(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. September 26, 2011
Diberikan sejumlah terhingga bilangan a 1,..., a N, kita dapat menghitung jumlah a 1 + + a N. Namun, diberikan tak terhingga banyaknya bilangan a 1, a 2, a 3,..., bagaimana kita menghitung atau memaknai a 1 + a 2 + a 3 +? Misalkan a n adalah suatu barisan bilangan real. Definisikan barisan s N dengan s N := N a n = a 1 + + a N, N N. Untuk tiap N N, s N dikenal sebagai jumlah parsial ke-n dari deret a n, dan a n disebut suku ke-n dari deret tersebut.
Jika s N s untuk N, maka deret a n dikatakan konvergen ke s. Dalam hal ini s disebut sebagai jumlah deret tersebut dan kita tuliskan a n = s. Jika s N divergen, maka deret a n dikatakan divergen. Catatan. Indeks n dapat berjalan mulai dari 0, sehingga kita mempunyai deret a n. Indeks n dapat pula berjalan mulai dari n=0 sembarang bilangan asli n 0.
Contoh 1 Deret geometri merupakan barisan jumlah parsial s N = N 1 2 n 1 2 n = 1 1 2 N, yang konvergen ke 1. Jadi dalam hal ini kita dapat menuliskan 1 2 n = 1.
Secara umum, deret geometri x n = 1 + x + x 2 + x 3 +... n=0 mempunyai jumlah parsial s N = N n=0 x n = 1 x N+1. 1 x Jika x < 1, maka x N+1 0 untuk N ; sehingga Jadi, untuk x < 1, deret s N 1, untuk N. 1 x n=0 Jika x 1, maka deret divergen. x n konvergen ke 1 1 x.
Contoh 2 Daftar Isi Deret mempunyai jumlah parsial 1 n(n + 1) s N = = N 1 N n(n + 1) = ( 1 1 2 ) + = 1 1 N + 1. ( 1 n 1 ) n + 1 ( 1 2 1 3) + + ( 1 N 1 N + 1 )
Di sini s N 1 untuk N, sehingga deret di atas konvergen dan mempunyai jumlah 1, yakni 1 n(n + 1) = 1.
Proposisi 3 Daftar Isi Jika deret a n konvergen, maka a n 0 untuk n. Bukti. Misalkan a n = s. Maka s N = untuk N. Akibatnya, N a n s, a N = s N s N 1 s s = 0, untuk N.
Proposisi 3 menyatakan bahwa lim a n = 0 merupakan syarat n perlu untuk kekonvergenan deret a n. Sebagai contoh, ( 1) n divergen, karena lim n ( 1)n 0 (persisnya, lim n ( 1)n tidak ada). Kebalikan dari Proposisi 3 tidak berlaku: lim a n = 0 bukan n merupakan syarat cukup untuk menjamin bahwa deret a n 1 konvergen. Sebagai contoh, lim n n = 0, tetapi 1 n divergen.
Proposisi 4 (Kriteria Cauchy) Deret a n konvergen jika dan hanya jika untuk setiap ɛ > 0 k+p terdapat N N sedemikian sehingga a n < ɛ untuk k N dan p N. n=k
Proposisi 5 Daftar Isi Misalkan a n dan b n konvergen ke a dan b berturut-turut. Jika λ dan µ adalah bilangan real sembarang, maka (λa n + µb n ) konvergen ke λa + µb.
Bukti. Perhatikan bahwa N N N (λa n + µb n ) = λ a n + µ λa + µb untuk N, menurut Proposisi 5 pada Bab 3. b n
Soal Latihan Daftar Isi 1 Tunjukkan bahwa 4 4n 2 1 = 2. 2 Tentukan jumlah parsial deret ( 1) n, dan simpulkan bahwa deret ini divergen. 3 Apakah deret n 100n+1 konvergen? 4 Buktikan Proposisi 4. 5 Misalkan deret a n konvergen. Buktikan bahwa, untuk setiap N N, deret N. n=n a n konvergen dan n=n a n 0, untuk
Deret yang suku-sukunya bernilai positif (atau tak negatif) termasuk deret yang mudah dipelajari, karena jumlah parsialnya membentuk barisan naik. Jadi, jika kita ingin menunjukkan bahwa deret tersebut konvergen, kita hanya perlu menunjukkan bahwa barisan jumlah parsialnya terbatas di atas. Jika barisan jumlah parsialnya tak terbatas di atas, maka deret tersebut konvergen ke +. Proposisi 6 Misalkan a n 0 untuk tiap n N. Maka, a n konvergen jika dan hanya jika barisan jumlah parsialnya terbatas (di atas).
