JIMT Vol. No. Juni 0 (Hal. - 9) Jurnal Ilmiah Matematika dan Terapan ISSN : 0 X PELABELAN SUPER MEAN PADA GRAF D n (C ) DAN D n (C ) v P t S. Wahyuningsi, I W. Sudarsana, dan S. Musdalifah,, Program Studi Matematika Jurusan Matematika FMIPA Universitas Tadulako Jalan Soekarno-Hatta Km. 09 Tondo, Palu 9, Indonesia. sriwahyuningsiarwan@ymail.com, sudarsanaiwayan@yahoo.co.id, selvymusdalifah@yahoo.com ABSTRACT Graph theory is one of important subject in mathematical scices and has many befits because its can be applied to solve many problems, especially in communication and transportation systems, geographical navigation and radar. Super mean labeling on graph G(V, E) with p vertices and q edges is an injection f: V(G) {,,,, p + q} such that for each edge e = uv labeled by f (e) = f(u)+f(v) and form the set f(v(g)) {f (e): e E(G)} = {,,,, p + q}. In this paper we have showed that graphs D n (C ) and D n (C ) v P t are super mean. Key Words : Duplication, Duplication Graph, Super Mean Labeling ABSTRAK Teori graf adalah salah satu ilmu matematika yang pting dan mempunyai banyak manfaat kara teori-teorinya dapat diterapkan untuk memecahkan masalah dalam kehidupan sehari-hari, khususnya pada sistem komunikasi dan transportasi, navigasi geografis, radar dan lain sebagainya. Pelabelan super mean pada graf G(V, E) dgan p titik dan q sisi adalah pemetaan injektif f: V(G) {,,,, p + q} sedemikian sehingga untuk setiap sisi e = uv yang dilabeli dgan f (e) = f(u)+f(v) dan membtuk himpunan f(v(g)) {f (e): e E(G)} = {,,,, p + q}. Pada pelitian ini dilakukan investigasi terhadap graf D n (C ) dan D n (C ) v P t. Hasil pelitian munjukkan bahwa graf D n (C ) and D n (C ) v P t adalah super mean. Kata Kunci : Graf Duplikasi, Duplikasi, Pelabelan Super Mean I. PENDAHULUAN Teori graf merupakan salah satu ilmu yang berkembang pesat dalam dunia matematika. Teori graf pertama kali diperkalkan oleh Leonhard Euler pada tahun. Saat itu dia memikirkan kemungkinan untuk myeberangi semua jembatan di kota Kaliningrad, Rusia, tepat satu kali dan kembali ke tempat semula. Publikasi atas permasalahan ini dan solusi yang dia tawarkan saat ini dikal dgan teori graf (Cunningham, 00). Suatu graf dapat dipandang sebagai sistem G(V, E)
dimana V adalah himpunan titik yang tak kosong dan E adalah himpunan sisi (pasangan elem) dari V. Salah satu cabang kajian graf adalah pelabelan suatu graf. Pelabelan graf merupakan salah satu topik dari teori graf yang mdapat perhatian khusus, kara model-model yang ada dalam teori graf berguna untuk aplikasi yang luas terutama pada sektor sistem komunikasi dan transportasi, riset, navigasi geografis, radar, pyimpanan data komputer, dan lain sebagainya. Ada banyak jis pelabelan yang telah dikembangkan, salah satunya adalah pelabelan mean yang pertama kali diperkalkan secara umum oleh Somasundaram dan Ponraj (00). Semtara itu Ramya et al (0) adalah orang