HW week 4 solution. Setelah anda mempelajari empat jenis ensambel, cobalah untuk membuat ensambel baru yang terkait dengan suatu sistem, yang mana sistem dapat: bertukar energi dengan lingkungan dan berada pada kesetimbangan termal pada suhu T, partikel dapat keluar masuk ke dalam sistem dan berada pada kesetimbangan potensial kimia µ, volume dapat berubah-ubah dan berada dalam kesetimbangan mekanik dengan tekanan P. Tunjukkan bahwa tidak ada besaran potensial termodinamik yang terkait dengan fungsi partisi yang anda peroleh dari ensambel semacam ini. Jawaban: Ditinjau suatu sistem banyak partikel dalam wadah terbuka yang berada dalam kesetimbangan termal dengan lingkungan pada suhu T, kesetimbangan potensial kimia dengan lingkungan pada nilai potensial kimiaµ, dan volumenya dapat berubah-ubah pada kesetimbangan tekanan p. Tinjau suatu ensambel terdiri dari N kopi sistem dengan keadaan makro yang identik, yaitu pada T, p dan µ tertentu. Masing-masing sistem ini memiliki sejumlah partikel N dalam wadah bervolume (untuk semua kemungkinan nilainya) dan berada pada titik ruang fase tertentu. Semua ruang fase untuk setiap N =, 2,... dan kemudian dibagi menjadi sel-sel yang sama besarnya ω, yang dilabeli dengan i, N dan. Indeks i, N, menunjukkan sel ruang fase i dalam ruang fase dengan jumlah partikel N dan volume tertentu. Di dalam setiap sel ruang fase ini akan terdapat sejumlah n, kopi sistem, dan kita akan mencari distribusi yang paling terbolehjadi {n, } bagi keseluruhan ensambel. Distribusi n, ini harus memenuhi empat kondisi. n, = N (), Kedua, untuk nilai termperatur tertentu, terdapat energi rerata d n, E i = N < E i >= N U (2), d d i, n, N = N N (3) n, = N < > (4) Dengan logika yang sama seperti pada enjabaran ensambel-ensambel sebelumnya, akan kita dapatkan bahwa total probabilitas untuk suatu distribusi diberikan oleh W {n, } = N!, (ω, ) n n,! (5)
hanya saja sekarang sel-sel ruang fase dilabeli dengan tiga indeks, dan ω, adalah probabilitas mendapatkan satu keadaan mikro di dalam sel ω,. Untuk mendapatkan distribusi yang paling terbolehjadi, dicari nilai ekstrim dari logaritma pers. (5), ln W {n, } = N ln N N d [(n, ln n, ) n, ln ω, ] (6) yaitu d ln W {n, } = d [ln n, ln ω, ]dn, = 0. (7) Karena n, saling terkait dengan pers. () - (4), maka dipakai metode pengali Lagrange, dengan pengali Lagrangenya λ, β, α, dan γ λ d dn, = 0 (8) β d E i dn, = 0 (9) α d Ndn, = 0 (0) γ d dn, = 0 () Bila keseluruhanya dijumlah, diperoleh d [ln n, ln ω, λ + βe αn γ ]dn, = 0 (2) Sekarang semua dn, saling independen, sehingga koefisien dalam kurung siku di atas harus lenyap. Sehingga diperoleh kondisi untuk distribusi yang paling terbolehjadi sebagai berikut n, = ω, e λ exp[ βe i + αn + γ ] (3) Nilai e λ ditentukan melalui (), sedangkan probabilitas ω, untuk sel ruang fase yang seukuran dianggap sama. Sehingga dari pers. () diperoleh p, = n, N = exp( βe i + αn + γ ), + exp( βe i + αn + γ ), (4) 2
yang diinterpretasikan sebagai probabilitas ruang fase. Untuk kasus dengan spektrum energi kontinu, persamaan ini menjadi rapat ruang fase makrokanonik exp( βh(q i, p i ) + αn + γ ) ρ Mk (N,, q i, p i ) = d h d 3N qd 3N p exp[ βh(q 3N i, p i ) + αn + γ ) (5) Kita sebut saja bagian penyebut persamaan di atas sebagai fungsi partisi Z = d d 3N qd 3N p exp[ βh(q i, p i ) + αn + γ )] (6) Nilai β, α dan γ dapat ditentukan melalui formulasi entropi sebagai rerata ensambel dari logaritma rapat ruang fase S =< k ln ρ >. Dari pers. (5), kita peroleh S(β, γ, α) = d d 3N qd 3N p ρ Mk [k ln Z+kβH(q i, p i ) kαn kγ ] (7) Suku pertama dalam kurung segi di atas tidak