Fungsi dan Sinyal Slide : Tri Harsono PENS - ITS 1
Kelas Fungsi (Jenis Fungsi) Ada3 kelas dari fungsi: A. Fungsi Periodik, B. Fungsi Non Periodik, C. Fungsi Random 2
A. Fungsi Periodik Suatu fungsi f(t) dikatakan periodik, bila: f(t) = f(t + T) untuk semua t Dimana T = periode fungsi tsb. 3
4 Tipe Fungsi Periodik 1. Sine wave, 2. Periodic pulse, 3. Periodic tone burst, 4. Repetition of a recording every T second 4
1. Sine Wave Vo v(t) v( t) = V sinωt o 0 T/2 T t -Vo 5
2. Periodic pulse v(t) v( t) K1 0 < t < T1 = K2 T1 < t < T K 1 0 T 1 T 2 t -K 2 6
3. Periodic tone burst v( t) 2π V o sin t 0 < t < T1 = m 0 T1 < t < T v(t) V o m 0 T 1 T t -V o 7
4. Repetition of a recording every T second Penyajian fungsi sinyal ini kemungkinan dapat digunakan dg metode deret Fourier v(t) 2T 3T... 0 T t 8
B. Fungsi Non Periodik Fungsi-Fungsi Non Periodik yang sering digunakan dalam bidang engineering: i. Fungsi Polinomial ii. Fungsi Eksponensial iii. Fungsi Logaritmik 9
i. Fungsi Polinomial Jenis-jenis Fungsi Polinomial: Fungsi Ramp Linear Fungsi Konstan Fungsi Tangga Satuan 10
FungsiRamp Linear 11
FungsiKonstan 12
Unit step function (=fungsi tangga satuan) adalah fungsi ygbernilai1 satuan untukt positifdan NOL untukt negatif, Persamaan fungsinya: Fungsi TanggaSatuan (Unit Step Function) u(t) 1 0 t < 0 u ( t ) = 1 t > 0 0 t 13
10 volt + - 2 Solusi : 1 Fungsi TanggaSatuan S (Unit Step Function) + - A v AB B Contoh 29 : Perhatikan rangkaiandi atas. Switch digerakkanke posisi 2 padasaat t =t 0. Nyatakan v AB dalamfungsitangga satuan Munculnya tegangan 10 volt pada AB ditunda sampai dengan t =t 0 Gantikan parameter t dalam fungsi step (t -t 0 ) Sehingga : v AB = 10u(t -t 0 ) 14
Fungsi TanggaSatuan (Unit Step Function) Contoh 30 : Jika switch digerakkan ke posisi 2 pada saat t =0, dan dibalikkan ke posisi 1 pada t =5 sec. Nyatakan v AB dalam fungsi step. Solusi : v AB = 10[u(t) u(t - 5)] 15 Contoh 31 : Nyatakan fungsi tegangan berikut dalam fungsi tangga satuan v(t) Solusi : v(t)=[u(t) u(t - 2п)] sint 1 0-1 п 2п t
Unit Impulse Function S T (t) 1 0 T t 0 t < 0 1 ST ( t) = t 0 < t < T T 0 t > 0 derivative d T (t) 1/T 0 T t 0 t < 0 1 dt ( t) = 0 < t < T T 0 t > 0 16
17 Unit Impulse Function Bila waktu transisi T dikurangi, gambar fungsi S T (t) menjadi lebih sempit dan lebih tinggi, Tetapi luas di bawah pulsa tetap = 1. Bila dinyatakan T mendekati NOL pada fungsi S T (t), maka limit fungsi S T (t) menjadi unit step u(t), Derivatifnya adalah : unit impulse δ(t) dengan lebar NOL dan tinggi infinite. Unit impulse atau unit delta function didef.kan: δ(t) 1 t = 0 t δ ( t) = 0; t 0 δ ( t) dt = 1
