Statistik Deskriptif Ukuran Dispersi

MAKALAH STATISTIKA DASAR Statistik Deskriptif Ukuran Dispersi Oleh: Kelompok 1 Dwireta Ramadanti Aliv Vito Palox Arif Rahman Hakim Asrar Halim Desi Anggraini Eki Maruci Hary Sentosa Monalisa Muhammad Irvand Rahmat Hidayat Randi Sepniko Yogi Dwi Putra.S Dosen Pembimbing: Adree Octova,S.Si.M.T TEKNIK PERTAMBANGAN UNIVERSITAS NEGERI PADANG 2013

KATA PENGANTAR Puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah melilmpahkan rahmat dan hidayah Nya sehingga kami dapat menyelesaikan laporan pratikum ini. Makalah Statistika Dasar yang berjudul Ukuran Dispersi ini ditujukan untuk memenuhi tugas mata kuliah Statistika Dasar dan sebagai kesimpulan dari hasil diskusi yang telah dilakukan sebelumnya. Ucapan terima kasih kami sampaikan kepada bapak Adree Octova yang telah membimbing kami sampai menyelesaikan pratikum kami ini. Kami menyadari dalam penulisan makalah ini terdapat banyak kekurangan, untuk itu kami sangat berharap masukan dan saran, serta bimbingannya agar makalah selanjutnya semakin baik. Demikian laporan ini kami buat semoga bermanfaat bagi kita semua. Wassalam Padang,November 2013 Penyusun Kelompok 1

DAFTAR ISI A. PENGERTIAN DISPERSI B. JENIS-JENIS UKURAN DISPERSI a. Jangkauan (Range, R) b. Jangkauan Kuartil dan Jangkauan Semi Interkuartil c. Deviasi Rata-Rata (Simpangan Rata-Rata) d. Varians e. Simpangan Baku (Standar Deviasi) C. KOEFISIEN VARIASI a. Koefisien Variasi (KV) b. Variasi Jangkauan (VR) c. Variasi Simpangan Rata-Rata (VSR) d. Variasi Quartil (VQ) D. KEMENCENGAN ATAU KECONDONGAN a. Koefisien Kemencengan Pearson b. Koefisien Kemencengan Bowley c. Koefisien Kemencengan Persentil d. Koefisien Kemencengan Momen E. KERUNCINGAN (KURTOSIS) a. Koefisien Keruncingan b. Koefisien Kurtosis Persentil F. BILANGAN Z (Z SCORE) REFERENSI

Ukuran Dispersi A. PENGERTIAN DISPERSI Ukuran dispersi atau ukuran variasi adalah ukuran yang menyatakan seberapa jauh nilai-nilai data yang berbeda dari nilai pusatnya atau ukuran yang menyatakan seberapa banyak nilai-nilai data yang berbeda dari ukuran pusatnya. Ukuran dispersi pada dasarnya merupakan pelengkap dari ukuran pusat dalam menggambarkan sekumpulan data. Dengan ukuran dispersi, penggambaran data akan lebih tepat dan jelas. Fungsi ukuran dispersi: Menunjukkan tinggi rendahnya penimpangan antar data. Mengeahui derajat perbedaan antar data. B. JENIS-JENIS UKURAN DISPERSI a. Jangkauan (Range, R) Range adalah selisih antara nilai terbesar dan nilai terkecil dari data yang telah disusun berurutan. Cara mencari jangkauan dibedakan antara data tunggal dan data berkelompok. 1. Jangkauan data tunggal Contoh Range: IQ lima orang anggota keluarga adalah; 108, 112, 127, 118, dan 113. Tentukan rentangnya! Jawab: Rentangdari 5 IQ tersebut adalah: -108 = 19 2. Jangkauan data berkelompok Pada data berkelompok, ditentukan dari selisih tepi atas kelas tertinggi dengan tepi bawah kelas terendah ataupun dengan selisih titik tengah kelas tertinggi dan titik tengah kelas terendah.

