II. TINJAUAN PUSTAKA. Pendahuluan Uji perbandingan dua distribusi merupakan suatu tekhnik analisis ang dilakukan untuk mencari nilai parameter ang baik diantara dua distribusi. Tekhnik uji perbandingan ini nantina akan memberikan gambaran mengenai parameter ang baik. Untuk melakukan uji perbandingan diperlukan beberapa toeri pendukung. Dan pada bab II ini akan dibahas mengenai dasar dasar teori ang digunakan dalam melakukan uji perbandingan dua distribusi Weibull dengan metode Likelihood Ratio Test (LRT), seperti distribusi Weibull, metode kemungkinan maksimum (Maximum Likelihood Estimation), uji rasio kemungkinan (Likelihood Ratio Test), dan statistik T.. Distribusi Weibull Distribusi Weibull diperkenalkan oleh fisikawan Swedia Waloddi Weibull pada tahun 939. Distribusi Weibull dapat dipakai pada persoalan keandalan dan pengujian masa hidup (life testing) seperti waktu sampai rusak atau masa hidup suatu sistem diukur dari suatu waktu tertentu sampai rusak. Distribusi Weibull sering digunakan untuk menghitung peluang masa hidup suatu alat, dan disebut juga sebagai distribusi waktu tunggu hingga gagal. Distribusi Weibull sering digunakan dalam pemodelan analisis kelangsungan hidup ang memiliki daerah fungsi peluang densitas positif dengan peubah acak kontinu. 6
Definisi. : Suatu peubah acak X dikatakan berdistribusi weibull dengan parameter dan jika fungsi densitasna adalah sebagai berikut f x = x e x ; x >, >, > Dengan parameter sebagai parameter skala ang menskala peubah X, dan parameter sebagai parameter bentuk ang menentukan bentuk rate function X Teorema : Misalkan X adalah suatu peubah acak berdistribusi weibull dengan parameter α dan, maka rata rata dan variansna adalah : E(X) = Γ +, dan Var(X) = Γ + Γ + (kundu dan Manglick, ). Bukti : i. E (X) Untuk mencari rataan dari distribuis Weibull gunakan persamaan sebagai berikut : f x = x (x ) e E x = x f x dx = x x e x dx 7
= x e x dx Misal = (x) x = dx = d Menentukan nilai batas integral, Untuk x =, = x =, = (.) Dengan mensubtitusikan hasil pemisalan dan batas integral, dipeoleh E x = e d = e d = e d sehingga diperoleh E (x) = Γ + 8
ii. Var (X) Untuk mencari rataan dari distribusi Weibull gunakan persamaan sebagai berikut : Var x = E x E(x) (.) Pertama cari nilai E x sebagai berikut E x = x f x dx = x x e x dx = x + e x dx Dengan mensubtitusikan persamaan (.), diperoleh E x = e d = e d = e d Sehingga diperoleh peroleh E x = Γ + (.3) Subtitusikan persamaan (.3) ke persamaan (.), Var x = E x E(x) Var x = Γ + Γ + 9
Var x = Γ + Γ +.3 Distribusi Generalized Weibull Model distribusi Generalized Weibull merupakan salah satu model umum ang dapat diterapkan dalam data hidup. Penerapan model distribusi Generalized Weibull dilakukan untuk mengatasi kesulitan dalam memilih model peluang dalam data kelangsungan hidup. Model ini dipilih karena memiliki potensi ang bagus untuk mencocokan data kelangsungan hidup. Menurut Hermita dkk (7), distribusi Generalized Weibull didefinisikan sebagai berikut : Defiinisi. Misalkan X adalah peubah acak dari distribusi Generalized Weibull dengan tiga parameter, maka fungsi kepekatan peluang dari peubah acak tersebut adalah f x = δ x α δ e x α δ ; α < x <, α, >, δ > Dimana X = peubah acak ang didefinisikan sebagai waktu mati/rusak/gagal (Failure Time) α = Parameter lokasi ang menunjukan lokasi waktu, dimana pada saat lokasi waktu tersebut belum ada objek pengamatan ang mati/gagal maupun hilang δ = Parameter skala pengamatan ang mati/rusak/gagal maupun hilang = Parameter bentuk ang menunjukkan laju kematian/kerusakan data distribusi Generalized Weibull
