6 AUTOMORFISME GRAF LENGKAP DENGAN PENDEKATAN TEORI GRUP Mulyono Abstrak Suatu ) terdiri dari himpunan simpul disimbolkan ) ) dan himpunan jalur disimbolkan ) ) di mana ) Menurut teorema isomorfisme dua dikatakan isomorfik jika himpunan simpul pada pertama dipetakan secara bijektif kepada himpunan simpul kedua dan himpunan derajat masing-masing simpul pada pertama juga dipetakan secara bijektif kepada himpunan derajat masing-masing simpul pada kedua Berdasarkan konsep ini langkah awal yang paling mudah dengan memetakan setiap simpul dengan derajat yang sama yang berada dalam himpunan ) pula Dalam aljabar abstrak konsep pemetaan terhadap himpunan itu sendiri merupakan suatu automorfisme Automorfisme lengkap dilambangkan ) ) dengan simpul menghasilkan permutasi sebanyak! Hasil ini diperoleh dengan proses pendekatan teori grup Berdasarkan sifat-sifat yang dimiliki oleh ) dapat disimpulkan bahwa ) grup simetri Kata Kunci: Graf Isomorfik Automorfisme Grup PENDAHULUAN didefinisikan isomorfis dengan itu sendiri sebagai pasangan himpunan V E) yang dengan memetakan setiap simpul dan derajat dalam hal ini dinyatakan sebagai simpul itu terhadap dirinya sendiri Dalam himpunan simpul di mana ) dan E aljabar abstrak konsep pemetaan terhadap Suatu G sebagai himpunan jalur Menurut teorema isomorfisme dua dikatakan isomorfik jika himpunan simpul pada himpunan itu sendiri merupakan konsep pemetaan isomorfis yang automorfis Beranjak dari ide pemetaan terhadap himpunan itu sendiri maka pemetaan itu pasti bersifat pertama dapat dipetakan secara bijektif tertutup Jika pemetaan itu bersifat tertutup kepada himpunan simpul kedua dan terdapat himpunan derajat masing-masing simpul tersebut memiliki elemen identitas dan elemen pada pertama juga dapat dipetakan invers Jika hal tersebut terpenuhi maka akan secara bijektif kepada himpunan derajat didapatkan sebuah grup dari automorfisme masing-masing simpul pada kedua tersebut Pemetaan yang bijektif merupakan kemungkinan Dalam jurnal ini himpunan akan mengenai surjektif pada) Berdasarkan konsep ini lengkap ke itu sendiri serta grup yang langkah awal yang paling mudah untuk dibangun oleh automorfisme tersebut himpunan yang dari dibahas pemetaan yang bersifat injektif satu-satu) dan membangun automorfisme bahwa suatu yang Mulyono Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Medan
TINJAUAN PUSTAKA Konsep Dasar Definisi Graf Lengkap Graf lengkap merupakan sederhana yang setiap dilambangkan dengan simpulnya pada Setiap simpul Jumlah jalur berderajat mempunyai jalur ke semua simpul lainnya pada lengkap yang terdiri dari Graf lengkap dengan simpul buah simpul buah ) Contoh: Gambar Graf lengkap K K K K K5 Definisi Isomorfisme Graf Dua buah G dan G dikatakan isomorfik jika terdapat korespondensi satu-satu antara simpul-simpul keduanya dan antara sisi-sisi keduanya sehingga jika sisi e bersisian dengan simpul u dan v pada G maka sisi e pada G juga bersisian dengan simpul u dan v Munir 00) Dua buah yang isomorfik yang sama kecuali penamaan simpul dan sisinya saja yang berbeda Selain menunjukkan korespondensi satu-satu di antara kedua himpunan simpul dua buah dikatakan isomorfik jika memenuhi ketiga syarat berikut pula Mempunyai jumlah simpul yang sama Mempunyai jumlah jalur yang sama Mempunyai jumlah simpul yang sama berderajat tertentu Munir 00) 6
