MULTIPLISITAS SIKEL DARI GRAF TOTAL PADA GRAF SIKEL, GRAF PATH DAN GRAF KIPAS

MULTIPLISITAS SIKEL DARI GRAF TOTAL PADA GRAF SIKEL, GRAF PATH DAN GRAF KIPAS SKRIPSI Oleh : NUR DIAN PRAMITASARI J2A 009 064 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA UNIVERSITAS DIPONEGORO SEMARANG 2013

MULTIPLISITAS SIKEL DARI GRAF TOTAL PADA GRAF SIKEL, GRAF PATH DAN GRAF KIPAS NUR DIAN PRAMITASARI J2A 009 064 Skripsi Diajukan Sebagai Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Pada Jurusan Matematika JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA UNIVERSITAS DIPONEGORO SEMARANG 2013 i

HALAMAN PENGESAHAN Judul : Multiplisitas Sikel dari Graf Total pada Graf Sikel, Cinf Path, dan Graf Kipas Nama : NurDianPramitasari NIIrlI : J2A009 064 Telah diujikan pada sidang Tugas Alfiir tanggal2g Juli 2013. dandinyatakanluluspadatanggal f Qustus 2Al3. Semarang, 2 $ushrs 2013 Mengetahui, a.n. Ketua Junrsan Matematika Panitia Penguji Tugas Akhir Ketua, ffiffi".s Ee kffiffi }:% W:. t4twm3t004 Drs. Solichin Zaki. M.Kom NIP. 1953 1219197903 1001

HAI"ATfiAN PEI\TGESAHAN." Judut : Multiplisitas Sikel dari Crraf ToaI pada Crmf Sikd, eilafpar& dan CrafKipas Nama : NurDiannramitsstri Nhd : l2a0@ 064 T ffi dit{i*m @ sfidang Trryas Akhir tanggal 29 J,{u 2013. tubfimbinsry Se,maranrg, J AArs+us zofi,:u**ansota GL,,,.- I I Felr*Sitr *Si.M.Si. Ph-D NIP 197312202ffi121OO1 t963n05198t03 100 t ll1

KATA PENGANTAR Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-nya, sehingga penulis dapat menyusun tugas akhir ini. Tugas akhir yang berjudul Multiplisitas Sikel dari Graf Total pada Graf Sikel, Graf Path, dan Graf Kipas ini disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Strata Satu (S1) pada Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Diponegoro Semarang. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih yang sebesarbesarnya kepada yang terhormat : 1. Drs. Solikhin Zaki, M.Kom selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Matematika UNDIP. 2. Farikhin, S.Si, M.Si, Ph.D selaku dosen pembimbing I yang dengan sabar membimbing dan mengarahkan penulis hingga selesainya penyusunan Tugas Akhir ini. 3. Drs. Bayu Surarso, M.Sc, Ph.D selaku dosen pembimbing II yang dengan sabar membimbing dan mengarahkan penulis hingga selesainya penyusunan Tugas Akhir ini. 4. Semua pihak yang telah memberikan dukungan serta bantuan kepada penulis dalam menyelesaikan Tugas Akhir ini. Penulis menyadari bahwa Tugas Akhir ini masih jauh dari sempurna. Untuk itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun demi iv

kesempurnaan Tugas Akhir ini. Semoga Tugas Akhir ini bisa membawa manfaat bagi penulis sendiri khususnya dan bagi pembaca pada umumnya. Semarang, Juli 2013 Penulis v

ABSTRAK Diberikan graf G dengan himpunan titik V(G) dan himpunan sisi E(G). Graf total dari graf G dinotasikan dengan T(G) didefinisikan sebagai himpunan titik dari T G adalah V(G) U(G), dengan U(G) adalah himpunan titik yang diperoleh dari penambahan satu titik di setiap sisi e = v i v j pada graf G. Sedangkan multiplisitas sikel dari graf total pada graf G adalah jumlah maksimal sikel sisi yang disjoin dari graf total pada graf G. Dalam tugas akhir ini, dipelajari tentang multiplisitas sikel dari graf total pada graf C n, P n, dan dibahas tentang multiplisitas sikel dari graf total pada graf F n. Hasil penelitian ini, telah diketahui bahwa multiplisitas sikel dari graf total pada graf C n adalah n + 1 dan multiplisitas sikel dari graf total pada graf P n is n 1. Selanjutnya, telah dibuktikan multiplisitas sikel dari graf total pada graf F n adalah untuk n ganjil atau n2 + 16n 18 6 n 2 + 17n 18 untuk n genap, dengan n adalah titik pada graf G. Kata Kunci : multiplisitas sikel, graf total, graf sikel, graf path, graf kipas. 6 vi

ABSTRACT Let G be a graph with vertex set V (G) and edge set E (G). The total graph of G, denoted by T(G) is defined as the vertex set of T(G) is V(G) U(G), with U(G) is the vertex set obtained by addition of a vertex to each edge e = v i v j in G. The cycle multiplicity of graph total of graph G is defined as maximum number of edge disjoint cycles in G. In this paper, we discuss the cycle multiplicity of total graph of C n, P n, and will be discuss the cycle multiplicity of total graph of F n. It has been known that the cycle multiplicity of total graph of n-cycle is n + 1, cycle multiplicity of total graph of P n graph is n 1. We show a partern for cycle multiplicity of total graph of fan graph is n 2 + 17n 18 6 even, with n is vertex of G. if n odd or n2 + 16n 18 6 Keywords: cycle multiplycity, total graph, cycle graph, path graph, fan graph. if n vii

DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... HALAMAN PENGESAHAN... KATA PENGANTAR... ABSTRAK... ABSTRACT... DAFTAR ISI... DAFTAR GAMBAR... DAFTAR TABEL... DAFTAR SIMBOL... i ii iv vi vii viii x xiii xiv BAB I PENDAHULUAN... 1 1.1 Latar Belakang... 1 1.2 Rumusan Masalah... 2 1.3 Pembatasan Masalah... 2 1.4 Tujuan Penulisan... 3 1.5 Metode Penulisan... 3 1.6 Sistematika Penulisan... 3 BAB II TEORI PENUNJANG... 5 2.1 Pengertian Graf... 5 2.2 Operasi operasi pada graf... 10 2.3 Fungsi Bilangan Bulat Terbesar...... 12 2.4 Jenis-jenis Graf... 13 viii

2.5 Multiplisitas Sikel... 21 BAB III PEMBAHASAN... 22 3.1 Graf Total... 22 3.2 Multiplikasi Sikel dari Graf Total Pada graf G... 24 3.3 Multiplisitas Sikel dari Graf Total Pada Graf Sikel C n... 24 3.4 Multiplisitas Sikel dari Graf Total Pada Graf Path P n... 33 3.5 Multiplisitas Sikel dari Graf Total Pada Graf Kipas F n... 38 BAB IV PENUTUP... 57 4.1 Kesimpulan... 57 4.2 Saran... 57 DAFTAR PUSTAKA... 58 ix

DAFTAR GAMBAR Gambar 2.1 Graf G 1... 6 Gambar 2.2 Graf G 2... 7 Gambar 2.3 Graf G 3... 9 Gambar 2.4 Graf G 7 merupakan graf terhubung dan Graf G 8 merupakan graf tidak terhubung... 10 Gambar 2.5 Graf G 1 G 2... 11 Gambar 2.6 Graf G1 G2... 11 Gambar 2.7 Graf G 1 G 2... 12 Gambar 2.8 (a) Graf sederhana, (b) Graf Ganda, dan (c) Graf semu... 14 Gambar 2.9 (a) Graf berhingga (b) Graf tak berhingga... 15 Gambar 2.10 (a) Graf tak berarah dan (b) Graf berarah... 16 Gambar 2.11 Graf Sikel... 16 Gambar 2.12 Graf Path... 17 Gambar 2.13 Graf Nol... 17 Gambar 2.14 Graf Komplit... 18 Gambar 2.15 Graf Kipas... 18 Gambar 2.16 Graf Bipartit... 19 Gambar 2.17 Graf Bipartit Komplit... 20 Gambar 2.18 Graf Bintang... 20 Gambar 2.19 Graf G... 21 Gambar 3.1 Graf G dan Total Graf G... 22 x

