MATEMATIKA KELAS XII IPA - KURIKULUM GABUNGAN Ses NGAN INTEGRAL RIEMANN A. NOTASI SIGMA a. Defs Notas Sgma Sgma (Σ) adalah otas matematka megguaka smbol yag mewakl pejumlaha da beberapa suku yag memlk pola tertetu. Notas dtulska sebaga berkut: a am + am+ + am+ +... + a + a. m D maa meujukka deks pejumlaha; a adalah varabel berdeks yag mewakl suku-suku dalam barsa; m adalah batas bawah pejumlaha da adalah batas atas pejumlaha; sedagka m d bawah lambag sgma bermaka bahwa deks dmula dar m, kemuda selalu bertambah utuk medapatka suku berkutya sampa. CONTOH SOAL. Nyataka ke dalam betuk pejumlaha suku da htug laya! Pembahasa: + + + +... + ( + ) 55
. Nyatakalah betuk jumlah deret perseg + + +... + dalam otas sgma! Pembahasa: + + +... +. Nyataka + 5 + 8 +... + ke dalam betuk otas sgma! Pembahasa: + 5 + 8 +... + Deret artmetka dega a da b. Pola suku ke- adalah U a+ ( ) b U U + ( ) D maa 5 5 Deret terdr dar 5 suku, maka otas sgmaya ( ) b. Sfat-Sfat Notas Sgma. C C I. C C I I. ( ± y ) ± y I I I m. + dma a m m+ m+ k 5. k + k 5
Formula khusus utuk otas Sgma ( + ).. ( + )( + ) 6. ( + ) CONTOH SOAL. Htuglah la dar ( )! Pembahasa: 5 5 5 5 ( ) 5 5 ( 5 + ) 55 5. Htuglah la dar! Pembahasa: ( ) + ( + ) + + B. KONSEP INTEGRAL RIEMANN Itegral Rema adalah kosep yag dguaka utuk medapatka la pedekata terhadap luas daerah dega betuk tdak beratura. Perhatka kurva berkut!
y y f() a b Daerah darsr d atas memlk betuk yag tdak beratura. Maka jumlah Rema dguaka utuk medapatka la pedekata dar luas daerah d atas dega lagkah berkut: b a. Parts daerah mejad buah perseg pajag dega lebar sama, yatu. Nyataka luas daerah sebaga pejumlaha perseg pajag, kemuda htug hasl pedekataya. CONTOH SOAL. Perhatka gambar berkut! y y Htuglah jumlah rema utuk daerah d atas dega pembaga parts! a. parts b. 6 parts c. parts d. parts
Pembahasa: ( ) a. Dega parts maka lebar tap parts Perhatka parts berkut! y Perhatka tabel berkut! f() f(). Jumlah rema Bla dyataka dega otas sgma maka jumlah remaya adalah f ( ) f( ) + f( ) + f( ) + + 5
b. Dega 6 maka 5, sehgga la dar 6 { 5,,,,5,,,5, } Perhatka gambar berkut! y.5.5.5 Perhatka tabel berkut! f() f().,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5 6,5,5,5,5 Jumlah rema,75 6 6 f ( ). f ( ). + f ( ). + f ( ). + f ( ). + f ( 5). + f ( ). f ( ). f( 5, ). 5, + f( 5 )., + f( 5, )., 5 + f( )., 5+ f(, 5)., 5+ f( ). 5,, 75 6 6
c. Dega maka, sehgga la dar Perhatka gambar berkut! y {,,, 5 7 8,,,,, } 5 7 8 Perhatka tabel berkut! f() f().,,,,6,,66,,667,,,,7,,,8,5867,,66,8,7,,,,887,,66 7,,65,,,,7,,578 Bla dyataka dega otas sgma: f ( ). f ( ). + f ( ). + f ( ). + f ( ). + f ( 5). + f ( 6 ). 7 8 f ( ). f(, )., + f( 66, )., + f()., + f(, )., + f( 66, )., + f( )., + f ( ). + f ( ). + f( ). + f(, )., + f( 66, )., + f( ).,, 5 7