b. Jangkauan Kuartil dan Jangkauan Semi Interkuartil Jangkauan semi interkuartil aau simpangan kuartil adalah setengah dari selisih dari selisih kuartil atas Q3 dengan kuartl bawah Q1. Dirumuskan: Rumus-rumus di atas berlaku untuk data tunggal dan kelompok. Contoh soal: Tentukan jangkauan antarkuartil dan jangkauan semi interkuartil distribusi frekuensi berikut: TABEL 5.2 NILAI STATISTIK 80 MAHASISWA UNIVERSITAS BOROBUDUR, SEMESTER II, JURUSAN MANAJEMEN, 1994 Nilai Frekuensi (f) 30 39 2 40 49 3 50 59 5 60 69 14 70 79 24 80 89 20 90 99 12 Jumlah 80 Penyelesaian:

Jangkauan antarkuartil dapat digunakan untuk menemukan adanya data pencilan, yaitu data yang dianggap salah catat atau salah ukur atau berasal dari kasus yang menyimpang, Keterangan: L = satu langkah PD = pagar dalam PL =pagar luar Contoh soal : Selidikilah apakah terdapat data pencilandari data di bawah ini! 15, 33, 42, 50, 51, 51, 53, 55, 62, 64, 65, 68, 79, 85, 97 Penyelesaian: Q 1 = 50 dan Q 3 = 68 JK = 68-50 =18 L = 1,5x18 = 27 PD = 50-27= 23 PL = 68+27 =95 Pada data diatas terdapat data 15 dan 97 yang brarti kurang dari pagar dalam (23) dan pagar luar (95). Dengan demikian data 15 dan 97 termasuk kedalam data pecilan karena itu perlu diteliti ulang. c. Deviasi Rata-Rata (Simpangan Rata-Rata) Deviasi rata-rata yaitu nilai rata-rata hitung dari harga mutlak simpangansimpangannya. Cara mencari deviasi rata-rata ada 2, data tunggal dan data berkelompok. 1. Deviasi rata-rata data tunggal Contoh soal:

Tentukan deviasi rata-rata dari 2,3,6,8,11 Penyelesaian: Rata-rata hitung= DR = = = 2,8 2. Deviasi rata-rata untuk data berkelompok Contoh soal: Tentukan deviasi rata-rata dari distribusi frekuensi pada Tabel 5.1! Penyelesaian: Dari tabel 5.1 didapat = 157,7. Dengan nilai itu, dapat dibuat tabel Tinggi Badan (cm) X f f 140 144 142 2 15,7 31,4 145 149 147 4 10,7 42,8 150 154 152 10 5,7 57 155 159 157 14 0,7 9,8 160 164 162 12 4,3 51,6 165 169 167 5 9,3 46,5 170-174 172 3 14,3 42,9 Jumlah - 50-282

d. Varians Varians adalah nilai tengah kuadrat simpangan dari nilai tengah atau simpangan rata-rata kuadrat. Untuk varians sampel disimbolkan. Untuk populasi di simbolkan (baca sigma). 1. Varians data tunggal Untuk sampel besar 30 (n>30) Untuk sampel kecil (n 30) atau ( ) atau Contoh soal: Tentukan varians dari data 2,3,6,8,11 Penyelesaian ( ) 2-4 16 4 3-3 9 9 6 0 0 36 8 2 4 64 11 5 25 121 30 54 234 ( ) = = 13,5 ( ) - ( ) = - = 13,5

2. Varians Untuk data berkelompok : Ada 3 metode yang digunakan, yaitu Metode biasa a) Untuk sampel besar (n 30) b) Untuk sampel kecil (n ) Metode angka kasar a) Untuk sampel besar (n 30) ( ) b) Untuk sampel besar (n ) Metode coding a) Untuk sampel besar (n 30) b) Untuk sampel besar (n ) Keterangan: C = Panjang interval kelas u = = M = rata-rata hitung sementara

Contoh soal : Tentukan varians dari distribusi frekuensi berikut TABEL 5.3 PENGUKURAN DIAMETER PIPA Diameter (mm) Frekuensi 65-67 2 68-70 5 71-73 13 74-76 14 77-79 4 80-82 2 Jumlah 40 Penyelesaian : (1) Dengan Metode biasa 73,425 Diameter (mm) X f 65-67 66 2-7,425 55,131 110,262 68-70 69 5-4,425 19,581 97,905 71-73 72 13-1,425 2,031 26,403 74-76 75 14 1,575 2,481 34,734 77-79 78 4 4,575 20,931 83,724 80-82 81 2 7,575 57,381 114,762 Jumlah - 40 - - 114,790 (2) Dengan Metode Angka Kasar Diameter X f 65-67 66 2 4356 132 8712