Gambar 3.3.1 Graf Sikel C 3... 25 Gambar 3.3.2 Graf Total dari Graf Sikel C 3... 25 Gambar 3.3.3 Graf Sikel C 4... 26 Gambar 3.3.4 Graf Total dari Graf Sikel C 4... 26 Gambar 3.3.5 Graf Sikel C 5... 27 Gambar 3.3.6 Graf Total dari Graf Sikel C 5... 27 Gambar 3.3.7 Graf Sikel C 6... 28 Gambar 3.3.8 Graf Total dari Graf Sikel C 6... 28 Gambar 3.3.9 Graf Sikel C 7... 29 Gambar 3.3.10 Graf Total dari Graf Sikel C 7... 29 Gambar 3.4.1 Graf Path P 2... 32 Gambar 3.4.2 Graf Total dari Graf Path P 2... 32 Gambar 3.4.3 Graf Path P 3... 33 Gambar 3.4.4 Graf Total dari Graf Path P 3... 33 Gambar 3.4.5 Graf Path P 4... 34 Gambar 3.4.6 Graf Total dari Graf Path P 4... 34 Gambar 3.4.7 Graf Path P 5... 35 Gambar 3.4.8 Graf Total dari Graf Path P 5... 35 Gambar 3.4.9 Graf Path P 6... 36 Gambar 3.4.10 Graf Total dari Graf Path P 6... 36 Gambar 3.5.1 Graf Kipas F 3... 39 Gambar 3.5.2 Graf Total dari Graf Kipas F 3... 39 Gambar 3.5.3 Himpunan sikel sisi yang disjoin pada graf kipas F 3... 40 xi

Gambar 3.5.4 Graf Kipas F 4... 41 Gambar 3.5.5 Graf total dari graf Kipas F 4... 41 Gambar 3.5.6 Himpunan sikel sisi yang disjoin pada graf Kipas F 4... 43 Gambar 3.5.7 Graf Kipas F 5... 43 Gambar 3.5.8 Graf Total dari Graf Kipas F 5... 43 Gambar 3.5.9 Himpunan sisi sikel yang disjoin pada graf Kipas F 5... 45 Gambar 3.5.10 Graf Kipas F 6... 45 Gambar 3.5.11 Graf total dari graf Kipas F 6... 45 Gambar 3.5.12 Himpunan sisi sikel yang disjoin pada graf Kipas F 6... 47 Gambar 3.5.13 Graf Kipas F 7... 47 Gambar 3.5.14 Graf total dari graf Kipas F 7... 47 Gambar 3.5.15 Himpunan sisi sikel yang disjoin pada graf Kipas F 7... 49 xii

DAFTAR TABEL Tabel 3.1 Multiplikasi Sikel dari Graf Total pada Graf Sikel... 30 Tabel 3.2 Multiplikasi Sikel dari Graf Total pada Graf Path... 37 Tabel 3.3 Multiplikasi Sikel dari Graf Total pada Graf Kipas... 49 xiii

DAFTAR SIMBOL G T(G) V(G) E(G) U(G) v i e i u i : Graf : Total graf dari G : Himpunan titik graf G : Himpunan sisi graf G : Himpunan titik pada graf total G : Titik ke i : Sisi ke i : Titik ke i e = v i v j C n P n F n K n N n S i : sisi yang menghubungkan v i ke v j : Graf sikel dengan n titik : Graf path dengan n titik : Graf kipas dengan n titik : Graf komplit dengan n titik : Graf Nol dengan n titik : Himpunan sikel sisi yang disjoin S i CM(G) CM [T C n ] CM [T P n ] CM [T F n ] : Kardinalitas S i : Notasi untuk Multiplisitas sikel (Cycle Multiplicity) dari graf G : Notasi untuk Multiplisitas sikel dari total graf pada graf sikel : Notasi untuk Multiplisitas sikel dari total graf pada graf path : Notasi untuk Multiplisitas sikel dari total graf pada graf kipas : Kurang dari atau sama dengan xiv

[ ] : Bilangan bulat terbesar : Tanda akhir pembuktian xv

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Matematika dikenal sebagai Mother of Science, karena matematika merupakan salah satu cabang ilmu pengetahuan yang mempunyai kelebihan dibandingkan cabang cabang ilmu lainnya. Selain itu matematika juga mempunyai banyak manfaat, karena banyak permasalahan dalam kehidupan yang dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep konsep matematika. Dengan berkembangnya zaman dan kemajuan teknologi, maka matematika ikut pula berkembang. Diantara banyaknya bagian matematika yang terus berkembang, yang menarik untuk dikaji lebih lanjut adalah teori graf. Secara umum graf G adalah himpunan tak-kosong yang berhingga dari objek objek yang disebut titik (vertex) bersama dengan himpunan pasangan takterurut yaitu sisi (edge). Himpunan titik G dinotasikan dengan V (G), sedangkan himpunan sisi dinotasikan dengan E (G) [2]. Menurut catatan sejarah, masalah jembatan Konigsberg adalah masalah yang pertama kali menggunakan graf (1736). Oleh karena itu, Euler (1707-1782) menjadi Bapak dari Teori Graf sebagaimana topologi ketika dia merumuskan mengenai masalah terkenal yang takterpecahkan di atas [5]. Peristiwa itulah yang menjadi tombak sejarah munculnya Teori Graf dan terus berkembang sampai sekarang karena kajiannya berhubungan dengan pemecahan masalah sehari hari. 1

2 Meskipun masalah graf telah banyak diteliti oleh para ahli matematika, tetapi penelitian tentang multiplisitas sikel dari suatu graf belum banyak dilakukan orang, begitu juga multiplisitas sikel dari graf total tertentu. Multiplisitas sikel dari graf G adalah banyaknya sikel sisi yang disjoin di graf G yang dinotasikan dengan CM(G) [3]. Pada tugas akhir ini akan dibahas tentang multiplisitas sikel dari graf total pada graf sikel C n, graf path P n, dan graf kipas F n berdasarkan [1]. 1.2 Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang di atas, maka rumusan masalah dalam tugas akhir ini adalah sebagai berikut : 1. Bagaimana mendapatkan multiplisitas sikel dari graf total pada graf sikel C n? 2. Bagaimana mendapatkan multiplisitas sikel dari graf total pada graf path P n? 3. Bagaimana mendapatkan multiplisitas sikel dari graf total pada graf kipas F n? 1.3 Pembatasan Masalah Permasalahan dalam tugas akhir ini hanya dibatasi pada multiplisitas sikel dari graf total pada graf sederhana, berhingga, dan tidak berarah.

3 1.4 Tujuan Penulisan Adapun tujuan dari penulisan tugas akhir ini sebagai berikut : 1. Mempelajari multiplisitas sikel dari graf total pada graf sikel C n. 2. Mempelajari multiplisitas sikel dari graf total pada graf path P n. 3. Menentukan multiplisitas sikel dari graf total pada graf kipas F n. 1.5 Metode Penulisan Metode yang digunakan penulis dalam penyusunan tugas akhir ini adalah metode tinjauan pustaka (Study Literature), yaitu dengan memahami beberapa jurnal mengenai graf dan pustaka-pustaka lain yang melandasi teori tentang graf seperti tertera dalam daftar pustaka. Terlebih dahulu penulis akan menjabarkan materi-materi dasar yang berkaitan dengan graf, seperti pengertian graf dan definisi-definisi yang berkaitan dengan graf. Penulis juga akan memberikan pengertian mengenai multiplisitas sikel dari graf total. Selanjutnya, menentukan multiplisitas sikel dari graf total pada graf sikel C n,graf path P n, dan graf kipas F n. 1.6 Sistematika Penulisan Sistematika penulisan tugas akhir ini meliputi empat bab, yaitu pendahuluan, teori penunjang, pembahasan dan penutup. Bab I merupakan pendahuluan yang mencakup latar belakang, rumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan penulisan, metode penulisan dan sistematika penulisan.

4 Bab II merupakan teori teori penunjang yang terdiri dari penjelasan mengenai pengertian graf, adjacent dan incident, graf terhubung, multiplisitas sikel, graf sikel C n, graf path P n, dan graf kipas F n, serta teori teori lain yang berkaitan. Bab III merupakan pembahasan tentang bagaimana mendapatkan multiplisitas sikel dari graf total pada graf sikel C n, graf path P n, dan graf kipas F n, serta bagaimana membuktikan yang telah diperoleh. Bab VI merupakan penutup yang berisi kesimpulan dari penulisan karya tulis ini, dan juga saran yang diberikan sebagai pertimbangan bagi penulis selanjutnya.

BAB II TEORI PENUNJANG 2.1 Pengertian Graf Teori graf merupakan pokok bahasan yang sudah tua usianya namun memiliki banyak terapan sampai saat ini. Graf digunakan untuk mempresentasikan objek objek diskrit dan hubungan antara objek objek tersebut. Graf menggambarkan struktur tersebut dalam beberapa objek yang dinyatakan dengan noktah, bulatan, sedangkan hubungan antara objek dinyatakan dengan garis. Secara sistematis, graf didefinisikan sebagai berikut: Definisi 2.1.1 [2] Graf G adalah himpunan tak-kosong yang berhingga dari objek objek yang disebut titik (vertex) bersama dengan himpunan pasangan tak-terurut (yang mungkin kosong) dari titik titik berbeda di G yang disebut sisi (edge). Himpunan titik dari G dinotasikan V (G), sedangkan himpunan sisi dinotasikan dengan E (G). Banyaknya unsur di V disebut derajat (order) dari G dan dilambangkan dengan p(g) dan banyaknya unsur di E disebut ukuran (size) dari G dan dilambangkan dengan q(g), jika graf yang dibicarakan hanya graf G, maka order dan size dari G tersebut cukup ditulis p dan q [2]. Dengan kata lain, Graf G adalah himpunan tak-kosong V(G) yang berhingga dari objek objek yaitu titik dengan himpunan pasangan tak-terurut E(G) dari objek objek yang disebut sisi. 5

6 Contoh 2.1.1: berikut ini : Perhatikan graf G yang memuat titik V(G) dan himpunan sisi E(G) seperti V(G) = v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 E(G)= e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6 Graf G tersebut secara lebih jelas dapat digambar sebagai berikut. e1 e6 e2 G: v6 e5 e3 v5 e4 v4 Gambar 2.1 Graf G 1 Graf G 1 mempunyai 6 titik sehingga order G 1 adalah p = 6. Graf G 1 mempunyai 6 sisi sehingga size graf G 1 adalah q = 6. Definisi 2.1.2 [2] Sisi e = (u, v) dikatakan menghubungkan titik u dan v. Jika e = (u, v) adalah sisi pada graf G, maka u dan v adalah titik yang terhubung langsung (adjacent), sementara itu u dan e, serta dengan v dan e adalah titik yang terkait langsung (incident). Untuk selanjutnya, sisi e = (u, v) akan ditulis e = uv.

