Modul Responsi. Statistika Dasar. Dosen Pengampu: Widiarti, M.Si. Penyusun:

Transkripsi

1 Daftar Isi Modul Responsi Statistika Dasar Dosen Pengampu: Widiarti, M.Si. Penyusun: Firmansyah Feri Krisnanto Mei Rusfandi Ichwan Almaza Muammar Rizki F.I. Faiz Azmi Rekatama Edisi 1 (2017) Laboratorium Komputasi Dasar Jurusan Ilmu Komputer FMIPA Universitas Lampung i

2 Daftar Isi Deskripsi Mata Kuliah Pendahuluan statistika; Penyajian data: Macam Diagram: Diagram batang dan daun, Histogram dan Boxplot, Macam-macam ukuran: Ukuran pemusatan data, Ukuran penyebaran data, Skewness (kemiringan), dan Kurtosis (keruncingan); Peubah Acak: Diskrit dan Kontinu; Distribusi: Bernaulli, Binomial, Poisson, Normal, dan Pendekatan Normal terhadap Binomial; Distribusi sampling; Pendugaan Paramater Selang: Rata-rata, proporsi, selisih ratarata (berpasangan dan tidak berpasangan), dan selisih proporsi; Pengujian Hipotesis: Ratarata, proporsi, selisih rata-rata (berpasangan dan tidak berpasangan), ragam (variansi); Analisis Regresi: Linier dan berganda; Analisis Korelasi: Linier dan berganda. Tujuan Perkuliahan Agar mahasiswa dapat memahami materi statistika dasar beserta mengimplementasikannya. Deskripsi Isi Perkuliahan Bahasan dalam perkuliahan ini mencakup jenis-jenis data, ukuran pemusatan dan penyebaran data, penyajian data dalam bentuk diagram, peluang dan peubah acak, distribusi peluang diskrit, distribusi binomial, distribusi poisson, dan distribusi normal baku. ii

3 Daftar Isi Daftar Isi Daftar Isi... iii Jenis-jenis Data Tujuan Jenis-Jenis Data... 4 Ukuran Pemusatan dan Penyebaran Data Tujuan Ukuran Pemusatan Data Ukuran Penyebaran Data Penyajian Data Dalam Bentuk Diagram Tujuan Pengertian Penyebaran Data Macam-Macam Penyajian Data dalam Bentuk Diagram Peluang dan Peubah Acak Tujuan Definisi Peluang Peubah Acak Distribusi Peluang Diskret Tujuan Distribusi Peluang Distribusi Peluang Diskrit Distribusi Binomial Tujuan Percobaan Binomial Pengertian Percobaan Binomial Distribusi Poisson Tujuan Pengertian Distribusi Poisson Distribusi Normal Baku Tujuan Pengertian Distribusi Normal Baku Jenis-Jensi Distribusi Normal Baku iii

4 Jenis-jenis Data Pertemuan 1 Jenis-jenis Data Tujuan Instruksional : Tujuan dari materi ini adalah memahami jenis-jenis data pada statistika dasar Kompetensi yang Diharapkan : Mahasiswa diharapkan dapat membedakan data yang satu dengan data yang lainnya. Waktu Pertemuan : 100 menit Praktikum #1 berisi materi tentang bagaimana cara memahami jenis-jenis data pada statistika dasar. 1.1 Tujuan Data adalah hasil pengukuran yang bisa memberikan gambaran suatu keadaan atau memberikan suatu informasi. Dalam pembelajaran kali ini mahasiswa harus memahami dan mengerti jenis-jenis data yang ada pada statistika dasar. Memahami segala definisi atau penjelasan yang lebih terperinci dari masing-masing jenis data. Mengetahui perbedaan dari jenis-jenis data, mampu memberikan contoh dari masing-masing data tersebut. Statistika merupakan point penting dari segala aspek, berbagai macam data yang mendukung fakta dan opini di dunia dimuat dalam statis untuk mempermudah manusia dalam mengambil keputusan dan tindakan oleh karena itu, dalam pembelajaran mata kuliah statistika ini perlu diketahui tentang arti statistika dan skala pengukuran. 1.2 Jenis-Jenis Data 1. Pengertian Data Dari mana data diperoleh? Data dapat diperoleh dari sumber internal (internal data) dan sumber eksternal (external data). Data internal adalah data yang didapat oleh organisasi itu sendiri untuk keperluan operasi sehari-hari. 4

