) xx ii ii= Selanjutnya dari persamaan (8) diambil ln pada kedua ruasnya, sehingga: ln LL(pp, ) = ln + xx xx ii ln pp + xx ii ln( pp) (9) ii ii= ii= Kemudian didiferensialkan persamaan (9) terhadap pp dan hasilnya adalah:. ln LL(pp, ) = pp xx ii pp xx ii ii= ii= Perkiraan titik untuk parameter pp yang memaksimumkan fungsi ln LL(pp, ) dapat diperoleh ln LL(pp,) pada saat turunan pertamanya bernilai nol, yaitu = 0 Sehingga diperoleh: pp = xx Jadi, perkiraan titik dengan menggunakan metode kemungkinan maksimum untuk pp adalah xx Kemudian akan ditunjukkan bahwa xx merupakan perkiraan titik yang bersifat tak bias untuk pp. Jika xx bersifat tak bias, maka akan ditunjukan sebagai berikut: EE XX = [EE(XX ) + EE(XX 2 ) + + EE(XX )] (0) Karena variabel acak XX berdistribusi Binomial dengan EE(XX) = sehingga persamaan (0) menjadi: EE XX = ( + + + ) = () = pp Karena EE XX xx = pp, maka adalah perkiraan titik yang bersifat tak bias untuk pp. b) Menentukan Distribusi dari Perkiraan Titik yang Bersifat Tak Bias untuk Parameter. Dalam hal ini akan ditentukan distribusi dari perkiraan titik pp = xx dengan menggunakan pendekatan kepada distribusi Normal. Diketahui bahwa XX berdistribusi Binomial dengan fungsi kepadatan peluangnya adalah: ii= (8) 4
ff(xx) = xx ppxx qq xx ; xx = 0,,, dimana xx =! xx! ( xx)! Kemudian digunakan pendekatan Stirling untuk!, xx!, dan ( xx)!, yaitu:.! = (2ππ) 2 ee + 2 2. xx! = (2ππ) 2 ee xx xx xx+ 2 () 3. ( xx)! = (2ππ) 2 ee ( xx) ( xx) ( xx)+ 2 Selanjutnya ketiga hasil pendekatan di atas disubstitusikan ke dalam persamaan (), sehingga menjadi: (2ππ) 2 ee + 2 ff(xx) = (2ππ) 2 ee xx xx xx+ 2 (2ππ) pp xx qq xx 2 ee ( xx) ( xx) ( xx)+ 2 = 2ππ xx+ xx 2 lim ff(xx) = lim 2ππ Dengan: xx ( xx)+ 2 xx+ xx 2 ( xx)+ xx 2 = NN = xx xx+ 2 xx ( xx)+ 2 ln NN = xx + 2 ln xx + xx + xx ln 2 Misalkan: xx zz = (i) xx = + zz xx (ii) = + zz qq (iii) xx = zz = zz xx (iv) Sehingga: = zz pp 2ππ lim NN ln NN = + zz + 2 ln + zz qq + zz + 2 ln zz pp Dengan menggunakan deret Maclaurin diperoleh: lim ln NN = lim 2 zz2 (pp + qq) 6 zz3 3 pp 3 2 qq 2 + 2 zz qq 4 zz2 qq + 6 zz3 2 zz pp 4 zz2 pp lim NN = eezz2 2 5
Sehingga: lim ff(xx) = 2ππ zz 2 ee 2 xx Karena zz = maka: Jurnal Matematika Murni dan Terapan εpsilon lim ff(xx) = eeeeee 2ππ 2 (xx )2 (2) Persamaan (2) merupakan fungsi kepadatan peluang distribusi Normal dengan μμ = dan σσ 2 = atau dapat ditulis XX~NN(, ) Kemudian menentukan distribusi dari pp = xx dengan teknik fungsi pembangkit momen, yaitu: MM XX (tt) = eeeeee pppp + pppp 2 tt2 (3) Persamaan (3) merupakan fungsi pembangkit momen untuk distribusi Normal dengan μμ = pp dan σσ 2 = pppp xx pppp atau dapat ditulis ~NN pp,. c) Menentukan Besaran Pivot untuk Ukuran Sampel 3333 Misalkan besaran pivotnya adalah: xx pp YY = d) Menentukan Distribusi dari Besaran Pivot. Untuk menentukan distribusi dari besaran pivot digunakan teknik fungsi pembangkit momen sebagai berikut: tt pp MM YY (tt) = eeeeee eeeeee pp tt + 2 tt2 (4) Karena XX ~NN pp,, maka fungsi pembangkit momen dari XX yang ditransformasi menjadi fungsi pembangkit momen untuk distribusi Normal Baku, XX ~NN(0,) adalah: MM YY (tt) = eeeeee tt 0 eeeeee 0 tt + 2 tt2 = eeeeee tt2 (5) 2 Persamaan (5) merupakan fungsi pembangkit momen dari distribusi Normal dengan μμ = 0 dan σσ 2 = (distribusi Normal Baku), sehingga YY = XX pp ~NN(0,). 6