7 Contoh 2.1.2 Dari Gambar 2.1 di atas, titik v 1 dan e 1 serta e 1 dan v 2 adalah incident (terkait langsung) dan titik v 1 dan v 2 adalah adjacent (terhubung langsung). Definisi 2.1.3 [2] Derajat dari suatu titik v pada graf G adalah banyak sisi pada graf G yang terkait langsung dengan titik v. Derajat suatu titik v di G dinotasikan dengan deg G v. Suatu titik berderajat 0 disebut suatu titik terisolasi dan titik yang berderajat 1 disebut titik ujung. Contoh 2.1.3 v 1 e 1 v 2 e 2 v4 Gambar 2.2 Graf G 2 Dari Gambar 2.2 titik v 1 dan v 3 mempunyai derajat 1, deg G v 1 = 1 dan deg G v 3 = 1, titik v 2 mempunyai derajat 2, deg G v 2 = 2 dan titik v 4 mempunyai derajat 0, deg G v 4 = 0. Titik v 1 dan titik v 3 disebut titik ujung. Sedangkan titik v 4 disebut titik terisolasi.

8 Definisi 2.1.4 [9] Suatu walk (jalan) yang panjangnya k dalam graf G adalah urutan k sisi G yang berbentuk. uv, vw, wx,..., yz Walk ini dinotasikan dengan uv, vw, wx,..., yz dan disebut walk antara u ke z. Semua sisi dalam walk tidak perlu berbeda (boleh sama). Definisi 2.1.5 [9] Jika semua sisi (tetapi tidak perlu semua titik) suatu walk berbeda, maka walk itu disebut trail. Jika semua titiknya berbeda, maka trail itu disebut path. Panjang path adalah banyak sisi dalam path tersebut. Definisi 2.1.6 [9] Suatu walk (jalan) tertutup dalam graf G merupakan urutan sisi G berbentuk uv, vw, wx,..., yz, zu. Jika semua sisinya berbeda, maka walk itu disebut trail tertutup (closed trail). Jika titik-titiknya juga berbeda maka trail itu disebut sikel (cycle). Contoh 2.1.4 Berikut ini adalah contoh graf yang memuat walk, trail, dan path.

9 v w u x z y Gambar 2.3 Graf G 3 (i) uvwxywvzy adalah walk yang panjangnya 8 antara u dan y, yang memuat sisi vw dua kali, titik v, w, dan y dua kali. (ii) Walk vzywxy adalah trail yang bukan path (karena titik y ada dua). (iii) Walk vwxyz tidak ada titik yang diulang, karena itu merupakan path. (iv) Walk tertutup uvwyvzu adalah trail tertutup yang bukan merupakan sikel (karena titik v muncul dua kali) (v) Trail tertutup vwxyv dan vwxyzv semuanya adalah sikel. Definisi 2.1.7 [9] Graf G dikatakan terhubung (connected) jika untuk setiap dua titik v dan w di G, terdapat path yang menghubungkan kedua titik tersebut. Graf G dikatakan tidak terhubung (disconnected) jika ada pasangan titik di G yang tidak mempunyai path. Contoh 2.1.5 Berikut adalah contoh graf terhubung dan tidak terhubung.

10 v 1 v 2 v7 v 3 v 4 v6 v 5 G 7 v 1 v 2 v6 v 3 v7 v8 v 5 v 4 G 8 Gambar 2.4 Graf G 7 merupakan graf terhubung dan G8 merupakan graf tidak terhubung 2.2 Operasi operasi pada Graf Definisi 2.2.1 [2] Gabungan (union) dari G 1 dan G 2, ditulis G = G 1 G 2 adalah graf dengan V G = V G 1 V(G 2 ) dan E G = E G 1 E G 2. Jika graf G terdiri atas n kali graf H, n > 2, maka ditulis G = nh. Contoh 2.2.1 G 1 G 2

11 G 1 G 2 Gambar 2.5 Graf G 1 G 2 Definisi 2.2.2 [2] Penjumlahan dari G 1 dan G 2 ditulis dengan G = G 1 + G 2 adalah graf dengan V G = V G 1 V(G 2 ) dan E G = E G 1 E G 2 {uv u V G 1 dan v V G 2 }. Contoh 2.2.2 G 1 G 2 G1 G 2 Gambar 2.6 Graf G1 G2 Definisi 2.2.3[2] Perkalian kartesius dari G 1 dan G 2 ditulis G = G 1 G 2 adalah graf dengan V G = V G 1 V(G 2 ) dan dua titik (v 1, v 2 ) dan (u 1, u 2 ) dari G terhubung langsung (adjacent) jika hanya jika u 1 = v 1 dan u 2 v 2 E(G 2 ) atau u 2 = v 2 dan u 1 v 1 E(G 1 ).

12 Contoh 2.2.3 u1 G1 : G2 : u2 G1 X G2 : (u1,) (u1,) (u1,) (u2,) (u2,) (u2,) Gambar 2.7 Graf G 1 G 2 2.3 Fungsi Bilangan Bulat Terbesar Fungsi bilangan bulat terbesar [] memiliki daerah asal/domain adalah himpunan semua bilangan real dan daerah hasil/range adalah himpunan bilangan bulat. Definisi 2.3 [8] Untuk suatu bilangan real x, [x] adalah suatu bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan x, yaitu [x] adalah bilangan bulat tunggal yang memenuhi x 1 < [x] x.

13 Contoh 2.3 a. 1,2 = 2, b. 1,2 = 1 Pada contoh (a) di atas berdasarkan definisi dapat dijelaskan sebagai berikut 2,2 < 1,2 1,2, maka 1,2 = - 2. Sedangkan contoh (b) berdasarkan definisi dapat dijelaskan sebagai berikut 0,2 < 1,2 1,2, maka 1,2 = 1. 2.4 Jenis-jenis Graf Berdasarkan sifatnya graf dapat dikelompokkan menjadi beberapa kategori (jenis) bergantung pada sudut pandang pengelompokannya. Pengelompokan graf dapat dipandang berdasarkan ada tidaknya sisi ganda, berdasarkan banyak titik, atau berdasarkan orientasi arah pada sisi. Berdasarkan ada tidaknya sisi ganda pada suatu graf, maka secara umum graf dapat digolongkan menjadi 2 jenis : 2.4.1 Graf sederhana (simple graph) Definisi 2.4.1 [7] Graf sederhana adalah graf yang tidak mengandung sisi ganda maupun loop. 2.4.2 Graf tak sederhana (unsimple graph) Definisi 2.4.2 [7] Graf tak sederhana adalah graf yang mengandung sisi ganda atau loop. Ada dua macam graf tak-sederhana, yaitu graf ganda (multigraph) dan graf semu

14 (pseudograph). Graf ganda adalah graf yang mengandung sisi ganda. Graf semu adalah graf yang mengandung sisi ganda dan loop. Contoh 2.4.1 Berikut adalah contoh graf berdasarkan ada tidaknya sisi ganda. a b a b a b d c d c d (a) (b) (c) c Gambar 2.8 (a) Graf sederhana, (b) Graf Ganda, dan (c) Graf semu Berdasarkan banyak titik pada suatu graf, maka secara umum graf dapat dikelompokkan menjadi dua jenis: 2.4.3 Graf berhingga Definisi 2.4.3 [7] Graf berhingga adalah graf yang banyak titiknya berhingga. 2.4.4 Graf tak-berhingga Definisi 2.4.4 [7] Graf tak-berhingga adalah graf yang banyak titiknya tak berhingga.