5 1.2 Jenis-Jenis Data Organisasi dimaksud dapat berupa instansi pemerintah maupun swasta, misalnya departemen-departemen, Biro Pusat Statistik, BAPPENAS, BUMN, perusahaan-perusahaan swasta dan sebagainya. Sedangkan, data eksternal adalah data yang didapat dari luar organisasi yang bersangkutan, biasanya menggambarkan keadaan di luar organisasi tersebut. 2. Data Kuantitatif dan data Kualitatif DATA KUANTITATIF Banyak data yang berbentuk angka atau bilangan, misalnya luas tanah, jumlah penduduk dan sebagainya. Untuk jenis data ini dapat dilakukan perhitunganperhitungan atau operasi matematika, seperti penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan sebagainya. Data kuantitatif nilainya bisa berubahubah sehingga disebut variabel. Data kuantitatif dapat dibagi atas: Data Interval Ukuran data mempunyai interval atau jarak, misalnya berat badan antara kg. Data Rasio Data berupa angka dalam arti yang sebenarnya, sehingga mempunyai nilai nol. Data jenis ini diperoleh melalui pengukuran dan memiliki tingkat pengukuran paling tinggi diantara jenis data lainnya. DATA KUALITATIF Data kualitatif adalah data yang bukan berbentuk angka atau bilangan, misalnya kepuasan pelanggan (sangat puas, puas, kurang puas dan sebagainya), sehingga kita tidak dapat melakukan operasi matematika terhadapnya. Jenis data ini disebut atribut. Data kualitatif dapat dibagi atas: Data nominal Ukuran data nominal adalah kategori, misalnya jenis kelamin, laki-laki atau wanita, tempat tinggal dan sebagainya. Dilihat dari tingkat pengukuran data, 5

6 1.2 Jenis-Jenis Data data nominal mempunyai tingkatan yang paling rendah dari jenis data lainnya. Hal tersebut karena walaupun dalam prakteknya data ini bisa diangkakan, tetapi terhadapnya tidak bisa dilakukan operasi matematika. Contoh pemberian angka tersebut di atas misalnya, angka 1 untuk yang tinggal di Jakarta, 2 untuk yang tinggal di Bandung, 3 untuk Surabaya dan sebagainya. Data Ordinal Data ordinal hampir sama dengan data nominal, hanya saja data orrdinal mempunyai tingkatan data atau urutan kelas, ada yang lebih tinggi ada yang lebih rendah. Contoh data ini adalah data tentang kepuasan pelanggan, yang dibagi menjadi sangat puas, tidak puas, antara puas dan tidak puas, tidak puas dan sangat tidak puas. Data ordinal mempunyai tingkatan yang lebih tinggi dari data nominal. Walaupun mempunyai tingkatan, terhadap jenis data ini kita tetap tidak dapat melakukan operasi matematika. 3. Data Internal dan Data Eksternal DATA INTERNAL Data yang berasal dari dalam organisasi atau perusahaan sendiri. Data jenis ini biasanya berkaitan langsung dengan organisasi sendiri, misalnya data keuangan (neraca, laporan laba-rugi dan sebagainya), data kepegawaian, data produksi dan lain-lain. DATA EKSTERNAL Data yang berasal bukan dari dalam organisasi perusahaan sendiri. Data ini sering tidak berkaitan langsung dengan organisasi sendiri, misalnya data tentang jumlah kendaraan di Jakarta, jumlah penduduk di suatu desa dan lainlain. 4. Data Primer dan Data Sekunder DATA PRIMER Data yang dukumpulkan, diolah serta diterbitkan sendiri oleh organisasi yang menggunakannya. Contoh jenis data ini adalah data kependudukan yang dibuat 6

7 1.2 Jenis-Jenis Data oleh Biro Pusat Statistik, data tentang pertanian yang dibuat oleh Departemen Pertanian dan sebagainya. DATA SEKUNDER Data yang tidak dibuat atau diterbitkan oleh penggunanya, misalnya data tentang jumlah kendaraan dari Departemen Perhubungan merupakan data primer bagi Departemen tersebut karena dibuat dan diterbitkannya, tapi merupakan data sekunder bagi PT X sebagai pengguna, yang mendapatkannya dari sumber lain (misalnya media massa) yang mengutipnya. Jadi, orang bisa mendapatkan data sekunder dari harian, majalah, buletin dan media massa lainnya yang mengutip data dari sumber-sumber lain yang menerbitkannya (misalnya data dikutip dari departemen, Biro Pusat Statistik, Bank Indonesia dan lain-lain). Dengan demikian, data eksternal bisa berupa data primer, bisa juga berupa data sekunder. 7

8 Ukuran Pemusatan dan Penyebaran Data Pertemuan 2 Ukuran Pemusatan dan Penyebaran Data Tujuan Instruksional : Pokok bahasan ini mengenalkan bagaimana melakukan ukuran pemusatan dan penyebaran data Kompetensi yang Diharapkan : Mahasiswa diharapkan dapat mengatasi masalah dengan melakukan ukuran pemusatan data dan penyebaran data Waktu Pertemuan : 2 x 100 menit 2.1 Tujuan Pembandingan suatu data sangat sulit dilakukan jika tidak menggunakan pemustaan data begitu juga dengan penyebaran data, sehingga ukuran pemusatan data digunakan membandingkan dua ( populasi ) atau contoh, karena sangat sulit untuk membandingkan masing-masing anggota dari masing-masing anggota populasi atau masing-masing anggota data contoh. Untuk itu dalam pembelajaran ini mahasiswa bisa melakukan ukuran pemusatan data dan penyebaran data. 2.2 Ukuran Pemusatan Data Ukuran Pemusatan merupakan ukuran yang dapat melihat bagaimana data tersebut mengumpul, ukuran pemusatan data yaitu mencari sebuah nilai yang dapat mewakili dari suatu rangkaian data. Adapun istilah lain dari ukuran pemusatan data adalah ukuran tendensi sentral. A. Macam-macam ukuran pemusatan data : a) Rata-rata hitung (mean) b) Rata-rata harmonis (harmonic mean) c) Rata-rata ukur (geometric mean) d) Median e) Modus 8