ii. FungsiEksponensial f ( t) at a > 0 Nilai fungsi naik terhadap waktu = e a < 0 Nilai fungsi turun terhadap waktu Invers dari a mempunyai dimensi waktu, disebut dengan time constant τ = 1/a. Ploting fungsi y = e -t/τ thd t seperti di bawah ini, Fungsi bernilai semakin turun dari 1 (utk t=0) sampai NOL (utk t = ), Untuk t = τ detik, nilai fungsi pada e -1 = 0.368. Untuk τ = 1 detik, fungsi menjadi e -t, disebut : normalized exponential 18
iii. FungsiLogaritmik 19
C. Fungsi Random 20
Sinusoidal function Suatu sinyal tegangan sinusoida diberikan sbb : v ( t ) = V cos( ω t + θ ) 0 V 0 = amplitudo, ω = kecepatan/frekuensi anguler (rad/s), θ = sudut phase (derajad) 21
Sinusoidal function ω = 2π f f T 1 ω = = f = frekuensi (Hz = cycles/s), T 2 π T = periode (second) 1 2π = = f ω 22
Sinusoidal function Contoh 1 : Gambar sketsa grafik dari masing-masing fungsi gelombang berikut dan tentukan periode dan frekuensinya. 1. v 1(t) = cost 2. v (t) = sint 3. Phase shift v (t) = 2cos2πt 3 2 π π π π 4. v 4(t) = 2cos t - 45 = 2cos t - = 2cos (t -1) 4 4 4 4 π π 5. v 5(t) = 5cos( 10t + 60 ) = 5cos 10t + = 5cos10 t + 3 30 time shift 23
Sinusoidal function a). v 1 (t) = cost v 1 (t) 1-3п/2 -п -п/2 0 п/2 п 3п/2 2п 5п/2 t -1 24
Sinusoidal function Contoh 2 : Gambarkan v(t) = 5cosωt dalam ωt. v (t) 5-3п/2 -п -п/2 0 п/2 п 3п/2 2п 5п/2 ωt -5 25
Time Shift dan Phase Shift v( t) = cos ω t v( t a) = cos ω( t a) Delay/tunda sebesar a sec. v t a ωt ωa ( ) = cos( ) v( t a) cos( ωt θ ) = θ = ωa Pergeseran phase sebesar θ bersesuaian dengan pergeseran waktu a 26
Time Shift dan Phase Shift Contoh 3 : Gambarkan v(t) = 5cos(пt/6 + 30 o ) volt dalam t dan пt/6. Keterangan: nyatakan persamaan fungsi tersebut dalam time shifting, ternyata dalam time shifting, fungsi itu bergeser sebesar 1 sekon leading (mendahului) 27
Time Shift dan Phase Shift V(t)=5cosпt/6 V(t)=5cos(пt/6+30 o ) -1 0 28
Time Shift dan Phase Shift Contoh 4 : Suatu sistem rangkaian linier mempunyai pasangan input-output sbb: input : v ( t ) = A cos ω t, output : v ( t ) = A cos( ω t θ ) i Diberikan : v ( t) = cosω t + cosω t i 1 2 Tentukan v o (t), bila: a. θ= 10-6 ω (pergeseran phase proporsional/berbanding linier thd frequensi ω) b. θ = 10-6 (pergeseran phase konstan) o 29
Time Shift dan Phase Shift Solusi : a. θ 1 =10-6 ω 1, θ 2 =10-6 ω 2, sehingga : v ( t) = Acos( ω t θ ) + Acos( ω t θ ) o 1 1 2 2 v ( t) = Acos( ω t 10 ω ) + Acos( ω t 10 ω ) 30 o o i1 i 2 6 6 1 1 2 2 v ( t) = Acos ω ( t 10 ) + Acos ω ( t 10 ) o 6 6 1 2 v ( t) = Acos ω ( t τ ) + Acos ω ( t τ ) τ = 10 o 1 2 v ( t) = V ( t τ ) + V ( t τ ) v ( t) = V ( t τ ) o i 6 Tegangan output mempunyai bentuk seperti tegangan input (tanpa distorsi), dengan pergeseran Waktu sebesar 10-6 atau 1 µsec.
