Kelengkapan Ruang l pada Ruang Norm-n

Jurnal Matematika, Statistika,& Komputasi Vol.... No... 20... Kelengkapan Ruang l pada Ruang Norm-n Meriam, Naimah Aris 2, Muh Nur 3 Abstrak Rumusan norm-n pada l merupakan perumuman dari rumusan norm-n pada l. Selanjutnya, ditunjukkan bahwa ruang l merupakan ruang Banach-n dengan mengambil sebarang barisan Cauchy di l yang konvergen di l dalam ruang norm-n. Kata Kunci : ruang norm-n, ruang l, Barisan Cauchy, ruang Banach-n Abstract The formula of n-normed space in space l is a generalization from the formula of n-normed space in space l. Furthermore, it is shown that space l is n-banach space by taking any Cauchy sequence in the space l which convergent in l on n-normed space. Keywords : n-normed space, space l, Cauchy sequence, n-banach space. Pendahuluan Konsep ruang norm pertama kali dikemukakan oleh S. Banach, H. Hahn dan N. Wiener pada tahun 922. Ruang norm, (X, ) adalah suatu ruang vektor X dengan metrik yang didefinisikan oleh suatu norm. Kajian tentang ruang norm ini telah banyak dikaji oleh matematikawan, diantaranya adalah kajian tentang ruang norm-2 yang pertama kali dikemukakan oleh Ga hler pada pertengahan tahun 960-an. Ruang norm-2, (X,, ) adalah ruang yang dibangun dari ruang vektor X yang mempunyai dim(x) 2 dengan metrik yang didefinisikan oleh suatu norm,. Pada tahun 969, Ga hler kemudian mengembangkan ruang norm pada ruang vektor real X dengan dim(x) n, dilambangkan dengan,, dan (X,,, ) disebut ruang norm-n. Tahun 20, H. Gunawan dan Mashadi [6] dalam tulisannya menyatakan bahwa ruang norm- n dengan n 2 adalah suatu ruang norm-(n ), untuk kasus standar atau untuk ruang yang berdimensi hingga, norm- (n ) dapat diturunkan dari norm- n dengan cara tertentu, kemudian kekonvergenan dan kelengkapan dari norm-n ekuivalen dengan kekonvergenan dan kelengkapan yang diturunkan dari norm-(n ). Kajian lain yang membahas tentang kelengkapan norm- n dilakukan oleh Shelvi Ekariani dan Hendra Gunawan [2], dimana kekonvergenan dan kelengkapan barisan dalam norm-n mengakibatkan kekonvergenan dan kelengkapan barisan dalam norm, begitu juga sebaliknya. Kelengkapan ruang l pada norm-n sebelumnya telah dibahas oleh Hendra Gunawan [4] dalam tulisannya The Space of p -Summable Sequences and Its Natural n -Norm. Kelengkapan tersebut ditunjukkan dengan mendefinisikan sebuah norm pada ruang l dan membuktikan ekuivalensi norm tersebut dengan norm pada ruang l. Dari beberapa referensi tersebut diatas, penulis tertarik untuk mengkaji kembali bagaimana kelengkapan ruang l di dalam ruang norm-n dengan kata lain akan ditunjukkan bahwa ruang l merupakan ruang Banach-n, dengan metode yang sama dengan [] dengan Program S Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin 2 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin 3 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin

Jurnal Matematika, Statistika,& Komputasi 2 Vol.... No... 20... tujuan penulisan yaitu mengkaji definisi norm- n pada ruang l, dan membuktikan kelengkapan ruang l di ruang norm-n. 2. Tinjauan Pustaka 2. Ruang l Definisi 2.. Misal p adalah bilangan real. Setiap elemen dalam ruang l adalah barisan ( ) = (,, ) dari bilangan real sedemikian sehingga + + konvergen, didefinisikan <, untuk p. () Jika ( ) adalah barisan dalam bilangan real, maka yang diperoleh adalah ruang real l. Jika ( ) adalah barisan dalam bilangan kompleks, maka yang diperoleh adalah ruang kompleks l, namun yang akan dibahas adalah ruang real l. 2.2 Ruang Norm-2 Definisi 2.2. Misalkan X ruang vektor real berdimensi d dengan d 2. Norm-2 pada X didefinisikan sebagai suatu pemetaan, :X X R, sehingga untuk setiap, y, z X dan α R memenuhi sifat-sifat berikut :., y = 0 jika dan hanya jika dan y bergantung linear, 2., y = y,, 3., αy = α, y, 4. + y, z, z + y, z Pasangan (X,, ) disebut ruang norm-2. Telah diketahui bahwa norm-2 pada ruang l untuk p < dan p 2 didefinisikan sebagai, y = 2 Untuk menunjukkan bahwa ruang ketaksamaan Minkowski untuk deret double. y y. (2) l merupakan ruang norm-2 dibutuhkan Teorema 2.2.2 (Ketaksamaan Minkowski untuk Deret Double) Jika p dan + =, dimana ( ), (y ) l maka n y k + k y n p n= k= p n y k p n= k= p + k y n p n= k= p (3)