d. Dega ddapat 5, sehgga la dar { 5,,, 5,, 75,, 5,, 5,, 75,,, 5,,, 5,, 75, } Perhatka gambar berkut! y,5,5,75,5,5,5,5,75,75 Perhatka tabel berkut! f() f().,5,5,6,565,5,5,5,65,5,75,56,65,5,,,5,5,5,56,65,5,5,5,565,5,75,6,76565,5,,,5,5 5,6,6565,5,5 6,5,565,5,75 7,56,865 8
f() f().,5,,,5,,565 f ( ). f ( ). + f ( ). + f ( ). + f ( ). + f ( 5). + f ( 6 ). + f ( 7). + f ( 8 ). + f( ). + f( ). + f( ). + f( ). f ( ). f( 5, )., 5 + f( 5, ). 5, + f(, 75). 5, + f(). 5, + f(, 5)., 5 + f( 5, ). 5, + f(, 75). 5, + f( )., 5 + f( 5, )., 5 + f( 5, ). 5, + f(, 75)., 5 + f( )., 5, 5 Terlhat bahwa dega semak bayak parts la dar luas terus megecl. Perhatka smulas dega komputer berkut dega megguaka, 5,, da pada stus http://www.emathhelp.et/calculators/calculus-/rema-sum-calculator/.. Soluto Your put: fd Rema Sum for d wth rectagles, usg edpots. Rght Rema Sum (also Rght Edpot Appromato) uses rght edpots of b b a subterval: f( ) d ( f( )+ f( )+ f( )+... + f( )+ f( ) ), where a We have that a, b,. Therefore, Dvde terval [, ] to subtervals of leght : a 7 57,,,,,,...,,, 57, b Now, we just evaluate fucto at rght edpots: f( ) f. 5 f( ) f. 8
( ) f f 8. 5 ( ) 57 f f 8. 5 f f ( ) ( ) Fally, just sum up above values ad multply by 5 5 8 5 6865 (. +. +. +... +. + ). Aswer:.6865. 5 Soluto Your put: fd Rema Sum for d wth 5 rectagles, usg edpots. Rght Rema Sum (also Rght Edpot Appromato) uses rght edpots of b b a subterval: f( ) d ( f( )+ f( )+ f( )+... + f( )+ f( ) ), where a We have that a, b, 5. Therefore, 5 5 Dvde terval [, ] to 5 subtervals of leght 5 : a 7,,,,, 5 5 5 5 5,...,, 5 7 5 Now, we just evaluate fucto at rght edpots: f( ) f 5 5. 6 f( ) f 5 65. 8 f ( ) f 5 5.... 7 6 f( ) f 5 8. 66 5 f f ( ) ( ) 5, 7 5, Fally, just sum up above values ad multply by 5 : b
6 8 66 78 5 (. +. +. +... +. + ). Aswer:.78.. Soluto Your put: fd Rema Sum for d wth rectagles, usg edpots. Rght Rema Sum (also Rght Edpot Appromato) uses rght edpots of b b a subterval: f( ) d ( f( )+ f( )+ f( )+... + f( )+ f( ) ), where a We have that a, b,. Therefore, Dvde terval [, ] to subtervals of leght : a 7,,,,, 5 5,...,, 5 Now, we just evaluate fucto at rght edpots: f( ) f. f( ) f 5 5. 6 8 f( 8 ) f. 7 8 f( ) f 8 8. 8 f f b f( ) ( ) ( ) Fally, just sum up above values ad multply by : 6 8 8 8 55 (. +. +. +... +. + ). Aswer:.55. 7 7,, b
. Soluto Your put: fd Rema Sum for d wth rectagles, usg edpots. Rght Rema Sum (also Rght Edpot Appromato) uses rght edpots of b b a subterval: f( ) d ( f( )+ f( )+ f( )+... + f( )+ f( ) ), where a We have that a, b,. Therefore, Dvde terval [, ] to subtervals of legth : a 7,,,,,,...,, 57 57,, b Now, we just evaluate fucto at rght edpots: f( ) f. 5 f( ) f. 8 f( 5 ) f.... 57 f( ) f 56 8. 5 f f b f( ) ( ) ( ) Fally, just sum up above values ad multply by : 5 5 8 5 6765 (. +. +. +... +. + ). Aswer:.6765. Terlhat bahwa semak besar la luas semak medekat agka, maka bsa dkataka luas daerah d atas medekat.
