Dessy Dwiynti, S.Si, MBA Mtemtik Ekonomi 1 BAB 10. MATRIKS DAN DETERMINAN 1. Pengertin mtriks Mtriks kumpuln bilngn yng disjikn secr tertur dlm bris dn kolom yng membentuk sutu persegi pnjng, sert termut dintr sepsng tnd kurung.
2. Opersi dsr mtriks Dessy Dwiynti, S.Si, MBA Mtemtik Ekonomi 1 Berlku Kidh Komuttif : A +B = B+A Kidh Asositif : A + ( B+C) = (A + B) +C = A+B+C b. Perklin Mtriks dengn Sklr Jik k dlh sutu bilngn sklr dn mtriks A=( ij ) mk mtriks ka=(k ij ) dlh sutu mtriks yng diperoleh dengn menglikn semu elemen mtriks A dengn k. Contoh: 4 A
Berlku kidh Komuttif : ka = Ak Kidh Distributif : k (A+B) =ka +kb c. Perklin Antrmtriks Dessy Dwiynti, S.Si, MBA Mtemtik Ekonomi 1 Syrt perklin Antrmtriks dlh jumlh bnykny kolom pd mtriks pertm sm dengn jumlh bnykny bris mtriks kedu. Jik mtriks A berukurn mxn dn mtriks B berukurn nxp mk hsil dri perklin A*B dlh sutu mtriks C=(c ij ) berukurn mxp dimn Berlku Kidh Asositif : A (BC) = (AB)C = ABC Kidh Distributif : A( B+C) = AB + AC (A+B)C = AC +BC
3. Trnspose sutu mtriks Dessy Dwiynti, S.Si, MBA Mtemtik Ekonomi 1 dlh bris pertm dri A, kolom keduny dlh bris kedu dri A, demikin jug dengn kolom ketig dlh bris ketig dri A dn seterusny. 3.1 Trnspose Penjumlhn dn Pengurngn Ubhn dri jumlh tu selisih beberp mtriks dlh jumlh tu selisih mtriks-mtriks ubhnny (A m x n + B m x n + C m x n )= A t n x m + B t n x m + C t n x m kidh komuttif : (A+B) t = (B+A) t tu A t + B t =B t + A t kidh Asositif : { A + (B+C)} t = {(A+B)+C} t = A t +B t +C t 3.2 Trnspose Perklin Ubhn dri perklin mtriks dengn sklr dlh perklin sclr dengn mtriks ubhnny. (ka) t = ka t Ubhn dri perklin ntrmtriks dlh perklin mtriksmtriks ubhnny dengn urutn yng terblik (A m x n x B n x p x C p x q ) t = C t q x p x B t p x n x A t n x m
4. Beberp mtriks dengn jenis khusus Dessy Dwiynti, S.Si, MBA Mtemtik Ekonomi 1
Dessy Dwiynti, S.Si, MBA Mtemtik Ekonomi 1 Mtriks Blikn Mtriks blikn (inverse mtrix) mtriks yng pbil diklikn dengn sutu mtriks bujursngkr menghsilkn sebuh mtriks stun. Jik A merupkn sebuh mtriks bujursngkr, mk bliknny ditulis dengn notsi A -1
Contoh: Dessy Dwiynti, S.Si, MBA Mtemtik Ekonomi 1 Mtriks Sklr Sutu mtriks digonl diktkn sebgi mtriks sklr jik semu elemen-elemen yng terletk pd digonl utmny memiliki nili yng sm, mislny, 5 0 0 9 0 0 5 0 0 9 0 0 5 Referensi : 1. Mtemtik Terpn untuk Bisnis dn Ekonomi Pengrng : Dumiry Penerbit : BPFE Yogykrt 2. http://p4tkmtemtik.org/ 3. http://www.idomths.com/id/mtriks.php
Dessy Dwiynti, S.Si, MBA Mtemtik Ekonomi 1 E. TRANSFORMASI ELEMENTER DAN MATRIKS EKUIVALEN Yng dimksud dengn trnsformi pd bris tu kolom sutu mtriks A dlh sebgi berikut. 1. Penukrn tempt bris ke-i dn bris ke-j tu penukrn kolom ke-i dn kolom ke-j dn ditulis H ij (A) untuk trnsformsi bris dn K ij (A) untuk trnsformsi kolom. Contoh :. Penukrn bris 1 2 0 2 3 1 A= 0 1 1 H 12 (A) 2 3 1 1 2 0 0 1 1 H 12 (A) berrti menukr bris ke-1 mtriks A dengn bris ke-2 b. Penukrn kolom 1 2 0 2 3 1 A= 0 1 1 K 23 (A) 1 0 2 2 1 3 0 1 1 K 13 (A) berrti menukr kolom ke-2 mtriks A dengn kolom ke-3 2. memperklikn bris ke-i dengn sutu bilngn sklr h0, ditulis H i (h) (A) dn memperklikn kolom ke-i dengn sklr k0, ditulis K i (k) (A). Contoh : 1 2 0 1 2 0 2 3 1-4 -6-2 A= 0 1 1 H (-2) 2 (A)= 0 1 1 K (1/2) 3 (A)= 1 2 0 2 3 1/2 0 1 1/2