Namun demikian penelitian dalam jurnal ini bukan untuk membahas isomorfik tidaknya dua atau lebih Penelitian ini lebih menitikberatkan kepada keisomorfikan khususnya lengkap Kn terhadap yang direkonstruksi dengan kaidah korespondensi satu-satu himpunan simpul-simpul dan himpunan jalur-jalur lengkap tersebut Korespondensi satu-satu himpunan simpul dan himpunan jalur lengkap Kn pada dirinya sendiri analog dengan konsep operasi biner Definisi Operasi Biner Misalkan S suatu himpunan yang tidak kosong Operasi pada elemen-elemen S disebut operasi biner apabila setiap dua elemen maka bahwa operasi pada S bersifat tertutup Sukirman 0) atau dikatakan Definisi Grup Misalkan G himpunan yang tidak kosong dan operasi pada G suatu operasi biner Himpunan G bersama-sama dengan operasi biner atau ditulis ) suatu grup bila memenuhi aksioma-aksioma berikut: Operasi pada G bersifat asosiatif ) ) G memuat elemen identitas Setiap unsur G mempunyai invers di dalam G pula Sukirman 0) Dengan kata lain grup merupakan sebuah himpunan dengan operasi yang bersifat asosiatif sedemikian sehingga terdapat elemen identitas setiap elemennya memiliki invers dan setiap anggotanya berasal dari pemasangan anggota yang tidak berada di luar dari himpunan Kondisi ini yang dikatakan sebagai ketertutupan Definisi 5 Isomorfisme Grup Sebuah isomorfisme dari grup ke sebuah fungsi yang bersifat satu-satu dan pada yang mengawetkan operasi grup yaitu Grup ) ) ) dan kemudian dikatakan isomorf dan diberi notasi 65 Gallian 998)
Dalam keadaan tertentu terdapat isomorfisme yang khusus yaitu automorfisme Automorfisme suatu isomorfisme dari grup pada dirinya sendiri Gallian 998) Definisi 6 Automorfisme Jika diberikan suatu grup ) dengan pemetaan automorfisme jika ) ) ) untuk setiap : dikatakan Wikipedia 0) Dalam kajian aljabar abstrak automorfisme membentuk suatu grup yang spesifik yaitu grup simetri Definisi 7 Grup Simetri Diberikan permutasi jika suatu himpunan berhingga dengan elemen himpunan semua permutasi elemen-elemen disebut sebagai grup sebanyak! Automorfisme Suatu Graf dengan Pendekatan Teori Grup Sebuah automorfisme dari sebuah merupakan isomorfisme tersebut kepada dirinya sendiri Morris 000) Ketika semua hasil automorfisme tersebut dikumpulkan akan terbentuk sebuah grup Himpunan dari seluruh automorfisme sebuah ) atau dibaca grup automorfisme sebuah grup yang disimbolkan membentuk Morris 000) Graf Simetris sebagai Syarat untuk Membuat Automorfisme Grup Nontrivial Automorfisme dari suatu menghasilkan lain yang simetris dengan tersebut Bondy 008) Dengan demikian hal mendasar yang harus diperhatikan untuk membangun automorfisme dari suatu kesimetrisan tersebut Uraian berikut ini merupakan pendahuluan untuk menjelaskan definisi simetris Diberikan jalur dan dengan ) sebagai himpunan simpul ) sebagai himpunan ) sebagai himpunan hasil automorfismenya Definisi a merupakan simpul transitif jika terdapat sedemikian sehingga ) ) dan ) ) dan ) Definisi b merupakan jalur transitif jika terdapat sedemikian sehingga ) 66
Definisi Graf Simetri merupakan simetri jika merupakan simpul transitif dan jalur transitif Holton dan Sheehan 99) HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN Grup Automorfisme dari Graf Lengkap Graf hanya terdiri dari satu simpul yaitu simpul Oleh karena itu himpunan simpul dari dinotasikan { }) {} dan himpunan jalur merupakan himpunan kosong Gambar Graf Sesuai konsep automorfisme misalkan terdapat pemetaan di mana Karena memetakan hanya terdiri dari satu simpul yaitu simpul automorfisme simpulnya pun hanya menghasilkan sebuah elemen yaitu itu sendiri Hasil pemetaan ) tersebut dinamakan dengan automorfisme dari himpunan simpul Dimisalkan { } dan dan merupakan satu-satunya hasil )) merupakan hasil automorfisme simpul juga merupakan pemetaan identitas Ini menyebabkan merupakan suatu himpunan tak kosong dan berlaku operasi yang merupakan permutasi dalam Dalam tabel Cayley permutasi tersebut dapat didaftar sebagai berikut Tabel Tabel Cayley Automorfisme Grup Automorfisme dari Graf Lengkap Graf simpul dari terdiri dari dua simpul yaitu simpul dan Oleh karena itu himpunan { } dan himpunan jalur 67 {)}