.4 Metode Newton-Raphson Metode ini merupakan metode umum ang paling sering digunakan dalam mencari akar akar persamaan kuadrat. Jika perkiraan awal dari akar adalah xi, suatu garis singgung dapat dibuat dari titik (xi, ʃ (xi). Titik dimana garis singgung tersebut memotong sumbu x biasana memberikan perkiraan ang lebih dekat dari nilai akar. Ada dua pendekatan ang dapat dilakukan dalam menurunkan rumus metode Newton-Raphson, aitu :. Penurunan secara Geometri. Misal f(x) = adalah suatu persamaan ang mempunai akar x dan f dapat didiferensialkan, sehingga = f(x) memiliki garis singgung disetiap titik pada kurva fungsina. Missal gradien garis singgung di x n adalah Atau m = f x r = Δ Δx = f x n x n x n+ f x r = f(x n ) x n x n+ Maka prosdeur iterasi Newton Raphsonna adalah x n+ = x n f x n f x n, f x n. Penurunan dengan deret Talor Uraikan f x n+ disekitar x n ke dalam deret talor
f x n+ = f x n + x n+ x n f x n + x n+ x n f t ; x < t < x n+ Jika dipotong sampai suku orde ke-, menjadi f x n+ f x n + x n+ x n f (x n ) Dan karena persoalan mencari akar persamaan, maka f x n+ =, sehingga f x n+ f x n + x n+ x n f x n = x n+ = x n f(x n) f (x n ) ; f x n Iterasi Newton Raphson berhenti apabila Atau x n+ x n < ε x n+ x n x n+ < δ Dengan ε dan δ adalah toleransi galat ang diinginkan. Langkah langkah dalam memtode Newton Raphson adalah. Masukkan nilai awal x sembarang. Tentukan fungsi f x n dan turunan pertamana 3. Masukkan persamaan fungsi f x n dan turunan pertamana kedalam rumus Newton Raphson sampai dengan eror < ε, sehingga diperoleh akar fungsi (Ares, 964).
.5 Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Estimation Method) Metode kemungkinan maksimum atau ang biasa ditulis dengan MLE merupakan metode ang digunakan untuk menduga suatu sebaran dengan memilih parameter duga dengan memaksimumkan fungsi kemungkinan. Menurut Herrhanto dan Gantini (9), metode kemungkinan maksimum didefinisikan sebagai berikut : Definisi.3 Misalkan X adalah peubah acak kontinu atau diskrit dengan fungsi kepekatan peluang f(x; ), dengan adalah satu sampel ang tidak diketahui. Misalkan x, x, x n merupakan sampel acak berukuran n, maka fungsi kemungkinan maksimum (likelihood function) dari sampel acak tersebut adalah L = f x ; f x n ; f x n ; Dalam hal ini, fungsi kemungkinan adalah fungsi dari parameter ang tidak diketahui. Biasana untuk mempermudah proses analisa, fungsi kemungkinan L diberi log natural (ln). penduga kemungkinan maksimum dari adalah nilai ang memaksimumkan fungsi kemungkinan L..6 Uji Rasio Kemungkinan (Likelihood Ratio Test) Misalkan X, X,....., Xn melambangkan n peubah acak independent ang memiliki masing masing fungsi kepekatan peluang f i x i ;,,, n ; i =,,, n. Deret ang terdiri dari semua titik parameter (,,, n ) dinotasikan dengan Ω dan kita 3
sebut sebagai parameter. Misalkan ω menjadi sebuah himpunan bagian dari ruang parameter Ω Kita inginkan hipotesis H (,,, n ) ω, jika bukan maka merupakan hipotesis alternatif. Definisi.6 n L ω = f i x i ;,,, n, (,,, n ) ω i= Dan n L Ω = f i x i ;,,, n, (,,, n ) Ω i= Misalkan L ω dan L Ω maksimum, dan kita asumsikan ada dari dua fungsi kemungkinan. Rasio dari L ω dan L Ω disebut rasio kemungkinan (Likelihood Ratio) dan dinotasikan sebagai berikut : L x, x,, x n = L ω L Ω (Hogg and Craig,978)..7 Statistik T Menurut Kundu dan Manglick (), statistik T merupakan logaritma natural (ln) dari rasio kemungkinan maksimum (Likelihood Ratio) dan dinotasikan sebagai berikut λ = ln L x, x,, x n = ln L ω L Ω Statistik T memiliki karakteristik aitu jika T > maka akan mengikuti distribusi pembilang, dan untuk T lainna maka akan mengikuti distribusi penebut. 4