SISTEM DINAMIK TUGAS 4 Oleh RIRIN SISPIYATI 6 Progrm Sudi Memik INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG 9
- Consider he equion Wih rel prmeer Find he riil poins nd hrerize hese poins Skeh he flow in he phse-plne nd indie he direion of he flow Jw : Mislkn jik dn, Tiik kriis dri dlh, ; jik dn, is mengndung iik kriis dri Sisem persmn dp diulis segi : Pndng mriks A= Jik dn degenere, mriks erseu menjdi singulr, sehingg iik kriisn jik dn, dp diperoleh nili eigen dri mriks A, mislkn nili eigenn dlh r, sehingg : r r Dri diperoleh persmn krkerisik-n : r r r r Didp nili-nili eigen : r, 4 5 8 Mislkn D= 5 8 >, R defini posiif Sehingg nili-nili eigen r dn r kedun merupkn ilngn rel 4
Slh su nili eigen, mislkn r, kn ernili negif, jik : 5 8 5 8 4 8 u D Unuk u, u nili eigen r sehingg diperoleh solusi : D, sedngkn r, P e r Q e r 5 Dimn merupkn veor eigen ng ersesuin dengn r,dn merupkn veor eigen ng ersesuin dengn r Solusi 5 merupkn komisi linier dri du uh solusi Mislkn solusi = : r P e r P e Dengn mengeliminsi diperoleh, ng erri hw solusi erlek pd gris lurus Kren r <, kin jik rhn menuju iik, Mislkn solusi = : r Q e r Q e, nili dn, sehingg
Dengn mengeliminsi diperoleh, ng erri hw solusi erlek pd gris lurus Kren r >, kin jik rhn menuju, nili dn, sehingg Solusi dri 5 dlh kominsi linier dri du uh solusi, iu dn Unuk, solusi menjdi dominn, dn, sehingg semu solusisolusi dengn Q mendeki gris, Jik P, Skes :, solusi-solusi mendeki gris Tiik kriis, diseu sddle Jdi, unuk u Tiik kriis, merupkn sddle poin,diperoleh du nili eigen ilngn rel dn ered nd Unuk, diperoleh nili eigen r dn r, skes solusi pd rung fse :
Tiik kriis, diseu node Jdi, unuk,, diperoleh du uh nili eigen ilngn rel, dn kedun posiif Tiik kriis, merupkn node Cr lernif : Sisem persmn diferensil Dilkukn eliminsi : 6 d d d d d d d d d d d
C Unuk u, diperoleh grfik pd rung fse :, Amil seuh iik, pd seuh persmn solusi, Jik ergerk ke rh knn memesr,mk nili kn ergerk k rh s memesr Mk iik kriis, diseu sddle Unuk, diperoleh grfik pd rung fse :, Unuk mengehui rhn, mil, 5, persmn solusi menjdi,5 8 Amil seuh iik =, mk =,75 kudrn I, Jik =, mk =,75
Arin, jik memesr, mk nili jug memesr, sehingg rhn menuju k hingg Jik, dikudrn IV : =-, mk =-,65, =-, mk =-,5, sehingg jik,mk Kesimpuln : pd ksus ini iik, diseu iik node - An eension of he Volerr-Lok model of emples 7 & 5 is oined kin ino oun he surion ffe whih is used lrge numer of pre The equions eome s s Wih, : he prmeers re ll posiive Deermine he equilirium soluions nd heir rion properies linierision Jw : Tiik kriis diperoleh jik f dn f, iu : f s dn f s dri didp : Dri didp : s 4 s
Jik =, mk =, iik kriisn :, Jik, mk Susiusi 4 ke 5 : = s s s 5 s s Kemudin, s Jdi diperoleh iik kriis, Kren,, ser semu prmeer ernili posiif,mk - > Proses linierissi dipersekirn iik = kn menghsilkn enuk : A f Dengn A f Unuk iik,; f = s f s s s
A Sehingg diperoleh ssem persmn : 6 Solusi dri 6 dlh C e e C 7 Mk iik kriis, dlh sddle Unuk iik, : A= s s s s Diperoleh ssem persmn ;
8 Au equivlen dengn ; - We re suding he hree-dimensionl ssem Deermine he riil poins of his ssem Show h he plnes nd re invrin ses Consider he invrin se Does his se onin periodi soluion? Jw : Mislkn : f f f Unuk menenukn iik kriis dri ssem di s, hrusl
-4 Suppose h ver long onduor hs een fied in veril srigh line : onsn urren I psses hough he onduor A smll onduor, lengh l nd mss m, hd een pled in veril srigh line; i hs een fied o spring whih n move horizonll A onsn urren I psses hrough he smll onduor The smll onduor will e pu ino moion in -direion u i remins prllel o he long onduor; wihou deformion of he spring, is posiion is = The fied posiion of he long onduor is given = he equion of moion of he smll onduor is Wih k posiive nd < Jw: Show h, puing Iil / k Iil m k k m, he equion n e wrien s Pu he equion in he frme work of Hmilonin ssems Copue he riil poins nd hrerize hem Does he resul gree wih he Hmilonin nure of he prolem? d Skeh he phse-plne for vrious vlue of Iil m k * susiusikn k m k k m k m Iil ke persmn * k
k m k k m k m d k m d k d d m k d d m m k d d m m k m m k m m k ln C k ln C k F, k ln m m : firs inegrl Dengn memsukn p m q sehingg hmiloninn k p H p, q k ln q m m m kren :
H kq k kq k p q m m q m m q H p q p m k m Tiik kriis diperoleh dri k m k kren k ilngn posiif mk jdi, 4 Tiik kriis ergnung dri nili Jik 4 Jdi unuk 4 mk 4 4 4 erdp iik kriis iu, dn, 4 dn memenuk sddle dn, Jik 4 mk 4 4 4, memenuk enre
Jdi unuk erdp iik kriis ng ergung menjdi iik kriis 4 degenere Jik 4 mk 4 4 Jdi unuk 4 idk d iik kriis sehingg idk d iik seimng