MATEMATIKA KELAS XII - KURIKULUM 0 Sesi INDUKSI MATEMATIKA A. PENGERTIAN INDUKSI MATEMATIKA Indusi mtemti merupn pembutin dedutif, mesi nmny indusi. Indusi mtemti tu disebut jug indusi lengp sering dipergunn untu pernytnpernytn yng menyngut bilngn-bilngn sli. B. LANGKAH-LANGKAH INDUKSI MATEMATIKA Msud dn tujun indusi mtemti dlh membutin sutu pernytn yng melibtn bilngn sli n misl P(n) n berlu semu nili dri n. Pembutin ini melibtn du lngh:. Lngh dsr: butin bhw pernytn itu berlu untu P().. Lngh indusi: tunjun bhw ji pernytn itu berlu untu P(), m pernytn itu berlu untu P(). CONTOH SOAL. Butin bhw untu penjumlhn n bilngn sli berurutn dpt dinytn dengn nn ( + ) formul + + + + 5 +... + n https://id.wiipedi.org/wii/indusi_mtemti
nn ( + ) Misl Pn ( ) + + + +... + n ( ) P() + benr M P() benr. ( + ) Asumsin P() + + + +... + M benr. P( + ) + + + +... + + ( + ) P( + ) + + ( + ) + ( + ) P ( + ) ( )( ) P ( + ) P( + ) mengiuti formul P(n), esimpulnny P(n) benr.. Butin bhw n dlh eliptn dri! Misl P(n) n dlh eliptn. P() P(), benr eliptn. Asumsin P() benr, P() eliptn tu m, m Asli m P( + ) ( m + ) P( + ) 6m+ P( + ) ( m+ ) Nmp P( + ) merupn bilngn eliptn sehingg P(n) pernytn yng berlu untu setip n Asli.
. Butin bhw + + 5+ 7+... + ( n ) n Misl Pn ( ) + + 5+ 7+... + ( n ) n P() benr P() benr. Asumsin P() + + 5+ 7+... + ( ) benr. M P( + ) + + 5+ 7+... + ( ) + ( ( + ) ) P( + ) + + P( + ) ( +) Kren P ( + ) mengiuti pol P(n), m P(n) benr.. Butin bhw + + +... + n ( + + +... + n) Misl P(n) + + +... + n ( + + +... + n ) P() benr P() pernytn benr. Disumsin P( ) + + +... + ( + + +... + ) benr. M P ( + ) + +... + + ( ) ( + + +... + ) + ( ) ( + ) + ( + ) ( ) + ( + ) ( ) + ( + ) ( ) + ( + ) ( )
( ) ( + + ) ( ) ( ) ( )( + ) ( + + + +... + + ) P() mengiuti formul P(n) m P(n) bernili benr untu semu n Asli. 5. Butin bhw +... n n +, untu setip bilngn sli n. Misl P(n) +... n n +, P( ) + + P() benr. Asumsin P() +... + m P( + ) +... + ( + ) + + ( + ) + P() mengiuti pol P(n), m P(n) benr untu setip n Asli. C. INDUKSI MATEMATIKA YANG DIPERLUAS Semu pernytn yng melibtn n bilngn sli, tid sellu dimuli dengn n. Oleh ren itu, indusi mtemti bis diperlus dengn cr sebgi beriut:. Lngh dsr: butin bhw pernytn itu berlu untu P(m).. Lngh indusi: tunjun bhw ji pernytn itu berlu untu P(), m, m pernytn itu berlu untu P().
CONTOH SOAL. Butin bhw pertidsmn berlu untu semu bilngn sli n! Misl P(n) n > n berlu untu semu bilngn sli n. P( ): > 8> 6 benr P() benr. Misl dn > benr > > > > + sedngn + + > + > + 9 > + 6 > + + dri > + > + + + > ( + ) m P() mengiuti pol P(n) sehingg P(n) benr untu n.. Butin bhw n + < n untu semu bilngn sli n 5! Misl P(n) n + < n untu semu bilngn sli n 5. P( 5): 5 + 5 8 P(5) benr. 5
Asumsin P(): + untu 5, m + 6 + 6 + berlu 5m + ( + ) + + P( + ):( + ) + + benr. M P(n) benr untu n 5. D. PRINSIP INDUKSI MATEMATIS KUAT Misln P(n) dlh sutu pernytn di mn ebenrnny ditentun oleh nili n. Ji P(n) memenuhi du hl beriut:. P() benr.. Untu setip bilngn sli, ji P(), P(),.P(-),P() bernili benr, m P() jug bernili benr. M P(n) bernili benr untu setip bilngn sli n: 6 CONTOH SOAL. Brisn bilngn n didefinisin dengn:,, n+ ( n+ + n ) untu semu bilngn sli n. Tunjun bhw n untu semu bilngn sli n. Misl P( n):,, n+ ( n+ + n ) berlu untu semu n Asli. P():, P() benr. Untu setip bilngn sli misln P(), P(),..., P(-), P() benr, n ditunjun P ( + ): + Dri sumsi didpt
Bil pertidsmn di ts dijumlhn n didpt + Bil msing-msing rus dibgi, m n didpt + M P() benr sehingg P(n) benr untu n Asli. n + n. Misln 0,, n+ dengn n dlh bilngn sli. Butin : n+ untu semu bilngn sli n. n + Misl Pn ( ): n+ + 0 P(): + 0 + 0 n di mn n+ untu n Asli. P() benr. Misl P(), P( ), P( ),..., P( ), P( ) benr, berlu + dn + dn Untu P() + + + + 9 6 7
Kren 9 6 + + + 9 + + 6 9 9 6 6 Bil it mbil nili yng terbesrny 9 + + 6 9 m P() benr sehingg P(n) berlu untu n Asli.. Misln brisn,,,... didefinisin sebgi beriut: n,,, dn + +. Butin bhw n <! n n n n Misl n n + n + n m n < n untu,,. n < < terbuti 8 Asumsin,,,...,,, benr sehingg berlu < < < + + < + + < + + 7 < < < m + benr sehingg n benr untu setip n Asli.
n. Misln,, + dengn n dlh bilngn sli. Butin : n 0 n+ n n untu semu bilngn sli n. n Misl Pn ( ): n + untu semu n Asli dengn + P(): + 0 + benr n+ n n P() benr. Asumsin P(), P( ), P( ),... P( ), P( ) benr sehingg < < m untu P() + < + < + < < < + m P() benr sehingg P(n) benr untu semu n Asli. + 9