15 Contoh 2.4.2 Berikut adalah contoh graf berdasarkan banyaknya titik. (a) (b) Gambar 2.9 (a) Graf berhingga (b) Graf tak berhingga Berdasarkan orientasi arah pada sisi, maka secara umum graf dikelompokkan menjadi dua jenis: 2.4.5 Graf tak berarah Definisi 2.4.5 [7] Graf tak-berarah adalah graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah. Pada graf tak berarah, urutan pasangan titik yang dihubungkan oleh sisi tidak diperhatikan. Jadi v v v v adalah sisi yang sama. j k k j 2.4.6 Graf berarah Definisi 2.4.6 [7] Graf berarah adalah graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah. Pada graf berarah ( v j, vk ) dan ( v k, v j ) menyatakan dua buah sisi yang berbeda, dengan kata lain ( v j, vk ) ( vk, v j ). Untuk sisi ( v j, vk ) titik v j dinamakan titik asal (initial verteks) dan titik v k dinamakan titik terminal (terminal verteks).

16 Contoh 2.4.3 Berikut adalah contoh graf berdasarkan orientasi arah pada sisi. (a) (b) Gambar 2.10 (a) Graf tak berarah dan (b) Graf berarah Terdapat beberapa jenis graf sederhana khusus. Berikut ini didefinisikan beberapa graf khusus yang sering ditemukan : 2.4.7 Graf Sikel (Cycle Graph) Definisi 2.4.7 [9] Graf sikel adalah graf yang terdiri dari sebuah sikel yang tunggal. Graf sikel dengan n titik, n 3 dinotasikan dengan C n. Graf sikel C n setiap titiknya berderajat 2. Contoh 2.4.4 Gambar 2.11 Graf Sikel

17 2.4.8 Graf Path Definisi 2.4.8 [9] Graf path adalah graf yang terdiri dari path tunggal. Graf path dengan n titik dan n-1 sisi dinotasikan dengan P n. Contoh 2.4.5 P1 P2 P3 P4 P5 Gambar 2.12 Graf Path 2.4.9 Graf Nol Definisi 2.4.9 [9] Graf nol adalah graf yang tidak memiliki sisi. Graf nol bertitik n dinotasikan dengan N n. Contoh 2.4.6 N 1 N 2 N 3 N 4 N 5 Gambar 2.13 Graf Nol

18 2.4.10 Graf Komplit (Complete Graph) Definisi 2.4.10 [9] Graf komplit dengan n titik dinotasikan K n yaitu sebuah graf jika setiap titik adalah terhubung kepada setiap titik lainnya. Setiap titik pada Contoh 2.4.7 K n berderajat n-1. K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 K 6 Gambar 2.14 Graf Komplit 2.4.11 Graf Kipas (Fan Graph) Definisi 2.4.11 [4] Graf kipas dibentuk dari penjumlahan graf komplit K 1 dan graf path P n, yaitu F n = K 1 + P n. Dengan demikian graf kipas mempunyai (n + 1) titik dan (2n 1) sisi. Contoh 2.4.8... vn v0 Gambar 2.15 Graf Kipas

19 2.4.12 Graf Bipartit (Bipartite Graph) Definisi 2.4.12 [9] Suatu graf yang himpunan titiknya dapat dipecah menjadi himpunan A dan B sedemikian hingga setiap sisi graf menghubungkan sebuah titik di A ke sebuah titik di B. Titik di A dibedakan dari titik di B dengan menggambarkan titik di A sebagai noktah (lingkaran kecil hitam) dan yang di B sebagai lingkaran kecil putih, sehingga setiap sisi incident dengan sebuah titik hitam dan sebuah titik putih. Contoh 2.4.9 Gambar 2.16 Graf Bipartit 2.4.13 Graf Bipartit Komplit (Complete Bipartite Graph) Definisi 2.4.13 [9] Graf bipartit komplit adalah graf dimana setiap titik hitamnya dihubungkan dengan setiap titik putih dengan tepat satu sisi. Graf bipartit komplit dengan m titik hitam dan n titik putih dinotasikan sebagai K m, n.

20 Contoh 2.4.10 atau K 1,5 K 2,2 K 2,4 Gambar 2.17 Graf Bipartit Komplit 2.4.14 Graf Bintang (Star Graph) Definisi 2.4.14 [9] Graf bintang adalah graf bipartit komplit yang satu titik hitamnya dihubungkan dengan setiap titik putih dengan tepat satu sisi. Graf bipartit komplit dengan m titik hitam dan n titik putih dinotasikan sebagai K m, n. Graf bipartit komplit yang berbentuk Contoh 2.4.11 K 1, n disebut graf bintang. v... vn Gambar 2.18 Graf Bintang

21 2.5 Multiplisitas Sikel [3] Definisi 2.5 Jika G adalah sebuah graf, V(G) dan E(G) adalah himpunan titik dan sisi dari graf G. Multiplisitas sikel dari graf G, dinotasikan CM(G) adalah jumlah maksimal sikel sisi yang disjoin pada graf G. Contoh 2.5.1 Gambar 2.19 Graf G Dari Gambar 2.19 dapat diperoleh bahwa multiplisitas sikel pada graf G adalah v 1 v 2 v 3 v 1 atau CM(G) = 1.

BAB III PEMBAHASAN Pada bab ini akan dibahas tentang multiplisitas sikel dari graf total pada graf sikel, graf path dan graf kipas. Namun, sebelumnya akan dibahas mengenai definisi graf total dan multiplisitas sikel pada graf total. 3.1 Graf Total Definisi 3.1 [6] Diberikan graf G dengan himpunan titik V(G) dan himpunan sisi E(G). Graf total dari graf G dinotasikan dengan T(G) adalah graf yang mempunyai himpunan titik V(G) U(G), dengan U(G) adalah himpunan titik yang diperoleh dari penambahan satu titik di setiap sisi e = v i v j pada graf G. Dalam graf total, dua titik adalah adjacent di T(G) jika dan hanya jika (i) v i adjacent dengan v j di graf G, (ii) u i U(G) adjacent dengan u j U(G) jika sisi e i dan sisi e j insiden pada titik yang sama di G, (iii) v i V[T G ] adjacent dengan u i U(G) jika v i insiden dengan sisi e i. Contoh 3.1 e1 u1 e2 e4 u2 u4 e3 v4 u3 (G) T(G) Gambar 3.1 Graf G dan Total Graf G v4 22

23 Graf pada Gambar 3.1 merupakan graf G dengan himpunan titik V(G) = {v 1, v 2, v 3, v 4 } dan himpunan sisi E(G) = {e 1, e 2, e 3, e 4 }. Graf total dari graf G adalah graf yang mempunyai himpunan titik V[T(G)] = V G U G, dimana U(G) adalah himpunan titik yang diperoleh dari penambahan satu titik di setiap sisi e = v i v j pada graf G dengan U G = u 1, u 2, u 3, u 4. Dua titik adjacent pada T(G) adalah: (i) v 1 adjacent dengan v 2 di graf G. v 1 adjacent dengan v 3 di graf G. v 1 adjacent dengan v 4 di graf G. v 3 adjacent dengan v 4 di graf G. (ii) u 1 U(G) adjacent dengan u 2 U(G) jika sisi e 1 dan sisi e 2 insiden di titik v 1 V G. u 1 U(G) adjacent dengan u 4 U(G) jika sisi e 1 dan sisi e 4 insiden di titik v 1 V G. u 2 U(G) adjacent dengan u 3 U(G) jika sisi e 2 dan sisi e 3 insiden di titik v 3 V G. u 2 U(G) adjacent dengan u 4 U(G) jika sisi e 2 dan sisi e 4 insiden di titik v 1 V G. u 3 U(G) adjacent dengan u 4 U(G) jika sisi e 3 dan sisi e 4 insiden di titik v 4 V G. (iii) v 1 V T G adjacent dengan u 1 U G jika v 1 insiden dengan sisi e 1. v 2 V T G adjacent dengan u 1 U G jika v 2 insiden dengan sisi e 1. v 1 V T G adjacent dengan u 2 U G jika v 1 insiden dengan sisi e 2.

24 v 3 V T G adjacent dengan u 2 U G jika v 3 insiden dengan sisi e 2. v 3 V T G adjacent dengan u 3 U G jika v 3 insiden dengan sisi e 3. v 4 V T G adjacent dengan u 3 U G jika v 4 insiden dengan sisi e 3. v 1 V T G adjacent dengan u 4 U G jika v 1 insiden dengan sisi e 4. v 4 V[T G ] adjacent dengan u 4 U(G) jika v 4 insiden dengan sisi e 4. 3.2 Multiplikasi Sikel dari Graf Total Pada graf G Definisi 3.2 [1] Diberikan graf G dengan himpunan titik V(G) dan himpunan sisi E G. Multiplisitas sikel dari graf total pada graf G, dinotasikan CM[T(G)] adalah jumlah maksimal sikel sisi yang disjoin dari graf total pada graf G. Contoh 3.2 Dari gambar 3.1 maka multiplikasi sikel dari graf total pada graf G adalah v 1 u 1 v 2, v 1 u 2 v 3, v 1 u 4 v 4, v 3 u 3 v 4, u 2 u 1 u 4. Atau bisa ditulis CM[T(G)] = 5. 3.3 Multiplisitas Sikel dari Graf Total Pada Graf Sikel C n Diberikan graf sikel C n dengan n adalah banyaknya titik dan n 3. 3.3.1 Graf Sikel C 3 Graf Sikel C 3 mempunyai himpunan titik V(C 3 ) = {v 1, v 2, v 3 } dan himpunan sisi E(C 3 ) = {e 1, e 2, e 3 } dimana e i = v i v j.