9 Ukuran Pemusatan dan Penyebaran Data f) Rata-rata gabungan g) Mean dengan rata-rata sementara B. Rumus untuk menentukan nilai ukuran pemusatan data : a) Rata-rata hitung X = total x / n b) Rata-rata harmonis H = n / total setengah x c) Rata-rata ukur GM = akar x1, x2, x3,..., xi d) Median Me = jumlah dua data ditengah / 2 e) Modus merupakan data yang sering muncul. Ada pula ukuran pemusatan terbagi menjadi 2 (dua) yaitu ukuran pemusatan data yang belum di kelompokan dan ukuran pemusatan data yang di kelompokan. Dengan ini saya akan membahas tentang ukuran pengukuran pemusatan data yang belum di kelompokan. Untuk sementara ini, saya akan membahas data yang berdimensi satu. Ukuran pemusatan yang di bahas di BAB 2 ini adalah rata-rata, modus, dan median. Di dalam ukuran pemusatan yang belun di kelompokan ada : rata-rata,modus, dan median. Bedanya dengan macam-macam ukuran pemusatan,yang belum di kelompokan ini hanya di bagi menjadi 3 yaitu yang tadi diatas adalah rata-rata, modus, dan median. 1. Rata-rata Rata-rata atau yang sering kita sebut juga dengan mean merupakan rasio dari total nilai pengamatan dengan banyaknya pengamatan. Bila data dari perubah acak X sebanyak n buah dinotasi dengan x1, x2, x3,..., xn. 2. Modus Modus merupakan data paling sering muncul dari pengamatan yang telah di peroleh. Dari data pengamatan apabila ada satu modus atau satu data yang memiliki frekuensi paling banyak di sebut sebagai unimodus, apabila 9

10 Ukuran Pemusatan dan Penyebaran Data ada dua data yang memiliki frekuensi paling banyak di sebut dengan bimodus,dan seterusnya. Notasi dari modus dalam buku ini adalah m. 3. Median Mendain adalah ukuran pemusatan di mana data tersebut terbagi menjadi dua sama banyak. Median di notasikan dengan M. Untuk data yang belum di kelompokan, tentunya data ini harus di urutkan terlebih dahulu dari data yang terkecil hingga data yang terbesar. 2.3 Ukuran Penyebaran Data Ukuran penyebaran data adalah suatu ukuran untuk mengetahui seberapa jauh penyebaran data dari nilai rata-ratanya. Istilah lain dari ukuran penyebaran data adalah ukuran dispersi. A. Macam-macam ukuran penyebaran data: a) Jangkauan atau dengan istilah lain yaitu range. b) Simpangan rata-rata c) Varians d) Quartil e) Jangkauan quartil B. Beberapa rumus untuk menentukan nilai ukuran penyebaran data : 1. Range R = Xt Xr 2. Simpangan rata-rata Sr = total x - i dibagi n 3. Varians V = (total x - i)kuadrat dibagi n 4. Jangkauan quartil Jq = q3 - q1 Keragaman atau variasi setiap kumpulan data daoat di ukur dengan menggunakan suatu nilai numerik yang di sebut sebagai ukuran penyebaran data. Ada beberapa ukuran penyebaran data,yaitu : 10

11 Ukuran Pemusatan dan Penyebaran Data Rentang Rentang atau yang biasa di sebut dengan range yang di beri notasi j. Range terebut ialah ukuran variasi yang paling sederhana. Sesungguhnya telah kalian pelajari ketikan membahas langkah-langkah untuk mengubah data mentah menjadi lebel distribusi frekuensi kelompok,rentang data mendefisinikan sebagai selisih antara datum terbesar dengan datum data terkecil. Kalian juga dapat mengatakan bahwa semakin kecil rentang dari distribusi data, semakin cenderung kita menganggap bahwa mean dapat mewakili data yang bersangkutan secara represensentatif. Sebaliknya, semakin besar rentang dari suatu distribusi data, semakin cenderung kita mengatakan bahwa mean yang kita peroleh tidak dapat di gunakan untuk mewakili data yang bersangkutan. Simpangan interkuartil Simpangan interkuartil adalah ukuran penyebaran data yang lebih baik dari pada rentang, karena ia mengukur rentang dari 50% data yang di tengah. Sebagai alternatif, dapat juga di gunakan sebagai simpangan kuartil atau rentang semi-interkuartil, yang di definisikan sebagai setengah dari rentang interkartil. Oleh karena itu simpangan kuartil di rumuskan sebagai bertikut, Qn = setengah (Q3 - Q1) Pada simpangan kuartil, ukuran penyebaran hanya di tentukan oleh nilai kuartil data. Akan tetapi tidak demikian pada ukuran penyabaran simpangan data-data, ragam dan simpangan baku. 11