bergantung pada titik di ruang fase, dan juga tidak bergantung pada jumlah partikel, sehingga bisa ditarik keluar dari integral ruang fase dan penjumlahan jumlah partikel, dan yang tersisa adalah integral normalisasi. Suku kedua dalam kurung persegi tidak lain adalah rerata dari energi, suku kedua adalah rerata jumlah partikel, dan suku terkahir adalah rerata volume. Sehingga kita peroleh S(β,, α) = k ln Z(β, γ, α) + kβu kα < N > kγ < > (8) Perlu diperhatikan bahwa karena pers. (2), β dapat merupakan fungsi dari U dan α, demikian pula karena pers. (3), α dapat merupakan fungsi dari < N > dan β, serta karena pers. (4), γ dapat merupakan fungsi dari < > dan β. Sehingga derivatif dari S terhadap U menghasilkan U = β β k ln Z(β, γ, α) + k U + kβ (9) U β U Dengan memakai ln Z β = ku, maka sehingga β = /kt. U = T Derivatif S terhadap jumlah partikel menghasilkan < N > = = kβ (20) α α k ln Z(β, γ, α) k < N > kα (2) < N > α < N > 3
Dengan memakai sehingga α = µ/kt. k ln Z α = k < >, maka < N > = µ T Derivatif S terhadap volume menghasilkan < > = = kα (22) γ γ k ln Z(β, γ, α) k < > kγ (23) < > γ < > Dengan memakai k ln Z γ = k < >, maka sehingga γ = P/kT. < > = P T = kγ (24) Bila hasil untuk β, α dan γ kita kembalikan ke pers. (8), dan menyusun ulang hasilnya agar sesuai dengan bentuk yang dikenal dalam termodinamika, akan kita peroleh U T S µ < N > +P < >= kt ln Z Mk (T, P, µ) (25) Tetapi sisi kiri persamaan di atas lenyap, sehingga sisi kanan tidak ada artinya, atau dengan kata lain fungsi partisi tersebut tidak terkait dengan besaran potensila termodinamika apapun. 2. Sistem N buah osilator harmonik memiliki Hamiltonan yang diberikan oleh 3N p 2 i H = 2m + mω2 2 q2 i i= Sistem ini berada dalam keadaan kesetimbangan termal dengan lingkungan pada suhu T. Ensambel apa yang cocok digunakan untuk menganalisa sistem ini? Hitunglah entropi dan panas jenis pada volume konstan untuk sistem ini. Jawaban: Karena jumlah partikel tetap sedangkan energi dapat bertukar dengan lingkungan, maka ensambel yang cocok adalah ensambel kanonik. Fungsi partisinya adalah Z(T,, N) = 3N i dp i exp( β p2 i 2m ) dq i exp( β( mω2 qi 2 ) 2 Integral terhadap momentum tidak lain adalah integral gaussian ( dp i exp( β p2 i 2mπ ) /2 2m ) = β 4
Integral posisi juga integral gaussian sehingga dan energi bebas Helmoltz Entropi diberikan oleh Energi dalamnya dq i exp( β( mω2 q 2 i 2 Z(T,, N) = ) = ) 3N ωβ F (T,, N) = 3NkT ln S = F T [ = 3Nk ln,n U = F + T S = 3NkT dan kapasitas panas pada volume konstan C = U T = 3Nk ) /2 mω 2 β ) ωβ ) ] + ωβ 3. Dengan menggunakan ensambel makrokanonik, hitunglah Entropi, potensial kimia, dan kapasitas panas volume konstan, untuk gas ultrarelativistik yang berada dalam wadah bervolume. Ingat bahwa setiap partikel gas ultrarelativistik memiliki energi kinetik yang diberikan oleh E = p c, dengan p adalah momentum dan c adalah kecepatan cahaya. Jawaban: Fungsi partisi makrokanoniknya Z(T,, µ) = e N 3N dp i dq i exp( β i N p i c) i Integral terhadap posisi bebas dan hanya memberikan sumbangan volume e N N Z(T,, µ) = N i 0 4πp 2 i dp i exp( βp i c) Integral ini dapat dikonversikan ke fungsi gamma, dan hasilnya Z(T,, µ) = ( 8 πe (βch) 3 ) N 5
Fungsi grand potensialnya diberikan oleh Entropinya diberikan oleh Φ = kt ln S = Φ [ = k ln T,µ Jumlah rerata partikel diberikan oleh Energi dalamnya ( 8 πe (βch) 3 ) N N = Φ = NkT ln µ,t ( 8 πe (βch) 3 ) N µ kt + 3 ] U = Φ + T S + µn = 3NkT dan kapasitas panas pada volume konstan C = U T = 3Nk ( 8 πe (βch) 3 ) Silahkan bekerja sama/berkelompok dalam mengerjakan tugas, tapi jangan bekerja sama ketika ujian!!! 6