Penggunaan Metode Bayesian Subyektif dalam Pengkonstruksian Grafik Pengendali-c Sekar Sukma Asmara a, Adi Setiawan b, Tundjung Mahatma c a Mahasiswa Program Studi Matematika Fakultas Sains Matematika Universitas Kristen Satya Wacana Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga, qkhasweetie@yahoo.com b Dosen Program Studi Matematika Fakultas Sains Matematika Universitas Kristen Satya Wacana Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga, adi_setia_03@yahoo.com c Dosen Program Studi Matematika Fakultas Sains Matematika Universitas Kristen Satya Wacana Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga, t.mahatma@gmail.com ABSTRAK Metode Bayesian Subyektif dapat digunakan untuk melakukan estimasi titik berdasarkan pada sampel informasi priornya. Grafik pengendali memberikan gambaran mengenai perilaku sebuah proses. Grafik pengendali digunakan untuk mengidentifikasi apakah sebuah proses yang berjalan dalam kondisi terkendali atau tidak. Pada makalah ini dijelaskan penggunaan metode Bayesian subyektif dalam pengkonstruksian grafik pengendali-c. Kata Kunci : bayesian subyektif, prior, grafik pengendali ABSTRACT Subjective Bayesian Method can be used for the point estimation based on the sample and its prior information. Control chart gives description about the performance of a process. It is also used to indicate whether a process is in controlled condition or not. The paper explains the usage of Subjective Bayesian Method in the construction of c-chart. Key Words : subjective bayesian, prior, control chart Pendahuluan Konsumen mempunyai ekspektasi yang besar terhadap produk yang dibelinya. Menurut Montgomery (1990), kualitas merupakan jaminan utama konsumen dalam memilih produk, oleh karena itu dalam setiap pembelian konsumen mengharapkan produk-produk yang bebas dari cacat. Menurut Prawirosentono (2007), konsumen yang membeli produk berorientasi pada kualitas, pada umumnya mempunyai loyalitas produk yang besar dibandingkan dengan konsumen yang membeli produk berdasarkan harga, sehingga mereka akan selalu membeli produk tersebut (repurchase). Dengan Yogyakarta, 29 Desember 2012 107
demikian kualitas menjadi kunci sebuah bisnis dalam menentukan keberhasilannya, karena produk yang berkualitas mempunyai daya saing tinggi dengan produk lain yang sejenis. Selain itu, peningkatan kualitas sering kali disertai dengan penurunan biaya produksi, karena dapat meminimalisasi produk-produk yang rusak. Namun dalam banyak proses produksi, terdapat banyak variabilitas sehingga diperlukan pengendalian proses statistik yaitu untuk menyingkirkan variabilitas dalam proses. Salah satu alat yang efektif untuk mengurangi variabilitas adalah grafik pengendali. Dalam penelitian ini, akan dikonstruksikan grafik pengendali-c ( -chart) dengan menggunakan metode Bayesian subyektif, sehingga dapat diidentifikasi apakah proses terkendali atau tidak. Hasil identifikasi tersebut digunakan sebagai acuan sebuah perusahaan mengambil tindakan perbaikan dalam pengendalian proses produksi. Dasar Teori Grafik pengendali adalah teknik pengendali proses pada jalur yang digunakan secara luas untuk pengendalian kualitas, yang dapat digunakan untuk menaksir parameter suatu proses produksi, menentukan kemampuan proses, memberikan informasi yang berguna dalam meningkatkan proses itu (Montgomery, 1990 : 120). Grafik pengendali terdiri dari nilai karakteristik kualitas, garis tengah (centerline) yang merupakan nilai rata-rata karakteristik kualitas, batas pengendali atas (upper control limit), batas pengendali bawah (lower control limit). Dengan demikian dapat diketahui apakah nilai karakteristik kualitas termasuk daerah yang diterima (accepted area) atau daerah ditolak (rejected area) seperti pada Gambar 1. Dalam statistik, untuk memperoleh tingkat kepercayaan sebesar, digunakan batas toleransi sebesar 3 kali deviasi standar. Grafik Pengendali-c Klasik Grafik pengendali-c mengganggap bahwa terjadinya ketidaksesuaian dalam sampel-sampel berukuran tetap dapat dimodelkan dengan distribusi Poisson, dengan fungsi probabilitas Yogyakarta, 29 Desember 2012 108
Gambar 1. Diagram Shewhart mengikuti distribusi Poisson dengan fungsi probabilitas = banyaknya ketidaksesuaian, = parameter distribusi Poisson, dengan mean variansi adalah parameter. Jika nilai standar tidak diberikan maka dapat ditaksir dengan banyak ketidaksesuaian rata-rata yang diamati, sehingga diperoleh batas-batas pengendali fungsi likelihood adalah (1) (Montgomery 1990 : 169). dengan. Grafik Pengendali-c dengan Metode Bayesian Subyektif Banyaknya cacat atau tak sesuai yang terjadi dalam unit pemeriksaan Distribusi Gamma merupakan keluarga konjugat distribusi Poisson, sehingga fungsi kepadatan probabilitas Yogyakarta, 29 Desember 2012 109
priornya berdistribusi Gamma dengan fungsi densitas. Parameter pada distribusi prior yang dipilih, merepresentasikan penilaian subyektif peneliti. Salah satu metodenya adalah memilih prior berdistribusi Gamma. Dipilih paramater Gamma yang cocok dengan keyakinan prior berdasarkan mean deviasi standarnya adalah Gamma Estimator Bayes dapat digunakan sebagai sehingga Batas dihitung sehingga dengan dipilih jarak minimum anatara dengan tingkat signifikansi. (Darmanto). Oleh karena itu estimator Bayes sama dengan rata-rata ketidaksesuaian pada grafik pengendali-c klasik. Distribusi posterior dihitung dengan mengalikan distribusi prior dengan fungsi likelihood distribusi sampelnya yaitu Metode Penelitian Untuk melukiskan grafik pengendali-c, data yang digunakan adalah data contoh banyaknya ketidaksesuaian dalam sampel papan untaian tercetak yang diambil dari studi literatur. Hal pertama yang dilakukan dalam penelitian ini adalah melukiskan grafik pengendali-c klasik. Metode bayesian subyektif dapat digunakan untuk mengestimasi titik dalam hal ini batasbatas pengendali yang kemudian digunakan Yogyakarta, 29 Desember 2012 110
Banyak Ketidaksesuaian 0 10 20 30 40 Prosiding ISBN : 978-602-17339-0-5 untuk melukiskan grafik pengendali-c dengan prior Gamma prior Gamma dengan parameter yang cocok dengan keyakinan prior berdasarkan mean deviasi standarnya. Grafik Pengendali-c Klasik Untuk menentukan batas pengendali digunakan persamaan, oleh karena itu diperoleh Hasil Pembahasan Data contoh banyaknya ketidaksesuaian dalam sampel papan untaian tercetak digunakan pada grafik pengendali-c, seperti pada Tabel 1. Tabel 1. Data Banyak Ketidaksesuaian dalam Sampel dengan 100 papan untaian tercetak. Banyaknya No. Sampel Ketidaksesuaian 1 21 2 24 3 16 4 12 5 15 6 5 7 28 8 20 9 31 10 25 11 20 12 24 13 16 14 19 15 10 16 19 17 13 18 22 19 18 20 39 21 30 22 24 23 16 24 19 25 17 26 15 dengan demikian diperoleh grafik pengendali-c klasik pada Gambar 2. Berdasarkan Gambar 2 diperoleh batas pengendali yang simetri terdapat 2 titik yang out of control. c-chart klasik 0 5 10 15 20 25 Nomor Sampel Gambar 2. Grafik Pengendali-c Klasik Yogyakarta, 29 Desember 2012 111