12 Penyajian Data Dalam Bentuk Diagram Pertemuan 3 Penyajian Data Dalam Bentuk Diagram Tujuan Intruksional : Pokok Bahasan ini menekankan Mahasiswa agar memahami penyajian data dalam bentuk diagram Kompetensi Yang Diharapkan : 1. Mahasiswa diharapkan telah memahami data-data yang ada pada bentuk diagram Waktu Pertemuan : 100 Menit Praktikum #3 berisi materi tentang cara memahami data-data yang ada pada bentuk diagram 3.1 Tujuan Tujuan yang ingin dicapai pada mata kuliah ini adalah mengenalkan dan mengerti bagian-bagian dari data yang berbentuk diagram. Dari masing-masing data yang berbentuk diagram tersebut mahasiswa mampu menjelaskannya. Memberi gambaran yang sistematis tentang peristiwa-peristiwa yang merupakan hasil penelitian atau observasi, Data lebih cepat ditangkap dan dimengerti. 3.2 Pengertian Penyebaran Data Penyajian data merupakan salah satu kegiatan dalam pembuatan laporan hasil penelitan yang telah dilakukan agar dapat dipahami dan dianalisis sesuai dengan tujuan yang diinginkan. Data yang disajikan harus sederhana dan jelas agar muda dibaca. Penyajian data juga dimaksudkan agar para pengamat dapat dengan mudah memahami apa yang kita sajikan untuk selanjutnya dilakukan penilaian atau perbandingan, dan lain-lain. 3.3 Macam-Macam Penyajian Data dalam Bentuk Diagram a. Diagram batang 12

13 Penyajian Data Dalam Bentuk Diagram Dalam penyajian data dengan diagram batang, data di sajikan dalam bentuk batang yang berbentuk persegi panjang yang di gambarkan vertikal atau horizontal dengan lebar sama. Contoh : b. Diagram garis Diagram garis di gunakan untuk menyajikan data yang menunjukkan perkembangan suatu data dari waktu ke waktu. Contoh : Hasil panen padi nasional Indonesia senantiasa berubah dari tahun ke tahun. Hasil panen dari tahun di sajikan dalam diagram berikut. 13

14 Penyajian Data Dalam Bentuk Diagram c. Diagram lingkaran Diagram lingkarang di gunakan untuk menunjukkan perbandingan antar item data dengan cara membagi lingkaran dalam juring-juring lingkaran dengan sudut pusat yang sesuai dengan perbandingan tersebut. Contoh: Gambar : diagram lingkaran menunjukkan perbandingan dan persentase data satu dan yang lainnya. Daftar jumlah siswa kelas X Rpl 1 yang mengambil pelajaran ekstrakurikuller musik adalah 9 orang, tari 5 orang, Futsal 6 orang, basket 8 orang dan ekstrakurikuller lainnya 12 orang. Jumlah seluruh siswa = = 40 Perbandingan dan persentase untuk masing-masing pelajaran adalah sebagai berikut. Musik : 9/40 = 22,5 % ; Tari : 5/40 = 12,5% ; Futsal: 6/40 = 15%; Basket 8/40 = 20%; dan lain-lain 12/40 = 30%. 14

15 Peluang dan Peubah Acak Pertemuan 4 Peluang dan Peubah Acak Tujuan Instruksional : Pokok bahasan ini menjelaskan pengertian, perhitungan peluang dan peubah acak. Kompetensi yang Diharapkan : Mahasiswa diharapkan dapat memahami dan melakukan perhitungan peluang dan peubah acak. Waktu Pertemuan : 2 x100 menit Praktikum #4 berisi materi tentang peluang dan peubah acak. Peluang memiliki banyak fungsi yang masing-masing dari peluang mempunyai sifatnya tersendiri. 4.1 Tujuan Pada praktikum kali ini mahasiswa akan dikenalkan dengan peubah acak, peluang, berbagai macam peubah acak. Dan mampu menyelesaikan masalah masalah berkaitan dengan peluang dan peubah acak. 4.2 Definisi Peluang Peluang adalah Kejadian atau peristiwa merupakan himpunan bagian dari ruang sampel Definisi peluang : Peluang suatu kejadian yang diinginkan adalah perbandingan banyaknya titik sampel kejadian yang diinginkan itu dengan banyaknya anggota ruang sampel kejadian tersebut. Peluang disebut juga dengan nilai kemungkinan. Contoh : Pada percobaan melempar sebuah dadu bermata 6, pada ruang sampelnya terdapat 15

