THE AALYSIS OF SEIR EPIDEMIC MODELS STABILITY O SMALLPOX (VARICELLA / CHICKEPOX) WITH IMMUE SYSTEM By: makadisebut Pandemik. Model epidemik adalah model matematika yang digunakan untuk mengetahui isfa Wardiana 1, Drs.Asrul Sani, M.Sc., Ph.D 2, La Gubu S.Si.,M.Si 3 Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Halu Oleo This study was conducted to analyze the stability of the SEIR epidemic models on smallpox with immune system. The mathematical model is formulated with an ordinary differential equations system consisting of four compartments, namely susceptible, exposed, infected and recovered. The study also determined the population, both the constant and not constant, in the constant population there is one model that is the rate of births and deaths are similar, while the population which is not constant divided into two models: (i) the rate of births and deaths are not as great, and (ii) the rate of birth, death and their vaccination in susceptible groups. So there are four models of SEIR epidemic on smallpox, in the case of I, II, and III each have two points of equilibrium, namely disease-free equilibrium point (E 1 ) and the endemic equilibrium point (E 2 ). Then determined the value of stability around the equilibrium point which based on the values obtained. Furthermore, the numerical simulation using Runge-Kutta method of fourth order and interpret the results obtained. Keywords : Equilibrium Point, Stability, SEIR Model, Vaccination, Immunization. PEDAHULUA Penyakit cacar air (Varicella/Chickenpox) adalah penyakit yang menular, mungkin tidak asing lagi dan merupakan penyakit yang mendunia. Varisela merupakan penyakit menular yang dapat menyerang siapa saja baik balita maupun orang dewasa, terutama yang belum mendapatkan imunisasi. Penyakit menular disebabkan oleh faktor lingkungan yang cukup baik untuk perkembangbiakan virus, penyakit akan mewabah melalui kontak langsung dengan individu yang telah terinfeksi virus, udara, batuk, bersin, maupun pakaiyan. Dalam hal ini, matematika mempunyai peran penting untuk mengetahui pola penyebaran penyakit menular. Penyakit menular seperti cacar air mempunyai periode laten (laten period). Periode laten adalah selang waktu dimana suatu individu terinfeksi sampai munculnya penyakit. Adanya periode laten ini akan menjadi alasan pembentukan model SEIR, yakni munculnya kelas ekspos (exposed). Di bidang matematika memberikan peranan penting dalam pencegahan mewabahnya suatu penyakit berupa model matematika yang disebut dengan model epidemik. Sedangkan dalam bidang kedokteran memilki peranan penting dalam mencegah penyebaran penyakit agar tidak meluas, yakni dengan cara memberikan vaksin (Putra, 211). Model epidemik merupakan suatu keadaan dimana berjangkitnya suatu penyakit menular dalam populasi pada suatu tempat yang melebihi perkiraan kejadian yang normal dalam periode yang singkat. Bila penyakit tersebut selalu terdapat dalam suatu tempat begitupun dengan faktor penyebabnya maka dikatakan Endemik, kemudian bila penyakit tersebut mempunyai ruang lingkup penyebaran yang sangat luas (global) Penyebaran penyakit menular, khususnya menyangkut terjadi atau tidaknya keadaan epidemik serta pengaruh yang ditimbulkan, bahkan kematian individu selain karena sebab alami juga dapat disebabkan oleh infeksi penyakit (fatal). Dalam hal ini penyakit menular terdapat empat sub-populasi manusia yang terdiri dari individu rentan terinfeksi penyakit (susceptible), individu yang terinfeksi namun belum menunjukkan tanda-tanda terjangkit penyakit (exposed), individu yang sudah terjangkit penyakit (infected), serta individu yang telah sembuh (recovered) (Li dkk, 1994). Salah satu model matematika cacar air yag pernah diteliti yaitu: Mathematical Modeling of Diseases: (SIR) Model. Jurnal ini membahas tentang model SIR pada penyebaran penyakit cacar air (Johnson, 29). Dalam model endemik SEIR dengan memperhatikan faktor vaksinasi perlu ditentukan kestabilan di titik kesetimbangan sebagai kestabilan untuk mengetahui dan menginterprestasikan perilaku model. Salah satu disiplin ilmu yang bisa membantu mengatasi pemodelan matematika dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan masalah penyebaran penyakit cacar air dengan menggunakan asumsi-asumsi tertentu yang solusinya dapat diperoleh baik secara analitis maupun numerik. TIJAUA PUSTAKA Penyakit Cacar Air (Varicella / Chickenpox) Varisela berasal dari bahasa latin, Varicella. Di Indonesia penyakit ini dikenal dengan istilah cacar air, sedangkan di luar negeri terkenal dengan nama Chicken-pox. Varisela adalah penyakit infeksi menular
