* 1. Model Regresi Linear dan Penaksir Kuadrat Terkecil 2. Prediksi Nilai Respons 3. Inferensi Untuk Parameter-parameter Regresi 4. Kecocokan Model Regresi 5. Korelasi Utriweni Mukhaiyar MA 2081 Statistika Dasar 14 April 2014
1. Menentukan/menaksir parameterparameter yang terlibat dalam suatu model matematik yang linear terhadap parameter-parameter tersebut. 2. Melakukan prediksi terhadap nilai suatu variabel, misalkan Y, berdasarkan nilai variabel yang lain, misalkan X, dengan menggunakan model regresi linier (interpolasi). * 2
ILUSTRASI f(x) Suhu (X) Gula yang Dihasilkan (Y) X menentukan Y prediktor respons bukan peubah acak peubah acak 3 Memiliki distribusi
Observasi 1 2 3 n X X 1 X 2 X 3 X n Y Y 1 Y 2 Y 3 Y n Mana yang merupakan prediktor?? 1 3 Variabel yang nilainya mempengaruhi variabel yang lainnya. 2 Variabel yang kejadiannya lebih dahulu terjadi. Variabel yang variansinya terkecil 4
MODEL REGRESI LINEAR SEDERHANA Y X e i 0 1 i i - 1 dan 0 merupakan parameter-parameter model yang akan ditaksir - e i adalah galat pada observasi ke-i (acak) 5
1. Ketidakmampuan model regresi dalam memodelkan hubungan prediktor dan respons dengan tepat 2. Ketidakmampuan peneliti dalam melakukan pengukuran dengan tepat 3. Ketidakmampuan model untuk melibatkan semua variabel prediktor * 6
* - 1 dan 0 ditaksir dengan metode kuadrat terkecil (least square) - Asumsi-asumsi : 1. Ada pengaruh X terhadap Y 2. Yi 0 1X i ei untuk i 1,2,..., n 3. Nilai harapan dari e i adalah 0, atau E[ e i ] = 0 4. Variansi dari e i, sama untuk semua i = 1, 2,, n 5. e i berdistribusi normal untuk semua i = 1, 2,, n 6. e 1,e 2,...,e n saling bebas (independen) 7
Misalkan b 1 adalah taksiran bagi 1 dan b 0 adalah taksiran bagi 0. Maka taksiran bagi model regresi adalah Y b b X 0 1 Kriteria penaksiran kuadrat terkecil adalah meminimumkan terhadap b 0 dan b 1, dengan i n i1 e 2 i i e Y Y Y b b X i i i i 0 1 i 8
Diperoleh b 1 JK JK XY XX n X i X Yi Y i1 n i1 X i X 2 b Y b X 0 1 Sedangkan taksiran untuk variansi galat acak adalah ˆ y yˆ 2 JK JK b JK s n 2 n 2 n 2 2 2 G i i YY 1 XY 9
Berat logam yang dihasilkan (y) Suhu (X) 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 Logam yg dihasilkan (Y) 8.1 7.8 8.5 9.8 9.5 8.9 8.6 10.2 9.3 9.2 10.5 11 10.5 10 9.5 e i 9 8.5 8 7.5 7 6.5 6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 Suhu (x) 10
n = 11 X 1 n 11 Xi i1 1,5 Y 1 n 11 Yi i1 9,13 b 11 X i X Yi Y i1 1 11 i1 X i X 2 1,8091 b0 Y b1x 6, 4136 Y i 6, 4136 1,8091X Model persamaan regresi i 11
* Suhu (x i ) Logam yg dihasilkan (y i ) Prediksi model 1 8.1 8.22-0.12 1.1 7.8 8.40-0.60 1.2 8.5 8.58-0.08 1.3 9.8 8.77 1.03 1.4 9.5 8.95 0.55 1.5 8.9 9.13-0.23 1.6 8.6 9.31-0.71 1.7 10.2 9.49 0.71 1.8 9.3 9.67-0.37 1.9 9.2 9.85-0.65 2 10.5 10.03 0.47 Taksiran variansi galat acak s y ˆi 2 ˆ 2 JK G yi yi 12 n 2 9 e y yˆ i i i 0,4
Prediksi Nilai Respons Misalkan suhu proses (X) adalah 1.55 satuan suhu. Maka prediksi berat logam yang dihasilkan pada suhu tersebut adalah Y 6, 4136 1,8091X 6, 4136 1,8091 1,55 9, 2177 13
ASUMSI KENORMALAN 1 2 Asumsi e i berdistribusi normal untuk semua i = 1, 2,, n Y i beristribusi normal untuk semua i = 1, 2,, n 3 b 0 dan b 1 berdistribusi normal 14
INFERENSI UNTUK PARAMETER 0 T 0 b 0 0 n 2 i XX i1 s x njk berdistribusi t dengan derajat kebebasan n-2. Selang kepercayaan (1-α) untuk 0 : n n 2 2 0 0 0 i XX i XX, n2, n2 2 i1 2 i1 b t s x njk b t s x njk t /2;n-2 adalah nilai distribusi t dengan derajat kebebasan n-2 15
INFERENSI UNTUK PARAMETER 1 T 1 s b 1 1 JK XX berdistribusi t dengan derajat kebebasan n-2. Selang kepercayaan (1-α) untuk 1 : b t s t s 2; n2 2; n2 1 1 b1 JK XX JK XX t /2 ; n-2 adalah nilai distribusi t dengan derajat kebebasan n-2 16
PENGUJIAN PARAMETER REGRESI Tujuan : menentukan apakah parameter-parameter tersebut dapat diabaikan atau tidak. Rumusan Hipotesis H 0 : β 0 = 0 H 1 : β 0 0 H 0 : β 1 = 0 H 1 : β 1 0 b0 t 0 1 ˆ n i1 x 2 i njk XX t 1 ˆ b JK XX 17