25 e3 e1 u3 u1 e2 u2 Gambar 3.3.1 Graf Sikel C 3 Gambar 3.3.2 Graf Total dari Graf Sikel C 3 Graf total dari graf sikel C 3 adalah graf yang mempunyai himpunan titik V[T(C 3 )] = V C 3 U C 3, dimana U C 3 adalah himpunan titik yang diperoleh dari penambahan satu titik di setiap sisi e = v i v j pada graf G dengan U C 3 = u 1, u 2, u 3 dan E T C 3 = {v i u i 1 i 3} {u i v i+1 1 i 2} {u 3 v 1 } {v i v i+1 1 i 2} {v 3 v 1 } {u i u i+1 1 i 2} {u 3 u 1 }. Sikel sisi yang disjoin adalah S 1 = {u i u i+1 v i+1 u i i = 1, 2}, S 2 = {u 3 u 1 v 1 u 3 }, S 3 = {v 1 v 2 v 3 v 1 }. Terlihat bahwa S i dengan 1 i 3 adalah himpunan himpunan yang beranggotaan sikel sisi yang disjoin dalam C 3, dimana S 1 = 2, S 2 = 1, S 3 = 1. Sehingga CM [T(C 3 )] = S i = 2 + 1 + 1 = 4. 3.3.2 Graf Sikel C 4 Graf Sikel C 4 mempunyai himpunan titik V(C 4 ) = {v 1, v 2, v 3, v 4 } dan himpunan sisi E(C 4 ) = {e 1, e 2, e 3,e 4 } dimana e i = v i v j.

26 e1 u1 e4 e2 u4 u2 v 4 e3 v 4 u3 Gambar 3.3.3 Graf Sikel C 4 Gambar 3.3.4 Graf Total dari Graf Sikel C 4 Graf total dari graf sikel C 4 adalah graf yang mempunyai himpunan titik V[T(C 4 )] = V C 4 U C 4, dimana U C 4 adalah himpunan titik yang diperoleh dari penambahan satu titik di setiap sisi e = v i v j pada graf G dengan U C 4 = u 1, u 2, u 3, u 4 dan E T C 4 = {v i u i 1 i 4} {u i v i+1 1 i 3} {u 4 v 1 } {v i v i+1 1 i 3} {v 4 v 1 } {u i u i+1 1 i 3} {u 4 u 1 }. Sikel sisi yang disjoin adalah S 1 = {u i u i+1 v i+1 u i 1 i 3}, S 2 = {u 4 u 1 v 1 u 4 }, S 3 = {v 1 v 2 v 3 v 4 v 1 }. Terlihat bahwa S i dengan 1 i 3 adalah himpunan himpunan yang beranggotaan sikel sisi yang disjoin dalam C 4, dimana S 1 = 3, S 2 = 1, S 3 = 1. Sehingga CM [T(C 4 )] = S i = 3 + 1 + 1 = 5. 3.3.3 Graf Sikel C 5 Graf Sikel C 5 mempunyai himpunan titik V(C 5 ) = {v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 } dan himpunan sisi E(C 5 ) = {e 1, e 2, e 3,e 4, e 5 } dimana e i = v i v j.

27 e5 e1 u5 u1 v5 v5 e4 e2 v 4 e3 u4 u2 v 4 u3 Gambar 3.3.5 Graf Sikel C 5 Gambar 3.3.6 Graf Total dari Graf Sikel C 5 Graf total dari graf sikel C 5 adalah graf yang mempunyai himpunan titik V[T(C 5 )] = V C 5 U C 5, dimana U C 5 adalah himpunan titik yang diperoleh dari penambahan satu titik di setiap sisi e = v i v j pada graf G dengan U C 5 = u 1, u 2, u 3, u 4, u 5 dan E T C 5 = {v i u i 1 i 5} {u i v i+1 1 i 4} {u 5 v 1 } {v i v i+1 1 i 4} {v 5 v 1 } {u i u i+1 1 i 4} {u 5 u 1 }. Sikel sisi yang disjoin adalah S 1 = {u i u i+1 v i+1 u i 1 i 4}, S 2 = {u 5 u 1 v 1 }, S 3 = {v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 }. Terlihat bahwa S i dengan 1 i 3 adalah himpunan himpunan yang beranggotaan sikel sisi yang disjoin dalam C 5, dimana S 1 = 4, S 2 = 1, S 3 = 1. Sehingga CM [T(C 5 )] = S i = 4 + 1 + 1 = 6.

28 3.3.4 Graf Sikel C 6 Graf Sikel C 6 mempunyai himpunan titik V(C 6 ) = {v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 } dan himpunan sisi E(C 6 ) = {e 1, e 2, e 3,e 4, e 5, e 6 } dimana e i = v i v j. e1 e6 e2 u6 u1 u2 v6 v6 e5 e3 u5 u3 v5 e4 v4 v5 u4 v4 Gambar 3.3.7 Graf Sikel C 6 Gambar 3.3.8 Graf Total dari Graf Sikel C 6 Graf total dari graf sikel C 6 adalah graf yang mempunyai himpunan titik V[T(C 6 )] = V C 6 U C 6, dimana U C 6 adalah himpunan titik yang diperoleh dari penambahan satu titik di setiap sisi e = v i v j pada graf G dengan U C 6 = u 1, u 2, u 3, u 4, u 5, u 6 dan E T C 6 = {v i u i 1 i 6} {u i v i+1 1 i 5} {u 6 v 1 } {v i v i+1 1 i 5} {v 6 v 1 } {u i u i+1 1 i 5} {u 6 u 1 }. Sikel sisi yang disjoin adalah S 1 = {u i u i+1 v i+1 u i 1 i 5}, S 2 = {u 6 u 1 v 1 }, S 3 = {v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 }. Terlihat bahwa S i dengan 1 i 3 adalah himpunan himpunan yang beranggotaan sikel sisi yang disjoin dalam C 6, dimana S 1 = 5, S 2 = 1, S 3 = 1. Sehingga CM [T(C 6 )] = S i = 5 + 1 + 1 = 7.

29 3.3.5 Graf Sikel C 7 Graf Sikel C 7 mempunyai himpunan titik V(C 7 ) = {v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6, v 7 } dan himpunan sisi E(C 6 ) = {e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6, e 7 } dimana e i = v i v j. e1 e2 v7 u7 u1 e3 e4 u6 u2 v4 v5 v6 e5 e6 u5 u3 v6 e7 v7 v5 u4 v4 Gambar 3.3.9 Graf Sikel C 7 Gambar 3.3.10 Graf Total dari Graf Sikel C 7 Sikel sisi yang disjoin dari graf sikel C 7 di atas adalah u 1 u 2 v 2 u 1 ; u 2 u 3 v 3 u 2 ; u 3 u 4 v 4 u 3 ; u 4 u 5 v 5 u 4 ; u 5 u 6 v 6 u 5 ; u 6 u 7 v 7 u 6 ; u 7 u 1 v 1 u 7 ; v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 v 1 atau S 1 = u i u i+1 v i+1 u i 1 i 6}, S 2 = {u 7 u 1 v 1 u 7 }, S 3 = {v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 v 1 }. Terlihat bahwa S i dengan 1 i 3 adalah himpunan himpunan yang beranggotaan sikel sisi yang disjoin dalam C 7 dimana jumlah anggota dari masing-masing himpunan S adalah S 1 = 6, S 2 = 1, S 3 = 1. Sehingga CM [T C 7 ] = S i = 6 + 1 + 1 = 8.