yang memperkalkan pelabelan super mean pada graf. Pelabelan super mean pada graf G(V, E) dgan p titik dan q sisi adalah pemetaan injektif f: V(G) {,,,, p + q} sedemikian sehingga untuk setiap sisi e = uv dilabeli dgan f (e) = f(u)+f(v) dan membtuk himpunan f(v(g)) {f (e): e E(G)} = {,,,, p + q}. Beberapa graf yang merupakan super mean yaitu lintasan, siklus dan lainnya, namun untuk hasil operasi pada graf D n (C ) dan D n (C ) v P t P t masih merupakan masalah terbuka (Gallian, 0). II. METODE PENELITIAN Pelitian dilakukan sesuai dgan prosedur dibawah ini :. Memulai pelitian. Studi literatur. Motasikan titik dan sisi pada graf D n (C ) dan D n (C ) v P t. Memberikan label titik dan sisi pada graf D n (C ) dan D n (C ) v P t. Membuat formula pelabelan super mean graf D n D n (C ) dan D n (C ) v P t. Membuat teorema yang dilgkapi dgan bukti-bukti. Selesai. III. HASIL Sebelum ditunjukkan bahwa graf D n (C ) dan D n (C ) v P t adalah pelabelan super mean, pada bagian ini terlebih dahulu akan diberikan definisi dan potasian graf D n (C ) dan D n (C ) v P t. Definisi : Duplikasi graf G sebanyak n kali, dinotasikan dgan D n (G), adalah graf yang diperoleh dari n rangkap graf G, sebut G 0, G, G,, G n, dgan mghubungkan masing-masing titik u i di G i
dgan titik-titik tetangga u i di G i dgan i =,,, n. untuk G = C, ilustrasi D n (C ) tersaji dalam Gambar. Potasian Graf D n (C ) : Vn - - V V e e - V' Vn' -. V' e e e V' e V' V V Gambar : Potasian Graf D n (C ) Berdasarkan Gambar diatas dapat dinotasikan himpunan titik graf D n (C ) sebagai berikut: V(D n (C )) = {v i, v i, v i i n} () dan himpunan sisi graf D n (C ) dinotasikan dalam : E(D n (C )) = {e i, e i, e i ; i n} {e i, e i, e i, e i, e i, e i ; i n } () dgan e i = v i v i ; i n () e i = v i v i e e ; i n () e i = v i v i ; i n () e i = v i+ v i V' ; i n () e i = v i+ v i ; i n () e i = v i+ v i ; i n () e i = v i+ v i ; i n (9) e i = v i+ v i ; i n (0) e i = v i+ v i ; i n () dgan demikian, untuk graf D n (C ) diperoleh banyaknya titik adalah n dan banyaknya sisi adalah 9n () e e V' e e V' V'. - - Vn' Definisi : Notasi graf D n (C ) v P t myatakan suatu graf yang diperoleh dari graf D n (G) dgan mghubungkan graf lintasan dgan t titik, P t, pada salah satu titik di graf yang ke n, G n, pada D n (G). untuk G = C, ilustrasi D n (C ) v P t tersaji dalam Gambar.
Potasian D n (C ) v P t : Vn - - V V e e V - V' Vn' -. V' e e e e V e e V' V' e e V' V' e e V' V'. - - Vn' 9 V''' e 9 V''' 9 V''' e 9 V''' e 9 V'''. ej- 9 Vt''' Gambar : Potasian Graf D n (C ) v P t Berdasarkan Gambar diatas dapat dinotasikan himpunan titik graf D n (C ) v P t sebagai berikut : V (D n (C ) v P t ) = {v i, v i, v i, v j ; i n, j t} () dan himpunan sisi graf D n (C ) v P t dinotasikan dgan : E (D n (C ) v P t ) = {e i, e i, e i ; i n} {e i, e i, e i, e i, e i, e i ; i n } dgan e i = v i v i {e j 9 ; j t} () ; i n () e i = v i v i ; i n () e i = v i v i ; i n () e i = v i+ v i ; i n () e i = v i+ v i ; i n (9) e i = v i+ v i ; i n (0) e i = v i+ v i ; i n () e i = v i+ v i ; i n () e i = v i+ v i ; i n () v n v j, j = dan n gap e 9 j = { v n v j, j = dan n ganjil () v j, j t. v j dgan demikian untuk graf D n (C ) v P t diperoleh banyaknya titik adalah n + t dan banyaknya sisi adalah 9n + t. ()
