611.23.052 Bab 6: Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 611.23.052
Bentuk-Bentuk Usaha kerjasama atau koperasi dari sejumlah orang yang sepakat memikul kesulitan keuangan bila terjadi musibah terhadap salah satu anggotanya. Usaha kerjasama ini dilakukan melalui perusahaan asuransi dengan memanfaatkan apa yang disebut dalam statistika sebagai hukum bilangan besar (law of large number). Perusahaan yang besar dengan pemegang saham yang banyak akan mudah mengatasi santunan asuransi dari anggota yang meninggal. Dengan administrasi yang efisien dan investasi dana yang aman dengan tingkat bunga yang wajar, perusahaan asuransi akan berkembang dengan sehat dan merupakan usaha pengumpulan modal yang amat penting. 611.23.052
Polis Asuransi Bentuk-Bentuk Polis asuransi adalah suatu kontrak tertulis antara seseorang yang mengasuransikan jiwanya dengan perusahaan asuransi. Beberapa hal yang tertera dalam polis asuransi: Besar premi yang harus dibayarkan Jadwal pembayaran premi Besar santunan asuransi (claim) yang akan dibayarkan perusahaan jika suatu peristiwa terjadi Waktu mulai berlakunya polis tersebut (tanggal polis dikeluarkan), biasanya diambil sebagai tanggal yang paling dekat ke hari ulang tahunnya yang terdekat 611.23.052
Bentuk-Bentuk Besarnya santunan asuransi (claim) tergantung atas premi, sedangkan besarnya premi tergantung atas tiga hal: 1 Peluang meninggal Peluang meninggal seseorang tergantung atas umur, jenis kelamin, pekerjaan, kebiasaan seseorang, riwayat kesehatan, dan berbagai hal lain. 2 Tingkat bunga Dana yang terkumpul pada perusahaan asuransi akan diinvestasikan dengan tingkat bunga tertentu dan sebagian dari bunga tersebut seharusnya menjadi milik pemegang polis. 3 Biaya Perusahaan asuransi tidak dapat bekerja tanpa biaya, biaya pegawainya untuk mengeluarkan polis, mengadministrasikan polis dan membayar santunan, pajak, komisi, dan sebagainya. 611.23.052
Bentuk-Bentuk Pada materi ini, kita tidak akan memperhatikan biaya tapi hanya memperhatikan peluang meninggal dan tingkat bunga. Premi yang dihitung tanpa memperhatikan faktor biaya disebut premi bersih. Premi dapat dibayarkan sekaligus, disebut premi tunggal, dapat pula seumur hidup, dan dapat pula selama jangka waktu tertentu, misalnya selama 20 tahun. Bila si tertanggung (pemegang polis) meninggal sebelum berakhir jangka waktu pembayaran maka pembayaran dianggap telah selesai. 611.23.052
Bentuk-Bentuk Bentuk-Bentuk 1 2 3 Endowmen (Perpaduan antara dengan Endowmen Murni) 4 611.23.052
Bentuk-Bentuk Di bawah kontrak ini, santunan asuransi akan dibayarkan perusahaan kepada pewaris si tertanggung meninggal selama jangka waktu tertentu, disebut jangka waktu polis. Jangka waktu biasanya 5 tahun, 10 tahun, 15 tahun, atau 20 tahun. Untuk memudahkan perhitungan maka kita akan pandang terlebih dahulu dengan jangka waktu setahun. 611.23.052
Bentuk-Bentuk Misalkan ada l x orang, semuanya tepat berusia x, sepakat menyerahkan sebesar A rupiah ke suatu dana dan pada akhir tahun Rp 1 akan dibayarkan kepada setiap pewaris dari yang meninggal di antara mereka sepanjang tahun tersebut. Dana yang terkumpul beserta bunganya setahun dianggap tepat sama dengan seluruh pembayaran santunan Rp 1 bagi setiap yang meninggal, jadi tidak kurang maupun tidak bersisa. Banyaknya yang meninggal setahun dari sebanyak l x adalah d x, jadi seluruh pembayaran setahun kemudian adalah d x rupiah. 611.23.052
Bentuk-Bentuk Dana yang terkumpul beserta bunganya adalah A l x (1 + i), sehingga d x = A l x (1 + i) d x A = l x (1 + i) = v d x l x = vx+1 d x l x v x = C x 611.23.052