Gambar Graf Sesuai konsep automorfisme misalkan terdapat pemetaan di mana a b Hal tersebut dijelaskan sebagai berikut )) identitas) ) Dimisalkan { memetakan } merupakan hasil automorfisme simpul Ini menyebabkan merupakan suatu himpunan tak kosong dan berlaku operasi yang merupakan permutasi dalam Dalam tabel Cayley permutasi tersebut dapat didaftar sebagai berikut Tabel Tabel Cayley Automorfisme Grup Automorfisme dari Graf Lengkap terdiri dari tiga simpul yaitu simpul dan Oleh karena itu himpunan Graf simpul dari { } dan {) ) )} himpunan jalur Gambar Graf Sesuai konsep automorfisme misalkan terdapat pemetaan di mana Didapatkan masing-masing hasil pemetaan sebagai berikut 68 memetakan
a b c d e f Dimisalkan { ))) identitas) ) ) )) ) ) )) merupakan hasil automorfisme simpul } Ini menyebabkan merupakan suatu himpunan tak kosong dan berlaku operasi yang merupakan permutasi dalam Komposisi setiap elemen disajikan dalam lampiran dan hasil operasi tersebut disajikan dalam tabel Cayley sebagai berikut 5 Tabel Tabel Cayley Automorfisme Grup Automorfisme dari Graf Lengkap Graf terdiri dari empat simpul yaitu simpul dan Oleh karena itu himpunan simpul dari {) ) ) ) ) )} { } dan himpunan jalur Gambar Graf Sesuai konsep automorfisme misalkan terdapat pemetaan di mana Didapatkan masing-masing hasil pemetaan sebagai berikut 69 memetakan
a b c d f g e h i j k l m n o q r p s t u v )))) identitas) )) ) ) )) ) ) ) ) ) )) ))) ) ) )) ) ) )) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )) )) ))) 70
w x ) ) ) Dimisalkan G merupakan hasil automorfisme simpul { } Masing-masing hasil komposisi anggota berikut 7 Ini menyebabkan disajikan dalam tabel Cayley sebagai
Tabel Tabel Cayley Automorfisme 7
Grup Automorfisme dari Graf Lengkap Graf lengkap yaitu simpulnya memiliki buah simpul ) terhubung dengan pemetaan yang bijektif Karena sifat homomorfis simpul- juga berlaku dalam pemetaan maka berlaku fungsi: ) ) ) masing-masing sama yaitu ) pemetaan di memetakan anggota bersifat ) asosiatif Permutasi hasil pemetaan suatu himpunan kepada bahwa himpunan itu sendiri bersifat asosiatif ) dengan operasi merupakan jika komposisi pemetaannya bersifat Selanjutnya Dengan demikian komposisi pemetaan mana ) kepada dirinya sendiri dan membentuk pemetaan Setiap simpul lainnya dengan derajat simpul Diberikan merupakan akan dibuktikan sebuah grup dengan mengikuti aksioma asosiatif Sehingga dapat disimpulkan yaitu sebagai berikut bahwa Operasi bersifat tertutup Diberikan pemetaan memetakan anggota ) kepada karena itu dirinya sendiri dan membentuk ) Oleh di mana antara elemen ) Pemetaan ) ) di mana ) merupakan ) ini memiliki elemen yang merupakan hasil pemetaan identitas yaitu : Setiap Pemetaan sebagai salah satu elemen permutasi untuk Pemetaan identitas sebagai elemen Operasi bersifat asosiatif Diberikan ) ) identitas permutasi permutasinya juga bersifat tertutup Pemetaan Pemetaan ini menyebabkan operasi operasi ) identitas merupakan pemetaan yang bijektif sebagai ) ) memiliki invers bersifat tertutup Komposisinya juga bersifat tertutup Hal ini menyebabkan komposisi dua elemen menghasilkan pemetaan ) yang elemen tertentu identitas yang isomorfik sebab pemetaan ini Artinya kedua elemen tertentu tersebut memetakan dua himpunan yang sama merupakan dua elemen yang saling yaitu invers Pemetaan yang isomorfik bersifat bijektif dan homomorfis Pada Terdapat poin pertama telah dijelaskan bahwa jumlah 7 simpul yang akan dihitung permutasinya Pemetaan