Time Shift dan Phase Shift Solusi : b. θ 1 =10-6, θ 2 =10-6, sehingga : v ( t) = Acos( ω t θ ) + Acos( ω t θ ) o 1 1 2 2 v ( t) = Acos( ω t 10 ) + Acos( ω t 10 ) o 6 6 1 2 6 6 10 10 vo ( t ) = A cos ω1 ( t ) + A cos ω2 ( t ) ω ω v ( t) = V ( t τ ) + V ( t τ ) o i1 1 i 2 2 Tegangan output merupakan bentuk distorsidari tegangan input, dengan pergeseran waktu yg mengandung 31 komponen frekuensi 1 2 τ τ 1 2 10 = ω 6 1 10 = ω 6 2
Kombinasi Fungsi2 Periodik Jumlahan 2 fungsi periodikdengan periode T 1 dan T 2 adalah sebuah fungsi periodik, bila dapat ditentukan sebuah periode umum T = n 1 T 1 = n 2 T 2, dimana n 1 dan n 2 integer. Perbandingan T 1 /T 2 = n 2 /n 1 menjadi sebuah bilangan rasional. Sebaliknya, jika tidak dipenuhi syarat tersebut, maka jumlahan 2 fungsi bukan sebuah fungsi periodik. Contoh 5 : Tentukan periode dari v(t) = cos5t + 3sin(3t+45 o ) 32
Kombinasi Fungsi2 Periodik Solusi : Periode dari cos5t adalah T 1 = 2п/5 Periode dari 3sin(3t + 45 o ) adalah T 2 = 2п/3 Maka T = 2п = 5T 1 = 3T 2 33
Kombinasi Fungsi2 Periodik Identitas Trigonometri sinθ = sin( θ ), cosφ = cos( φ ), cos θ = sin(90 θ ), sinθ = cos(90 θ ), cosθ = sin( θ + 90 ), sinθ = cos( θ 90 ), sin 2θ = 2 sinθ cos θ, 1+ sec θ = tg 2 2 θ cos 2 = cos sin 2 2 θ θ θ cos2θ = cos2θ = 2 2cos θ 1 2 1 2sin θ, 2 1 cos2 θ sin θ =, 2 2 1+ cos2θ cos θ =, 2 sin( θ ± φ) = sinθ cosφ ± cosθ sin φ, cos( θ ± φ) = cosθ cosφ m sinθ sin φ, 2 2 cos θ + sin θ = 1 34
Kombinasi Fungsi2 Periodik 35 1 1 sinθ cosφ = sin( θ + φ) + sin( θ φ), 2 2 1 1 cosθ sinφ = sin( θ + φ) sin( θ φ), 2 2 1 1 sinθ sinφ = cos( θ φ) cos( θ + φ), 2 2 1 1 cos θ cos φ = cos( θ + φ ) + cos( θ φ ), 2 2 1 1 sina + sinb = 2sin ( a + b)cos ( a b), 2 2 1 1 sina sinb = 2cos ( a + b)sin ( a b) 2 2 1 1 cosa + cosb = 2cos ( a + b)cos ( a b) 2 2 1 1 cosa cosb = 2sin ( a + b)sin ( a b) 2 2
SOAL: 1. Perhatikan sinyal arus berikut: a. Tentukan besaran amplitudo, frekuensi ω, dan phase θ dari sinyal tersebut b. Nyatakan persamaan sinyal arus tsb dalam sinus. I(t)(mA) - 4.36 400 0 t(ms) -400 27.04 36
SOAL: 2. Nyatakan persamaan gelombang arus berikut dalam sinus, nyatakan parameter 2 nya. Dimana terdapat dua titik input dengan salah satunya terletak pada posisi titik 1/8 dari sinyal tersebut I(t)(mA) I m 250 0.723666 0 t(ms) -I m 0.597958 37
SOAL: 3. Nyatakan persamaan gelombang tegangan di bawah ini dalam sinus, tentukan semua parameternya. V(t)(mV) 50 4.0122-50 0 0.8762 t(ms) 38
SOAL: 4. Tunjukan bahwa identitas trigonometri ini betul. 2tgθ a. tg 2 θ = 2 1 tg θ 3 θ = θ θ b. sin3 3sin 4sin c θ = θ θ 3. cos3 4cos 3cos 39
SOAL: 5. Nyatakan besaran berikut tanpa kalkulator, bila diketahui sinθ = 1/4 a. tg 2 θ b. sin3 c. sec 2 θ θ 40
Note : SOAL: Frekuensi ω dalam sinyal/gelombang, selalu dinyatakan dalam besaran positif Sinkronisasi : pernyataan beberapa gelombang/sinyal dalam persamaan fungsi yang sepadan 6. Terdapat 2 gelombang kuat arus di bawah ini. Nyatakan posisi gelombang satu terhadap gelombang kedua, apakah leading atau lagging (sertakan besar pergeserannya)? i ( t) = 120cos(100π t + 30 ), 1 i ( t) = 50cos(100π t + 100 ) 2 41