CONTOH SOAL. Htuglah jumlah rema utuk suatu daerah yag dbatas oleh fugs y f(), sumbu pada terval < < 5 dega 5 parts yag sama megguaka ttk acua kaa! Pembahasa: 5 5 + + + + + 5 5 f ( ) f ( ) f() f ( ) f( ) 8 f ( ) f( ) 7 f ( ) f( ) 6 f( 5 ) f( 5) 5 sehgga jumlah remaya adalah R5 f() + f( ) + f( ) + f( ) + f( 5) R5 ( + 8+ 7+ 6 + 5) R 5 5 ( ) Nla dar jumlah rema bsa saja berla egatf, sebagamaa cotoh berkut. CONTOH SOAL. Tetuka jumlah Rema fugs f() - + pada terval [, ] dega megguaka subterval dega lebar sama pajag da ttk-ttk ujug kr subterval sebaga ttk waklya! (Soal pada buku pegaga sswa kurkulum )
Pembahasa: ( ) + + + Maka f ( ) f ( ) + f ( ) + f ( ) + f ( ) f ( ) + f + ( ) + f f ( ) + + 5 8 8 65. ( ) +. Tetuka jumlah rema dar suatu daerah yag dbatas oleh y, sumbu da < < dega parts, megguaka ttk acua kaa! Pembahasa: Karea ada parts maka R f R R R R ( ) ( + + +... + ) + + deretartmatka { }
R R + 5 5 7 +. Tetuka jumlah rema dar suatu daerah yag dbatas oleh y, sumbu da < < dega parts, megguaka ttk acua kr! Pembahasa: 8 o + 8 + 6 8 + R f R R ( ) + 8 8 + 6 + 6 8 8 8 5 R + + 8 R + 8 5 + 8 R 8 ( + ) 5 ( + )( + ) ( ) + + 6 R 8 + 6 56 + + + + + + + + + R 8 6 56 5
C. INTEGRAL TENTU Itegral tetu fugs f() pada terval,a a lm f ( ) f( d ) [ ] dyataka Betuk tegral tetu dapat dkataka sebaga luas daerah d bawah kurva f() (bla f() postf) yag dbatas oleh sumbu dega batas < < a. 6 CONTOH SOAL. Tetuka tegral tetu fugs f() + pada terval [, ] atau + d! Pembahasa: + ( ) ( ) d lm f Dmaa + + Maka + d + lm 8 lm + ( ) 8 lm + 8 ( + ) d lm + 8 lm ( + ) + lm + + ( )
lm 6 + 6 + 6+ 6 D. TEOREMA FUNDAMENTAL KALKULUS. Jka f kotu pada [a, b] da sebarag ttk d (a, b), maka d d a ftdt () f ( ). Jka f kotu pada [a, b] da F at turua f pada [a, b] maka fd ( ) Fb ( ) Fa ( ) b a CONTOH SOAL. Tetuka la dar tdt dega megguaka defs tegral tetu, kemuda d htuglah d tdt! Pembahasa: tdt lm f t t Dmaa ( ) t + t + t ( ) + Maka ( ) ft ( ) + ( ) ( ) ( ) ft ( ) + + + 7
Msal p p tdt p p lm + + + Maka lm p p lm + 8 p p p p p + + + p p + + p p + + p lm p + ( + + + + ( )( ) ( ) ) 6 p p l m p + + p + + + + + p p + + p + p ( ) ( ) + + ( ) + ( ) + ( + ) + ( + ) + ( + 6 + ) + + + + + + + 7 7 tdt sehgga d d tdt d 7 d. Htuglah d dega megguaka teor dasar kalkulus ke-! Pembahasa: d () ( )
. Jka dketahu d d Pembahasa: Dega TDK p, tetuka p! ( ) d ( ) d ( 6 6) ( 8 8) ( p p) 8 8 8 p p Maka p p ( p 6)( p+ ) p 6 atau p p p ( )