Matematika Teknik I: Matriks, Inverse, dan Determinan. Oleh: Dadang Amir Hamzah STT DR. KHEZ MUTTAQIEN 2015

Matematika Teknik I: Matriks, Inverse, dan Determinan Oleh: Dadang Amir Hamzah STT DR. KHEZ MUTTAQIEN 2015 Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 1 / 33

Outline 1 Matriks Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 2 / 33

Outline 1 Matriks 2 Operasi Matriks Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 2 / 33

Outline 1 Matriks 2 Operasi Matriks 3 Transpos Matriks Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 2 / 33

Outline 1 Matriks 2 Operasi Matriks 3 Transpos Matriks 4 Inverse Matriks Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 2 / 33

Outline 1 Matriks 2 Operasi Matriks 3 Transpos Matriks 4 Inverse Matriks 5 Determinan Matriks Ekspansi Kofaktor Matriks Kofaktor dan Matriks Adjoin Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 2 / 33

Outline 1 Matriks 2 Operasi Matriks 3 Transpos Matriks 4 Inverse Matriks 5 Determinan Matriks Ekspansi Kofaktor Matriks Kofaktor dan Matriks Adjoin 6 Aturan Cramer Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 2 / 33

Outline 1 Matriks 2 Operasi Matriks 3 Transpos Matriks 4 Inverse Matriks 5 Determinan Matriks Ekspansi Kofaktor Matriks Kofaktor dan Matriks Adjoin 6 Aturan Cramer 7 Soal-soal Latihan Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 2 / 33

Outline 1 Matriks 2 Operasi Matriks 3 Transpos Matriks 4 Inverse Matriks 5 Determinan Matriks Ekspansi Kofaktor Matriks Kofaktor dan Matriks Adjoin 6 Aturan Cramer 7 Soal-soal Latihan 8 Referensi Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 2 / 33

Definisi Matriks Matriks adalah bilangan yang disusun dalam baris dan kolom berbentuk segi empat. Bilangan-bilangan dalam suatu matriks dinamakan entri. Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 4 / 33

Definisi Matriks Matriks adalah bilangan yang disusun dalam baris dan kolom berbentuk segi empat. Bilangan-bilangan dalam suatu matriks dinamakan entri. Berikut ini adalah contoh Matriks 1 2 ( ) e π 2 3 0, 2 1 0 3, 1 0 2 1, (4). 1 4 0 0 0 Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 4 / 33

Definisi Matriks Matriks adalah bilangan yang disusun dalam baris dan kolom berbentuk segi empat. Bilangan-bilangan dalam suatu matriks dinamakan entri. Berikut ini adalah contoh Matriks 1 2 ( ) e π 2 3 0, 2 1 0 3, 1 0 2 1, (4). 1 4 0 0 0 Bilangan yang menyatakan banyaknya baris dan kolom dalam suatu matriks dinamakan ordo matriks atau ukuran matriks. Ordo matriks ditulis jumlah baris jumlah kolom. Pada contoh diatas ordo matriksnya adalah 3 2, 2 1, 3 3, dan 1 1. Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 4 / 33

Definisi Matriks Matriks adalah bilangan yang disusun dalam baris dan kolom berbentuk segi empat. Bilangan-bilangan dalam suatu matriks dinamakan entri. Berikut ini adalah contoh Matriks 1 2 ( ) e π 2 3 0, 2 1 0 3, 1 0 2 1, (4). 1 4 0 0 0 Bilangan yang menyatakan banyaknya baris dan kolom dalam suatu matriks dinamakan ordo matriks atau ukuran matriks. Ordo matriks ditulis jumlah baris jumlah kolom. Pada contoh diatas ordo matriksnya adalah 3 2, 2 1, 3 3, dan 1 1. Variabel untuk menyatakan matriks menggunakan huruf besar dan untuk menyatakan entri-entri pada matriks menggunakan huruf kecil. Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 4 / 33

Definisi Matriks Berikut ini adalah penulisan matriks secara umum. Entri-entrinya ditulis a ij dengan i menyatakan baris dan j menyatakan kolom. A = a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n... a m1 a m2... a mn Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 5 / 33

