II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf dan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori penelitian ini. 2. Konsep Dasar Graf Teori dasar mengenai graf yang akan digunakan dalam penelitian ini diambil dari Deo (989). Graf G adalah himpunan terurut, dengan menyatakan himpunan titik tak kosong dan menyatakan himpunan sisi yakni pasangan tak terurut dari. Banyaknya himpunan titik disebut orde dari graf. Misalkan dan adalah titik pada graf, jika dan dihubungkan oleh sisi, maka v dan w dikatakan bertetangga, sedangkan titik dan dikatakan menempel dangan sisi, demikian juga sisi dikatakan menempel dengan titik dan. Himpunan tetangga dari suatu titik, dinotasikan dengan adalah himpunan titik-titik yang bertetangga dengan.
6 Gambar 2.. Contoh graf dengan 6 titik dan 6 sisi Pada Gambar 2., Graf, dengan =,,,,,, dan =,,,,,. Titik bertetangga dengan titik, sedangkan dan menempel dengan. Sebaliknya menempel dengan dan. Derajat,, adalah 2, derajat adalah 3, derajat adalah dan derajat adalah 4. Loop adalah sisi yang memiliki titik awal dan titik akhir yang sama. Sisi paralel adalah sisi yang memiliki dua titik ujung yang sama. Graf yang tidak mempunyai sisi paralel atau loop disebut graf sederhana. Graf pada Gambar 2. bukan merupakan graf sederhana karena pada graf tersebut terdapat loop, yaitu pada titik. Pada graf terhubung, jarak diantara dua titik dan adalah panjang lintasan terpendek diantara kedua titik tersebut, dinotasikan dengan,. Istilah lain yang sering muncul pada pembahasan graf adalah jalan, lintasan dan sirkuit. Jalan adalah barisan berhingga dari titik dan sisi dimulai dan diakhiri sedemikian sehingga setiap sisi menempel dengan titik sebelum dan sesudahnya. Contoh jalan
7 berdasarkan Gambar 2. adalah. Lintasan adalah jalan yang melewati titik yang berbeda-beda. Graf G dikaitkan graf terhubung jika terdapat lintasan yang menghubungkan setiap dua titik yang berbeda. Pada Gambar 2. Contoh lintasan adalah. Graf lingkaran adalah graf sederhana yang setiap titik berderajat dua. Graf lingkaran dengan n simpul dilambangkan dengan. Contoh graf lingkaran adalah. Sirkuit adalah lintasan tertutup, yaitu lintasan yang memiliki titik awal dan titik akhir yang sama. Sirkuit dibedakan menjadi dua macam, yaitu sirkuit genap dan sirkuit ganjil. Sirkuit genap adalah sirkuit dengan banyaknya titik genap, dan sirkuit ganjil adalah sirkuit dengan banyaknya titik ganil. Contoh sirkuit berdasarkan pada Gambar 2. adalah. Lemma 2. Deo 989 Misalkan G V, E adalah graf terhubung dengan E = e, maka : 2
8 Sebagai contoh pada graf Gambar 2. adalah 2 + 2 + 3 + + 4 + 2 = 4 = dua kali jumlah sisi. Teorema 2.2 Deo 989 Untuk sembarang graf G, banyaknya titik yang berderajat ganjil, selalu genap. Bukti : Misalkan V dan V masing-masing adalah himpunan-himpunan titik yang berderajat genap dan berderajat ganjil pada,. Maka persamaan dapat ditulis sebagai berikut : Karena untuk setiap, maka suku pertama dari ruas kanan persamaan harus bernilai genap. Ruas kiri persamaan juga harus bernilai genap. Nilai genap pada ruas kiri hanya benar bila suku kedua dari ruas kanan juga harus genap. Karena untuk setiap V, maka banyaknya titik di dalam v harus genap agar jumlah seluruh derajatnya bernilai genap. Jadi banyaknya titik yang berderajat ganjil selalu genap.