Teorema : Graf D n (C ) adalah super mean untuk n. Bukti : Pandang graf D n (C ) mempunyai banyaknya titik p = n dan banyaknya sisi q = 9n. Berdasarkan potasian titik dan sisi pada Gambar, definisikan fungsi injektif f: V(D n (C )) {,,, n } sebagai berikut : i ; i n ; i ganjil f(v i ) = { i 9 ; i n ; i gap i 9 ; i n ; i ganjil f(v i ) = { i ; i n ; i gap i ; i n ; i ganjil f(v i ) = { i ; i n ; i gap () () () Berdasarkan fungsi titik-titik di atas diperoleh fungsi pelabelan pada sisi sebagai berikut : i 0, i n ; i ganjil f (e i ) = f(v i )+f(v i ) i, i n ; i gap (9) i, i n ; i ganjil f (e i ) = f(v i )+f(v i ) i, i n ; i gap (0) i, i n ; i ganjil f (e i ) = f(v i )+f(v i ) i 0, i n ; i gap () f (e i ) = f(v i+ )+f(v i, i n ; i ganjil i ) i, i n ; i gap () f (e i ) = f(v i+ )+f(v i, i n ; i ganjil i ) i, i n ; i gap () f (e i ) = f(v i+ f (e i ) = f(v i+ )+f(v i ) )+f(v i ) f (e i ) = f(v i+ )+f(v i ) f (e i ) = f(v i+ )+f(v i ) i, i n ; i ganjil i, i n ; i gap i, i n ; i ganjil i, i n ; i gap i, i n ; i ganjil i, i n ; i gap i, i n ; i ganjil i, i n ; i gap () () () ()
Btuk himpunan A = {f(v i ) = i, i n ; i ganjil} A = {f(v i ) = i 9, i n ; i gap} A = {f(v i ) = i 9, i n ; i ganjil} A = {f(v i ) = i, i n ; i gap} A = {f(v i ) = i, i n ; i ganjil} A = {f(v i ) = i, i n ; i gap} A = {f (e i ) = i 0, i n ; i ganjil} A = {f (e i ) = i, i n ; i gap} A 9 = {f (e i ) = i, i n ; i ganjil} A 0 = {f (e i ) = i, i n ; i gap} A = {f (e i ) = i, i n ; i ganjil} A = {f (e i ) = i 0, i n ; i gap} A = {f (e i ) = i, i n ; i ganjil} A = {f (e i ) = i, i n ; i gap} A = {f (e i ) = i, i n ; i ganjil}a = {f (e i ) = i, i n ; i gap} A = {f (e i ) = i, i n ; i ganjil}a = {f (e i ) = i, i n ; i gap} A 9 = {f (e i ) = i, i n ; i ganjil} A 0 = {f (e i ) = i, i n ; i gap} A = {f (e i ) = i, i n ; i ganjil} A = {f (e i ) = i, i n ; i gap} A = {f (e i ) = i, i n ; i ganjil} A = {f (e i ) = i, i n ; i gap} Gabungan himpunan-himpunan tersebut, i= A i = f(v(d n (C ))) {f (e): e E(D n (C ))} = {,,,,n }. Oleh kara itu, graf D n (C ) dapat dilabeli secara super mean. Dgan demikian, graf D n (C ) adalah super mean, untuk n. Contoh : 9 9 0 0 9 0 Gambar : Pelabelan Super Mean pada Graf D (C ) Teorema : Graf D n (C ) v P t adalah super mean untuk n. Bukti : Pandang graf D n (C ) v P t mempunyai banyaknya titik p = n + t dan banyaknya sisi q = 9n + t. Berdasarkan potasian titik dan sisi pada Gambar, definisikan fungsi injektif f: V (D n (C ) v P t ) {,,, n + t} sebagai berikut :
