Beberapa Distribusi Peluang Diskrit <Christine Suryadi> Departemen Teknik Informatika Institut Teknologi Bandung Page 1
Isi : Distribusi Seragam Distribusi Binomial Distribusi Multinomial Page 2
Distribusi Seragam Bila peubah acak X mendapatkan harga x 1, x 2,... x k, dengan peluang yang sama maka distribusi seragam diskrit diberikan oleh: 1 f ( x; k) = x = x1, x2,... k Contoh : Bila sebuah dadu dilantunkan, tiap elemen ruang sampel S = {1,2,3,4,5,6} muncul dengan peluang 1/6. Jadi, merupakan distribusi peluang dengan f (x; 6) = 1/6, x = 1,2,3,4,5,6. x k Page 3
Contoh : Misalkanlah seorang terpilih secara acak dari 10 karyawan untuk mengawasi suatu proyek. Tiap karyawan berpeluang sama untuk terpilih, yaitu 1/10. Misalkanlah karyawan tersebut telah dinomori dari 1 sampai 10, distribusinya adalah seragam dengan f (x;10) = 1/10, x = 1,2,...,10. Histogram distribusi seragam akan selalu membentuk suatu susunan persegi panjang dengan tinggi yang sama. Page 4
Teorema 1 Rataan dan Variansi distribusi seragam diskret f (x;k) adalah k 2 µ = xi dan σ = ( xi µ) i= 1 k Contoh : Hitunglah rataan dan variansi untuk contoh dadu. k i= 1 k 2 Page 5
Distribusi Binomial Suatu percobaan sering terdiri atas beberapa usaha, tiap usaha dengan dua kemungkinan hasil yang dapat diberi nama sukses dan gagal. Percobaan seperti ini disebut percobaan binomial. Suatu percobaan binomial ialah yang memenuhi persyaratan berikut : 1. Percobaan terdiri atas n usaha yang berulang 2. Tiap usaha memberikan hasil yang dapat dikelompokkan sukses atau gagal. 3. Peluang sukses, dinyatakan dengan p, tidak berubah dari usaha yang satu ke yang berikutnya. 4. Tiap usaha bebas dengan usaha lainnya. Page 6
Pandang suatu percobaan binomial yang berupa pengambilan tiga bahan secara acak dari suatu pabrik, diperiksa, dan kemudian yang cacat dipisahkan dari yang tidak cacat. Bahan yang cacat disebut sukses. Banyaknya sukses merupakan suatu peubah acak yang harganya adalah bilangan bulat dari nol sampai 3. Tuliskanlah kedelapan hasil yang mungkin dari harga X nya. Page 7
Hasil proses dianggap menghasilkan 25% bahan yang cacat. Dalam bentuk tabel : X 0 1 2 3 F(x) 27/64 27/64 9/64 1/64 Page 8
Definisi 1 Banyaknya sukses X dalam n usaha suatu percobaan binomial disebut suatu peubah acak binomial. Distribusi peluang peubah acak binomial X disebut distribusi Binomial dan dinyatakan dengan b (x;n,p), karena nilainya tergantung pada banyaknya usaha (n) dan peluang sukses dalam suatu usaha (p). Page 9
Tiap sukses terjadi dengan peluang p dan kegagalan dengan peluang q = 1 p. Dalam percobaan tersebut yang menghasilkan x sukses dan n x yang gagal. Banyaknya ini sama dengan banyaknya cara memisahkan n hasil menjadi dua kelompok sehingga x hasil berada pada kelompok pertama dan sisanya n x hasil pada kelompok kedua, jumlah ini dapat dinyatakan dengan n x Page 10
Distribusi Binomial Bila suatu usaha binomial dapat menghasilkan sukses dengan peluang p dan gagal dengan peluang q = 1 p, maka distribusi peluang peubah acak binomial X yaitu banyaknya sukses dalam n usaha bebas, ialah n x n x b( x; n, p) = p q x= 1,2, L, n. x Page 11
Contoh : Suatu suku cadang dapat menahan goncangan tertentu dengan peluang ¾. Hitunglah peluang bahwa tepat dua dari empat suku cadang yang diuji tidak akan rusak. Jawab : Page 12
Contoh : Seorang penderita sakit darah yang jarang terjadi mempunyai peluang 0,4 untuk sembuh. Bila diketahui ada 15 orang yang telah mengidap penyakit tersebut, berapakah peluangnya : 1. Paling sedikit 10 akan sembuh. 2. Antara 3 sampai 8 yang sembuh. 3. Tepat 5 yang sembuh. Jawab : Page 13
Teorema 2 Distribusi binomial b (x;n,p) mempunyai rataan dan variansi µ = np dan σ 2 = npq Contoh : Hitunglah rataan dan variansi untuk contoh di atas. Page 14
Umumnya, bila suatu usaha dapat menghasilkan k hasil yang mungkin E 1, E 2,,E k dengan peluang p 1,p 2,, p k, maka distribusi multinomial akan memberikan peluang bahwa E 1 terjadi sebanyak x 1 kali, E 2 x 2 kali,... E k x k kali dalam n usaha bebas dengan x 1 + x 2 + + x k = n. Distribusi peluang gabungan seperti ini dinyatakan dengan f(x 1, x 2,, x n ; p 1,p 2,, p k,n). Jelas p 1 +p 2,+ + p k= 1, karena hasil tiap usaha haruslah salah satu dari k hasil yang mungkin. Page 15
Distribusi Multinomial Bila suatu usaha tertentu dapat menghasilkan k macam hasil E 1, E 2,,E k dengan peluang p 1,p 2,, p k, maka distribusi peluang acak X 1,X 2,, X k, yang menyatakan terjadinya E 1, E 2,,E k dalam n usaha yang bebas ialah n x1 x2 x f(x 1, x 2,, x n ; p 1,p 2,, p k,n) = p p... p k 1 2 k x 1 x 2... x k dengan k i=1 x i = n dan k i= 1 p i = 1 Page 16
Ini dapat dikerjakan dengan cara sebanyak x n = n! x... 1 2 x k x1! x2!... xk! Karena tiap bagian saling terpisah dan terjadi dengan peluang yang sama, maka distribusi mutinomial dapat diperoleh dengan mengkalikan peluang untuk tiap urutan tertentu dengan banyaknya sekatan. Page 17
Contoh : Bila dua dadu dilantunkan 6 kali, berapakah peluang mendapat jumlah 7 atau 11 muncul 2 kali, sepasang bilangan yang sama 1 kali dan pasangan lainnya 3 kali? Page 18