16 Peluang dan Peubah Acak sebanyak 6 titik sampel, yaitu munculnya sisi dadu bermata 1, 2, 3, 4, 5, dan 6. Kejadian-kejadian yang mungkin terjadi misalnya : Munculnya mata dadu ganjil Munculnya mata dadu genap Munculnya mata dadu prima Jika pada percobaan tersebut diinginkan kejadian munculnya mata dadu prima, maka mata dadu yang diharapkan adalah munculnya mata dadu 2, 3, dan 5, atau sebanyak 3 titik sampel. Sedang banyaknya ruang sampel adalah 6, maka peluang kejadian munculnya mata dadu prima adalah 3/6 Atau: Menyatakan nilai peluang suatu kejadian pada suatu percobaan dapat dinyatakan dengan menggunakan cara : Contoh: Pada percobaan melempar sebuah koin bersisi angka (A) dan gambar (G) dengan sebuah dadu bermata 1 sampai 6 bersama-sama sebanyak satu kali. Berapa peluang munculnya pasangan koin sisi gambar dan dadu mata ganjil? Banyaknya kejadian munculnya pasangan gambar dan mata dadu ganjil ada 3, yaitu (G,1), (G,3) dan (G,5). Peluang kejadian munculnya pasangan gambar dan mata dadu ganjil adalah Peubah Acak Bidang statistika berurusan dengan penarikan inferensi tentang populasi dan sifat populasi. Percobaan yang dilakukan memberi hasil yang berkemungkinan. Pengujian sejumlah suku cadang merupakan suatu contoh percobaan statistika, suatu istilah yang memberikan setiap proses yang menghasilkan pengamatan yang berkemungkinan. Sering sekali amat penting mengaitkan suatu bilangan sebagai pmberian hasil tersebut. Sebagai contoh, ruang sampel yang memberikan secara rinci setiap kemungkinan hasil bila tiga suku cadang elektronik di uji dapat ditulis sebagai : 16

17 Peluang dan Peubah Acak T = { BBB, BBC, BCB, BCC, CBC, CCB, CCC } Bila B menyatakan baik dan C menyatakan cacat. Tentunya kita ingin mengetahui berapa banyaknya cacat yang terjadi. Jadi setiap titik diruang sampel akan dikaitkan dengan suatu bilangan 0, 1, 2, atau 3. Bilangan ini, tentunya besaran acak yang ditentukan oleh hasil percobaan. Bilangan ini dapat dipandang sebagai nilai yang dicapai oleh peubah acak X, banyaknya barang yang cacat bila tiga suku cadang diuji. Defenisi 1 : Peubah acak adalah suatu fungsi yang mengaitkan suatu bilangan real pada setiap unsur dalam ruang sampel. Peubah acak akan dinyatakan dengan huruf besar, misalnya X, sedangkan nilainya dinyatakan dengan huruf kecil padananya, misalnya x. Dalam contoh suku cadang elektronik tadi, peubah acak X mendapat nilai 2 untuk semua unsur pada semua bagian E = { CCB, CBC, BCC } Dari ruang sampel T. Jadi, tiap kemungkinan nilai X menggambarkan suatu kejadian yang merupakan ruang bagian dari ruang sampel percobaan tersebut. 17

18 Distribusi Peluang Diskret Petemuan 5 Distribusi Peluang Diskret Tujuan Instruksional : Pokok bahasan ini menjelaskan tentang konsep kerja dari peluang diskrit, serta rumus dan penjelasannya. Kompetensi yang Diharapkan : Mahasiswa diharapkan dapat memahami konsep dari peluang diskret, serta mahasiswa dapat menyelesaikan permasalahan-permasalahan dan soal-soal peluang dikret. Waktu Pertemuan : 100 menit Praktikum #1 Pertemuan ini membahas tentang materi-materi berhubungan dengan peluang Diskrit, Konsep dan rumus penyelesaiannya. 5.1 Tujuan Dengan diperkenalkannya konsep dari peluang diskrit mahasiswa diharapkan dapat mengerti jenis dan karakteristik dari beberapa distribusi peluang. Dan dapat melakukan pengujian terhadap fungsi distribusi peluang dari suatu data. 5.2 Distribusi Peluang Distribusi peluang merupakan tabel, grafik atau rumus yang memberikan nilai peluang dari sebuah peubah/variabel acak. Berdasarkan karakteristik peubah acaknya, distribusi peluang dapat dibedakan menjadi dua, yakni distribusi peluang diskrit dan distribusi peluang kontinyu. 5.3 Distribusi Peluang Diskrit Distribusi peluang diskrit adalah distribusi peluang dimana semesta peubah acaknya dapat dihitung atau berhingga, misalnya peubah acak sebuah lemparan dadu bernilai 1 18