yang disebabkan oleh virus Varicella Zoster, ditandai oleh erupsi yang khas pada kulit. Varisela atau cacar air merupakan penyakit yang sangat menular yang disebabkan oleh virus Varicella Zoster dengan gejalagejala demam dan timbul bintik-bintik merah yang kemudian mengandung cairan. Varisela adalah penyakit infeksi virus akut dan cepat menular, yang disertai gejala konstitusi dengan kelainan kulit yang polimorf, terutama berlokasi di bagian sentral tubuh (Harahap, 2). Varisela terutama menyerang anak-anak kurang dari 1 tahun, dengan angka serangan tertinggi pada usia 2 6 tahun, namun dapat juga menyerang pada orang dewasa, serta bayi baru lahir. Masa penyerangan virus ini adalah 1 21 hari (2 3 minggu), dan menyebar melalui jalur udara, melalui mekanisme droplet (butiran mikroskopik) yang berasal dari saluran napas seseorang yang terinfeksi penyakit ini kepada orang lain. Banyak orang yang menderita infeksi cacar air mengalami demam dan merasa kurang sehat dan merasa gatal. Siapapun yang belum pernah menderita cacar air dapat terjangkit penyakit ini dan yang sudah pernah menderita penyakit ini dianggap kebal dan tidak memerlukan vaksin (Rampengan, 25). Model Dasar Epidemik 1. Model SIR Penyebaran penyakit tersebut dapat dimodelkan dalam bentuk model SIR yang telah dikemukakan oleh Kermack dan Mc Kendrick (1927) dimana sub-populasi dibagi dalam 3 kelas yaitu sebagai berikut : 1. Populasi individu sehat dan dapat terinfeksi penyakit yang disebut dengan susceptible (S). 2. Populasi individu yang terinfeksi penyakit dan dapat menular penyakit melalui kontak dengan populasi sehat yang disebut dengan infected (I). 3. Populasi yang pernah terinfeksi dan kemudian sembuh, kemungkinan terinfeksi kembali atau menularkan penyakit yang disebut dengan recovered (R). Jumlah individu yang pindah dari golongan infected persatuan waktu dinyatakan dengan γi dimana γ adalah laju perpindahan dari golongan infected ke recovered. Jumlah individu susceptible yang terinfeksi oleh individu infected persatuan waktu dinyatakan dengan βs I. Bentuk diagram Skema dari model SIR dapat dilihat pada gambar 2.2 berikut. Penyebab Penyakit Cacar Air (Varisella atau Chickenpox) Penyakit yang disebabkan oleh virus poks (pox virus) ini sudah ada sejak berabad-abad yang lalu dan sangat mudah menular. Proses penularan bisa melalui bersin, batuk, pakaian yang tercemar dan sentuhan ke atas gelembung/lepuh yang pecah. Gejalanya akan timbul dalam masa 1-21 hari (2-3 mingggu) setelah seseorang mengalami kontak (terserang) virus varicellazoster. Seseorang yang pernah mengalami cacar air dan kemudian sembuh, sebenarnya virus tidak 1% hilang dari dalam tubuhnya, melainkan bersembunyi di dalam sel ganglion dorsalis sistem saraf sensoris penderita. Ketika daya tahan tubuh (Immun) melemah, virus akan kembali menyerang dalam bentuk Herpes zoster dimana gejala yang ditimbulkan sama dengan penyakit cacar air (chickenpox). Pencegahan dengan Vaksinasi dan Imunisasi Vaksin atau Imunisasi adalah senyawa antigenetik yang digunakan untuk menghasilkan kekebalan aktif dan meningkatkan imunitas tubuh terhadap suatu penyakit sehingga tubuh dapat segera membuat antibodi yang di kemudian hari dapat mencegah atau kebal dari penyakit tersebut. Vaksinasi adalah suatu usaha memberikan vaksin tertentu ke dalam tubuh untuk menghasilkan sistem kekebalan tubuh terhadap penyakit melalui suntikan. Maka diperoleh persamaan differensial untuk model SIR epidemik sebagai berikut: = μ βs I μs = βsi γi μi = γi μr 2. Model Epidemik SEIR Pembentukan model epidemik SEIR didasari oleh adanya penyakit menular yang memiliki masa inkubasi. Misalnya, populasi yang diberikan dibagi ke dalam empat kelas, yakni kelas populasi rentan (susceptibles), kelas laten (exposed), kelas populasi terinfeksi (infected), dan kelas populasi bebas penyakit (recovered). Terdapat beberapa penyakit yang memiliki masa inkubasi, seperti penyakit cacar air (varicella/chickenpox). Dalam model epidemik masa inkubasi biasa disebut periode laten (exposed). Model SEIR merupakan model matematika untuk penyakitpenyakit tersebut.
Model epidemik SEIR dapat menggambarkan 4 kelas populasi yaitu: 1. S adalah populasi Susceptible yaitu individu-individu yang rentan terhadap penyakit. 2. E adalah populasi Exposed yaitu individu-individu yang tertular penyakit tetapi belum menunjukan tanda-tanda terjangkit penyakit. 3. I adalah populasi Infected yaitu individu-individu yang terinfeksi dan dapat menularkan penyakit. 4. R adalah populasi Recovered yaitu individu-individu yang telah sembuh atau kebal setelah terinfeksi. 3. Model Epidemik SEIR pada Populasi Konstan Besarnya jumlah populasi pada golongan susceptible yang memasuki golongan infected karena telah terinfeksi penyakit sebesar αi. Hal ini diakibatkan adanya interaksi antara golongan susceptible dengan I golongan infected sebesar. Sehingga jumlah individu Susceptible yang terinfeksi oleh individu persatuan waktu denyatakan dengan asi. Adapun skema model SEIR pada populasi konstan dapat dilihat pada gambar berikut: 4. Model Epidemik SEIR pada Populasi Tidak Konstan Pada populasi tidak konstan model SEIR dapat diasumsikan sebagai populasi yang tidak selalu sama setiap saat dan terjadi proses kelahiran dan kematian secara alami yang diasumsikan sama dengan laju μ. Kemudian kita gunakan parameter sebagai berikut: γ : Laju