SOAL: 7. Idem soal no 6 untuk gelombang-gelombang berikut : i ( t) = 10cos(100π t + 30 ), 1 i ( t) = 5sin(100π t 50 ) 2 8. Idem soal no 6 untuk gelombang-gelombang berikut : i ( t) = 120cos(100π t + 30 ), 1 i ( t) = 18sin(100π t + 40 ) 2 42
Pernyataan v(t) dan i(t) dalam Komponen Pasif R, L, dan C + V s (t) Z i (t) load Tegangan sumber dan arus yg mengalir pd beban, dinyatakan oleh pers. gelombang : - V ( t) = V sin( ωt + θ ) Volt s m I( t) = I sin( ωt + φ) Ampere m 43
Pernyataan v(t) dan i(t) dalam Komponen Pasif R, L, dan C i. Untuk beban resistif (resitor murni) V ( t) = V sinωt + + V s (t) R - - i (t) s m V ( t) = I( t). R = V ( t) R Vm i( t) = sinωt R i( t) = I sinωt m s Arus pd resistor sephase dg tegangan (terjadi resonansi = osilasi) 44
Pernyataan v(t) dan i(t) dalam Komponen Pasif R, L, dan C Gambar resonansi antara tegangan dan arus dalam resistor murni: Tegangan V s (t) Arus pd beban R : I R (t) 45
Pernyataan v(t) dan i(t) dalam Komponen Pasif R, L, dan C ii. Untuk komponen induksi + V s (t) - i (t) L Arus pd induktor lagging sebesar 90 o thd tegangan induktor/sumber V ( t) = V sinωt s m di VL ( t) = L = Vs ( t) dt Vm di = sinωtdt L Vm i( t) = cosωt ωl Vm i( t) = sin( ωt 90 ) = Im sin( ωt 90 ) ωl 46
Pernyataan v(t) dan i(t) dalam Komponen Pasif R, L, dan C Gambar lagging sebesar 90 o arus thd tegangan pada komponen induktor : Tegangan V s (t) Arus pd komponen L : I L (t) 47
Pernyataan v(t) dan i(t) dalam Komponen Pasif R, L, dan C iii. Untuk komponen kapasitor + V s (t) - 48 i (t) C Arus pd kapasitor leading sebesar 90 o thd tegangan kapasitor/sumber V ( t) = V sinωt s Q V m Q( t) CV ( t) c dq( t) d = ( CVc ( t ) ) dt dt dvc ( t) d i( t) = C = C { Vm sinωt} dt dt Vm i( t) = CVmω cosωt = cosωt 1/ ωc i( t) = I sin( ωt + 90 ) m
Pernyataan v(t) dan i(t) dalam Komponen Pasif R, L, dan C Gambar leading sebesar 90 o arus thd tegangan pada komponen kapasitor : Tegangan V s (t)=v c (t) Arus pd komponen C : I C (t) 49
Sifat Rangkaian RLC seri Dari data arus masingmasing komponen (R,L,C) yg telah ditemukan di atas: V ( t) = i( t) R = I R sinωt = I R sinωt R m m ( ω ) ( ω ) V ( t) = i( t) X = I X sin t + 90 = I X cosωt L L m L m L V ( t) = i( t) X = I X sin t 90 = I X cosωt C C m C m C + V s (t) - 50 + i (t) V ( t ) = V ( t ) + V ( t ) + V ( t ) s R L C R Vs ( t) = ImRsinωt + Im XL cosωt Im XC cosωt - + Vs ( t) = Im {( XL XC ) cosωt + R sinωt} L - + 2 2 C V ( t) = I X X + R sin ωt + θ = I Z sin ωt + θ - s m L C ( ) ( ) ( ) impedansi 1 m Z = ( X X ) + R θ = tg L C ( X X ) L R 2 2 C
Sifat Rangkaian RLC seri θ = tg 1 ( XL XC ) R i. Bila θ>0 X L -X C >0 X L >X C ii. Bila θ<0 X L -X C <0 X L <X C iii.bila θ=0 X L -X C =0 X L =X C Note: resonansi (osilasi) terjadi bila beda phase antara tegangan dan arus = 0 Rangk. Bersifat induktif Rangk. Bersifat kapasitif Rangk. Bersifat Resistif, terjadi resonansi 51
SOAL: Tentukan himpunan sudut θ dari persamaan gelombang berikut, untuk rentang waktu 0 o θ 360 o. 9. sin3θ sinθ = sin 2θ 10. cos 2θ cosθ = cos3θ 2 11. sin sin = sin 2 θ θ θ 12. sin 2θ + sin3θ = 3 sinθ 52