19 Distribusi Peluang Diskret hingga 6. Apabila himpunan pasangan terurut (x, f(x)) merupakan suatu fungsi peluang, fungsi masa peluang, atau distribusi peluang peubah acak diskrit x maka untuk setiap kemungkinan hasil x berlaku: a. f(x) > 0 b. xxx c. P (X=x) = f(x) Beberapa distribusi peluang diskrit adalah : a. Distribusi seragam (Uniform) Pada distribusi ini setiap peubah acak memiliki nilai peluang yang sama. Jika X adalah adalah suatu peubah acak dengan nilai x 1, x 2,..., x k masing-masing memiliki nilai peluang yang sama, maka distribusi seragam dapat dituliskan: xxx Contoh distribusi seragam adalah distribusi peluang munculnya angka dadu (1 hingga 6) ketika dilempar, yaitu 1/ Distribusi Peluang Kontinu Distribusi Peluang Kontinu dapat bernilai tak hingga dalam suatu jangkauan yang spesifik. Nilai rata-rata dan variansi dari sebuah distribusi peluang dapat dihitung sebagai berikut : Rumus Menghitung Rata-rata : Rumus Menghitung Variansi : 19

20 Distribusi Binomial Petemuan 6 Distribusi Binomial Tujuan Instruksional : Pokok bahasan pada perkuliahan ini adalah memahami arti-arti penting dari distribusi binomial. Kompetensi yang Diharapkan : Mahasiswa diharapkan dapat memahami dan mengerti distribusi binomial. Waktu Pertemuan : 100 menit Praktikum #6 berisi materi tentang bagaimana distribusi binoal beserta contohcontohnya. 6.1 Tujuan Tujuan Materi Distribusi Binomial 1. Mengetahui contoh percobaan binomial dalam kehidupan sehari-hari 2. Mengetahui pengertian dan cara menghitung peluang dari distribusi binomial 3. Dapat menghitung peluang dari distribusi binomial dengan menggunakan tabel 4. Dapat menghitung rata-rata, ragam, dan simpangan baku untuk distribusi binomial 6.2 Percobaan Binomial Dalam berbagai macam permasalahan peluang hanya memiliki dua kemungkinan hasil atau dapat disederhanakan menjadi dua kemungkinan yaitu berhasil atau gagal. Sebagai contoh, ketika suatu koin dilempar, maka kita akan mendapat angka atau gambar. Ketika seorang bayi lahir, maka seorang bayi tersebut merupakan bayi laki-laki atau perempuan. Dalam permainan bola basket, tim yang bermain bisa menang atau kalah. Keadaan benar/salah tersebut dapat dijawab 20

21 Distribusi Binomial dengan dua cara, yaitu benar atau salah. Kondisi-kondisi lainnya dapat disederhanakan untuk menghasilkan dua kemungkinan. Sebagai contoh, suatu pengobatan medis dapat diklasifikasikan sebagai efektif atau tidak efektif, tergantung hasilnya. Seseorang dapat dikategorikan memiliki tekanan darah normal atau tidak normal, tergantung dari pengukuran tekanan darahnya. Pertanyaanpertanyaan pilihan ganda, walaupun memiliki empat atau lima pilihan jawaban, dapat diklasifikasikan menjadi benar atau salah. Kondisi-kondisi yang telah dicontohkan tersebut dinamakan percobaan binomial. 6.5 Pengertian Percobaan Binomial Percobaan binomial merupakan suatu percobaan yang memenuhi empat syarat berikut: 1. Terdapat n kali percobaan. 2. Masing-masing percobaan hanya dapat menghasilkan dua kemungkinan, atau hasil yang diperoleh dapat disederhanakan menjadi dua kemungkinan. Hasil yang diperoleh tersebut dapat dianggap sebagai hasil yang sukses atau gagal. 3. Hasil dari masing-masing percobaan haruslah saling bebas. 4. Peluang untuk sukses harus sama untuk setiap percobaan. 5. Suatu percobaan binomial dan hasilnya memberikan distribusi peluang khusus yang disebut sebagai distribusi binomial. Hasil-hasil percobaan binomial dan peluang yang bersesuaian dari hasil tersebut dinamakan distribusi binomial. Dalam percobaan binomial, hasil-hasilnya seringkali diklasifikasikan sebagai hasil yang sukses atau gagal. Sebagai contoh, jawaban benar suatu pertanyaan pilihan ganda dapat diklasifikasikan sebagai hasil yang sukses, sehingga pilihan jawaban lainnya merupakan jawaban yang salah dan diklasifikasikan sebagai hasil yang gagal. Notasi-notasi yang umumnya digunakan dalam percobaan binomial dan distribusi binomial adalah sebagai berikut. 21