kelahiran pada populasi Susceptible α : Laju individu pada populasi Susceptible yang memasuki populasi Exposed θ : Laju populasi individu pada populasi Exposed yang memasuki populasi Infected β : Laju individu pada populasi Infected yang memasuki populasi Recovered μs : Jumlah kematian alami pada populasi Susceptible μe : Jumlah kematian alami pada populasi Exposed μi : Jumlah kematian alami pada populasi Invered μr : Jumlah kematian alami pada populasi Recovered Bentuk diagram kompartemen model SEIR pada populasi tidak konstan dapat dilihat pada gambar di bawah ini: Dalam model epidemik SEIR maka di dapat bentuk skema dalam bentuk sistem persamaan differensial sebagai berikut,yaitu: = αsi = αsi θe θe βi = βi Dimana,α, β, θ > Pada penyakit cacar air model SEIR dapat diasumsikan sebagai populasi yang tidak selalu sama setiap saat dan terjadi proses kelahiran dan kematian. Sehingga kita menggunakan parameter sebagai berikut : α : Laju individu pada populasi Susceptible yang memasuki populasi Exposed θ : Laju individu pada populasi Exposed yang memasuki populasi Infected β : Laju Individu pada populasi Infected yang memasuki populasi Recovered Berdasarkan asumsi-asumsi dan skema diatas maka disusun dalam sistem persamaan differensial berikut: = γ αsi μs = αsi θe μe = θe βi μi = βi μr Dimana γ, α, β, θ, μ < Persamaan diatas menyatakan laju perubahan populasi tiap kompartemen per satuan waktu, dimana: adalah laju perubahan sel sehat yang mungkin sakit yang dipengaruhi oleh banyaknya sel sehat yang diproduksi oleh tubuh dengan parameter γ terhadap waktu. adalah laju perubahan banyaknya sel tertular penyakit yang dipengaruhi oleh keberhasilan virus menginfeksi sel tetapi belum menunjukan tanda-
tanda terjangkit penyakit dengar parameter α terhadap waktu. adalah laju perubahan banyaknya individu terinfeksi yang dapat menularkan penyakit yang dipengaruhi oleh produksi penyakit dari sel terinfeksi dengan parameter θ terhadap waktu. Penyakit akan berkurang karena kematian alami dengan parameter μ. adalah laju perubahan individu yang sembuh atau kebal setelah terinfeksi dengan parameter β terhadap waktu. Virus bebas akan berkurang atau sembuh karena kematian alami dengan parameter μ. Dasar-dasar Matematika 1. Sistem Persamaan Differensial Sistem persamaan differensial adalah suatu sistem persamaan yang memuat turunan beberapa fungsi yang tak diketahui. Suatu persamaan differensial orde n adalah persamaan yang berbentuk: x n = F(x, x,, x (n 1), t) Dimana x, x,, x (n) semuanya ditentukan nilainya oleh t. Klasifikasi sistem persamaan differensial yaitu: 1. Sistem persamaan differensial linear Suatu fungsi f(x) merupakan fungsi yang linear misalnya f x = Ax. Sistem x = Ax dengan x vektor dalam R n disebut sistem linear berdimensi n, jika x: R n R n adalah pemetaan linear, dan R n = x 1,, x n x 1,, x n R sedangkan x, x dan A ditulis: x = x 1 x n, x = dx 1 dx n dan A = a 11 a 1n (Arrowsmith dan Place, 1982). a n1 a nn 2. Sistem persamaan differensial nonlinear Diberikan sistem persamaan differensial nonlinear dx = f x, t, x = (x 1,, x n ) Sistem persamaan differensial x = f(x, t) dikatakan nonlinear apabila fungsi f(x) tak linear dan kontinu. Sistem di atas dapat berbentuk: dx 1 = f(x 1,, x n, t) dx n = f(x 1,, x n, t) Dengan kondisi awal x t t = x i, i = 1,2,, n. 2. Linearisasi di sekitar Titik Kesetimbangan Linearisasi adalah untuk mengetahui proses hampiran persamaan differensial tak linear dengan persamaan differensial linear. Sifat solusi sistem nonlinear x = f(x) dapat didekati dengan meninjau sifat solusi sistem linear x = Ax, dimana A matriks Jacobian A = Df(x 1,, x n ). Fungsi linear Ax = Df(x 1,, x n )x disebut bagian linear dari f di sekitar titik (x 1,, x n ). Definisi 2.1 Titik x 1,., x n R n adalah titik equilibrium (titik kesetimbangan) dari x = f(x), apabila f x 1,., x n =. Titik kesetimbangan (x 1,, x n ) disebut titik kesetimbangan hiperbolik dari x = f(x) jika semua nilai eigen dari matriks Df(x 1,, x n ) tidak nol bagian realnya. 3. ilai Eigen dan Vektor Eigen ilai eigen merupakan nilai karakteristik dari suatu matriks n x n, sedangkan vektor eigen merupakan vektor kolom bukan nol yang bila dikalikan dengan suatu matriks berukuran n x n akan menghasilkan vektor lain yang memiliki nilai kelipatan dari vektor eigen itu sendiri. Definisi 2.2 (Anton dkk, 24) Jika A adalah matriks n x n, maka vektor tak nol x di dalam R n dinamakan vektor eigen dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x; yakni, Ax = λx. Untuk skalar λ dinamakan nilai eigen dari A dan x dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan λ. Untuk mencari nilai eigen matriks A yang berukuran n x n maka kita menuliskan kembali Ax = λx sebagai: Ax = λix atau secara ekivalen dengan A λi x =. Supaya λ menjadi nilai eigen, maka harus ada pemecahan taknol dari persamaan ini. Persamaan di atas akan mempunyai pemecahan taknol jika dan hanya jika det A λi =, adalah persamaan karakteristik A (Boelkins dkk, 29).