30 Berdasarkan perhitungan Multiplisitas sikel dari graf sikel di atas, maka diperoleh sebagai berikut. Tabel 3.1 Multiplikasi Sikel dari Graf Total Pada Graf Sikel n Graf Sikel C n CM [T C n ] 3 C 3 4 = 3 + 1 4 C 4 5 = 4 + 1 5 C 5 6 = 5 + 1 6 C 6 7 = 6 + 1 7 C 7 8 = 7+ 1 Selanjutnya, akan diformulasikan multiplisitas sikel dari graf total pada graf sikel C n seperti yang dituliskan dalam teorema berikut. Teorema 3.1 Multiplisitas Sikel dari Graf Total pada Graf sikel C n = n + 1. Bukti Himpunan sikel sisi yang disjoin dari graf C n adalah S 1 = {u i u i+1 v i+1 u i 1 i n 1}

31 S 2 = {u n u 1 v 1 u n } S 3 = {u i u i+1 u i+2 u i+3 u n u i } terlihat bahwa S i dengan 1 i 3 adalah himpunan-himpunan yang beranggotakan sikel sisi yang disjoin dalam C n dimana jumlah anggota dari masing-masing himpunan S bisa dicari dengan menggunakan rumus barisan aritmatika. Pada S 1, i dapat dijabarkan dalam bentuk barisan aritmatika yaitu 1,2,3,. n - 1 sehingga didapatkan suku pertama adalah α = 1 dan beda b = 1 serta u m = n 1 dimana m adalah batas terbesar dari S 1, sehingga didapatkan jumlah anggota S 1 dengan perhitungan berikut. u m = a + m 1 b n 1 = 1 + m 1 1 n 1 = 1 + m 1 m = n 1 Dapat ditulis S 1 = n 1 Selanjutnya untuk S 2 dan S 3, masing-masing banyak anggota hanya 1 yaitu S 2 = {u n u 1 v 1 u n } =1 S 3 = {u i u i+1 u i+2 u i+3 u n u i } = 1 maka dapat ditulis S 2 = 1 dan S 3 = 1. Jadi masing-masing multiplisitas sikel pada tiap himpunan sikel sisi yang disjoin adalah S 1 = n 1, S 2 = 1, S 3 = 1. Sehingga CM [T C n ] = n 1 + 1 + 1 = n + 1. Terbukti bahwa CM [T C n ] = n + 1.

32 3.4 Multiplisitas Sikel dari Graf Total Pada Graf Path P n Diberikan graf Path P n dengan n adalah banyaknya titik dan n 2. 3.4.1 Graf Path P 2 Graf path P 2 mempunyai himpunan titik V(P 2 ) = {v 1, v 2 } dan himpunan sisi E(P 2 )={ e 1 } dimana e i = v i v j. e1 Gambar 3.4.1 Graf Path P 2 u1 Gambar 3.4.2 Graf Total dari Graf Path P 2 Graf total dari graf path P 2 adalah graf yang mempunyai himpunan titik V[T(P 2 )] = V P 2 U P 2, dimana U P 2 adalah himpunan titik yang diperoleh dari penambahan satu titik di setiap sisi e = v i v j pada graf G dengan U P 2 = u 1 dan E[T(P 2 )]= {v i u i i = 1} {v i v i+1 i = 1} {u i v i+1 i = 1}. Sikel sisi yang disjoin adalah S 1 = {v i u i v i+1 v i i= 1}, maka CM [T P 2 ] = 1.

33 3.4.2 Graf Path P 3 Graf path P 3 mempunyai himpunan titik V(P 3 ) = {v 1, v 2, v 3 } dan himpunan sisi E(P 3 )={e 1, e 2 } dimana e i = v i v j. e1 e2 Gambar 3.4.3 Graf Path P 3 u1 u2 Gambar 3.4.4 Graf Total dari Graf Path P 3 Graf total dari graf path P 3 adalah graf yang mempunyai himpunan titik V[T(P 3 )] = V P 3 U P 3, dimana U P 3 adalah himpunan titik yang diperoleh dari penambahan satu titik di setiap sisi e = v i v j pada graf path P 3 dengan U P 3 = u 1, u 2 dan E[T(P 3 )]= {v i u i i = 1,2} {v i v i+1 i = 1,2} {u i v i+1 i = 1,2} {u i u i+1 i = 1}. Sikel sisi yang disjoin adalah S 1 = {v i u i v i+1 v i i = 1, 2}, maka CM [T P 3 ] = 2.

34 3.4.3 Graf Path P 4 Graf path P 4 mempunyai himpunan titik V(P 4 )={v 1, v 2, v 3, v 4 } dan himpunan sisi E(P 4 )={ e 1, e 2, e 3 } dimana e i = v i v j. e1 e2 e3 v4 Gambar 3.4.5 Graf Path P 4 u1 u2 u3 v4 Gambar 3.4.6 Graf Total dari Graf Path P 4 Graf total dari graf path P 4 adalah graf yang mempunyai himpunan titik V[T(P 4 )] = V P 4 U P 4, dimana U P 4 adalah himpunan titik yang diperoleh dari penambahan satu titik di setiap sisi e = v i v j pada graf path P 4 dengan U P 4 = u 1, u 2, u 3 dan E[T(P 4 )] = {v i u i 1 i 3} {v i v i+1 1 i 3} {u i v i+1 1 i 3} {u i u i+1 1 i 2}. Sikel sisi yang disjoin adalah S 1 = {v i u i v i+1 v i i= 1, 2, 3}, maka CM [T P 4 ] = 3.

35 3.4.4 Graf Path P 5 Graf path P 5 mempunyai himpunan titik V(P 5 ) = {v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 } dan himpunan sisi E(P 5 ) = { e 1, e 2, e 3, e 4 } dimana e = v i v j.. e1 e2 e3 e4 v4 v5 Gambar 3.4.7 Graf Path P 5 u1 u2 u3 u4 v4 v5 Gambar 3.4.8 Graf Total dari Graf Path P 5 Graf total dari graf path P 5 adalah graf yang mempunyai himpunan titik V[T(P 5 )] = V P 5 U P 5, dimana U P 5 adalah himpunan titik yang diperoleh dari penambahan satu titik di setiap sisi e = v i v j pada graf path P 5 dengan U P 5 = u 1, u 2, u 3, u 4 dan E[T(P 5 )] = {v i u i 1 i 4} {v i v i+1 1 i 4 {u i v i+1 1 i 4} {u i u i+1 1 i 3}. Sikel sisi yang disjoin adalah S 1 = v i u i v i+1 v i i= 1, 2, 3, 4}, maka CM [T P 5 ] = 4.

36 3.4.5 Graf Path P 6 Graf path P 6 mempunyai himpunan titik V(P 6 ) = {v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 } dan himpunan sisi E(P 6 ) = { e 1, e 2, e 3, e 4, e 5 } dimana e = v i v j. e1 e2 e3 e4 e5 v4 v5 v6 Gambar 3.4.9 Graf Path P 6 u1 u2 u3 u4 u5 v4 v5 v6 Gambar 3.4.10 Graf Total dari Graf Path P 6 Graf total dari graf path P 6 adalah graf yang mempunyai himpunan titik V[T(P 6 )] = V P 6 U P 6, dimana U P 6 adalah himpunan titik yang diperoleh dari penambahan satu titik di setiap sisi e = v i v j pada graf path P 6 dengan U P 6 = u 1, u 2, u 3, u 4, u 5. Sikel sisi yang disjoin dari graf path P 6 di atas adalah S 1 = {v i u i v i+1 v i i= 1, 2, 3, 4, 5}, maka CM [T P 6 ] = 5.

37 Berdasarkan perhitungan Multiplisitas sikel dari graf path di atas, maka diperoleh sebagai berikut. Tabel 3.2 Multiplisitas Sikel dari Graf Total pada Graf Path n Graf Path P n CM [T P n ] 2 P 2 1 = 2 1 3 P 3 2 = 3 1 4 P 4 3 = 4 1 5 P 5 4 = 5 1 6 P 6 5 = 6 1 Selanjutnya, akan diformulasikan multiplisitas sikel dari graf total pada graf path P n seperti yang dituliskan dalam teorema berikut. Teorema 3.2 Multiplisitas Sikel dari Graf Total pada graf path P n = n 1. Bukti Sikel sisi yang disjoin dari graf P n adalah S 1 = {v i u i v i+1 v i 1 i n 1} terlihat bahwa S 1 adalah himpunan yang beranggotakan sikel sisi yang disjoin

38 dalam P n. Dimana jumlah anggota dari himpunan S 1 bisa dicari dengan menggunakan rumus barisan aritmatika. Untuk S 1, i dapat dijabarkan dalam bentuk barisan aritmatika yaitu 1,2,3,. n - 1 sehingga didapatkan suku pertama adalah α = 1 dan beda b = 1 serta u m = n 1 dimana m adalah batas terbesar dari S 1, sehingga didapatkan jumlah anggota 1 dengan perhitungan berikut. u m = a + m 1 b n 1 = 1 + m 1 1 n 1 = 1 + m 1 m = n 1 Dapat ditulis S 1 = n 1 Berdasarkan uraian di atas, maka CM [T P n ] = S 1 = n 1. Terbukti bahwa CM [T P n ] = n 1. 3.5 Multiplisitas Sikel dari Graf Total Pada Graf Kipas F n Diberikan graf kipas F n untuk n banyaknya titik dan n 3 untuk n bilangan asli dan memiliki titik-titiknya, yaitu V(F n )={v 0, v 1, v 2, v 3,., v n } dan himpunan sisi E(F n ) = { e 1, e 2, e 3,, e deg G v 0 + E(Pn) }. 3.5.1 Graf Kipas F 3 Graf kipas F 3 dibentuk dari hasil penjumlahan graf komplit K 1 (Graf Nol N 1 ) dan graf path P 3, yaitu F 3 = K 1 + P 3. Graf kipas F 3 dapat digambarkan sebagai berikut:

39 e1 e2 e3 e4 e5 v0 Gambar 3.5.1 Graf Kipas F 3 Sesuai definisi dari graf total maka bentuk graf total pada graf kipas F 3 sebagai berikut : u1 u2 u3 u4 u5 v0 Gambar 3.5.2 Graf Total dari Graf Kipas F 3 Graf pada gambar 3.5.1 merupakan graf Kipas F 3 dengan himpunan titik V(F 3 )={v 0, v 1, v 2, v 3 } dan himpunan sisi E(F 3 )={ e 1, e 2, e 3, e 4, e 5 } dimana e = v i v j. Graf total dari graf Kipas F 3 adalah graf yang mempunyai himpunan titik V[T(F 3 )] = V F 3 U F 3, dimana U F 3 adalah himpunan titik yang diperoleh dari penambahan satu titik di setiap sisi e = v i v j pada graf Kipas F 3. Berdasarkan graf total di atas dan sesuai dengan definisi dari multiplisitas sikel maka diperoleh sikel sisi yang disjoin adalah :

40 S 1 = {v i u i+ n 1 v 0 v i 1 i 3} S 2 = {v i u i v i+1 v i 1 i 2 S 3 = {u i u i+1 u i+2 u i i = 3} S 4 = {u i u i+n u i+1 u i i = 1 Dapat digambarkan sebagai berikut : u1 u2 u1 u2 u3 u4 u5 u3 u4 u5 v0 a.s 1 = {v i u (i+ n 1 ) v 0 v i 1 i 3} v0 b. S 2 = {v i u i v (i+1) v i 1 i 2} u1 u2 u1 u2 u3 u4 u5 u3 u4 u5 v0 c. S 3 = {u i u i+1 u i+2 u i i = 3} v0 d. S 4 = {u i u i+n u i+1 u i i = 1} Gambar 3.5.3 Himpunan sikel sisi yang disjoin pada graf kipas F 3

u4 u5 u6 41 Terlihat bahwa S i dengan 1 i 4 adalah himpunan himpunan yang beranggotaan sikel sisi yang disjoin dalam F 3, dimana S 1 = 3, S 2 = 2, S 3 = 1, S 4 = 1. Sehingga CM [T F 3 ]= S i = 3 + 2 + 1 + 1 = 7. 3.5.2 Graf Kipas F 4 Graf kipas F 4 dibentuk dari hasil penjumlahan graf komplit K 1 (Graf Nol N 1 ) dan graf path P 4, yaitu F 4 = K 1 + P 4. Graf kipas F 4 dapat digambarkan sebagai berikut: e1 e2 e3 v4 e4 e5 e6 e7 v0 Gambar 3.5.4 Graf Kipas F 4 u1 u2 u3 v4 u7 v0 Gambar 3.5.5 Graf total dari graf Kipas F 4

u4 u5 u6 u4 u5 u6 42 Graf pada gambar 3.5.4 merupakan graf Kipas F 4 dengan himpunan titik V(F 4 )={v 0, v 1, v 2, v 3, v 4 } dan himpunan sisi E(F 4 )={ e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6, e 7 } dimana e = v i v j. Graf total dari graf Kipas F 4 adalah graf yang mempunyai himpunan titik V[T(F 4 )] = V F 4 U F 4,dimana U F 4 adalah himpunan titik yang diperoleh dari penambahan satu titik di setiap sisi e = v i v j pada graf Kipas F 4. Berdasarkan graf total di atas dan sesuai dengan definisi dari multiplisitas sikel maka diperoleh sikel sisi yang disjoin adalah : S 1 = {v i u (i+ n 1 ) v 0 v i 1 i 4} S 2 = {v i u i v i+1 v i 1 i 3 S 3 = {u i u i+1 u i+2 u i i = 4} S 4 = {u i u i+n u i+1 u i i = 1, 2 Dapat digambarkan sebagai berikut : u1 u2 u3 u1 u2 u3 v4 v4 u7 u7 v0 v0 a. S 1 = {v i u (i+ n 1 ) v 0 v i 1 i 4} b. S 2 = {v i u i v (i+1) v i 1 i 3}

u4 u5 u6 u4 u5 u6 43 u1 u2 u3 u1 u2 u3 v4 v4 u7 u7 v0 c. S 3 = {u i u i+1 u i+2 u i i = 4} v0 d. S 4 = {u i u i+n u i+1 u i i = 1, 2} Gambar 3.5.6 Himpunan sikel sisi yang disjoin pada graf kipas F 4 Terlihat bahwa S i dengan 1 i 4 adalah himpunan himpunan yang beranggotaan sikel sisi yang disjoin dalam F 4, dimana S 1 = 4, S 2 = 3, S 3 = 1, S 4 = 2. Sehingga CM [T F 4 ]= S i = 4 + 3 + 1 + 2 = 10. 3.5.3 Graf Kipas F 5 Graf kipas F 5 dibentuk dari hasil penjumlahan graf komplit K 1 (Graf Nol N 1 ) dan graf path P 5, yaitu F 5 = K 1 + P 5. Graf kipas F 5 dapat digambarkan sebagai berikut: e1 e2 e3 v4 e4 v5 u1 u2 u3 u4 v4 v5 e5 e6 e7 e8 e9 u5 u6 u7 u8 u9 v0 v0 Gambar 3.5.7 Graf Kipas F 5 Gambar 3.5.8 Graf Total dari Graf Kipas F 5

44 Graf pada gambar 3.5.7 merupakan graf Kipas F 5 dengan himpunan titik V(F 5 )={v 0, v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 } dan himpunan sisi E(F 5 )={ e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6, e 7, e 8, e 9 } dimana = v i v j. Graf total dari graf Kipas F 5 adalah graf yang mempunyai himpunan titik V[T(F 5 )] = V F 5 U F 5, dimana U F 5 adalah himpunan titik yang diperoleh dari penambahan satu titik di setiap sisi e = v i v j pada graf Kipas F 5. Berdasarkan graf total di atas dan sesuai dengan definisi dari multiplisitas sikel maka diperoleh sikel sisi yang disjoin adalah : S 1 = {v i u i+ n 1 v 0 v i 1 i 5} S 2 = {v i u i v i+1 v i 1 i 4 S 3 = {u i u i+1 u i+3 u i i = 5, 6 u i u i+2 u i+3 u i+4 u i i = 5} S 4 = {u i u i+n u i+1 u i i = 1, 2,3 Dapat digambarkan sebagai berikut : u1 u2 u3 u4 u1 u2 u3 u4 v4 v5 v4 v5 u5 u6 u7 u8 u5 u6 u7 u8 u9 u9 v0 a.s 1 = {v i u (i+ n 1 ) v 0 v i 1 i 5} v0 b.s 2 = {v i u i v (i+1) v i 1 i 4}

45 u1 u2 u3 u4 u1 u2 u3 u4 v4 v5 v4 v5 u5 u6 u7 u8 u5 u6 u7 u8 u9 u9 v0 c.s 3 = {u i u i+1 u i+3 u i i = 5, 6} {u i u i+2 u i+3 u i+4 u i i = 5} v0 d.s 4 = {u i u i+n u i+1 u i i = 1, 2,3} Gambar 3.5.9 Himpunan sikel sisi yang disjoin pada graf Kipas F 5 Terlihat bahwa S i dengan 1 i 4 adalah himpunan himpunan yang beranggotaan sikel sisi yang disjoin dalam F 5, dimana S 1 = 5, S 2 = 4, S 3 = 3, S 4 = 3. Sehingga CM [T F 5 ]= S i = 5 + 4 + 3 + 3 = 15. 3.5.4 Graf Kipas F 6 Graf kipas F 6 dibentuk dari hasil penjumlahan graf komplit K 1 (Graf Nol N 1 ) dan graf path P 6, yaitu F 6 = K 1 + P 6. Graf kipas F 6 dapat digambarkan sebagai berikut: u1 u2 u3 u4 u5 e1 e2 e3 v4 e4 v5 e5 v6 v4 v5 v6 u8 e7 e9 e8 e10 e11 u6 u7 u9 u10 e6 u11 v0 Gambar 3.5.10 Graf Kipas F 6 v0 Gambar 3.5.11 Graf total dari graf Kipas F 6

46 Graf pada gambar 3.5.10 merupakan graf Kipas F 6 dengan himpunan titik V(F 6 )={v 0, v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 } dan himpunan sisi E(F 6 )={ e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6, e 7, e 8, e 9, e 10, e 11 } dimana = v i v j. Graf total dari graf Kipas F 6 adalah graf yang mempunyai himpunan titik V[T(F 6 )] = V F 6 U F 6, dimana U F 6 adalah himpunan titik yang diperoleh dari penambahan satu titik di setiap sisi e = v i v j pada graf Kipas F 6. Berdasarkan graf total di atas dan sesuai dengan definisi dari multiplisitas sikel maka diperoleh sikel sisi yang disjoin adalah : S 1 = {v i u i+ n 1 v 0 v i 1 i 6} S 2 = {v i u i v i+1 v i 1 i 5 S 3 = {u i u i+1 u i+2 u i i = 6, 8 u i u i+2 u i+4 u i = 7 u i u i+4 u i+5 u i = 6 S 4 = {u i u i+n u i+1 u i i = 1 i 4 Dapat digambarkan sebagai berikut : u1 u2 u3 u4 u5 u1 u2 u3 u4 u5 v4 v5 v6 v4 v5 v6 u8 u8 u6 u7 u9 u10 u6 u7 u9 u10 u11 u11 v0 a.s 1 = {v i u (i+ n 1 ) v 0 v i 1 i 6} v0 b. S 2 = {v i u i v (i+1) v i 1 i 5}