Contoh 7 Deret mempunyai suku-suku yang bernilai positif. Jumlah parsialnya, yaitu s N = 1 + 1 2 2 + + 1 N 2, membentuk barisan naik dan terbatas di atas (lihat Contoh 12 pada Bab 3). Karena itu deret di atas konvergen (namun pada saat ini kita belum dapat menghitung jumlah deret tersebut). 1 n 2
Contoh 8 Deret mempunyai suku-suku yang bernilai positif. Jumlah parsialnya, yaitu 1 n s N = 1 + 1 2 + + 1 N, membentuk barisan naik yang tak terbatas di atas (Soal Latihan 3.4 no. 5). Jadi deret ini konvergen ke +.
Akibat 9 (Uji Perbandingan) Misalkan 0 a n b n untuk tiap n N. (i) Jika b n konvergen, maka a n konvergen. (ii) Jika a n divergen, maka b n divergen. Bukti. (i) Misal b n konvergen. Untuk tiap N N, a 1 + a 2 + + a N b 1 + b 2 + + b N. Karena jumlah parsial di ruas kanan terbatas, jumlah parsial di ruas kiri juga terbatas. Akibatnya a n konvergen.
Akibat 10 (Uji Limit Perbandingan) Misalkan a n 0 dan b n > 0 untuk tiap n N. Misalkan pula a lim n n b n = L 0. Maka a n dan b n keduanya konvergen atau keduanya divergen.
Soal Latihan Daftar Isi 1 Selidiki kekonvergenan deret 1 n!. 2 Misalkan r n adalah barisan bilangan rasional 1 2, 1 3, 2 3, 1 4, 2 4, 3 4,.... Tunjukkan bahwa r n konvergen ke +. 3 Buktikan Akibat 10. 4 Selidiki kekonvergenan deret berikut: 1 n 2 +1 n n 2 +1.
Proposisi 11 (Uji Kondensasi Cauchy) Misalkan a n 0 dan a n a n+1 untuk tiap n N. Maka, konvergen jika dan hanya jika 2 n a 2 n konvergen. n=0 a n
Bukti. Perhatikan bahwa untuk tiap n N berlaku a 1 +a 2 +a 3 +a 4 + +a 8 + +a 2 n a 1 +2a 2 +4a 4 + +2 n a 2 n. Jadi, jika 2 n a 2 n konvergen, maka a n juga konvergen. n=0 Sebaliknya, kita juga mempunyai a 1 +a 2 +a 3 +a 4 + +a 2 n 1 +1+ +a 2 n 1 2 [a 1+2a 2 +4a 4 + +2 n a 2 n]. Jadi, jika a n konvergen, maka 2 n a 2 n juga konvergen. n=0
Contoh 12 Daftar Isi Deret 1 n p konvergen untuk p > 1 dan divergen untuk p 1. Untuk p > 0, Uji Kondensasi Cauchy dapat diterapkan: 2 n 2 np = n=0 2 n(1 p). Deret ini merupakan deret geometri dengan rasio r = 2 1 p, dan karenanya konvergen jika dan hanya jika p > 1.
Proposisi 13 (Uji Limit Rasio) a Misal a n > 0 untuk tiap n N dan lim n+1 n a n = L. (i) Jika L < 1, maka a n konvergen. (ii) Jika L > 1, maka a n divergen. Catatan. Dalam hal L = 1, tidak dapat diambil kesimpulan apapun tentang 1 a n. Sebagai contoh, n dan 1 termasuk n 2 dalam kasus ini.
Proposisi 14 (Uji Rasio) Misal a n > 0 untuk tiap n N. (i) Jika terdapat N N dan q R dengan 0 < q < 1 sedemikian sehingga a n+1 a n q untuk n N, maka a n konvergen. (ii) Jika terdapat N N sedemikian sehingga a n+1 a n n N, maka a n divergen. 1 untuk
Proposisi 15 (Uji Limit Akar) Misal a n 0 untuk tiap n N dan lim n a1/n n = L. (i) Jika L < 1, maka a n konvergen. (ii) Jika L > 1, maka a n divergen. Catatan. Dalam hal L = 1, tidak dapat diambil kesimpulan apapun tentang a n.
Propisisi 16 (Uji Akar) Daftar Isi Misal a n 0 untuk tiap n N. (i) Jika terdapat N N dan q R dengan 0 < q < 1 sedemikian sehingga an 1/n q untuk n N, maka a n konvergen. (ii) Jika a 1/n n divergen. 1 untuk tak terhingga banyak n, maka a n
Misal Maka Jadi lim n a n+1 a n { 1 a n = 3, jika n ganjil 1 n 2, jika n genap n a n+1 a n = { 3 n 2 n+1, jika n ganjil 2 n 3 n+1, jika n genap tidak ada, dan karenanya Uji Limit Rasio tidak dapat digunakan. Demikian pula Uji Limit Akar tidak terpakai. Namun, karena an 1/n 1 2 untuk tiap n N, maka menurut Uji Akar a n konvergen.