4. Sifat-Sifat Kestabilan Di Titik Kesetimbangan Sistem persamaan differensial nonlinear x = f(x) yang telah dilinearisasi menjadi sistem differensial linear berbentuk x = Ax, dengan A adalah matriks Jacobian yang mempunyai nilai eigen dan vektor eigen, misalkan w j = u j + iv j adalah vektor eigen dari matriks A yang bersesuaian dengan nilai eigen λ j = a j + ib j. 5. Metode Runge Kutta Orde Empat Metode Runge-Kutta Orde Empat merupakan metode yang memberikan ketelitian hasil yang lebih besar dan tidak memerlukan turunan dari fungsi. Metode ini berusaha mendapatkan derajat ketelitian yang lebih tinggi, dan sekaligus menghindarkan keperluan mencari turunan yang lebih tinggi dengan jalan mengevaluasi fungs (x,y) pada titik terpilih dalam setiap selang langkah. Bentuk umum dari metode Runge-Kutta adalah: x i+1 = x i + Φ t i, x i, h h, dengan Φ t i, x i, h adalah fungsi pertambahan yang merupakan kemiringan dan digunakan untuk mengekstrapolasi dari nilai x i ke nilai baru x i+1 sepanjang interval h. Fungsi pertambahan dapat ditulis dalam bentuk umum: Φ = a 1 k 1 + a 2 k 2 + + a n k n, dengan a adalah konstanta dan k adalah: k 1 = f(t i, x i ) k 2 = f t i + p i h, x i + q 11 k 1 h k 3 = f t i + p i h, x i + q 21 k 2 h + q 22 k 2 h k n = f t i + p n 1 h, x i + q n 1,2 k 1 h + q n 1,2 k 2 h + + q n 1,n 1 k n 1 h, dengan p dan q adalah konstanta. ilai k menunjukkan hubungan berurutan. ilai k 1 muncul dalam persamaan k 2, yang keduanya juga muncul dalam persamaan k 3, dan seterusnya. Hubungan yang berurutan ini membuat metode Runge-Kutta Orde Empat efisien untuk hitungan komputer (Triatmodjo, 22). METODE PEELITIA Waktu dan Tempat Penelitian Penelitian ini berlangsung dari bulan Februari sampai dengan Maret 216 dan bertempat di Laboratorium Penelitian Mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam UHO. Prosedur Penelitian Penelitian ini adalah studi kepustakaan (library research) dengan urutan kerja sebagai berikut, yaitu: 1. Penelusuran pustaka yang berkaitan dengan penyakit SEIR. 2. Mengkonstruksikan model penyakit SEIR berbagai skenario sebagai acuan pembatasan masalah yang diperlukan. 3. Menentukan model epidemik SEIR penyakit cacar air pada populasi konstan dan tidak konstan. 4. Menganalisa perilaku selesaian model epidemik SEIR. 5. Menentukan nilai eigen dan vektor eigen. 6. Melakukan simulasi numerik dengan menggunakan Metode Runge-Kutta orde empat. 7. Menginterprestasikan hasil yang diperoleh. 8. Menarik kesimpulan. HASIL DA PEMBAHASA Dalam bab ini akan dibahas mengenai asumsi, skema, dan formulasi analisis kestabilan model epidemik SEIR pada penyakit cacar air (Varicella/Chickenpox) dengan sistem immune. Model tersebut akan dianalisa dan ditentukan sifat kestabilannya. Selanjutnya akan dilakukan simulasi numerik dengan menggunakan metode runge-kutta. Kasus I 1. Model Epidemik SEIR dengan Sistem Imunisasi Pada Populasi Konstan dengan Kelahiran dan Kematian. Asumsi: Asumsi yang digunakan dalam penenlitian ini adalah sebagai berikut: 1. Populasi dibedakan menjadi empat kelompok yaitu Susceptible (S), Exposed (E), Infected (I), dan Recovered (R). 2. Populasi yang terinfeksi dikelompokkan dalam dua kategori yaitu populasi Exposed (E) dimana individu-individu terinfeksi tetapi belum menularkan penyakit dan populasi Infected (I)
individu-individu terinfeksi dan dapat menularkan penyakit. 3. Populasi yang lahir diasumsikan sehat dan memasuki kelompok S dengan laju sebesar γ. 4. Laju kelahiran dan kematian sama. 5. Penyakit dapat disembuhkan dan tetapi juga dapat menyebabkan kematian. 6. Individu pada populasi Susceptible yang memasuki populasi Exposed dengan laju α. Individu pada populasi Exposed yang memasuki populasi Infected dengan laju θ. Individu pada populasi Infected yang memasuki populasi Recovered dengan laju sebesar β. 7. Pada setiap kelompok terjadi kematian alami pada semua golongan setiap satuan waktu sebesar μ. Skema Berdasarkan asumsi di atas, maka skema model SEIR pada populasi konstan dengan kelahiran dan kematian dapat dilihat pada gambar di bawah ini: = = = = 4.2 Sehingga sistem (4.1) terdapat dua titik kesetimbangan yaitu: 1. Titik kesetimbangan bebas penyakit Titik kesetimbangan bebas penyakit dinyatakan dalam bentuk E (S, E, I, R ) terjadi jika E =, I = dan R =. 