i ; i n ; i ganjil f(v i ) = { i 9 ; i n ; i gap i 9 ; i n ; i ganjil f(v i ) = { i ; i n ; i gap i ; i n ; i ganjil f(v i ) = { i ; i n ; i gap f(v j ) = n + j ; j t () () (9) (0) Berdasarkan fungsi titik-titik di atas diperoleh fungsi pelabelan pada sisi sebagai berikut : i 0, i n ; i ganjil f (e i ) = f(v i )+f(v i ) i, i n ; i gap () i, i n ; i ganjil f (e i ) = f(v i )+f(v i ) i, i n ; i gap () i, i n ; i ganjil f (e i ) = f(v i )+f(v i ) i 0, i n ; i gap () f (e i ) = f(v i+ )+f(v i, i n ; i ganjil i ) i, i n ; i gap () f (e i ) = f(v i+ )+f(v i, i n ; i ganjil i ) i, i n ; i gap () i, i n ; i ganjil f (e i ) = f(v i+)+f(v i ) i, i n ; i gap () i, i n ; i ganjil f (e i ) = f(v i+)+f(v i ) i, i n ; i gap () i, i n ; i ganjil f (e i ) = f(v i+ )+f(v i ) i, i n ; i gap (9) i, i n ; i ganjil f (e i ) = f(v i+ )+f(v i ) i, i n ; i gap (0) f(v n )+f(v j ) n + j ; j = dan n gap f (e j 9 ) = { f(v n )+f(v j ) f(v j )+f(v j ) = n + j { n + j ; j = dan n ganjil ; j t () Btuk himpunan A = {f(v i ) i, i n ; i ganjil} A = {f(v i ) i 9, i n ; i gap} A = {f(v i ) i 9, i n ; i ganjil} A = {f(v i ) i, i n ; i gap} A = {f(v i ) i, i n ; i ganjil} A = {f(v i ) i, i n ; i gap} A = {f(v j ) n + j, j t} A = {f (e i ) i 0, i n ; i ganjil} 9
A 9 = {f (e i ) i, i n ; i gap} A 0 = {f (e i ) i, i n ; i ganjil} A = {f (e i ) i, i n ; i gap} A = {f (e i ) i, i n ; i ganjil} A = {f (e i ) i 0, i n ; i gap} A = {f (e i ) i, i n ; i ganjil} A = {f (e i ) i, i n ; i gap} A = {f (e i ) i, i n ; i ganjil} A = {f (e i ) i, i n ; i gap} A = {f (e i ) i, i n ; i ganjil} A 9 = {f (e i ) i, i n ; i gap} A 0 = {f (e i ) i, i n ; i ganjil} A = {f (e i ) i, i n ; i gap} A = {f (e i ) i, i n ; i ganjil} A = {f (e i ) i, i n ; i gap} A = {f (e i ) i, i n ; i ganjil} A = {f (e i ) i, i n ; i gap} A = {f (e 9 j ) n + j, j = ; n gap} A = {f (e 9 j ) n + j, j = ; n ganjil} A = {f (e 9 j ) n + j, j t} Gabungan himpunan-himpunan tersebut, i= A i = f(v( D n (C ) v P t )) {f (e): e E (D n (C ) v P t )} = {,,,,n + t}. Oleh kara itu, graf D n (C ) v P t dapat dilabeli secara super mean. Dgan demikian graf D n (C ) v P t adalah super mean, untuk n. Contoh : 9 9 0 0 9 0 9 0 Gambar : Pelabelan Super Mean pada Graf D (C ) v P IV. KESIMPULAN Berdasarkan bukti-bukti pada Teorema dan diperoleh bahwa graf D n (C ) dan graf D n (C ) v P t adalah super mean. Sebagai putup, diberikan beberapa masalah terbuka, yaitu apakah graf D n (C m ) super mean untuk m dan D n (C m ) v P t untuk t. 90
DAFTAR PUSTAKA []. Cunningham, D. 00. Vertex-Magic. Electronic Journal Of Undergraduated Mathematics. Vol. 9 : -0. []. Gallian, J. A.. 0. A Dynamic Survey of Graph Labeling. The Electronic Journal of Combinatorics. Vol. 9. DS. []. Ramya., dan P. Jeyanti. 0. Super Mean Labeling of Some Classes of Graph. International Journal Combinatorics. Vol. : -9. []. Somasundaram, S., and Ponraj, R. 00. Mean Labelings of Graphs. National Academy Scice Letters. Vol : 0. 9