47 u1 u2 u3 u4 u5 u1 u2 u3 u4 u5 v4 v5 v6 v4 v5 v6 u6 u7 u8 u9 u10 u6 u7 u8 u9 u10 u11 u11 c. S 3 = {u i u i+1 u i+2 u i i = 6, 8} v0 {u i u i+2 u i+4 u i = 7} {u i u i+4 u i+5 u i = 6} v0 d. S 4 = {u i u i+n u i+1 u i i = 1 i 4} Gambar 3.5.12 Himpunan sikel sisi yang disjoin pada graf Kipas F 6 Terlihat bahwa S i dengan 1 i 4 adalah himpunan himpunan yang beranggotaan sikel sisi yang disjoin dalam F 6, dimana S 1 = 6, S 2 = 5, S 3 = 4, S 4 = 4. Sehingga CM [T F 6 ]= S i = 6 + 5 + 4 + 4 = 19. 3.5.5 Graf Kipas F 7 Graf kipas F 7 dibentuk dari hasil penjumlahan graf komplit K 1 ( Graf Nol N 1 ) dan graf path P 7, yaitu F 7 = K 1 + P 7. Graf kipas F 7 dapat digambarkan sebagai berikut: v4 v5 e1 e2 e3 v6 e4 e5 e6 v7 u1 u2 u3 u4 u5 u6 v4 v5 v6 v7 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 u7 u8 u9 u10 u11 u12 u13 v0 Gambar 3.5.13 Graf Kipas F 7 v0 Gambar 3.5.14 Graf total dari graf Kipas F 7

48 Graf pada gambar 3.5.13 merupakan graf Kipas F 7 dengan himpunan titik V(F 7 )={v 0, v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6, v 7 } dan himpunan sisi E(F 6 )={ e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6, e 7, e 8, e 9, e 10, e 11, e 12, e 13 } dimana = v i v j. Graf total dari graf Kipas F 7 adalah graf yang mempunyai himpunan titik V[T(F 7 )] = V F 7 U F 7, dimana U F 7 adalah himpunan titik yang diperoleh dari penambahan satu titik di setiap sisi e = v i v j pada graf Kipas F 7. Berdasarkan graf total di atas dan sesuai dengan definisi dari multiplisitas sikel maka diperoleh sisi sikel yang disjoin adalah : S 1 = {v i u i+ n 1 v 0 v i 1 i 7} S 2 = {v i u i v i+1 v i 1 i 6 S 3 = {u i u i+1 u i+3 u i 7 i 10 {u i u i+4 u i+5 u i i = 7, 8} {u i u i+2 u i+6 u i i = 7 S 4 = {u i u i+n u i+1 u i i = 1 i 5 Masing masing himpunan sikel tersebut dapat digambarkan sebagai berikut : u1 u2 u3 u4 u5 u6 u1 u2 u3 u4 u5 u6 v4 v5 v6 v7 v4 v5 v6 v7 u7 u8 u9 u10 u11 u12 u7 u8 u9 u10 u11 u12 u13 u13 v0 a. S 1 = {v i u i+ n 1 v 0 v i 1 i 7} v0 b. S 2 = {v i u i v (i+1) v i 1 i 6}

49 u1 u2 u3 u4 u5 u6 u1 u2 u3 u4 u5 u6 v4 v5 v6 v7 v4 v5 v6 v7 u7 u8 u9 u10 u11 u12 u7 u8 u9 u10 u11 u12 u13 u13 v0 c.s 3 = {u i u i+1 u i+3 u i 7 i 10} {u i u i+4 u i+5 u i i=7,8} {u i u i+2 u i+6 u i i = 7} v0 d. S 4 = {u i u i+n u i+1 u i i = 1 i 5} Gambar 3.5.15 Himpunan sikel sisi yang disjoin pada graf Kipas F 7 Terlihat bahwa S i dengan 1 i 4 adalah himpunan himpunan yang beranggotaan sikel sisi yang disjoin dalam F 6, dimana S 1 = 7, S 2 = 6, S 3 = 7, S 4 = 5. Sehingga CM [T F 7 ]= S i = 7 + 6 + 7 + 5 = 25. Berdasarkan perolehan multiplisitas sikel dari graf kipas di atas, maka diperoleh tabel sebagai berikut. Tabel 3.3 Multiplisitas Sikel dari Graf Total pada Graf Kipas n Graf Kipas F n CM [T F n ] 1 F 3 7= 32 + 17.3 18 6 2 F 4 10= 42 + 16.4 18 6

50 3 F 5 15= 52 + 17.5 18 6 4 F 6 19= 62 + 17.6 18 6 5 F 7 25= 72 + 17.7 18 6 Selanjutnya, akan diformulasikan multiplisitas sikel dari graf total pada graf kipas F n seperti yang dituliskan dalam teorema berikut. Teorema 3.3 Multiplisitas Sikel dari Graf Total pada graf kipas F n adalah CM [T F n ] = n 2 + 17n 18 6 n 2 + 16n 18 6, untuk, untuk n n ganjil ganjil, untuk n genap Bukti Misal V(F n ) = {v 0, v 1, v 2,, v n } dan E(F n )={ e 1, e 2,, e n } dimana e = v i v j. Graf total dari graf Kipas F n adalah graf yang mempunyai himpunan titik V[T(F n )] = V F n U F n, dimana u i U(G) adalah titik yang membagi setiap sisi e = v i v j. Sedangkan E[T(F n )] = {v i u i 1 i n 1} {v i v i+1 0 i n 1} {u i v i+1 1 i n 1} u i u i+1 1 i n 1} {u i u i+n 1 i n} {u i u i+n+1 1 i n}. Kasus I : Jika n ganjil

51 Berdasarkan definisi dari multiplisitas sikel maka diperoleh sikel sisi yang disjoin adalah S 1 = {v i u (i+ n 1 ) v 0 v i 1 i n} S 2 = {v i u i v i+1 v i 1 i n 1} S 3 ={Himpunan sisi sikel yang disjoin pada graf komplit K n } S 4 = {u i u i+n u i+1 u i 1 i n 2}. Terlihat bahwa S i dengan 1 i 4 adalah himpunan himpunan yang beranggotaan sikel sisi yang disjoin dalam F n, dimana jumlah anggota dari masing-masing himpunan S bisa dicari dengan menggunakan rumus barisan aritmatika. Pada S 1, i dapat dijabarkan dalam bentuk barisan aritmatika yaitu 1,2,3,. n sehingga didapatkan suku pertama adalah α = 1 dan beda b = 1 serta u m = n dimana m adalah batas terbesar dari S 1, sehingga didapatkan jumlah anggota S 1 dengan perhitungan berikut. u m = a + m 1 b n = 1 + m 1 1 n = 1 + m 1 m = n dapat ditulis S 1 = n. Pada S 2, i dapat dijabarkan dalam bentuk barisan aritmatika yaitu 1,2,3,. n 1 sehingga didapatkan suku pertama adalah α = 1 dan beda b = 1 serta u m = n 1 dimana m adalah batas terbesar dari S, sehingga didapatkan jumlah anggota S 2 dengan perhitungan berikut.

52 u m = a + m 1 b n 1 = 1 + m 1 1 n 1 = 1 + m 1 m = n 1 dapat ditulis S 2 = n 1. Pada S 3, S 3 adalah himpunan sikel sisi yang disjoin pada graf komplit K n. S 3 = n 2 n 6, akan dibuktikan banyaknya sisi sikel yang disjoin di S 3 adalah n 2 n 6 jika n ganjil. Jika n = 1, maka banyaknya sisi sikel yang disjoin di K 1 adalah 0. Demikian pula jika n = 3, maka banyaknya sisi sikel yang disjoin di K 3 adalah 1. Perhatikan bahwa S 3 = n 2 n 6 dengan n= 1, 3 adalah benar. Anggap m = 2k 1benar, S 3 = n2 n 6 = 2k2 3k+1 3 benar. Untuk mengetahui apakah n = 2k +1 benar, dapat diperiksa dengan perhitungan berikut: S 3 = n 2 n 6 = (2k+1)2 (2k+1) 6 = 2k 2 + k 3 Jadi ternyata n = 2k + 1 benar. Berdasarkan prinsip induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa S 3 = n 2 n 6 benar untuk bilangan ganjil. Pada S 4, i dapat dijabarkan dalam bentuk barisan aritmatika yaitu 1,2,3,. n 2 sehingga didapatkan suku pertama adalah α = 1 dan beda b = 1 serta