e) Mensubstitusikan Besaran Pivot ke Dalam Bentuk Umum Perkiraan Selang dengan Tingkat Kepercayaan ( αα). P zz αα/2 < YY < zz αα/2 = αα XX pp P zz αα/2 < < zz αα/2 = αα f) Melakukan Perubahan Bentuk pada Bagian (e). P XX zzαα/2 < pp < XX + zzαα/2 = αα g) Menetapkan Batas Bawah dan Batas Atas Perkiraan Selang Kepercayaan untuk Parameter Proporsi pada Distribusi Binomial dengan Ukuran Sampel 3333. Karena nilai pp tidak diketahui, maka perkiraan titik pp adalah pp = xx sehingga perkiraan selang kepercayaan untuk parameter proporsi pada distribusi Binomial dengan ukuran sampel 30 dengan tingkat kepercayaan ( αα) adalah: XX XX XX P zzαα/2 dengan: < pp < XX XX XX + zzαα/2 = αα (6) XX XX XX zzαα 2 XX XX XX + zzαα/2 adalah batas bawah perkiraan adalah batas atas perkiraan Berikutnya adalah Menentukan Perkiraan Selang Kepercayaan untuk Parameter Proporsi pada Distribusi Binomial dengan Ukuran Sampel < 3333. a. Menentukan Besaran Pivot untuk Ukuran Sampel < 3333. Misalkan besaran pivotnya adalah: XX TT = pp pp qq b. Menentukan Distribusi dari Besaran Pivot. Diketahui bahwa XX adalah variabel acak yang berdistribusi Binomial, sehingga dengan pendekatan Stirling pada langkah sebelumnya diperoleh XX~NN(, ). 7
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa XX berdistribusi Normal Dengan teknik fungsi pembangkit momen, maka: Jurnal Matematika Murni dan Terapan εpsilon MM XX (tt) = eeeeee + 2 tt2 (7) Persamaan (7) merupakan fungsi pembangkit momen untuk distribusi Normal dengan μμ = dan σσ 2 = atau dapat ditulis XX ~NN,. Berikutnya akan ditunjukkan bahwa XX berdistribusi Normal. Diketahui bahwa pada langkah sebelumnya XX ~NN pp, pppp. Kemudian akan ditunjukkan bahwa XX pp juga berdistribusi Normal. Dengan menggunakan teknik fungsi pembangkit momen, maka: MM XX pp(tt) = eeeeee( pppp) MM XX = eeeeee (tt) pppp 2 tt2 (8) Persamaan (8) merupakan fungsi pembangkit momen untuk distribusi Normal dengan μμ = 0 dan σσ 2 = pppp atau dapat ditulis XX ~NN 0, pppp. sehingga, XX pp ~NN(0,) Dalam hal ini ss 2 = pp qq dan σσ2 = pppp maka: ( ) pp qq pppp ~χχ 2 ( ) XX pp Dengan demikian, TT = ZZ UU = pp qq ( ) ( ) pppp = XX pp pp qq c. Mensubstitusikan Besaraan Pivot ke Dalam Bentuk Umum Perkiraan Selang dengan Tingkat Kepercayaan ( αα). P tt αα/2( ) < TT < tt αα/2( ) = αα P tt αα/2( ) < XX pp pp qq < tt αα/2( ) = αα d. Melakukan Perubahan Bentuk pada Bagian (c). P XX ttαα/2( ) pp qq < pp < XX + ttαα/2( ) pp qq = αα 8
e. Menetapkan Batas Bawah dan Batas Atas dari Perkiraan Selang Kepercayaan untuk Parameter Proporsi pada Distribusi Binomial dengan Ukuran Sampel < 3333. Karena pp = XX, maka perkiraan selang kepercayaan untuk parameter proporsi pada distribusi Binomial dengan tingkat kepercayaan ( αα) untuk ukuran sampel < 30 adalah: XX XX XX P ttαα/2( ) dengan: < pp < XX XX XX + ttαα/2( ) = αα (9) XX XX XX ttαα/2( ) XX XX XX + ttαα/2( ) adalah batas bawah perkiraan adalah batas atas perkiraan Dari hasil langkah-langkah metode besaran pivot didapat bahwa perkiraan selang kepercayaan untuk parameter proporsi pada distribusi Binomial dengan ukuran sampel 30 dan < 30 adalah pada persamaan (6) dan (9). 4. KESIMPULAN Perkiraan selang kepercayaan untuk parameter proporsi pada distribusi Binomial dengan ukuran sampel 30 dengan tingkat kepercayaan ( αα) adalah: XX XX XX P zzαα 2 < pp < XX XX XX + zzαα 2 = αα Perkiraan selang kepercayaan untuk parameter proporsi pada distribusi Binomial dengan ukuran sampel < 30 dengan tingkat kepercayaan ( αα) adalah: XX XX XX P ttαα/2( ) < pp < XX XX XX + ttαα/2( ) = αα 5. DAFTAR PUSTAKA [] Bain, L. J. & Max Engelhardt. 992. Introduction To Probability and Mathematical Statistic Second Edition. Duxbury. USA. [2] Heryanto, Nar. 203. Statistika Inferensial Secara Teoritis. Yrama Widya. Bandung. 9
[3] Sahoo, P. 2008. Probability and Mathematical Statistic. University of Louisuille. USA. [4] Walpole, R. E. 995. Pengantar Statistika. Edisi ke-3. Gramedia Jakarta. [5] Walpole, R. E., R. H. Myers, S. L. Myers, dan K. Ye. 202. Probability & Statistics for Engineers & Scientists 9 th Edition. Boston. United States of America. Prentice Hall. [6] Weiss, Neil A. 202. Introductory Statistics 9 th Edition. Arizona State University. USA. 0