Bentuk-Bentuk Nilai A dapat diperoleh juga secara diskonto (bunga dan peluang meninggal). Nilai tunai dari Rp 1 yang akan dibayar setahun lagi adalah v, peluangnya akan dibayarkan adalah q x (yaitu jika meninggal). Jadi, A = v q x = v d x l x = C x 611.23.052
Bentuk-Bentuk Nilai A ini disebut premi tunggal bersih suatu asuransi sebesar Rp 1 selama setahun. Nilai Rp 1 hanya akan dibayarkan bila si tertanggung meninggal dalam jangka waktu setahun. Bila dia hidup mencapai usia x + 1 maka dia tidak mendapat apapun. 611.23.052
Bentuk-Bentuk Misalkan A 1 x:n menyatakan nilai tunai asuransi atau premi tunggal bersih asuransi sebesar Rp 1 pada (x) selama jangka waktu n tahun. Artinya Bila (x) meninggal sebelum usia x + n, maka kepada pewarisnya akan dibayarkan sebesar Rp 1 pada akhir tahun dia meninggal. Bila (x) hidup sampai usia x + n, maka tidak akan ada pembayaran. 611.23.052
Bentuk-Bentuk A 1 x:n = v d x + v 2 d x+1 +... + v n d x+n 1 l x l x l x = vx+1 d x + v x+2 d x+1 +... + v x+n d x+n 1 v x l x = C x + C x+1 +... + C x+n 1 = M x M x+n Ingat, M x = C x+i dan M x+n = C x+n+i, jadi i=0 i=0 M x M x+n = n 1 i=0 C x+i. 611.23.052 (kalikan dengan vx v x )
Contoh 1 Bentuk-Bentuk Hitunglah premi tunggal bersih suatu asuransi berjangka 10 tahun bagi seseorang berusia 30 tahun bila besarnya santunan Rp 1 juta rupiah. 611.23.052
Penyelesaian Bentuk-Bentuk A 1 30:10 = 10 6 M 30 M 40 D 30 6 182403, 4951 165359, 8889 = 10 440800, 58 = 38665, 12 rupiah 611.23.052
Contoh 2 Bentuk-Bentuk Buktikan bahwa A 1 x:20 = A 1 x:10 + 10 E x A 1 x+10:10 611.23.052
Penyelesaian Bentuk-Bentuk Sederhanakan ruas kanan dengan mengubahnya ke simbol kumutasi. 10E x A 1 x+10:10 = Jadi, ruas kanan menjadi A 1 x:10 = M x M x+10 D ( x Dx+10 ) ( ) Mx+10 M x+20 +10 M x M x+10 + M x+10 M x+20 = M x M x+20 = A 1 x:20 611.23.052
Bentuk-Bentuk Ingat! ne x adalah nilai tunai dari Rp 1 yang didiskontokan terhadap bunga dan kematian. 611.23.052
Bentuk-Bentuk Asuransi berjangka yang dibahas sebelumnya amat sederhana dan murah (dalam arti preminya rendah). Akan tetapi, bila jangka waktu sudah habis, si tertanggung tidak memperoleh apapun dari perusahaan asuransi. Bila yang bersangkutan ingin diasuransikan terus maka dia harus membeli polis baru karena kontrak yang lama sudah habis. Membeli polis baru akan relatif lebih mahal mengingat usianya sudah semakin tua dan peluang meninggalnya semakin besar. 611.23.052
Bentuk-Bentuk Asuransi seumur hidup adalah cara yang lebih murah dan praktis dibandingkan dengan asuransi berjangka yang bersambung. Dengan asuransi seumur hidup maka santunan asuransi akan pasti dibayar tanpa mempedulikan kapan maut datang menjemput. Premi dapat dibayarkan sekaligus (premi tunggal) atau terbatas sampai beberapa tahun, ataupun seumur hidup. 611.23.052
Bentuk-Bentuk Misalkan A x menyatakan nilai tunai atau premi tunggal bersih dari asuransi seumur hidup sebesar Rp 1 bagi seseorang yang berusia (x); ini berarti bahwa bila (x) meninggal maka kepada pewarisnya akan dibayarkan sebesar Rp 1 pada akhir tahun dia meninggal. Dengan cara diskonto seperti asuransi berjangka, diperoleh 611.23.052
Bentuk-Bentuk A x = v d x + v 2 d x+1 +... + v w x+1 d w l x l x l x = vx+1 d x + v x+2 d x+1 +... + v w+1 d w v x l x = C x + C x+1 +... + C w = M x 611.23.052
Contoh 3 Bentuk-Bentuk Carilah premi tunggal bersih dari suatu polis asuransi jiwa yang besar santunannya selama 10 tahun pertama adalah 1 juta rupiah dan 2 juta rupiah sesudah itu bagi orang yang berumur 20 tahun. 611.23.052