22 Distribusi Binomial Notasi P(S) P(F) p q Keterangan Simbol untuk peluang sukses. Simbol untuk peluang gagal. Peluang sukes. Peluang gagal. P(S) = p dan P(F) = 1 p = q n X Banyaknya percobaan Banyaknya sukses dalam n kali percobaan Perhatikan bahwa 0 X n dan X = 0, 1, 2, 3,, n. Rumus Peluang Binomial Dalam suatu percobaan binomial, peluang untuk mendapatkan tepat X sukses dalam n percobaan adalah Untuk mengetahui bagaimana ilustrasi dari rumus peluang binomial tersebut bermula, perhatikan Contoh 1 berikut. 22

23 Distribusi Poisson Petemuan 7 Distribusi Poisson Tujuan Instruksional : Pokok bahasan ini untuk mengenalkan kepada Mahasiswa agar dapat mengerti Distribusi Poisson Kompetensi yang Diharapkan : Mahasiswa diharapkan dapat memahami bahwa Distribusi Poisson penting bagi statistika dasar Waktu Pertemuan : 2 x 100 menit Praktikum #7 berisi materi tentang pengenalan kepada Mahasiswa agar dapat mengerti Distribusi Poisson. 7.1 Tujuan Praktikum ini bertujuan untuk mengenalkan apa arti distribusi poisson, apa saja macamnya dan bagaimana cara membedakan dengan distribusi yang lainnya. 7.2 Pengertian Distribusi Poisson Distribusi Poisson (dilafalkan [pwasɔ ]) adalah distribusi probabilitas diskret yang menyatakan peluang jumlah peristiwa yang terjadi pada periode waktu tertentu apabila rata-rata kejadian tersebut diketahui dan dalam waktu yang saling bebas sejak kejadian terakhir. (distribusi Poisson juga dapat digunakan untuk jumlah kejadian pada interval tertentu seperti jarak, luas, atau volume). Distribusi ini pertama kali diperkenalkan oleh Siméon-Denis Poisson ( ) dan diterbitkan, bersama teori probabilitasnya, pada tahun 1838 dalam karyanyarecherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile ( Penelitian Probabilitas Hukum Masalah Pidana dan Perdata ). Karyanya memfokuskan peubah acak N yang menghitung antara lain jumlah 23

24 7.1 Tujuan kejadian diskret (kadang juga disebut "kedatangan") yang terjadi selama interval waktu tertentu. Apabila nilai harapan kejadian pada suatu interval adalah, maka probabilitas terjadi peristiwa sebanyak k kali (k adalah bilangan bulat non negatif, k = 0, 1, 2,...) maka sama dengan dimana e adalah basis logaritma natural (e = ) k adalah jumlah kejadian suatu peristiwa peluang yang diberikan oleh fungsi ini k! adalah faktorial dari k λ adalah bilangan riil positif, sama dengan nilai harapan peristiwa yang terjadi dalam interval tertentu. Misalnya, peristiwa yang terjadi rata-rata 4 kali per menit, dan akan dicari probabilitas terjadi peristiwa k kali dalam interval 10 menit, digunakan distribusi Poisson sebagai model dengan λ = 10 4 = 40. Sebagai fungsi k, ini disebut fungsi massa probabilitas. Distribusi Poisson dapat diturunkan sebagai kasus terbatas distribusi binomial. Distribusi Poisson dapat diterapkan pada sistem dengan kejadian berjumlah besar yang yang mungkin terjadi, yang mana kenyataannya cukup jarang. Contoh klasik adalah peluruhan nuklir atom. - Rumus Proses Poisson Distribusi Poisson dalam konteks yang lebih luas dari pada rumus pertama tadi. Sebagai ilustrasi, misalkan pada hari Senin ini adalah jam kerja yang sibuk pada suatu bank, dan kita tertarik oleh jumlah nasabah yang mungkin datang selama jam kerja tersebut, dengan ketertarikan kita sebenarnya terletak pada interval waktu dan jumlah kedatangan dalam interval waktu jika proses kedatangannya mempunyai karakteristik sebagai berikut: 24

25 7.1 Tujuan 1. Tingkat kedatangan rata rata setiap unit waktu adalah konstant. Dalam ilustrasi tadi dapat berarti bahwa jika tingkat kedatangan rata rata untuk periode jam adalah, misalkan 72 kedatangan setiap jam, maka tingkat ini melambangkan interval waktu pada jam kerja tadi : yaitu tingkat yang dapat dirubah kepada rata rata yaitu 36 kedatangan setiap ½ jam atau 1.2 kedatangan setiap menit. 2. Jumlah kedatangan pada interval waktu tidak bergantung pada ( bebas apa yang terjadi di interval waktu yang sudah lewat. Dalam ilustrasi tadi, dapat berarti bahwa kesempatan dari sebuah kedatangan di menit berikutnya adalah sama. 3. Tidak memiliki kesamaan bahwa akan lebih dari satu kedatangan dalam interval pendek, semakin pendek interval, semakin mendekati nol adalah probabilitas yang lebih dari satu kedatangan. Dalam ilustrasi tadi, bisa berarti bahwa adalah tidak mungkin untuk lebih dari satu nasabah yang dapat melawati jalan masuk dalam waktu satu detik. Rumus proses poisson : P ( x ) = e λ. t. ( λ. t ) x X! Dimana :λ = Tingkat rata rata kedatangan tiap unit waktu t = Jumlah unit waktu x = Jumlah kedatangan dalam t unit waktu Contoh soal : Jika rata rata kedatangan λ = 72 setiap jam, berapakah peluang dari x = 4 kedatangan dan t = 3 menit. Gunakan proses poisson.! Jawab : Dik : λ = 72 kedatangan setiap jam atau 72 / jam maka 1 jam atau 60 menit adalah unit waktunya. Berarti 3 menit adalah 3 / 60 = 1 / 20 unit waktu maka t t = 1 / 20 dan x = 4 P ( x ) = e λ. t. ( λ. t ) x X! P ( x ) = e 72. ( 1/ 20 ). ( / 20 ) 4 4!= atau 19.1 % 25