68-70 69 5 4761 345 23805 71-73 72 13 5184 936 67392 74-76 75 14 5625 1050 78750 77-79 78 4 6084 312 24336 80-82 81 2 6561 162 13122 Jumlah - 40-2937 216117 ( ) ( ) (3) Dengan Metode coding Diameter X f 65-67 66 2-3 9-6 18 68-70 69 5-2 4-10 20 71-73 72 13-1 1-13 13 74-76 75 14 0 0 0 0 77-79 78 4 1 1 4 4 80-82 81 2 2 4 4 8 Jumlah - 40 - - -21 63 3. Varians gabungan Misalkan, terdapat Jika subsampel-subsampel digabung menjadi sebuah sampel berukuran n 1 + n 2 + n k = n maka varians gabungannya adalah :

= Contoh soal : Hasil pengamatan terhadap 20 objek mendapatkan s=4. Pengamatan terhadap 30 objek mendapatkan s=5. Berapakah varians gabungannya? Penyelesaian: e. Simpangan Baku (Standar Deviasi) Simpangan baku adalah akar dari tengah kuadrat simpangan dari nilai tengah atau akar simpangan rata-rata kuadrat, atau simpangan baku adalah suatu nilai yang menunjukkan tingkat (derajat) variasi atau kelompok data atau ukuran standar penyimpangan dari meannya. s = Cara mencari simpangan baku dibedakan menjadi 2: 1. Simpangan baku data tunggal Metode biasa a) Untuk sampel besar ( ) b) Untuk sampel kecil ( )

Metode angka kasar ( ) a) Untuk sampel besar ( ) ( ) b) Untuk sampel kecil ( ) Contoh soal: Tentukan simpangan baku dari data 2, 3, 6, 8, 11 Penyelesaian: Dari perhitungan diperoleh varians (s 2 )=13,5 Dengan demikian, simpangan bakunya adalah s = 2. Simpangan baku data berkelompok Metode biasa a) Untuk sampel besar ( ) b) Untuk sampel kecil ( ) Metode Angka kasar a) Untuk sampel besar ( ) ( )

b) Untuk sampel kecil ( ) Metode Coding a) Untuk sampel besar ( ) b) Untuk sampel kecil ( ) Keterangan: C = Panjang interval kelas u = = M = rata-rata hitung sementara Contoh soal: Tentukan simpangan baku dari distribusi frekuensi berikut (gunakan ketiga rumus)! TABEL BERAT BADAN 100 MAHASISWA UNIVERSITAS X TAHUN 2013 Berat Badan (kg) Frekuensi (f) 40-44 8 45-59 12 50-54 19 55-59 31 60-64 20 65-69 6 70-74 4 Jumlah 100 Penyelesaian: (a) Dengan metode biasa Berat Badan 40-44 42 8 336-13,85 191,8225 1.534,58

45-59 47 12 564-8,85 78,3225 939,87 50-54 52 19 988-3,85 14,8225 281,63 55-59 57 31 1.767 1,15 1,3225 40,99 60-64 62 20 1.240 6,15 37,8225 756,45 65-69 67 6 402 11,15 124,3225 745,94 70-74 72 4 288 16,15 260,8225 1.043,29 Jumlah 100 5.585 5.342,75 (b) Dengan metode angka kasar Berat Badan 40-44 42 8 336 1.764 14.112 45-59 47 12 564 2.209 26.508 50-54 52 19 988 2.704 51.376 55-59 57 31 1.767 3.249 100.719 60-64 62 20 1.240 3.844 76.880 65-69 67 6 402 4.489 16.934 70-74 72 4 288 5.184 20.736 Jumlah 100 5.585 317.265 ( )

( ) (c) Dengan metode coding Berat Badan 40-44 42 8-3 9-24 72 45-59 47 12-2 4-24 48 50-54 52 19-1 1-19 19 55-59 57 31 0 0 0 0 60-64 62 20 1 1 20 20 65-69 67 6 2 4 12 24 70-74 72 4 3 9 12 36 Jumlah 100-23 219 3. Simpangan baku gabungan Dengan cara menarik akar dari variasi gabungan. Dalam bentuk rumus, simpangan baku gabungan dituliskan : ( ) ( ) Contoh soal: jika diketahui:

Tentukan s gab! Penyelesaian: C. KOEFISIEN VARIASI Jenis Ukuran dispersi yang telah dijelaskan merupakan dispersi absolut,yang hanya dapat melihat penyimpangan pada satu kumpulan data saja. Maka untuk membandingkan penyimpangan pada beberapa kumpulan data, digunakanlah dispersi relatif yaitu perbandingan dispersi absolut dan rata-ratanya. a. Koefisien Variasi (KV) Jika dispersi absolut digantikan dengan simpangan bakunya maka dispersi relatifnyadisebut koefisien variasi (KV). Contoh soal: Dari hasil penelitian terhadap kualitas timah putih di Pulau A dan Pulau B diperoleh data sebagai berikut: a) Tentukan koefisien Variasi masing-masing! b) Di Pulau manakah timah yang paling bagus kualitasnya? Penyelesaian: a) KV A = KV B = x 100% = x 100% = 0,05 % x 100% = x 100% = 0,047%

b) Jadi, variasi kualitas timah yang paling bagus adalah di Pulau A b. Variasi Jangkauan (VR) Dispersi relatif yang dispersi absolutnya digantikan dengan jangkauan. c. Variasi Simpangan Rata-Rata (VSR) Dispersi relatif yang dispersi absolutnya digantikan dengan simpangan rata rata d. Variasi Quartil (VQ) Dispersi relatif yang dispersi absolutnya digantikan dengan kuartil. Contoh soal: Dua perusahaan, yaitu MAKMUR dan SEJAHTERA memiliki 50 karyawan. Untuk keperluan penelitian mengenai variasi gaji karyawan, diambil sampel sebanyak 7 orang setiap perusahaan dengan gaji masing-masing (dalam ribuan rupiah): 300, 250, 350, 400, 600, 500, 550 dan 200, 450, 250, 300, 350, 750, 500. a) Tentukan dispersi relatif perusahaan tersebut! b) Perusahaan mana yang memiliki variasi gaji lebih baik? Penyelesaian: Misalkan perusahaan Makmur= X dan Perusahaan SEJAHTERA= Y. a) 2 = 1.347.500

2 = 1.330.000 b) Variasi gaji di perusahaan B lebih baik dari variasi gaji di perusahaan A. D. KEMENCENGAN ATAU KECONDONGAN Merupakan kejauhan simetri dari sebuah distribusi. Distribusi yang tidak simetris akan memiliki rata-rata,median,dan modus yang tidak sama ( ). Sehingga distribusi akan terdistribusi pada salah satu sisi dan kurvanya akan menceng. Jika distribusi memiliki ekor yang lebih panjang kekanan daripada kekiri maka distribusi tersebut akan menceng ke kanan ( kemencengan positif),jika ekor distribusi lebih panjang kekiri daripada ke kanan maka distribusi tersebut akan menceng ke kiri atau memiliki kemencengan negatif. Data yang baik adalah data yang memliliki kemencengan simetri, karena data tersebut lebih mudah untuk diolah. Ada 3 kemungkinan kesimetrian kurva distribusi data : 1) Jika nilai ketiganya sama maka kurvanya berbentuk simetri. 2) Jika Mean > Med > Mod, maka kurva miring ke kanan. 3) Jika Mean < Med < Mod, maka kurva miringke kiri.

Untuk mengetahui sebuah distribusi menceng ke kanan atau kekiri digunakan beberapa metode-metode berikut. a. Koefisien Kemencengan Pearson Koefisien Kemencengan Pearson merupakan nilai selisih rata-rata dengan modus dibagi simpangan baku. Dirumuskan: Keterangan: = Koefisien Kemencengan Pearson Secara empiris didapatkan hubungan antara nilai pusat sebagai: Maka,rumus kemencengan di atas dapat dirubah menjadi: Jika nilai sk dihubungkan dengan keadaan kurva, maka: 1) sk 0 kurva berbentuk simetris 2) sk kurva menceng ke kanan 3) sk kurva menceng ke kiri