9 2.2 Graf Petersen Graf Petersen, adalah graf dengan 2 titik {,, {,, dan sisi, dan. Berikut ini diberikan beberapa contoh graf Petersen Gambar 2.2 Graf Petersen, Gambar 2.3 Graf Petersen,
0 2.3 Bilangan Kromatik Lokasi Bilangan kromatik lokasi graf pertama kali dikaji oleh Chartrand dkk. pada tahun 2002, dengan mengembangkan dua konsep dalam graf yaitu pewarnaan titik pada graf dan dimensi partisi graf. Misalkan c suatu pewarnaan sejati di G dengan untuk u dan v yang bertetangga di G. Misalkan adalah himpunan titik-titik yang diberi warna, yang selanjutnya disebut dengan kelas warna, maka,,, adalah himpunan yang terdiri dari kelas-kelas warna dari. Kode warna, dari v adalah k-pasang terurut,,,,,,.,, dengan, =, untuk. Jika setiap titik di G mempunyai kode warna yang berbeda, maka c disebut pewarnaan lokasi dari G. Banyaknya warna minimum yang digunakan pada pewarnaan bilangan kromatik lokasi dari G, dan dinotasikan dengan. 2 2 2 2 Gambar 2.4. Contoh Bilangan Kromatik dengan 2 Teorema 2.3 (Chartrand dkk. 2002) Misalkan c adalah pewarnaan lokasi pada graf G. Jika dan adalah dua titik yang berbeda di G sedemikian sehingga,
, untuk semua,, maka. Secara khusus, jika dan titik-titik yang tidak bertetangga di G sedemikian sehingga, maka. Bukti : Misalkan adalah suatu pewarnaan lokasi pada graf terhubung G dan misalkan,,, adalah partisi dari titik-titik G kedalam kelas warna. Untuk suatu titik,, andaikan sedemikian sehingga titik u dan v berada dalam kelas warna yang sama, missal dari. Akibatnya,,, 0. Karena,, untuk setiap, maka,, untuk setiap,. Akibatnya, sehingga c bukan pewarnaan lokasi. Jadi,. Akibat 2.4 (Chartrand dkk. 2002) Jika G adalah graf terhubung dengan suatu titik yang bertetangga mempunyai k daun, maka. Bukti : Misalkan v adalah suatu titik yang bertetangga dengan k daun,,., di G. Berdasarkan Teorema 2. setiap pewarnaan lokasi dari G mempunyai warna yang berbeda untuk setiap pewarnaan lokasi dari G mempunyai warna yang berbeda untuk setiap,,2,,. Karena v bertetangga semua, maka harus mempunyai warna yang berbeda dengan daun. Akibatnya.
2 3 2 8 2 2 3 3 Gambar 2.5. Pewarnaan lokasi minimum pada graf G Diberikan graf G seperti yang terlihat pada Gambar 2.4. Akan ditentukan terlebih dahulu batas bawah bilangan kromatik lokasi pada graf G. Karena terdapat titik yang mempunyai 2 daun, maka berdasarkan Akibat 2., 3. Selanjutnya, akan ditentukan batas atas bilangan kromatik lokasi dari graf G. Titik-titik pada dipartisi sebagai berikut : = {,, } ; = {,, } ; = {,, }. Kode warnanya ialah = { 0,,2 }; = {,0, }; = { 2,,0 }; = { 0,, }; = {,0,2 }; = {,2,0 } ; = {,,0 } ; = { 2,0, } ; = { 0,2, }. Karena kode warna semua titik di berbeda, maka pewarnaan tersebut merupakan lokasi dengan 3.. Berdasarkan persamaan dan diperoleh 3.. Teorema 2.5 (Chartrand dkk. 2002) Jika k adalah derajat maksimum di graf G maka.
3 Teorema 2.6 (Chartrand dkk. 2002) Bilangan kromatik lokasi graf lintasan 3) adalah 3. Bukti : Perhatikan bahwa dan 2. Jelaskan bahwa 3 untuk 3. Berdasarkan teorema, dengan k derajat titik maksimum. Karena pada, = 2 maka + 2. Akibatnya 3. Jadi terbukti 3. 2 3 2 2 V V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 Gambar 2.6. Pewarnaan lokasi minimum pada graf lintasan, 3. Teorema 2.7 (Chartrand dkk. 2002) Jika a dan b bilangan bulat dengan dan b 2, maka,= b +. Bukti : Berdasarkan Akibat 2.4, diperoleh batas bawah yaitu,= b +. Selanjutnya, akan ditentukan batas atasnya, yaitu, ) = b +. Misalkan c adalah pewarnaan titik menggunakan warna sebagaimana terlihat pada Gambar 2.5. Perhatikan bahwa kode warna dari setiap titik, berbeda, Akibatnya c adalah pewarnaan lokasi. Jadi, b +.
4 2 2 a u b + V 3 b a + Gambar 2.7. Pewarnaan lokasi minimum pada,. Chartrand dkk.(2003) telah mendapatkan bentuk graf pohon berorde 5 yang memiliki bilangan kromatik lokasi dari 3 sampai n, kecuali. Teorema 2.8 (Chartrand dkk. 998) Pada graf lingkaran untuk n titik, ( ) = 3 jika n adalah bilangan ganjil dan ( ) = 4 maka n adalah bilangan genap.