Jurnal Matematika, Statistika,& Komputasi 3 Vol.... No... 20... Proposisi 2.2.3 Jika fungsi, : l R, didefinisikan, y = 2 Maka (l,, ) adalah ruang norm-2. Ruang l merupakan ruang yang lengkap pada ruang norm-2 atau ruang Banach-2, yang telah dibuktikan pada []. y y 3. Hasil dan Pembahasan 3. Ruang Norm-n Definisi 3.. Misalkan X adalah ruang vektor real berdimensi d dimana d n serta,,, X. Suatu fungsi bernilai real tak negatif yang didefinisikan sebagai suatu pemetaan,, : X X R, sehingga untuk setiap,,,, y, z X memenuhi sifatsifat dibawah ini :.,, = 0 jika dan hanya jika,, bergantung linear; 2.,, =,,, untuk permutasi (i,, i ) dari (,, n); 3.,,, α = α,,, untuk setiap α R; 4.,,, y + z,,, y +,,, z, disebut norm-n di X. Pasangan (X,,, ) disebut ruang norm-n. Terinspirasi dari rumusan norm-n pada l didefinisikan norm-n pada l, yaitu,, = n!. (4) Proposisi 3..2 Jika fungsi,, : l R, didefinisikan,, = n! maka (l,,, ) adalah ruang norm-n. Bukti : Ambil (,, ) l, akan ditunjukkan bahwa norm,, memenuhi sifatsifat ruang norm- n. Akan ditunjukkan,, = 0 jika dan hanya jika,, bergantung linear. ( ) Jika,, = 0 maka,, bergantung linear, diketahui,, = 0, sehingga

Jurnal Matematika, Statistika,& Komputasi 4 Vol.... No... 20... diperoleh n! = 0. = 0, Sehingga berdasarkan teorema bebas linear,,, bergantung linear. ( ) Jika,, bergantung linear maka,, = 0 Jika,, bergantung linear maka terdapat skalar-skalar k 0 dimana i =,2,, n, sedemikian sehingga sehingga, = k k + + k k (5) k k + + k k,, = n! k k + + k k (6) k k + + k k Berdasarkan sifat penjumlahan determinan jika terdapat dua kolom sama atau sebanding maka nilai determinan = 0, sehingga dari persamaan (6) diperoleh,, = (0) n! = 0. Sehingga,, = 0 Ruang l memenuhi sifat kedua dan ketiga ruang norm-n, dapat dibuktikan dengan menggunakan sifat determinan. Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa,,, y + z,,, y +,,, z () y + z,,, y + z = n! () y + z () y + z Berdasarkan ketaksamaan Minkowski, diperoleh () y () z n! () y + () z () y () z (7)

Jurnal Matematika, Statistika,& Komputasi 5 Vol.... No... 20... () y n! () y () y () z + n! () z () z Jadi,,,, y + z,,, y +,,, z. Karena semua sifat ruang norm-n terpenuhi maka ruang l terdefinisi pada ruang norm-n. 3.2 Ruang Banach-n Definisi 3.2. Barisan ( ) diruang norm-n (X,,, ) dikatakan konvergen ke X dalam normn jika untuk setiap,, X, dan untuk setiap ε > 0 terdapat n N, sedemikian sehingga,,, < ε, untuk setiap k n Teorema 3.2.2 Misalkan X = (X,,, )adalah ruang norm-n, maka limit dari suatu barisan diruang tersebut yang konvergen adalah tunggal. Definisi 3.2.3 Barisan ( ) diruang norm-n (X,,, ) dikatakan Cauchy ke X dalam norm-n jika untuk setiap,, X, dan untuk setiap ε > 0 terdapat n N, sedemikian sehingga,,, < ε, untuk setiap k, l n Teorema 3.2.4 Jika barisan ( ) konvergen dalam norm-n, maka ( ) adalah barisan Cauchy dalam norm-n. Definisi 3.2.5 Misal X merupakan ruang vektor dalam ruang norm-n. Maka X disebut ruang yang lengkap pada norm-n jika setiap barisan Cauchy pada X konvergen ke elemen X. Ruang Banach-n merupakan ruang norm-n yang lengkap. Teorema 3.2.6 Ruang l adalah ruang yang lengkap pada norm- n, dengan norm- n pada l didefenisikan sebagai berikut,, = n!. (8)