Soal Latihan Daftar Isi a n 1 Misalkan a n turun, a n > 0 untuk tiap n N, dan konvergen. Buktikan bahwa na n 0 untuk n. [Petunjuk: Tinjau a n+1 + + a 2n.] 2 Misalkan a n 0 dan b n > 0 untuk tiap n N, dan = 0. Buktikan jika b n konvergen, maka a lim n n b n a n konvergen. Tunjukkan, dengan contoh, bahwa kebalikannya tidak berlaku. 3 Misal 0 < r < 1 2 dan { r a n = n, jika n ganjil r n 2, jika n genap Buktikan bahwa a n konvergen.
Pada beberapa sub-bab terdahulu, kita telah mempelajari deret dengan jumlah parsial yang mempunyai rumus sederhana atau yang membentuk barisan naik, sehingga kekonvergenannya relatif mudah diselidiki. Bagaimana bila tidak demikian situasinya? Seperti halnya ketika kita berurusan dengan barisan, kita dapat memeriksa apakah jumlah parsial deret yang kita amati membentuk barisan Cauchy. Teorema berikut membahas kekonvergenan deret dengan suku-suku yang berganti-tanda.
Proposisi 17 Misalkan a n turun, a n > 0 untuk tiap n N, dan a n 0 untuk n. Maka deret konvergen. ( 1) n 1 a n = a 1 a 2 + a 3 a 4 +
Bukti. Bila kita dapat menunjukkan bahwa s n merupakan barisan Cauchy, maka bukti selesai. Perhatikan bahwa untuk m > n, kita mempunyai 0 a n+1 a n+2 + + a m a n+1. Ini terjadi karena a k > 0 dan a k a k+1 0 untuk tiap k. Sekarang misalkan ɛ > 0 diberikan. Karena a n 0 untuk n, terdapat N N sehingga a n < ɛ untuk n N. Akibatnya, untuk m > n N, kita peroleh s m s n = a n+1 a n+2 + + a m a n+1 < ɛ. Ini berarti bahwa s n Cauchy, sesuai dengan harapan kita.
Contoh 18 Daftar Isi Deret konvergen. ( 1) n 1 n = 1 1 2 + 1 3 1 4 +
Soal Latihan Daftar Isi 1 Selidiki benar atau salah pernyataan berikut: Jika a n dan b n konvergen, maka a n b n konvergen. Jika b n > 0 untuk tiap n N, b n konvergen, dan N N a n b n, untuk tiap N N, maka a n konvergen. 2 Misalkan b n > 0 untuk tiap n N dan b n konvergen. Buktikan jika maka a n konvergen. a n b n, n N,
Deret a n dikatakan konvergen mutlak apabila deret a n konvergen. Sebagai contoh, 1 n 2 konvergen. ( 1) n 1 n 2 konvergen mutlak karena Deret yang konvergen tetapi tidak konvergen mutlak dikatakan konvergen bersyarat. Sebagai contoh, konvergen tetapi ( 1) n 1 n tidak konvergen mutlak, karena itu ia konvergen bersyarat.
Proposisi 19 Daftar Isi Deret konvergen mutlak senantiasa konvergen. Bukti. Untuk k > j, k a n n=j k a n. n=j Berdasarkan Kriteria Cauchy, kita simpulkan bahwa konvergen bila a n konvergen. a n
Penyusunan Ulang Deret Misalkan p : N N merupakan suatu permutasi dari N, yakni pemetaan satu-satu dari N pada N. Maka, deret a p(n) merupakan suatu penyusunan ulang dari deret a n. Sebagai contoh, deret 1 1 2 1 4 + 1 3 1 6 1 8 + 1 5 merupakan suatu penyusunan ulang dari deret berganti tanda Bila ( 1) n+1 n. ( 1) n+1 n ulang di atas konvergen ke s 2. = s, maka dapat ditunjukkan bahwa penyusunan
Teorema 20 Daftar Isi Misal a n konvergen mutlak dan p : N N suatu permutasi dari N. Maka a p(n) konvergen mutlak dan a p(n) = a n.
Soal Latihan Daftar Isi 1 Buktikan jika an 2 dan bn 2 konvergen, maka a n b n konvergen mutlak (dan karenanya konvergen). 2 Selidiki apakah deret berikut konvergen mutlak, konvergen bersyarat, atau divergen: n+1 n n. n+1 n n. ( 1) n 1 n.