Contoh soal: Diberikan data tinggi badan mahasiswa,tentukan besarnya kemencengan kurva dari data berikut: Ukuran data dari tabel frekuensi tersebut adalah Mean = 109,6 Median =108 Modus = 105 Deviasi standar = 9,26 Ukuran kemencengan Pearson adalah=109,6105 = 4,6. Koefisien kemencengan (CK) adalah : 4,6:9,26= 0,5 Contoh soal 2: Koefisien kemiringan kurva distribusi frekuensi dari hasil penjualan suatu barang yang mempunyai nilai rata-rata =Rp 516.000,00, modus = Rp 435.000,00dan standar deviasi = Rp 150.000,00adalah.. Penyelesaian:

Contoh soal 3:

b. Koefisien Kemencengan Bowley Q skb = 3 + 2Q Q Q 3 2 - Q 1 1 Keterangan: Sk b = Koefisien Kemencengan Bowley Q 1 = kuartil pertama Q 2 = kuartil kedua Q 3 = kuartil ketiga 1. Jika Q 3 - Q 2 = Q 2 - Q 1 atau Q 3 + Q 1-2Q 2 = 0 maka α = 0 dan distribusi datanya simetri 2. Jika Q 1 = Q 2 maka α = 1 dan distribusi datanya miring ke kanan 3. Jika Q 2 = Q 3 maka α = -1 dan distribusi datanya miring ke kiri

Penyelesaian: Q 1 = 102,71 Q 2 = 108 Q 3 = 116 Karena skb positif, maka kurva menceng ke kanan dengan kemencengan yang tidak berarti. c. Koefisien Kemencengan Persentil Koefisien kemencengan persentil didasarkan atas hubungan antarpersentil (P 90, P 50, P 10 ) dari sebuah distribusi. Koefesien ini dirumuskan: Keterangan: = Koefisien kemencengan persentil P= persentil d. Koefisien kemencengan momen Koefisien Kemencengan Momen didasarkan pada perbandingan momen ke-3 dengan pangkat 3 simpangan baku. Koefisien ini dilambangkan dengan 3. Koefisien Kemencengan Momen disebut juga kemencengan relatif. 1. α 3 = 0, maka distribusi datanya simetri

2. α 3 < 0, maka distribusi datanya miring ke kiri 3. α 3 > 0, maka distribusi datanya miring ke kanan 4. menurut Karl Pearson, distribusi dengan α 3 ± 0,50 adalah distribusi sangat menceng. 5. Menurut Kenney and Keeping, nilai α 3 bervariasi antara ± 2bagi distribusi yang sangat menceng. Untul mencari α 3 dibedakan antara data tunggal dan data berkelompok: 1. Untuk data tunggal ( ) = koefisien kemencengan M 3 = momen ketiga, mengukur kemencengan S = simpangan baku n = banyaknya data pengamatan Xi= data frekuensi ke-i 2. Untuk data berkelompok ( ) Atau ( ( ) ( ) ( ) )

E. KERUNCINGAN (KURTOSIS) Keruncingan adalah tingkat kepuncakan dari suatu distribusi yang diambil secara relatif terhadap suatu distribusi normal. Kurtosis terdiri dari: 1. Leptokurtis, puncak kurva relatif tinggi 2. Mesokurtis, puncak kurva normal 3. Platikurtis, puncak kurva rendah

a. Koefisien Keruncingan Dilambangkan dengan. Jika hasil perhitungan koefisien keruncingan diperoleh: 1. Jika α4> 3, maka bentuk kurva leptokurtis (meruncing) 2. Jika α4= 3, maka bentuk kurva mesokurtis (normal) 3. Jika α4< 3, maka bentuk kurva platikurtis(mendatar) Untuk mencari nilai atau koefisien keruncingan dibedakan antara data tunggal dan data berkelompok. 1. Untuk data tunggal ( ) 2. Untuk data berkelompok ( ) Atau ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )

b. Koefisien Kurtosis Persentil Koefisien Kurtosis Persentil dilambangkan dengan K(kappa). Untuk distribusi normal, nilai K=0,263. Koefisien ini dirumuskan: Keterangan: Jika nilai k> 0,263 kurva leptokursis Nilai k <0,263 kurva platikurtis Nilai k=0,263 kurva mesokurtis Contoh soal: Dari sekelompok data yang disusun dalam tabel distribusi frekuensi diketahui nilai Q 1 =55,24; Q 3 =73,64 ; P 10 = 44,5, P 90 = 82,5. Besarnya koefisien kurtosis data tersebut adalah...