2. Titik Kesetimbangan Endemik Titik kesetimbangan endemik dinyatakan dalam bentuk E 1 = (S 1, E 1, I 1, R 1 ) terjadi pada saat E, atau I, atau R =. Sehingga diperoleh suatu keadaan bahwa ada individu yang terinfeksi penyakit maupun individu yang terdeteksi penyakit dan dapat menularkan penyakitnya sehingga dapat menimbulkan endemik. Analisa Kestabilan di Sekitar Titik Kesetimbangan Model Berdasarkan asumsi dan skema di atas, maka model matematika epidemik SEIR pada populasi konstan dengan adanya kelahiran dan kematian sebagai berikut: = γ αsi = αsi μs θe μe (4.1) = θe βi μi = βi μr dimana γ, α, β, θ, μ >. Titik Kesetimbangan Analisa titik kesetimbangan pada sistem persamaan differensial digunakan untuk menentukan suatu selesaian yang tidak berubah terhadap waktu t. Sistem (4.1) titik kesetimbangannya dinyatakan kedalam bentuk E S, E, I, R. Titik kesetimbangan dari (4.1) akan diperoleh dengan menyelesaikan: Pada bagian ini akan dilakukan analisa kestabilan titik kesetimbangan dengan terlebih dahulu dilakukan pelinearisasian sistem model penyebaran penyakit cacar air. Persamaan yang akan dilenearisasikan adalah sebagai berikut: W = αsi = γ μs = X = = αsi θe μe = Y = = θe βi μi = Z = = βi μr =. Oleh karena itu, diperoleh matriks A, A = dw dx dy dz dw dx dy dz dw dx dy dz dw dx dy dz
αv μ 1 αs αv αv A = θ μ 2 θ β δ μ 3 β μ 4 Analisa Kestabilan di Sekitar Titik Kesetimbangan E 1 Berdasarkan titik kesetimbangan E 1 pada persamaan 4.3 dan matriks Jacobian A, maka diperoleh matriks Jacobian A 1 untuk titik kesetimbangan E 1 sebagai berikut: (S, E, I, R ) disubstitusi pada A sehingga diperoleh matriks A 2 sebagai berikut: A 2 = αv μ 1 αs αv αs θ μ 2 θ β δ μ 3 β μ 4 Tabel 4.2 Parameter model yang digunakan untuk menentukan nilai eigen pada titik kesetimbangan E 2 A 1 = μ 1 αγ μ 1 αγ θ μ 2 μ 1 θ β δ μ 3 β μ 4 Untuk mencari nilai eigen matriks jacobian A 1 yang berukuran 4 4, maka matriks jacobian A 1 ditulis sebagai: det det λi A 1 = λ ( μ 1 ) αγ μ αv αγ λ ( θ μ 2 ) μ θ λ ( β μ 3 ) β λ μ 4 Tabel 4.1 Sifat kestabilan sistem (4.1) di sekitar titik kesetimbangan E 1 = Sehingga diperoleh nilai eigen λ 1 =.2, λ 2 =.25, λ 3 =.19, dan λ 4 =.894. Karena semua nilai eigen dari matriks A 2 yang diperoleh bernilai negatif, maka kestabilan sistem (4.1) di sekitar titik kesetimbangan A 2 adalah stabil. Kasus II Model Epidemik SEIR dengan Sistem Imunisasi Pada Populasi Tidak Konstan dengan Kelahiran dan Kematian Asumsi: Asumsi yang digunakan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut: Berdasarkan tabel 4.1 diatas, dapat diketahui bahwa kestabilan sistem (4.1) di sekitar titik kesetimbangan E 1 memiliki dua kemungkinan, yaitu tidak stabil dan stabil. Analisa kestabilan di Sekitar Titik Kesetimbangan E 2 Dari matriks Jacobian yang diperoleh akan diselidiki sifat kestabilan dari sistem (4.1) di sekitar titik kesetimbangan E 2. Titik kesetimbangan E 2 1. Populasi dibedakan menjadi empat kelompok yaitu Susceptible (S), Exposed (E), Infected (I), dan Recovered (R). 2. Populasi yang terinfeksi dikelompokkan dalam dua kategori yaitu populasi Exposed (E) dimana individu-individu terinfeksi tetapi belum menularkan penyakit dan populasi Infected (I) individu-individu terinfeksi dan dapat menularkan penyakit. 3. Terjadinya proses kelahiran dan kematian.
4. Setiap individu yang lahir diasumsikan sehat dan rentan terhadap infeksi penyakit dan memasuki kelompok S dengan laju sebesar γ. 5. Penyakit dapat disembuhkan dan juga dapat menyebabkan kematian. 6. Individu pada populasi Susceptible yang memasuki populasi Exposed dengan laju α. Individu pada populasi Exposed yang memasuki populasi Infected dengan laju θ. Individu pada populasi Infected yang memasuki populasi Recovered dengan laju sebesar β. 7. Pada setiap kelompok terjadi kematian alami masing-masing sebesar μ 1, μ 2, μ 3, dan μ 4. 