Definisi Matriks Berikut ini adalah penulisan matriks secara umum. Entri-entrinya ditulis a ij dengan i menyatakan baris dan j menyatakan kolom. A = a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n... a m1 a m2... a mn Apabila i = j, matriks A dinamakan matriks persegi kemudian bagian berwarna merah dinamakan diagonal utama. Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 5 / 33

Penjumlahan dan Pengurangan Definisi Jika A dan B adalah matriks berukuran sama maka penjumlahan A + B adalah matriks yang didapat dari menjumlahakan entri-entri matriks A dengan entri-entri matriks B yang seletak. Pengurangan matriks A B adalah matriks yang didapat dari mengurangkan entri-entri matriks A dengan entri-entri matriks B yang seletak. Matriks yang berukuran beda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan. Tentukan A + B dan A B dari 2 1 0 3 A = 1 0 2 4 B = 4 2 7 0 4 3 5 1 2 2 0 1 3 2 4 5 Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 7 / 33

Perkalian Skalar Definisi Misalkan A adalah sembarang matriks dan c adalah sembarang skalar. Perkalian ca adalah matriks yang didapat dari mengalikan setiap entri matriks A dengan c. Matriks ca disebut perkalian skalar dari matriks A. Jika c = 1 dan A = 2 1 0 1 0 2 4 2 7 tentukan ca Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 8 / 33

Perkalian Matriks Definisi Misalkan A adalah matriks berukuran m r dan B adalah matriks berukuran r n. Perkalian matriks AB adalah matriks berukuran m n. Entri ke a ij pada matriks AB didapat dengan cara mengalikan entri dari baris ke i pada matriks A dengan entri yang seletak di kolom ke j pada matriks B kemudian jumlahkan semua hasil perkaliannya. Perkalian matriks A dan B terdefinisi jika dan hanya jika banyak kolom pada matriks A sama dengan banyak baris pada matriks B. Ordo dari matriks hasil perkalian AB adalah banyaknya baris pada matriks A banyaknya kolom pada matriks B. Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 9 / 33

Perkalian Matriks Perhatikan matriks berikut A = ( 1 2 4 2 6 0 ), B = 4 1 4 3 0 1 3 1 2 7 5 2 Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 10 / 33

Perkalian Matriks Perhatikan matriks berikut A = ( 1 2 4 2 6 0 ), B = 4 1 4 3 0 1 3 1 2 7 5 2 Perkalian matriks AB terdefinisi karena banyaknya kolom pada matriks A sama dengan banyaknya baris pada matriks B. Karena A berukuran 2 3 dan B berukuran 3 4 jadi AB berukuran 2 4. Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 10 / 33

Perkalian Matriks Perhatikan matriks berikut A = ( 1 2 4 2 6 0 ), B = 4 1 4 3 0 1 3 1 2 7 5 2 Perkalian matriks AB terdefinisi karena banyaknya kolom pada matriks A sama dengan banyaknya baris pada matriks B. Karena A berukuran 2 3 dan B berukuran 3 4 jadi AB berukuran 2 4. Misalkan ( ) a11 a AB = 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 untuk menentukan nilai a ij kalikan baris ke i dengan kolom ke j kemudian jumlahkan semua perkaliannya. Mislkan untuk i = 1 dan j = 2 maka a 12 = 2.1 + 6.( 1) + 0.7 = 4. Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 10 / 33

Perkalian Matriks Perhatikan matriks berikut A = ( 1 2 4 2 6 0 ), B = 4 1 4 3 0 1 3 1 2 7 5 2 Perkalian matriks AB terdefinisi karena banyaknya kolom pada matriks A sama dengan banyaknya baris pada matriks B. Karena A berukuran 2 3 dan B berukuran 3 4 jadi AB berukuran 2 4. Misalkan ( ) a11 a AB = 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 untuk menentukan nilai a ij kalikan baris ke i dengan kolom ke j kemudian jumlahkan semua perkaliannya. Mislkan untuk i = 1 dan j = 2 maka a 12 = 2.1 + 6.( 1) + 0.7 = 4. Tentukan semua entri matriks AB? Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 10 / 33