Jurnal Matematika, Statistika,& Komputasi 6 Vol.... No... 20... Bukti : Akan ditunjukkan bahwa setiap barisan Cauchy dalam l konvergen ke l. Misal ( ) adalah sebarang barisan Cauchy dalam l, dimana = (), (),. Maka untuk setiap ε > 0 terdapat n N sedemikian sehingga untuk setiap k, l n berlaku,, = n! diperoleh, () () n! () () () () () () () () () () < ε. (9) < ε (0) Ambil j yang tetap, dimana i =,2,, n, dan misal(n!) ε = ε, sehingga diperoleh () () () () () < ε. () () Berdasarkan definisi determinan n n, dimana p = (n ) dan q = n untuk n genap dan p = n dan q = (n ) untuk n ganjil. Maka persamaan (3.8) dapat dituliskan () () C + () () C + + () () C () () C + () () C + + () () C < ε (2) Pilih j yang tetap, untuk i =,2,, n, dimana j =,2, sehingga dari (2) dapat disimpulkan bahwa (), (),, () merupakan barisan Cauchy di R. Berdasarkan Teorema Cauchy-Konvergen pada bilangan real, maka R lengkap. Karena R lengkap, maka (), (),, () konvergen, berarti untuk k berlaku (), (),, (). Kemudian akan ditunjukkan bahwa dan l. Dari (0), untuk m, n n diperoleh () () n! () () < ε. (u =,2, ) () () Untuk l dan u, dimana k n, diperoleh

Jurnal Matematika, Statistika,& Komputasi 7 Vol.... No... 20... () n! () () Dari definisi determinan n n memberikan n! () c + () c + + () c < ε (3) () c + () c + + () c < ε. (4) Persamaan (4) menunjukkan bahwa = () l. Karena = + ( ), dimana l, ( ) l, maka berdasarkan ketaksamaan Minkowski diperoleh () + () () + () < (5) Jadi, l. Dari (4) menunjukkan bahwa, karena ( ) adalah sebarang barisan cauchy dalam ruang l dan l, ini menunjukkan bahwa ruang l adalah ruang yang lengkap pada norm-n dengan kata lain l merupakan ruang Banach-n. 4. Penutup 4. Kesimpulan Ruang l merupakan barisan ( )dari bilangan real sedemikian sehingga konvergen. Dari rumusan norm-n pada l, didefinisikan norm-n pada l, yaitu,, = n!. Ruang l merupakan ruang yang lengkap pada ruang norm-n atau ruang Banach-n yang telah dibuktikan pada Teorema 3.2.6. 4.2 Saran Dalam penulisan ini, hanya mengkaji kelengkapan ruang l pada norm-n. Penulis menyarankan untuk mengkaji kelengkapan ruang C[a, b], L [a, b], baik pada norm-2 maupun norm-n. Daftar Pustaka p [] Astriana, Ria, (202), Ruang l Sebagai Ruang Banach-2 pada Ruang Norm-2, Skripsi Universitas Hasanuddin Makassar.

Jurnal Matematika, Statistika,& Komputasi 8 Vol.... No... 20... [2] Ekariani, Shelvi dan Hendra Gunawan, (202), Teorema Titik Tetap pada Ruang Normn Standar, JMP. 4, 69 77. [3] Edwards, C.H dan David E. Penney, (937), Elementary Linear Algebra, Prentice Hall, Inc : Englewood Cliffs, New Jersey. [4] Gunawan, Hendra, (200), The Space of p-summable Sequences and Its Natural n- Norm, Bull.Austral. Math. Soc. 64, 37-47. [5] Gunawan, H dan Mashadi, (200), On n-norm Space. Int. J. Math. Sci. 27, 63-639. [6] Kreszyg, Erwin, (978), Introductory Function Analysis with Application, John Wiley & Sons, Inc : New York. [7] Nur, M, (20), Teorema Titik Tetap di Ruang Norm-n Standar, Tesis Magister Matematika ITB. [8] Zulfaneti, (20), Norm-n dan Fungsional linear-n terbatas d Ruang Hilbert, (Online), (pasca.unand.ac.id/id/wp-content/uploads/20/09/artikel2.pdf diunduh 5 Maret 203).