8. Terjadinya kematian karena infeksi penyakit pada kelompok I dengan laju sebesar δ. Skema Model Berdasarkan asumsi di atas, maka skema model epidemik SEIR penyakit cacar air pada populasi tidak konstan dengan adanya kelahiran dan kematian dapat dilihat pada gambar di bawah ini: perubahan pada populasi yang sembuh terhadap waktu. Secara matematika dapat dituliskan dalam bentuk: = = = = Sehingga diperoleh titik kesetimbangan E 1 = ( γ μ 1,,,) dan E 2 = (S, E, I, R ). Analisa Kestabilan Titik Kesetimbangan Selanjutnya akan dianalisa kestabilan di sekitar titik kesetimbangan pada sistem (4.2). Sehingga diperoleh matriks Jacobian sebagai berikut: A = αv μ 1 αs αv θ μ 2 αs θ β μ 3 β μ 4 Dari matriks Jacobian yang diperoleh akan diselidiki sifat kestabilan dari sistem (4.2) di sekitar titik kesetimbangan E 1 dan E 2. Analisa Sifat Kestabilan Titik Kesetimbangan E 1 Berdasarkan titik kesetimbangan E 1 pada persamaan (4.3) dan matriks jacobian A, maka diperoleh matriks jacobian A 1 untuk titik kesetimbangan E 1 sebagai berikut: Model Berdasarkan asumsi dan skema di atas, maka model matematika epidemik SEIR penyakit cacar air pada populasi tidak konstan dengan adanya kelahiran dan kematian sebagai berikut: A 1 = μ 1 αγ μ 1 αγ θ μ 2 μ 1 θ β δ μ 3 β μ 4 = γ αsi μ 1S = αsi θe μ 2E = θe βi δi μ 3I = βi μ 4R dimana α, β, γ, θ, δ, μ 1, μ 2, μ 3, μ 4 non negatif. Titik Kesetimbangan Titik kesetimbangan pada persamaan (4.2) dapat ditentukan ketika laju perubahan pada populasi yang rentan, laju perubahan pada populasi yang terekspos, laju perubahan pada populasi terinfeksi dan laju det λi A 1 = λ + μ 1 αγ μ 1 det λ (θ μ 2 ) αγ μ 1 θ λ ( β δ μ 3 ) β λ + μ 4 =
Tabel 4.3 Sifat Kestabilan sistem (4.2) di sekitar titik kesetimbangan E 1 Tabel 4.4 Parameter model yang digunakan untuk menentukan nilai eigen pada titik kesetimbangan E 2 Berdasarkan Tabel 4.3 di atas, maka dapat diketahui bahwa ksetabilan sistem (4.2 ) di sekitar titik kesetimbangan E 1 memiliki dua kemungkinan, yaitu stabil dan tidak stabil. Analisa Kestabilan di Sekitar Titik Kesetimbangan E 2 Berdasarkan titik kesetimbangan E 2 pada sistem persamaan ke dalam matriks A 1 sehingga diperoleh: Dengan: a 11 A = a 11 a 13 a 21 a 22 a 23 θ β δ μ 3 β μ 4 = α(γαθ μ 1θβ μ 1 θδ μ 1 θμ 3 μ 1 μ 2 β μ 1 μ 2 δ μ 1 μ 2 μ 3 ) α(θβ + θδ + θμ 3 + μ 2 β + μ 2 δ + μ 2 μ 3 ) μ 1 a 13 = α(θβ + θδ + θμ 3 + μ 2 β + μ 2 δ + μ 2 μ 3 ),, αθ a 21 = α γαθ μ 1θβ μ 1 θδ μ 1 θμ 3 μ 1 μ 2 β μ 1 μ 2 δ μ 1 μ 2 μ 3 α θβ + θδ + θμ 3 + μ 2 β + μ 2 δ + μ 2 μ 3 a 22 = θ μ 2, a 23 = α θβ + θδ + θμ 3 + μ 2 β + μ 2 δ + μ 2 μ 3 αθ Karena nilai eigen dari matriks A 2 tidak dapat ditentukan secara analitik, maka akan dilakukan secara numerik. Parameter model yang digunakan untuk menentukan nilai eigen pada titik kesetimbangan E 2 (S, E, I, R ) dapat dilihat pada Tabel 4.4 berikut: Parameter model yang digunakan untuk menentukan nilai eigen pada titik kesetimbangan E 2 (S, E, I, R ) dapat dilihat pada Tabel 4.4 berikut: Sehingga diperoleh nilai eigen λ 1 =.218, λ 2 =.11, λ 3 = 7.52, dan λ 4 =.713. Karena nilai eigen dari matriks A 2 yang diperoleh bernilai negatif, maka kestabilan sistem (4.2) di sekitar titik kesetimbangan adalah stabil. Kasus III Model Epidemik SEIR dengan Sistem Imunisasi Pada Populasi Tidak Konstan dengan Kelahiran, Kematian dan Pengaruh Vaksinasi Asumsi: Asumsi yang digunakan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Populasi dibedakan menjadi empat kelas yaitu Susceptible (S), Exposed (E), Infected (I), dan Recovered (R). 2. Populasi yang terinfeksi penyakit dikelompokkan dalam dua kategori yaitu populasi Exposed (E) dimana individu terinfeksi tetapi belum menularkan penyakit dan populasi Infected (I) individu terinfeksi dan dapat menularkan penyakit. 3. Terjadinya proses kelahiran dan kematian. 4. Setiap individu yang lahir diasumsikan sehat dan rentan terhadap infeksi penyakit dan memasuki kelompok S dengan laju sebesar γ. 5. Penyakit dapat disembuhkan tetapi bisa juga menyebabkan kematian secara alami. 6. Individu pada populasi Susceptible yang memasuki populasi Exposed dengan laju α. Individu pada populasi Exposed yang memasuki populasi Infected dengan laju θ. Individu pada populasi Infected yang memasuki populasi Recovered dengan laju sebesar β.