Transpos Matriks Definisi Misalkan A adalah matriks berukuran m n. Transpos dari matriks A ditulis A t adalah matriks berukuran n m yang dihasilkan dari menukarkan baris dengan kolom dari matriks A, yakni baris pertama A t adalah kolom pertama A kemudian baris kedua A t adalah kolom kedua A dan seterusnya. Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 12 / 33

Transpos Matriks Definisi Misalkan A adalah matriks berukuran m n. Transpos dari matriks A ditulis A t adalah matriks berukuran n m yang dihasilkan dari menukarkan baris dengan kolom dari matriks A, yakni baris pertama A t adalah kolom pertama A kemudian baris kedua A t adalah kolom kedua A dan seterusnya. Jika A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 maka A t = a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 12 / 33

Transpos Matriks Definisi Misalkan A adalah matriks berukuran m n. Transpos dari matriks A ditulis A t adalah matriks berukuran n m yang dihasilkan dari menukarkan baris dengan kolom dari matriks A, yakni baris pertama A t adalah kolom pertama A kemudian baris kedua A t adalah kolom kedua A dan seterusnya. a 11 a 12 a 13 a 11 a 21 a 31 Jika A = a 21 a 22 a 23 maka A t = a 12 a 22 a 32 a 31 a 32 a 33 a 13 a 23 a 33 Tentukan transpos dari matriks-matriks berikut A = 1 2 3 0 1 4, B = ( 2 1 0 3 ) e π 2, C = 1 0 2 1 0 0 0, Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 12 / 33

Pengertian Inverse Matriks Definisi Misalkan A dan B adalah matriks persegi berukuran sama. Jika AB = BA = I maka A disebut dapat diinverskan atau invertibel dan B adalah inverse dari A. Jika tidak ada matriks B yang memenuhi maka A dikatakan matriks singular atau tidak punya inverse. Inverse dari matriks A ditulis A 1. I disebut Matriks Identitas. Matriks identitas dapat juga ditulis sebagai I n. Berikut ini adalah contoh matriks identitas 1 0... 0 ( ) 1 0 0 1 0 I 2 =, I 0 1 3 = 0 1 0 0 1... 0, I n. 0 0 1..... 0 0... 1 Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 14 / 33

Penggunaan Inverse Dalam SPL Jika A adalah matriks invertibel maka A 1 = 1 det (A) (Adj(A)) Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 15 / 33

Penggunaan Inverse Dalam SPL Jika A adalah matriks invertibel maka A 1 1 = det (A) (Adj(A)) ( ) ( a b Contoh: Misalkan A = maka A c d 1 = 1 d b ad bc c a ). Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 15 / 33

Penggunaan Inverse Dalam SPL Jika A adalah matriks invertibel maka A 1 1 = det (A) (Adj(A)) ( ) ( a b Contoh: Misalkan A = maka A c d 1 = 1 d b ad bc c a Misalkan A adalah matriks invertible dan A 1 adalah inverse dari A. Jika Ax = b adalah suatu SPL yang punya solusi tunggal maka solusi dari SPL Ax = b adalah x = A 1 b. ). Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 15 / 33

Penggunaan Inverse Dalam SPL Jika A adalah matriks invertibel maka A 1 1 = det (A) (Adj(A)) ( ) ( a b Contoh: Misalkan A = maka A c d 1 = 1 d b ad bc c a Misalkan A adalah matriks invertible dan A 1 adalah inverse dari A. Jika Ax = b adalah suatu SPL yang punya solusi tunggal maka solusi dari SPL Ax = b adalah x = A 1 b. Matriks persegi A punya inverse jika dan hanya jika det (A) 0. ). Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 15 / 33

Penggunaan Inverse Dalam SPL Jika A adalah matriks invertibel maka A 1 1 = det (A) (Adj(A)) ( ) ( a b Contoh: Misalkan A = maka A c d 1 = 1 d b ad bc c a Misalkan A adalah matriks invertible dan A 1 adalah inverse dari A. Jika Ax = b adalah suatu SPL yang punya solusi tunggal maka solusi dari SPL Ax = b adalah x = A 1 b. Matriks persegi A punya inverse jika dan hanya jika det (A) 0. Bandingkan solusi dari SPL x + 2y = 5 2x + y = 1 dengan metode substitusi dan inverse. ). Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 15 / 33