Banyak Ketidaksesuaian 0 10 20 30 40 Prosiding ISBN : 978-602-17339-0-5 Grafik Pengendali-c dengan Metode Bayesian Subyektif Berdasarkan data diperoleh bahwa Gambar 3 terdapat 18 sampel yang out of control. c-chart Bayesian subyektif Secara subyektif dipilih, dari persamaan diperoleh distribusi posterior 0 5 10 15 20 25 Nomor Sampel. Untuk menentukan digunakan persamaan sehingga ditentukan dengan persamaan dengan. Hasil perhitungan dengan menggunakan program R diperoleh Gambar 3. Grafik Pengendali-c dengan Prior Gamma Salah satu metode untuk memilih parameter, digunakan persamaan untuk membantu menentukan yaitu, yang digunakan untuk melukiskan batas pengendali pada grafik pengendali-c, seperti pada Gambar 3. Berdasarkan Dengan menggunakan persamaan diperoleh Yogyakarta, 29 Desember 2012 112
Banyak Ketidaksesuaian 0 10 20 30 40 Prosiding ISBN : 978-602-17339-0-5 c-chart Bayesian subyektif Distribusi posterior ditentukan dengan menggunakan persamaan, sehingga diperoleh 0 5 10 15 20 25 Nomor Sampel Gambar 4. Grafik Pengendali-c dengan Prior Gamma. Untuk menentukan digunakan persamaan sehingga ditentukan dengan persamaan dengan. Hasil perhitungan dengan menggunakan program R diperoleh, yang digunakan untuk melukiskan batas pengendali pada grafik pengendali-c, seperti pada Gambar 4. Berdasarkan gambar di atas terdapat 18 sampel yang out of control. Studi simulasi dilakukan dengan cara membangkitkan sampel dengan ukuran besar (misalkan diambil dari distribusi Poisson dengan parameter. Sampel tersebut digunakan dalam pengkonstruksian grafik pengendali-c klasik (Metode 1), grafik pengendali-c dengan prior Gamma (Metode 2), grafik pengendali-c dengan prior Gamma (Metode 3). Oleh karena itu dapat ditentukan proporsi titik-titik sampel yang out of control. Hasil tersebut dinyatakan pada Tabel 2, Tabel 3, Tabel 4. Yogyakarta, 29 Desember 2012 113
Tabel 2. Tabel hasil rata-rata proporsi titik yang out of control untuk metode 1. No. Metode 1 Tabel 4. Tabel hasil rata-rata proporsi titik yang out of control untuk metode 3. No. Metode 3 Tabel 3. Tabel hasil rata-rata proporsi titik yang out of control untuk metode 2 No. Metode 2 Hasil proporsi titik yang out of control dari grafik pengendali-c klasik jauh berbeda dengan hasil proporsi titik yang out of control dari grafik pengendali-c dengan menggunakan metode Bayesian subyektif untuk yang dipilih. Untuk yang lain akan diperoleh hasil proporsi titik-titik sampel yang out of control hampir sama. Kesimpulan Dalam bab sebelumnya telah dijelaskan penggunaan metode Bayesian subyektif dalam pengkonstruksian grafik pengendali-c, dengan prior berdistribusi Gamma. Dalam makalah ini dipilih secara subyektif distribusi prior Gamma prior Gamma yang cocok dengan keyakinan prior berdasarkan Yogyakarta, 29 Desember 2012 114
mean deviasi standarnya. Distribusi posterior diperoleh dari distribusi sampel distribusi prior. Hasil proporsi titik yang out of control dari grafik pengendali-c klasik mendekati nilai yang diharapkan yaitu. Segkan hasil proporsi titik yang out of control dari grafik pengendali-c dengan metode Bayesian subyektif jauh dari nilai yang diharapkan. Pustaka Montgomery, D.C. 1990. Pengantar Pengendalian Kualitas Statistik. Alih bahasa: Zanzawi Soejoeti. Yogyakarta: Universitas Gadjah Mada. Prawirosentono, S. 2007. Filosofi Baru Tentang Manajemen Mutu Terpadu Abad 21, Edisi Kedua. Jakarta : Bumi Aksara. Setiawan, A. 2012. Penggunaan Metode Bayesian Obyektif dalam Pembuatan Grafik Pengendali p-chart. Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan, Penerapan MIPA, UNY Yogyakarta Web 1 : Darmanto, Estimasi Parameter, Blog Statistika, http://statistikanyadarmanto.lecture.u b.ac.id/materi-kuliah/ Yogyakarta, 29 Desember 2012 115