SELANG PREDIKSI Misalkan nilai respons Y untuk X = X 0 adalah Y 0, dan misalkan adalah prediksi model regresi bagi Y 0. Maka T Ŷ0-Y 0 ˆ 1+(1/n)+[(x x) / JK ] 2 0 XX berdistribusi t dengan derajat kebebasan n-2. Selang prediksi (1 α) bagi y 0 adalah 1 (x x) 1 (x x) yˆ t ˆ 1+ + y yˆ t ˆ 1+ + 2 2 0 0 0 /2 0 0 /2 n JKXX n JKXX 18
CONTOH 1 SELANG KEPERCAYAAN 1- TINJAU CONTOH SEBELUMNYA 1.8091 (2.26)(0.4) (2.26)(0.4) 1 1.8091 1.1 1.1 β b 1 =1,8091 b 0 =6,4136 β 6.4136 (2.26)(0.4) 25.85 25.85 190 6.4136 (2.26)(0.4) (11)(1.1) (11)(1.1)
CONTOH 2 UJI HIPOTESIS H 0 : β 0 = 0 H 1 : β 0 0 derajat kebebasan n 2 = 9, nilai kritis t 0.025 = 2.26 t 0 > t 0.025 & t 1 > t 0.025 maka masingmasing H 0 ditolak H 0 : β 1 = 0 H 1 : β 1 0 Kesimpulan β 0 dan β 1 tidak dapat diabaikan 20
* Salah satu alat ukur untuk melihat apakah model regresi yang diperoleh sudah memadai adalah koefisien determinasi yaitu R n i i 2 R i1 2 R n JK 2 T yi yi i1 2 yˆ y JK, dengan 0 1 Besaran R 2 menunjukkan proporsi variasi total dalam respons Y yang diterangkan oleh model regresi yang diperoleh 21
UJI KEBAIKAN MODEL H 0 : Model regresi yang diperoleh tidak memadai H 1 : Model memadai Statistik uji f JK s R yˆ y 2 n i i i1 Tolak H 0 pada tingkat keberartian α jika f > f,(1,n-2), dimana f,(1,n-2) adalah nilai distribusi F dengan derajat kebebasan 1 dan n 2. s 22
CONTOH 3 Untuk contoh sebelumnya diperoleh R 2 = 0,499. Artinya proporsi variasi total dalam respons Y yang diterangkan oleh model regresi yang diperoleh adalah 49.9% Uji kebaikan model f JK s yi Untuk α = 5%, titik kritis f 0.05,(1,9) = 5,12 11 i R i1 f > f 0.05,(1,9), model memadai. 23 ˆ s y 2 8,99
* *Mengukur hubungan linear dua peubah acak *Misalkan X dan Y adalah dua peubah acak, maka korelasi antara X dan Y dinyatakan dengan XY E X X Y Y Cov X, Y 2 2 E X X Y X E Y Y 24
Jika nilai korelasi mendekati 1 maka hubungan kedua peubah sangat erat dan searah sedangkan jika nilai korelasi mendekati 1 maka hubungan kedua peubah sangat erat dan berlawanan arah. Jika nilai korelasi sama dengan nol berarti tidak terdapat hubungan linear antara kedua peubah acak. 25
Gambar 1 Korelasi positif Gambar 2 Korelasi negatif Gambar 3 Korelasi nol 26 Gambar 4 Korelasi nol
KORELASI SAMPEL Korelasi dapat ditaksir dengan koefisien korelasi sampel, yaitu r JK JK XX XY JK n X i X Yi Y i1 YY n n 2 2 X i X Yi Y i1 i1 27
CONTOH 4 Data berikut menggambarkan kenaikan harga minyak dan nilai tukar mata uang di 12 negara terhadap US dollar pada suatu tahun. Kenaikan harga minyak (x) 1 65 85 2 50 74 3 55 76 4 65 90 5 55 85 6 70 87 7 65 94 8 70 98 9 55 81 10 70 91 11 50 76 12 55 74 Negara Nilai tukar mata uang terhadap US dollar (y) Rata-rata kenaikan harga minyak = 60,42, 28 Rata-rata nilai tukar mata uang terhadap US dollar = 84,25
Nilai tukar mata uang (y) 110 100 90 80 70 60 50 40 40 45 50 55 60 65 70 75 Kenaikan harga minyak (x) r JK 12 X i X Yi Y XY i1 12 12 JK XX JKYY 2 2 X i X Yi Y i1 i1 29 0,863
TUGAS B Lanjutan Tugas A (Kelompok) Terapkan minimal satu topik berikut, yang sudah dipelajari dalam perkuliahan Statdas, ke dalam data kelompok Anda seperti pada Tugas A. Topik Bahasan : Uji Hipotesis ANOVA Regresi Linier dan Korelasi Analisis Deret Waktu Analisis Spasial (Geostatistik) Tugas diketik rapi dan lengkap (data dan analisisnya) dalam bentuk laporan (style masing-masing) dalam format Mic. Word. Dengan penamaan file : Tugas B - Statdas02 - II.2014 Kelompok <nomor kelompok> Tugas dikumpulkan via email ke utriweni@math.itb.ac.id paling lambat 30 Senin, 5 Mei 2014.
Referensi Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika. Walpole, Ronald E. Dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 1995. Walpole, Ronald E., et.al, Statistic for Scientist and Engineering, 8th Ed., 2007. 31