26 Distribusi Normal Baku Petemuan 8 Distribusi Normal Baku Tujuan Instruksional : Pokok bahasan ini dikenalkan distribusi normal baku dan hal-hal mengenai distribusi normal baku Kompetensi yang Diharapkan : Mahasiswa diharapkan dapat memahami hal-hal penting tentang distribusi normal baku Waktu Pertemuan : 3 x 100 menit 8.1. Tujuan Pada bagian ini, akan dikenalkan distribusi normal baku dan hal-hal mengenai distribusi normal baku 8.2 Pengertian Distribusi Normal Baku Distribusi normal baku (standar) adalah distribusi peubah acak dengan ratarata 0 dan varian 1. Peubah acak normal baku dilambangkan dengan Z yang merupakan hasil transformasi dari peubah acak X yang berdistribusi normal. Bentuk transformasi peubah acak tersebut adalah sebagai berikut. Oleh karena itu fungsi : Perbandingan distribusi normal peubah acak x dan dengan distribusi normal standar z: 26

27 Distribusi Normal Baku 8.3 Jenis-Jensi Distribusi Normal Baku Distribusi kurva normal dengan m sama dan s berbeda 27

28 Distribusi Normal Baku Distribusi kurva normal dengan m berbeda dan s sama Distribusi kurva normal dengan m dan s berbeda Fungsi Denitas Distribusi Normal Fungsi densitas distribusi normal diperoleh dengan persamaan sebagai berikut 28

29 Distribusi Normal Baku dimana π = 3,1416 e = 2,7183 µ = rata-rata σ = simpangan baku Persamaan di atas bila dihitung dan diplot pada grafik akan terlihat seperti pada Gambar 1 berikut. Gambar 1. kurva distribusi normal umum Sifat-sifat penting distribusi normal adalah sebagai berikut: 1. Grafiknya selalu berada di atas sumbu x 2. Bentuknya simetris pada x = µ 3. Mempunyai satu buah modus, yaitu pada x = µ 4. Luas grafiknya sama dengan satu unit persegi, dengan rincian o Kira-kira 68% luasnya berada di antara daerah µ σ dan µ + σ o Kira-kira 95% luasnya berada di antara daerah µ 2σ dan µ + 2σ o Kira-kira 99% luasnya berada di antara daerah µ 3σ dan µ + 3σ Membuat kurva normal umum bukanlah suatu pekerjaan yang mudah. Lihat saja rumus untuk mencari fungsi densitasnya (nilai pada sumbu Y) begitu rumit. Oleh karena itu, orang tidak banyak menggunakannya. Orang lebih banyak menggunakan DISTIBUSI NORMAL BAKU. Kurva distribusi normal baku diperoleh dari distribusi normal umum dengan cara transformasi nilai x menjadi nilai z, dengan formula sbb: Kurva distribusi normal baku disajikan pada Gambar 2 berikut ini. 29

30 Distribusi Normal Baku Gambar 2. Kurva distribusi normal baku Kurva distribusi normal baku lebih sederhana dibanding kurva normal umum. Pada kurva distribusi normal baku, nilai µ = 0 dan nilai σ=1, sehingga terlihat lebih menyenangkan. Namun, sifat-sifatnya persis sama dengan sifat-sifat distribusi normal umum. Untuk keperluan praktis, para ahli statistika telah menyusun Tabel distribusi normal baku dan tabel tersebut dapat ditemukan hampir di semua buku teks Statistika. Tabel distribusi normal bakui disebut juga dengan Tabel Z dan dapat digunakan untuk mencari peluang di bawah kurva normal secara umum, asal saja nilai µ dan σ diketahui. Sebagai catatan nilai µ dan σ dapat diganti masing-masing dengan nilai dan S. Berikut adalah tabel distribusi normal standar, untuk P (X < x), atau dapat diilustrasikan dengan luas kurva normal standar dari X = minus takhingga sampai dengan X = x. 30

31 Distribusi Normal Baku 31

32 Distribusi Normal Baku Tabel Z 32