Pengertian Determinan Definition Misalkan M adalah himpunan semua matriks persegi, kemudian A M. Determianan dari matriks A adalah fungsi yang memetakan A n n ke bilangan x R. Determinan dari matriks yang tidak persegi tidak didefinisikan. Determinan dari matriks A ditulis det(a) atau A. ( ) a b Determinan dari matriks A = c d ( a b det (A) = det c d ) = ad bc. Bagaimana dengan determinan dari matriks 3 3? Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 17 / 33

Skema Sarus Pierre Friedric Sarrus (10 March 1798, Saint-Affrique - 20 November 1861) seorang matematikawan asal Perancis. Sarrus adalah profesor di universitas Strasbourg, Perancis (1826-1856) dan anggota akademi sains di Perancis (1842). Sarrus menemukan aturan mnemonic untuk menyelesaikan determinan untuk matriks berukuran 3 3 yang dinamakan skema Sarrus. Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 18 / 33

Skema Sarus Pierre Friedric Sarrus (10 March 1798, Saint-Affrique - 20 November 1861) seorang matematikawan asal Perancis. Sarrus adalah profesor di universitas Strasbourg, Perancis (1826-1856) dan anggota akademi sains di Perancis (1842). Sarrus menemukan aturan mnemonic untuk menyelesaikan determinan untuk matriks berukuran 3 3 yang dinamakan skema Sarrus. Misalkan A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 18 / 33

Skema Sarus Perhatikan matriks dibawah + + + a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 19 / 33

Skema Sarus Perhatikan matriks dibawah + + + a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 det (A) = a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32 Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 19 / 33

Skema Sarus Perhatikan matriks dibawah + + + a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 det (A) = a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32 2 1 0 Tentukan determinan dari A = 1 0 2 4 2 7 Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 19 / 33

Determinan Matriks Bagaimana mencari determinan matriks berukuran n n untuk n > 3? Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 20 / 33

Determinan Matriks Bagaimana mencari determinan matriks berukuran n n untuk n > 3? Bagaimana mencari adjoin dari matriks berukutan n n untuk n > 3? Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 20 / 33

Determinan Matriks Bagaimana mencari determinan matriks berukuran n n untuk n > 3? Bagaimana mencari adjoin dari matriks berukutan n n untuk n > 3? Definisi Misalkan A adalah matriks persegi. Minor entri a ij dinotasikan dengan M ij yakni determinan dari submatriks yang tersisa setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihapus dari matriks A. Bilangan ( 1) i+j M ij yang dinotasikan dengan C ij disebut entri kofaktor dari a ij. Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 20 / 33

Contoh Misalkan Minor entri a 11 adalah M 11 = A = 3 1 4 2 5 6 1 4 8 3 1 4 2 5 6 1 4 8 5 6 = = 16 4 8 keterangan: Angka berwarna biru dihapus. Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 21 / 33

Contoh Misalkan Minor entri a 11 adalah M 11 = A = 3 1 4 2 5 6 1 4 8 3 1 4 2 5 6 1 4 8 5 6 = = 16 4 8 keterangan: Angka berwarna biru dihapus. Kofaktor a 11 adalah C 11 = ( 1) 1+1 M 11 = 16 Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 21 / 33

Contoh Misalkan Minor entri a 11 adalah M 11 = A = 3 1 4 2 5 6 1 4 8 3 1 4 2 5 6 1 4 8 5 6 = = 16 4 8 keterangan: Angka berwarna biru dihapus. Kofaktor a 11 adalah C 11 = ( 1) 1+1 M 11 = 16 Tentukan minor entri dan kofaktor untuk entri-entri lainnya? Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 21 / 33