Penyelesaian Cara 1 Bentuk-Bentuk Premi tunggal bersih ( ) 10 6 (A 1 20:10 + 2 10 E 20 A 30 ) = 10 6 M20 M 30 + 2 D30 M30 D 20 D 20 D 30 ( ) = 10 6 M20 M 30 + 2M 30 D 20 = 10 6 ( M20 + M 30 D 20 ) 611.23.052
Bentuk-Bentuk Cara 2 Anggap bahwa ada asuransi seumur hidup dengan santunan 1 juta rupiah sejak usia 20 tahun ditambah asuransi seumur hidup sebesar 1 juta rupiah sejak usia 30 tahun. Premi tunggal bersihnya adalah ( 10 6 (A 20 + 10 E 20 A 30 ) = 10 6 M20 + D ) 30 M30 D 20 D 20 D 30 ( ) = 10 6 M20 + M 30 D 20 611.23.052
Bentuk-Bentuk Cara 3 Anggap sebagai selisih dua asuransi: asuransi seumur hidup sebesar 2 juta sejak usia 20 tahun dikurangi dengan asuransi berjangka 10 tahun sebesar 1 juta rupiah mulai usia 20 tahun. Premi tunggal bersihnya adalah ( 10 6 (2 A 20 A 1 20:10 ) = 10 6 2 M 20 M ) 20 M 30 D 20 D 20 ( ) = 10 6 M20 + M 30 D 20 611.23.052
Bentuk-Bentuk Hasilnya adalah 10 6 ( M20 + M 30 D 20 ) = 10 6 ( 196657, 1668 + 182403, 4951 580662, 42 = 652807, 29 juta rupiah ) 611.23.052
Contoh 4 Bentuk-Bentuk Buktikan A x+n ne x = A x A 1 x:n 611.23.052
Bentuk-Bentuk Ruas Kiri A x+n ne x = M x+n +n Dx+n = M x+n Ruas Kanan A x A 1 x:n = M x M x M x+n = M x+n Karena ruas kiri = ruas kanan, maka terbukti. 611.23.052
Bentuk-Bentuk Endowmen merupakan perpaduan antara asuransi berjangka dengan endowmen murni. Jadi, bila si tertanggung meninggal selama jangka waktu asuransi, misalnya n tahun, maka kepada pewarisnya akan dibayarkan Rp 1, sedangkan bila dia mencapai usia x + n maka kepadanya akan dibayarkan Rp 1 pada akhir tahun ke x + n. Simbol yang digunakan untuk jenis asuransi ini adalah A x:n, tanpa simbol 1 di atas x. Jadi, A x:n = A 1 x:n + n E x = M x M x+n + +n = M x M x+n + +n 611.23.052
Contoh 5 Bentuk-Bentuk Hitunglah premi tunggal bersih dari suatu asuransi endowmen sebesar 1 juta rupiah dikeluarkan bagi orang selama 20 tahun bagi orang berusia a. 20 tahun b. 30 tahun 611.23.052
Penyelesaian Bentuk-Bentuk a. Premi tunggal bersih A 20:20 = 10 6 M 20 M 40 + D 40 D 20 6 196657, 1668 165359, 8889 + 328983, 61 = 10 580662, 42 = 620465, 31 rupiah b. Premi tunggal bersih A 30:20 = 10 6 M 30 M 50 + D 50 D 30 6 182403, 495 142035, 0956 + 235925, 04 = 10 440800, 58 = 626799, 17 rupiah 611.23.052
Bentuk-Bentuk 1. Tertunda Simbol untuk asuransi berjangka tertunda adalah m A 1 x:n. Simbol ini menyatakan premi tunggal bersih untuk asuransi berjangka n tahun sebesar Rp 1 dikeluarkan bagi orang berusia x yang tertunda m tahun. Ini berarti pembayaran Rp 1 akan dilakukan perusahaan asuransi bagi pewaris (x) pada akhir tahun dia meninggal asal dia meninggal antara usia x + m dan x + m + n tahun. 611.23.052
Bentuk-Bentuk m A 1 x:n = v m+1 d x+m l x + v m+2 d x+m+1 l x +... + v m+n d x+m+n 1 l x = vx+m+1 d x+m + v x+m+2 d x+m+1 +... + v x+m+n d x+m+n 1 v x l x = C x+m + C x+m+1 +... + C x+m+n 1 = M x+m M x+m+n 611.23.052
Bentuk-Bentuk 2. Asuransi Endowmen Tertunda m A x:n = m A 1 x:n + m+n E x = M x+m M x+m+n + +m+n = M x+m M x+m+n + +m+n Simbol tersebut menyatakan premi tunggal bersih asuransi endowmen tertunda sebesar Rp 1 bagi (x) selama n tahun, santunan akan dibayarkan bila (x) meninggal antara usia x + m dan x + m + n atau bila mencapai usia x + m + n. Bila (x) meninggal antara usia x dan x + m maka tidak ada pembayaran. 611.23.052
Bentuk-Bentuk 3. Tertunda m A x = v m+1 d x+m l x + v m+2 d x+m+1 l x +... + v w x+1 d w l x = vx+m+1 d x+m + v x+m+2 d x+m+1 +... + v w+1 d w v x l x = C x+m + C x+m+1 +... + C w = M x+m 611.23.052
Contoh 6 Bentuk-Bentuk Buktikan bahwa m A x:n = A x:m+n A 1 x:m 611.23.052
Penyelesaian Bentuk-Bentuk A x:m+n A 1 x:m = M x M x+m+n + +m+n = M x+m M x+m+n + +m+n = m A x:n M x M x+m 611.23.052