PELABELAN SELIMUT H-AJAIB SUPER PADA KORONASI BEBERAPA KELAS GRAF DENGAN GRAF LINTASAN

PELABELAN SELIMUT H-AJAIB SUPER PADA KORONASI BEBERAPA KELAS GRAF DENGAN GRAF LINTASAN oleh HARDINA SANDARIRIA M0112041 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2016 i

ABSTRAK Hardina Sandariria, 2016. PELABELAN SELIMUT H -AJAIB SUPER PADA KORONASI BEBERAPA KELAS GRAF DENGAN GRAF LINTASAN. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret. Graf sederhana G =(V,E) memuat selimut H jika setiap sisi pada E memuat subgraf di G yang isomorfik dengan H. Andaikan suatu graf G =(V (G),E(G)) memiliki selimut-h, maka suatu fungsi bijektif f : V (G) E(G) {1, 2,..., V + E }, adalah pelabelan H-ajaib dari G jika terdapat bilangan bulat positif m(f) yang disebut jumlah ajaib. Untuk suatu subgraf H =(V (H ),E (H )) dari G isomorfik ke H diperoleh f(h )= v V f(v)+ e E f(e) =m(f), sehingga graf G disebut H-ajaib. Graf G adalah H-ajaib super dan jumlah ajaib super dinotasikan dengan s(f) untukf(v )={1,..., V }. Penelitian ini untuk mencari selimut H-ajaib super pada koronasi graf bintang, roda, dan gear dengan graf lintasan. Akan dibuktikan bahwa graf bintang korona lintasan S n P m dengan m 3 adalah U m,2 -ajaib super untuk sebarang n dan m ganjil atau m, n genap, graf roda korona lintasan W n P m adalah C 3 P m -ajaib super untuk m 3, dan graf gear korona lintasan G n P m adalah C 4 P m -ajaib super untuk n ganjil dan m 3. Kata kunci : selimut H-ajaib super, koronasi, graf lintasan, graf bintang, graf roda, graf gear, graf payung, graf siklus, U m,2, C 3 P m, C 4 P m, S n P m, W n P m, G n P m iii

ABSTRACT Hardina Sandariria, 2016. H -SUPERMAGIC COVERING ON CORONA- TION OF SOME CLASSES OF GRAPHS WITH A PATH. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University. A simple graph G =(V,E) admits an H-covering if every edge in E belongs to a subgraph on G that isomorphics to H. A graph G is H-magicifthereisa total labeling f : V (G) E(G) {1, 2,..., V + E }, such that each subgraph H =(V (H ),E (H )) on G satisfies f(h )= v V f(v)+ e E f(e) =m(f), where m(f) is a constant magic sum. A graph G is a H-supermagic covering if f(v )={1,..., V } and s(f) is a constant supermagic sum. The research aims to study H-supermagic coverings on corona of a star graph with a path, a wheel graph with a path, and a gear graph with a path. We prove that corona a star graph with a path S n P m is an U m,2 -supermagic for m is odd or m, n are even and m 3, corona a wheel graph with a path W n P m is a C 3 P m -supermagic for m 3, and corona a gear graph with a path G n P m is a C 4 P m -supermagic for n odd and m 3. Keywords : H-supermagic covering, corona, path, star graph, wheel graph, gear graph, umbrella graph, cycle graph, U m,2, C 3 P m, C 4 P m, S n P m, W n P m, G n P m iv

MOTO Kebanggaan kita yang terbesar adalah bukan tidak pernah gagal, tetapi bangkit kembali setiap kali kita jatuh. v

PERSEMBAHAN Karya ini kupersembahkan untuk Alm. bapak, ibu, dan kakak saya. vi

KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim, Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat-nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi ini. Sholawat serta salam selalu dihaturkan kepada Nabi Muhammad SAW. Penulis menyadari bahwa terwujudnya skripsi ini berkat bantuan dan bimbingan dari berbagai pihak. Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada 1. Dra. Mania Roswitha, M.Si. dan Prof. Drs. Tri Atmojo Kusmayadi, M.Sc., Ph.D. sebagai pembimbing yang telah memberikan bimbingan materi serta penulisan dalam skripsi, saran, dan motivasi, dan 2. semua pihak yang telah memberikan bantuan, masukan, dan dukungan kepada penulis. Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pembaca. Surakarta, September 2016 Penulis vii

DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL............................ i PENGESAHAN............................... ii ABSTRAK................................. iii ABSTRACT................................ iv MOTO.................................... v PERSEMBAHAN.............................. vi KATA PENGANTAR........................... vii DAFTAR ISI............................... ix DAFTAR GAMBAR........................... x DAFTAR NOTASI............................. xi I PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang Masalah....................... 1 1.2 Perumusan Masalah......................... 2 1.3 Tujuan................................. 3 1.4 Manfaat................................ 3 II LANDASAN TEORI 4 2.1 Tinjauan Pustaka........................... 4 2.2 Teori Penunjang............................ 5 2.2.1 Pengertian Dasar Graf.................... 5 2.2.2 Kelas-kelas Graf........................ 6 2.2.3 Graf Isomorfik... commit.... to. user................. 8 2.2.4 Operasi Korona pada Graf.................. 8 viii

2.2.5 Pelabelan Selimut Ajaib................... 9 2.2.6 Teknik k-seimbang Multihimpunan............. 10 2.3 Kerangka Pemikiran......................... 11 III METODE PENELITIAN 12 IV PEMBAHASAN 13 4.1 Lema Pendukung........................... 13 4.2 Penelitian Terdahulu......................... 16 4.3 Pelabelan Selimut U m,2 -ajaib Super pada Graf S n P m...... 18 4.4 Pelabelan Selimut C 3 P m -ajaib Super pada Graf W n P m............................. 20 4.5 Pelabelan Selimut C 4 P m -Ajaib Super pada Graf G n P m............................. 24 V PENUTUP 27 5.1 Kesimpulan.............................. 27 5.2 Saran.................................. 27 DAFTAR PUSTAKA 28 ix

DAFTAR GAMBAR 2.1 Graf G................................. 6 2.2 P 3 adalah graf lintasan, S 3 adalah graf bintang, U 3,2 adalah graf payung, W 4 adalah graf roda, dan G 4 adalah graf gear...... 7 2.3 Graf G 1 isomorfik dengan graf G 2.................. 8 2.4 Bentuk umum graf gear korona lintasan G n P m, graf roda korona lintasan W n P m, dan graf bintang korona lintasan S n P m... 9 4.1 Pelabelan selimut C 3 -ajaib super pada graf roda W 6........ 18 4.2 Pelabelan selimut U 4,1 -ajaib super pada graf S 4 P 4....... 20 4.3 Pelabelan selimut C 3 P 3 -ajaib super pada graf W 6 P 3..... 24 4.4 Pelabelan selimut C 4 P 3 -ajaib super pada graf G 3 P 3..... 26 x

DAFTAR NOTASI G : graf G u, v : titik (u, v) : sisi V (G) : himpunan titik dari graf G E(G) : himpunan sisi dari graf G V (G) : banyaknya titik dari graf G (order) E(G) : banyaknya sisi dari graf G (size) G = H : graf G isomorfik dengan graf H G H : operasi gabungan multihimpunan G dengan H φ : fungsi isomorfisma f(e) : pelabelan f pada sisi e f(v) : pelabelan f pada sisi v f(h) : pelabelan f yang menyatakan jumlah label pada sisi dan titik graf G k i=1 X i : operasi gabungan multihimpunan X 1 X 2... X k [a, b] : himpunan bilangan bulat positif dari a sampai b : operasi korona : anggota S n : graf bintang yang memiliki n + 1 titik W n : graf roda yang memiliki n + 1 titik dan 2n sisi G n : graf gear yang memiliki 2n + 1 titik dan 3n sisi P m : graf lintasan dengan n titik xi

x : bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan x (ceiling) x : bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x (flooring) : akhir bukti S n P m : graf hasil operasi korona pada graf bintang ber-order n +1 dengan graf lintasan ber-order m W n P m : graf hasil operasi korona pada graf roda ber-order n +1 dengan graf lintasan ber-order m G n P m : graf hasil operasi korona pada graf gear ber-order 2n +1 dengan graf lintasan ber-order m C n P m : graf hasil operasi korona pada graf siklus ber-order n dengan graf lintasan ber-order m xii