7. Pada setiap kelompok individu terjadi kematian alami masing-masing sebesar μ 1, μ 2, μ 3, dan μ 4 8. Terjadinya kematian disebabkan karena infeksi penyakit pada kelompok I dengan laju sebesar δ. 9. Individu pada kelompok S diberikan vaksinasi sehingga menghasilkan kekebalan terhadap penyakit dan memasuki kelompok R dengan laju sebesar σ. Skema Model Berdasarkan asumsi diatas, maka skema model SEIR pada populasi tidak konstan dengan adanya kelahiran, kematian, dan pemberian vaksinasi dapat dilihat pada gambar dibawah ini: Sehingga diperoleh nilai titik kesetimbangannya E 1 = γ σ,,,, E μ 1 +σ μ 1 +σ μ 2 = (S, E, I, R ) 4 Analisa Kestabilan di Sekitar Titik Kesetimbangan Persamaan (4.3) dapat dilinearisasi dan diperoleh matriks Jacobian yang berbentuk: αv μ 1 σ αs αv θ μ A = 2 αs θ β δ μ 3 σ β μ 4 Dari matriks Jacobian yang diperoleh akan diselidiki sifat kestabilan dari persamaan (4.3) di sekitar titik kesetimbangan E 1 dan E 2. Analisa kestabilan di sekitar titik kesetimbangan E 1 Model Berdasarkan asumsi dan skema di atas, maka model epidemik SEIR pada populasi tidak konstan dengan adanya kealahiran, kematian, dan pengaruh vaksinasi sebagai berikut: = γ αsi μ 1S σs (4.3) = αsi θe μ 2E = θe βi δi μ 3I = βi μ 4R + σs Dimana α, β, γ, θ, δ, σ, μ 1, μ 2, μ 3, μ 4 non negatif. Titik Kesetimbangan Titik kesetimbangan E 1 = ( γ μ 1 +σ,,, σ (μ 1 +σ)μ 4 ) disubstitusikan pada A sehingga diperoleh pada matriks Jacobian A 1 sebagai berikut: A 1 = μ 1 σ αγ μ 1 + σ αγ θ μ 2 μ 1 + σ θ β δ μ 3 σ β μ 4 Kemudian akan dicari nilai eigen dari matriks Jacobian A 1 yang merupakan selesain dari persamaan λi A 1 =, dengan I merupakan matriks identitas yaitu: A 1 = λ (μ 1 σ) αγ μ 1 + σ λ (θ μ 2 ) αγ μ 1 + σ θ λ (β δ μ 3 ) σ β = λ + μ 4 Tabel 4.5 Sifat kestabilan sistem (4.3) di sekitar titik kesetimbangan E 1 Titik kesetimbangan pada persamaan (4.3) dapat ditentukan jika laju perubahan pada populasi yang rentan, laju perubahan pada populasi yang terekspos, laju perubahan pada populasi terinfeksi dan laju perubahan pada populasi yang sembuh tidak berubah terhadap waktu. Secara matematika dapat dituliskan dalam bentuk: = = = = Berdasarkan Tabel 5 diatas, dapat diketahui bahwa kestabilan sistem (4.3) di sekitar titik kesetimbangan E 1 memiliki dua kemungkinan, yaitu stabil dan tidak stabil.
Analisa kestabilan di sekitar titik kesetimbangan E 2 Titik kesetimbangan E 1 = (S, E, I, R ), kemudian disubstitusikan pada A sehingga diperoleh matriks Jacobian A 2 sebagai berikut: A 2 = α 11 α 13 α 21 α 22 α 23 θ β δ μ 3 σ β μ 4 populasi yang terinfeksi I sebesar 7 amatan, dan jumlah populasi R sebesar 6 amatan. Proses simulasi dilakukan dengan waktu awal t = sampai t = 1. Hasil simulasi yang diperoleh tanpa pemberian vaksinasi pada populasi S dapat di lihat pada gambar berikut: Karena nilai eigen dari matriks A 2 tidak ditentukan secara analitik, maka akan dilakukan dengan cara numerik. Parameter model yang akan digunakan untuk menentukan nilai eigen pada titik kesetimbangan E 2 (S, E, I, R ) dapat dilihat pada table 4.6 berikut: Tabel 4.6 Parameter model yang digunakan untuk menentukan nilai eigen pada titik kesetimbangan E 2 Gambar 4.4 Grafik laju perubahan populasi model SEIR pada populasi konstan dengan kelahiran dan kematian Apabila t diperpanjang menjadi t = 1, maka akan diperoleh gambar berikut: Sehingga diperoleh nilai eigen λ 1 =.752, λ 2 =.714, λ 3 =.217, dan λ 4 =.11. Karena semua nilai eigen dari matriks A 2 yang diperoleh bernilai negatif, maka kestabilan sistem (4.3) di sekitar titik kesetimbangan adalah stabil. Eksperimen umerik pada Model SEIR dengan Populasi Konstan dengan Adanya Kelahiran dan Kematian Pada bagian ini akan dilakukan simulasi numerik dengan menggunakan Sofware Matlab. Pada populasi awal diambil (S, E, I, R ) yang diambil adalah sebesar (8,7,7,6). Sedangkan estimasi parameter yang digunakan dapat dilihat pada Tabel 2. Data awal jumlah populasi yang digunakan, yaitu jumlah populasi yang sehat S sebesar 8 amatan, jumlah populasi yang laten E sebesar 7 amatan, jumlah Gambar 4.5 Grafik laju perubahan populasi pada saat t = 1 Pada gambar 5, dapat dilihat bahwa meskipun t diperpanjang menjadi t = 1 pada populasi I tetap menempati urutan tertinggi, meskipun dapat diimbangi dengan laju kematiannya. Sedangkan pada populasi S, E, dan R perlahan-lahan mengalami kepunahan atau akan habis. Eksperimen umerik pada Model Epidemik SEIR pada Populasi Tidak Konstan dengan Adanya Kelahiran dan Kematian Pada bagian ini akan dilakukan simulasi numerik dengan menggunakan Sofware Matlab. Pada