Ekspansi Kofaktor Dengan menggunakan minor entri dan kofaktor kita dapat a 11 a 12 a 13 menuliskan determinan dari matriks A = a 21 a 22 a 23 yang a 31 a 32 a 33 berukuran 3 3 yaitu det (A) = a 11 M 11 + a 12 M 12 + a 12 M 13 = a 11 C 11 + a 12 C 12 + a 13 C 13 Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 23 / 33

Ekspansi Kofaktor Dengan menggunakan minor entri dan kofaktor kita dapat a 11 a 12 a 13 menuliskan determinan dari matriks A = a 21 a 22 a 23 yang a 31 a 32 a 33 berukuran 3 3 yaitu det (A) = a 11 M 11 + a 12 M 12 + a 12 M 13 = a 11 C 11 + a 12 C 12 + a 13 C 13 Coba bandingkan dengan skema Sarus. Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 23 / 33

Ekspansi Kofaktor Dengan menggunakan minor entri dan kofaktor kita dapat a 11 a 12 a 13 menuliskan determinan dari matriks A = a 21 a 22 a 23 yang a 31 a 32 a 33 berukuran 3 3 yaitu det (A) = a 11 M 11 + a 12 M 12 + a 12 M 13 = a 11 C 11 + a 12 C 12 + a 13 C 13 Coba bandingkan dengan skema Sarus. Secara umum determinan dari matriks M berukuran n n adalah det (M) = a 11 C 11 + a 12 C 12 + + a 1n C 1n Metode ini dinamakan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama matriks M. Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 23 / 33

Matriks Kofaktor dan Matriks Adjoin Definisi Misalkan A adalah matriks berukuran n n dan C ij adalah kofaktor dari a ij. Matriks C 11 C 12... C 1n C 21 C 22... C 2n...... C n1 C n2... C nn disebutmatriks kofaktor dari A. Transpos dari matriks ini disebut adjoin dari A dan dinotasikan oleh Adj(A). Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 25 / 33

Aturan Cramer Teorema Misalkan Ax = b adalah sistem persamaan linear atas n persamaan dan n variabel sedemikian sehingga det (A) 0. Sistem Ax = b mempunyai solusi tunggal yaitu x 1 = det (A 1 det (A), x 2 = det (A 2) det (A),..., x det (An) n = det (A) dimana A j adalah matriks yang didapat dari mengganti entri-entri pada kolom ke j pada matriks A dengan matriks b 1 b 2 b =. b n Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 27 / 33

Problems 1 Tentukan nilai a, b, c dari kesamaan matriks berikut ( ) ( ) a b b + c 8 1 = 3d + c 2a 4d 7 6 2 Misalkan A = 3 2 7 6 5 4 0 4 9 Tentukan a. Baris pertama dari AB. b. Kolom ketiga dari AB. c. Baris ketiga dari AA. d. Kolom ketiga dari AA. dan B = 6 2 4 0 1 3 7 7 5 Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 29 / 33

Problems 3. Misalkan A adalah matriks berukuran m n dan 0 adalah matriks barukuran m n yang entri-entrinya nol. Tunjukkan jika ka = 0 maka k = 0 atau A = 0. 4. Misalkan A dan B adalah sebarang matriks sedemikan sehingga perkalian AB terdefinisi. Tunjukkan jika A mempunyai satu baris yang semua entrinya nol maka AB juga mempunyai baris nol. 5. Misalkan Tentukan A 1. A = 1 3 1 1 2 5 2 2 1 3 8 9 1 3 2 2 Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 30 / 33

Problems 6. Gunakan Aturan Cramer untuk menyelesaikan SPL berikut a. 7x 1 2x 2 = 3 3x 1 + x 2 = 5. x 1 3x 2 + x 3 = 4 b. 2x 1 x 2 = 2 4x 1 x 3 = 0. x 1 4x 2 + 2x 3 + x 4 = 32 c. 2x 1 x 2 + 7x 3 + 9x 4 = 14 x 1 + x 2 + 3x 3 + x 4 = 11 x 1 x 2 + x 3 4x 4 = 4. 7. Buktikan aturan Cramer. Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 31 / 33

Referensi H. Anton, C. Rores. Elementary Linear Algebra 8 th Edition,John Wiley and Sons, New York 2000. Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 33 / 33