F. BILANGAN Z (Z SCORE) Nilai standar (Z-score) adalah suatu bilangan yang menunjukkan seberapa jauh sebuah nilai mentah menyimpang dari rata-ratanya dalam suatu distribusi data dengan satuan SD. Dengan demikian, nilai standar tidak lagi tergantung pada satuan pengukuran seperti cm, kg, rupiah, detik dan sebagainya atau merupakan perbedaan antara raw score (skor asli) dengan rata-rata dengan menggunakan unit-unit simpangan baku, untuk mengukur perbedaan tersebu t. Rumus Z-score : Dimana: Z = Nilai standar X = Nilai mentah yang akan dicari nilai standarnya = Rata-rata distribusi s = Standar deviasi distribusi Mengapa Z-skor penting? Z-skor merupakan perhitungan yang sering dipakai karena rumus-rumus statistik parametrik diturunkan dengan menggunakan asumsi, bahwa distribusi suatu populasi berdistribusi normal Dengan demikian maka transformasi ke Z-skor merupakan cara sederhana dan baik untuk analisis parametrik. Contoh soal 1: Jika diketahui sebaran nilai statistik dari 1000 orang mahasiswa Universitas Padjadjaran dalam 5 tahun terakhir berdistribusi normal dengan nilai rata-rata 70 dan simpangan baku 10, maka hitunglah: 1. Jumlah mahasiswa yang mendapat nilai statistik antara 65 s/d 75! 2. Jumlah mahasiswa yang mendapat nilai lebih besar dari 80! 3. Dari 400 orang mahasiswa yang mendapat nilai tertinggi, berapakah nilai terendah dari mereka? 4. Dari 300 orang yang nilainya terendah, berapakah nilai tertinggi dari mereka?

Penyelesaian: Cari Peluangnya dengan menggunakan Tabel Bilangan z Jumlah mahasiswa yang mendapat nilai statistik antara 65 s/d 75 adalah sama dengan Jumlah Peluang yang mendapat nilai 65 dari 1000 mahasiswa ditambah Jumlah Peluang yang mendapat nilai 75. Jadi, jumlah mahasiswa yang mendapat nilai statistik antara 65 s/d 75 adalah 383 orang. Jumlah mahasiswa yang mendapat nilai lebih besar dari 80 adalah jumlah peluang yang dibatasi oleh nilai lebih besar dari (> 80): Atau dibulatkan menjadi 341 orang yang mendapatkan nilai > 80 (lihat model grafik diatas)

Dari Σ400 orang mahasiswa yang mendapat nilai tertinggi, dengan menggunakan table z- score dan perhitungan diatas, maka nilai tertendah dari mereka adalah 82.8. Perhitungannya dari orang, maka peluangnya (lihat table z-score) mendekati 0.3997 dari 1000 populasi yang ada dan diketahui nilai z-nya = 1.28 Maka, jika z dirumuskan dengan z i = (x i x)/s maka didapatkan x i x = z dikali dengan s. (lihat cara hitung diatas) Dari 300 orang yang nilainya terendah, untuk mengetahui nilai tertinggi dari mereka dapat menggunakan table z-score dan dari Σ300 orang, maka peluangnya (lihat table z-score) mendekati 0.2996 dari 1000 populasi yang ada dan diketahui nilai z-nya = -0.84 Nilai (-) diberikan karena posisinya berada disebelah kiri dari nilai rata-rata (mean). Dengan demikian (lihat perhitungan diatas) maka dari 300 mahasiswa yang nilainya terendah, maka nilai tertinggi mereka adalah 61.6.

Contoh soal 2: Suatu kelompok data mempunyai nilai rata-rata 43. Dengan simpangan baku 5,39. Jika salah satu datanyabernilai 50. nyatakan dalam nilai standar! Penyelesaian: X i = 50 = 43 s = 5,39

Referensi Hasan.Iqbal.2001.Pokok-Pokok Materi Statistik 1.Jakarta:Bumi Aksara. http://id.scribd.com/doc/93612143/soal-pearson http://www.stkip-ktb.ac.id/download/file/fid/437