populasi awal diambil (S, E, I, R ) yang diambil adalah sebesar (18,7,7,6). Sedangkan estimasi parameter yang digunakan dapat dilihat pada Tabel 4. Data awal jumlah populasi yang digunakan, yaitu jumlah populasi yang sehat S sebesar 18 amatan, jumlah populasi yang laten E sebesar 7 amatan, jumlah populasi yang terinfeksi I sebesar 7 amatan, dan jumlah populasi R sebesar 6 amatan. Proses simulasi dilakukan dengan waktu awal t = sampai t = 1. Hasil simulasi yang diperoleh tanpa pemberian vaksinasi pada populasi S tidak konstan dapat di lihat pada gambar berikut: Eksperimen umerik pada Model Epidemik SEIR dengan Populasi Tidak Konstan dengan Adanya Kelahiran, Kematian dan Vaksinasi Pada bagian ini akan dilakukan simulasi numerik dengan menggunakan Sofware Matlab. Pada populasi awal diambil (S, E, I, R ) yang diambil adalah sebesar (8,7,7,6). Sedangkan estimasi parameter yang digunakan dapat dilihat pada Tabel 6. Jumlah populasi data awal yang digunakan, yaitu jumlah populasi sehat S sebesar 8 amatan, jumlah populasi laten E sebesar 7 amatan, jumlah populasi terinfeksi I sebesar 7 amatan, dan jumlah populasi yang sembuh R sebesar 6 amatan. Proses simulasi dilakukan pada waktu awal t = 1. Hasil simulasi yang diperoleh dengan pemberian vaksinasi pada populasi S dapat dilihat pada gambar berikut: Gambar 4.6 Grafik laju perubahan populasi model SEIR pada populasi tidak konstan dengan kelahiran dan kematian Apabila t diperpanjang menjadi t = 1, maka akan diperoleh gambar berikut: Gambar 4.8 Grafik laju perubahan populasi model epidemik SEIR pada populasi tidak konstan dengan kelahiran, kematian, dan pengaruh vaksinasi Pada gambar di atas dapat dilihat bahwa pemberian vaksinasi sebesar.999 dapat menurunkan jumlah populasi yang terinfeksi. Hal ini dapat dilihat pada gambar di atas, bahwa populasi R bertambah dengan adanya pemberian vaksinasi terhadap kelompok populasi S yang perlahan-lahan akan habis, sedangkan pada populasi E dan I masih terlihat. Pada saat t = diperpanjang hingga t = 1, maka diperoleh grafik seperti pada gambar dibawah ini. Gambar 4.7 Grafik laju perubahan populasi tidak konstan pada saat t = 1 Pada gambar 7, dapat dilihat bahwa meskipun t diperpanjang menjadi t = 1 pada populasi S tetap menempati urutan tertinggi, meskipun dapat diimbangi dengan laju kematiannya. Sedangkan pada populasi E, I, dan R mengalami kepunahan atau akan habis. Gambar 4.9 Grafik laju perubahan populasi pada saat t = 1
Pada gambar 9, dapat dilihat bahwa meskipun t diperpanjang menjadi t = 1 pada populasi S tetap menempati urutan terendah, meskipun dapat diimbangi dengan laju kematiannya. Sedangkan pada populasi E, I, dan R masih terlihat dan perlahan-lahan mengalami kepunahan atau akan habis. 5. Kesimpulan PEUTUP Berdasarkan uraian pembahasan diatas, maka dapat diambil kesimpulan sebagai berikut: 1. Telah ditentukan model epidemik SEIR pada penyakit cacar air dengan populasi konstan dan tidak konstan sebagai berikut: a. Model epidemik SEIR pada populasi konstan dengan adanya kelahiran dan kematian dapat dilihat pada sistem (4.1). b. Model epidemik SEIR pada populasi tidak konstan dengan adanya kelahiran dan kematian dapat dilihat pada sistem (4.2). c. Model epidemik SEIR pada populasi tidak konstan dengan adanya, kelahiran, kematian, dan pemberian vaksinasi dapat dilihat pada sistem (4.3). 2. Sifat kestabilan dari model epidemik SEIR pada penyakit cacar air di sekitar titik kesetimbangan memiliki dua kemungkinan, yaitu bersifat stabil dan tidak stabil: Tabel 5.1 Kriteria Kestabilan Sistem (4.1), (4.2), dan (4.3) Saran Pada penelitian ini, penulis hanya membahas model epidemik SEIR pada penyakit cacar air dengan sistem immune. Penulis menyarankan kepada penelitian selanjutnya membahas mengenai model epidemik lainnya pada penyebaran penyakit dengan atau tanpa adanya vaksinasi. DAFTAR PUSTAKA Anton, H. 1991. Aljabar Linear Elementer Edisi ke-5. Erlangga: Jakarta. Arrowsmith, D. K. & Place, C. M. 1982. Ordinary Differential Equations (Chapman and Hall Mathematics Series). Westfield College University of London: London. Bellomo, 1995. Modelling Mathematical Methods and Scientife Computation. CRC Press Inc: Florida. Harahap, M. 2. Gejala konstitusi dengn kelainan kulit yang molimorf, terutama berlokasi di bagian setral tubuh: Jakarta. Johnson, T. 29. Mathematical Modeling of Diseases: Susceptible-Infected-Recovered (SIR) Model. University of Minnesota: Morris. Putra,. E. A. 211. Kestabilan Model Epidemik SEIR dengan Tingkat Imigrasi Konstan: Padang. Rampengan, T.H. 25. Penyakit Inveksi Tropik pada Anak Edisi ke-2. Buku Kedokteran EGC: Jakarta. Triatmodjo, B. 22. Metode umerik Dilengkapi dengan Program Komputer. Beta Offset: Yogyakarta. Hal ini dapat ketahui berdasarkan hasil nilai eigen yang diperoleh pada masing-masing matriks setelah disubstitusikan pada titik kesetimbangan pada matriks Jacobian di setiap masing-masing model. 3. Berdasarkan tiga kasus pada model epidemik SEIR pada penyakit cacar air yang diperoleh, simulasi model yang paling baik adalah model SEIR dengan adanya pemberian vaksinasi. Hal ini dapat dibandingkan dengan jumlah populasi yang ada pada kedua model yang lain. Karena dengan pemberian vaksinasi, maka dapat menghambat atau mencegah adanya penyebaran penyakit.