Jumlahan dua gelombang sinusoida dg frekuensi sama 1. Ke Bentuk gelombang Sinus ω Acos t + B sin t ω θ = K sin( t + ) ω θ = K sin( t ) ω K = A + B θ = 2 2 A B 1 = tg K = A + B θ 2 2 1 = tg A B 53
Jumlahan dua gelombang sinusoida dg frekuensi sama 2. Ke Bentuk gelombang Cosinus ω Acos t + B sin t ω θ = K cos( t + ) ω θ = K cos( t ) ω K = A + B θ = 2 2 1 = tg B A K = A + B θ 2 2 B A 1 = tg 54
SOAL: 13. Nyatakan bentuk gelombang berikut 4cosωt+ 3sinωt dalam : a. Ksin(ωt+θ) b. Ksin(ωt-θ) c. Kcos(ωt+θ) d. Kcos(ωt-θ) 55
SOAL: 14. Nyatakan bentuk gelombang berikut 3sinωt-cosωt dalam : a. Ksin(ωt+θ) b. Ksin(ωt-θ) c. Kcos(ωt+θ) d. Kcos(ωt-θ) 56
SOAL: 15. Nyatakan bentuk gelombang berikut cosωt + sinωt dalam : a. Ksin(ωt+θ) b. Ksin(ωt-θ) c. Kcos(ωt+θ) d. Kcos(ωt-θ) 57
SOAL: 16. Tentukan waktu t (timing) dari suatu sinyal dengan frek 500 rad/sec. dengan persamaan sinyal adalah: 8cosωt+6sinωt=4 17. Tentukan waktu t (timing) dari suatu sinyal dengan frek 1000 rad/sec. dengan persamaan sinyal adalah: 5sin(ωt-30 o )+2cosωt=2.5 58
Nilai Rata-Rata dan Efektif (RMS) Suatu fungsi periodik f(t) dengan periode T, mempunyai nilai rata-rata : F rata 2 T 1 = f ( t) dt T 0 Suatu fungsi periodik f(t) dengan periode T, mempunyai nilai efektif (root-mean-square=rms): T 1 2 Feff = f ( t) dt T 0 59
Nilai Rata-Rata dan Efektif (RMS) Contoh 18 : Tentukan nilai rata-rata dan efektif dari fungsi berikut : Solusi : v( t) = V cos( ωt + θ ) Nilai rata-rata v rata = 0 m Nilai efektif v eff = V m / 2 = 0.707V m Note: Gelombang cos selalu mempunyai nilai rata-rata = 0 dan nilai efektif = V m / 2 60
Nilai Rata-Rata dan Efektif (RMS) Contoh 19 : Tentukan nilai rata-rata dan efektif dari half-rectified sine wave : V m sinωt untuk sinωt > 0 v( t) = 0 untuk sinωt < 0 Solusi : T 2 T 1 Vm vrata( t) = Vm sin tdt 0dt T ω + = 0 T π 2 T 2 T 2 2 1 2 2 2 V m Vm V eff ( t) = V m sin tdt 0 dt Veff ( t) T ω + = = 4 2 0 T 2 61 V m 0 V(t) T/2 T 3T/2 2T t
Nilai Rata-Rata dan Efektif (RMS) Contoh 20 : Tentukan nilai rata-rata dan efektif dari fungsi periodik v(t), dg tampilan satu periodenya : v( t) V o < t < 1 0 = V0 < t < 1 3 Contoh 21 : Tentukan nilai rata-rata dan efektif dari fungsi periodik v(t) berikut : V o < t < T 0 1 v( t) = periodet = 3T 1 V0 T1 < t < 3T 1 Solusi : V V rata eff V0 = 3 = V 0 62
SOAL : Contoh 22 : Tentukan nilai rata-rata dan efektif dari fullrectified sine wave v(t) berikut : V(t) V m 0 п 2п 3п 4п 5п t 63
SOAL : Contoh 23 : Tentukan nilai rata-rata dan efektif dari fungsi periodik v(t) berikut : v( t) = V sint m Contoh 24 : Tentukan nilai rata-rata dan efektif dari fungsi periodik v(t) berikut : V(t) 10 0 4 8 12 t 64
SOAL : Contoh 25 : Tentukan nilai rata-rata dan efektif dari fungsi periodik v(t) berikut : v( t) = V cost m Contoh 26 : Tentukan nilai rata-rata dan efektif dari fungsi periodik v(t) berikut : V(t) 10-4 0 4 8 12 t 65
SOAL : Contoh 27 : Tentukan nilai rata-rata dan efektif dari fungsi periodik v(t) berikut : 10 V(t) 0 4 8 12 t Contoh 28 : Tentukan nilai rata-rata dan efektif dari fungsi periodik v(t) berikut : 4 V(t) 66 0-2 0 3 5 8 t
67