merupakan pemetaan yang bijektif Pemetaan ini mengawetkan simpul Masing-masing pemetaan itu dijelaskan kepada simpul Oleh karena itu sebagai berikut banyaknya ) sebanyak ) Pemetaan ini mengawetkan simpul itu 6 sendiri Oleh karena itu banyaknya ) ) sebanyak buah banyaknya ) sebanyak buah sebanyak ) Oleh karena itu buah Berdasarkan banyaknya sebanyak Oleh karena itu buah ) Dengan kata lain Dengan merupakan grup simetri ) Jadi bentuk grup yang dibentuk oleh banyaknya ) sebanyak ) ) memenuhi sifat- dapat disimpulkan bahwa kepada simpul Oleh karena itu 5 sifat grup dan memiliki! anggota maka ) ) Pemetaan ini mengawetkan simpul buah )! banyaknya simpul Karena hingga hasilnya sebagai berikut ) banyaknya ) ) Pemetaan tersebut dilakukan seterusnya tersebut perkalian yaitu sebagai berikut 5 ) hal permutasi n simpul dihitung dengan kaidah Pemetaan ini mengawetkan simpul kepada simpul kepada simpul Oleh karena itu ) banyaknya ) Pemetaan ini mengawetkan simpul Pemetaan ini mengawetkan simpul kepada simpul buah automorfisme simpul-simpul lengkap dengan ) buah simpul grup simetri dengan jumlah anggota sebanyak! KESIMPULAN Dari hasil penelitian yang telah yang dapat merepresentasikan himpunan dipaparkan sebelumnya dapat disimpulkan semua yang isomorfis dengan suatu bahwa automorfisme lengkap memenuhi sifat-sifat suatu grup Grup lengkap automorfisme 7 ) himpunan tersebut Grup
automorfisme ini dinotasikan merupakan grup simetris Setiap ) dan yaitu simpul ) membentuk! di mana merupakan jumlah Oleh karena itu automorfisme lengkap membentuk himpunan yang memenuhi sifat-sifat grup grup yang spesifik yaitu grup simetri dengan jumlah anggota yang sistematis DAFTAR PUSTAKA Arifin Achmad 000 Aljabar Bandung: Penerbit ITB Schaum: Matematika Diskrit Jakarta: Penerbit Salemba Teknika Bondy JA & USR Murty 008 Graduate Text in Mathematics: Graph Theory New York: Springer-Verlag Morris Joy Automorphism Groups of Circulant Graphs a Survey 5 Juli 0 http:// wwcsulethca/~morris/research/ AutSurveypdf Damayanti Reni Tri 0 Automorfisme Graf Bintang dan Graf Lintasan Jurnal Cauchy : 6-0 Munir Rinaldi 00 Matematika Diskrit Bandung: Penerbit Informatika Bandung Diestel Reinhard 005 Graph Theory New York: Springer-Verlag Sukirman 0 Struktur Aljabar Jakarta: Penerbit Universitas Terbuka Erdös dan Rėnyi Asymmetric Graphs 0 November 0 http://mabit orghu/ ~perdos/96-0pdf Tabar Fath 007 The Automorphism Group of Finite Graphs Iranian Journal of Mathematical Sciences and Informatics : 9- Ferland Kevin 009 Discrete Math: An Introduction Boston: Houghton Mifflin Company Wikipedia Graph of Group 7 September 0 http://enwikipediaorg/wiki/ Graph_of_groups Gallian Joseph A 998 Contemporary Abstract Algebra Boston: Houghton Mifflin Company Godsil Chris dan Gordon Royle 00 Algebraic Graph Theory New York: Springer-Verlag Wikipedia Kaliningrad 7 September 0 http://enwikipediaorg/wiki/ Kaliningrad Holton DA dan J Sheehan 99 The Petersen Graph New York: Cambridge University Press Wikipedia Konigsberg 7 September 0 https://enwikipediaorg/wiki/ K%C%B6nigsberg Jajcay Robert 000 The Structure of Automorphism Groups of Cayley Graphs and Maps Journal of Algebraic Combinatorics : 7 8 Wikipedia Group Isomorphism Desember 0 https://enwikipediaorg/wiki/ Group_isomorphism Lipschutz Seymor dan Marc Lars Lipson 00 Seri Penyelesaian Soal 75