Dessy Dwiynti, S.Si, MBA Mtemtik Ekonomi 1 3. Menmbh kolom ke-i dengn k kli kolom ke-j, ditulis K ij (k) (A) dn menmbh bris ke-i dengn h kli bris ke-j, ditulis H ij (h) (A). Contoh : A= 1 2 0 2 3 1 0 1 1 H 23 (-1) (A) H 2 + (-1*H 3 ) 1 2 0 2 2 0 0 1 1 K (2) 31 (A) K 3 + (2*K 1 ) 1 2 2 2 2 5 0 1 1 MATRIKS EKUIVALEN Du buh mtriks A dn B disebut ekuivlen (A~B) pbil slh stuny dpt diperoleh dri yng lin dengn trnsformsi-trnsformsi elementer terhdp bris dn kolom. Klu trnsformsi elementer hny terjdi pd bris sj disebut ELEMENTER BARIS, sedngkn jik trnsformsi terjdi pd kolom sj disebut ELEMENTER KOLOM. Contoh : A= 4 1 0 dn B= A dn B dlh ekuivlen bris kren jik kit mempertukrkn bris ke-1 dengn bris ke-2 pd mtriks A tu H 12 (A), mk kn didpt mtriks B. A= 2 3 1 3 0 2 1 4 1 3 1 K 12 (1) K 1 +(1*K 2 ) 4 1 0 2 3 1 3 0 2 1 5 1 3 1 3 0 2 1 5 1 3 1 H 12 5 1 3 1 3 0 2 1
F. Menghitung nili Determinn sutu mtriks Dessy Dwiynti, S.Si, MBA Mtemtik Ekonomi 1
Dessy Dwiynti, S.Si, MBA Mtemtik Ekonomi 1
Dessy Dwiynti, S.Si, MBA Mtemtik Ekonomi 1
Dessy Dwiynti, S.Si, MBA Mtemtik Ekonomi 1
Dessy Dwiynti, S.Si, MBA Mtemtik Ekonomi 1 6. Mtriks persegi yng mempunyi bris tu kolom nol, determinnny dlh nol. 7. Determinn dri sutu mtriks persegi yng mempunyi du bris tu kolom yng sm dlh sm dengn nol. 8. Nili determinn dlh nol jik semu unsurny sm 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = 8 + 8 + 8 8 8 8 = 0 9. Nili determinn dlh nol jik unsur-unsur pd slh stu bris tu kolom semuny nol 2 6 5 1 3 4 0 0 0 = 0 + 0 + 0 0 0 0 = 0 10. Determinn dri sutu mtriks digonl dlh hsilkli unsur-unsur digonlny 2 0 0 0 3 0 0 0 9 = 2 x 3 x 9 = 54
Dessy Dwiynti, S.Si, MBA Mtemtik Ekonomi 1 11. Jik nili determinn dri sutu mtriks sm dengn nol, mtriksny diktkn singulr dn tidk mempunyi blikn (invers) 12. Jik nili determinn dri sutu mtriks tidk sm dengn nol, mtriksny diktkn non-singulr dn mempunyi blikn (invers) G. MINOR DAN KOFAKTOR MINOR unsur ij determinn yng bersl dri determinn orde ke-n tdi dikurngi dengn bris ke-i dn kolom ke-j. Minor dinotsikn dengn M ij Contoh: A 11 21 31 12 22 32 13 23 33 M 11 22 32 23 33 A 11 21 31 41 12 22 32 42 13 23 33 43 14 24 34 44 M 11 22 32 42 23 33 43 24 34 44 KOFAKTOR dri bris ke-i dn kolom ke-j dituliskn dengn
Contoh: Dessy Dwiynti, S.Si, MBA Mtemtik Ekonomi 1 A= 2 1 2 1 3 1 1 4 1 3 4 C 11 = (-1) 1+1 M 11 = (-1) 2 1 1 1 4 C 12 = (-1) 1+2 M 12 = (-1) 3 2 1 = 1 (7) = 7 C 22 = M 22 = 0 = (-1) (9) = -9 C 23 = - M 23 = 0 C 13 = (-1) 4 M 13 = M 13 = C 21 = (-1) 3 M 21 = - M 21 = - 1 3 2 1 1 1 1 1 = 5 C 31 = M 31 = 7 = 0 C 32 = - M 32 = - 9 C 33 = M 33 = 5 H. Mtriks Singulr dn non-singulr Cr menentukn mtriks tersebut Singulr tu nonsingulr dlh : Jik nili determinn dri sutu mtriks sm dengn nol, mtriksny diktkn singulr dn tidk mempunyi blikn (invers) Jik nili determinn dri sutu mtriks tidk sm dengn nol, mtriksny diktkn non-singulr dn mempunyi blikn (invers)
I. Rnk mtriks Dessy Dwiynti, S.Si, MBA Mtemtik Ekonomi 1
Dessy Dwiynti, S.Si, MBA Mtemtik Ekonomi 1 J. Mtriks Invers Mtriks invers dri sutu mtriks A dlh mtriks B yng pbil diklikn dengn mtriks A memberikn stun I AB = I 1 Notsi mtriks invers : A Sebuh mtriks yng diklikn mtriks inverseny kn menghsilkn mtrik stun: Contoh : A c b d Mk A 1 A 1 A I 1 d d bc c b tu 1 A = dj. A = kofktor yng di trnspose kn Det A Det A K. Penyelesin Sistem Persmn Linier Penyelesin system persmn linier menggunkn mtriks dpt mellui metode blikn mupun metode Crmer. 1. Metode Blikn
Contoh : Dessy Dwiynti, S.Si, MBA Mtemtik Ekonomi 1
Dessy Dwiynti, S.Si, MBA Mtemtik Ekonomi 1 2. Metode Crmer Untuk menghitung vrible x, dpt dilkukn dengn cr membgi determinn-determinnny Contoh : Referensi : 4. Mtemtik Terpn untuk Bisnis dn Ekonomi Pengrng : Dumiry Penerbit : BPFE Yogykrt 5. http://p4tkmtemtik.org/ 6. http://www.idomths.com/id/mtriks.php
Dessy Dwiynti, S.Si, MBA Mtemtik Ekonomi 1