BAB II METODE KEKAKUAN

BAB II METODE KEKAKUAN.. Pendahuluan Dalam pertemuan ini anda akan mempelajari pengertian metode kekakuan, rumus umum dan derajat ketidak tentuan kinematis atau Degree Of Freedom (DOF). Dengan mengetahui prinsip-prinsip perhitungan diatas, maka sangat berguna untuk aplikasi perhitungan pada struktur : balok menerus, portal dan rangka batang. Setelah mempelajari bab ini, mahasiswa diharapkan dapat : Menjelaskan metode kekakuan Menjelaskan dasar-dasar perhitungan Menentukan matriks deformasi (A), matriks kekakuan (K), matriks lendutan (D) dan gaya luar ekivalen (Q) Menghitung gaya dalam (momen, normal dan lintang) Menerapkan perhit.terhadap struktur balok menerus, portal dan rangka batang... Penyajian Di dalam konteks metoda geometri, analisis struktur digolongkan atas dua, yaitu (a) metoda gaya dan (b) metoda perpindahan. Pada dasarnya, kedua metoda ini tetap menggunakan kriteria yang sama, yaitu keseimbangan, keserasian perpindahan, dan hubungan gaya-perpindahan. Akan tetapi dalam implementasi, kedua jenis metoda memiliki ciri khas yang sangat berbeda. Sebelum membahas satu persatu, ada baiknya ditinjau terlebih dahulu perbedaan kedua metode tersebut. Tabel.. Perbedaan metoda gaya dan perpindahan Aspek Gaya Metoda Perpindahan. Besaran anu Komponen gaya Komponen perpindahan. Asumsi awal Gaya berseimbang Perpindahan yang serasi. Kriteria penyusunan pers. Keserasian perpindahan Keseimbangan dasar. Penentuan orde persamaan Ketidaktentuan Statis Ketidaktentuan Kinematis 5. Nama Metoda Keserasian Deformasi Metoda Gaya Metoda Fleksibilitas Metoda Keseimbangan Metoda Perpindahan Metoda Kekakuan 9

.. Metode kekakuan Dengan metode kekakuan ini sebenarnya dicari hubungan gaya dengan lendutan, atau dinyatakan secara sistematis : {Q} = [K]. {D} (.) Keterangan : {Q} = menyatakan gaya-gaya yang timbul pada titik-titik diskrit akibat diberikannya lendutan {D} pada titik-titik tersebut. [K] = menyatakan kekakuan dari struktur. Secara garis besarnya urutan kerjanya adalah sebagai berikut :. Kompatibiliti : yaitu mencari hubungan antara deformasi dengan lendutan, atau secara tegasnya mencari deformasi apa yang terjadi pada elemen-elemen dititiktitik diskrit akibat diberikannya lendutan pada struktur dititik tersebut.. Persamaan hubungan stress dan strain, yaitu mencari hubungan mengenai gayagaya dalam yang timbul sebagai akibat adanya deformasi pada elemen-elemen struktur tersebut.. Kesetimbangan : langkah terakhir yang menyatakan hubungan gaya luar dititik diskrit dengan gaya-gaya dalam, atau mencari berapa besar gaya luar diujung elemen yang tepat diimbangi oleh gaya-gaya dalam elemen dititik diskrit. Perlu kiranya ditambahkan disini, karena metode kekakuan ini analisanya dimulai dengan lendutan, kemudian mencari hubungan pada gaya-gaya yang timbul dititik-titik diskrit, maka akan sangat menguntungkan untuk memakai metode ini menganalisa suatu konstruksi dimana ketidak-tentuan kinematisnya (yang berhubungan erat dengan derajat kebebasan atau degree of freedom) adalah lebih kecil bila dibandingkan dengan ketidak tentuan statisnya. Dengan demikian, konstruksi-konstruksi statis tak tentu yang sering dijumpai pada umumnya, akan lebih menguntungkan bila dianalisa dengan metode kekakuan ini, karena umumnya kontruksi-konstruksi ini mempunyai derajat ketidak tentuan statis yang besar.

.. Dasar-dasar Perhitungan... Rumus umum Berhubung dengan hakekat dari metode kekakuan ini, maka analisa struktur akan selalu dimulai dengan memberikan pada struktur bersangkutan beberapa besaran anu yang dalam hal ini ialah merupakan lendutan pada titik diskrit sebagai besaran yang harus dicari. Sesuai dengan tahapan-tahapan yang telah disinggung pada pasal., maka dalam proses analisa tersebut akan mengenal beberapa matriks yang penting sebagai berikut : () Matriks deformasi [A], suatu matriks yang menyatakan hubungan kompatibiliti, atau hubungan deformasi dan lendutan : {d} = [A] {D} (.) Keterangan : {d} = menyatakan deformasi dari elemen struktur [A] = matriks deformasi {D} = menyatakan lendutan di titik diskrit. ().Matriks kekokohan interan elemen [S], suatu matriks yang memenuhi Hukum Hooke, dalam mana dinyatakan hubungan antara gaya dalam dan deformasi. {H} = [S] {d} (.) Keterangan : {H} = menyatakan gaya dalam elemen [S] = adalah matriks kekokohan intern elemen {d} = menyatakan deformasi elemen. ().Matriks statis [B], suatu matriks yang menyatakan kesetimbangan, antara gaya luar dan gaya dalam : {Q} = [B] {H} (.) Keterangan : {Q} = menyatakan gaya luar yang bekerja dititik diskrit [B] = adalah matriks statis {H} = menyatakan gaya dalam elemen

{Q} = [K] {D} [K] = [B] [S] [A] (.5) Persamaan (.5) merupakan persamaan inti dari metode kekakuan ini, dimana [K] adalah matriks kekakuan struktur. Jadi salah satu tujuan utama dalam proses analisa ini ialah dapat menurunkan matriks kekakuan struktur [K] menurut persamaan (.5). Selanjutnya akan mudah dicapai tujuan akhir, yaitu analisa lendutan dan gaya dalam elemen.... Derajat ketidak-tentuan kinematis Analisa akan dimulai dengan mengambil lendutan dititik-titik diskrit sebagai sasaran yang harus dihitung. Untuk mengetahui dimana harus dipasang besaran lendutan yang akan dicari tersebut, maka harus diketahui dahulu berapa derajat ketidak-tentuan kinematis atau derajat kebebasan (degree of freedom) dari struktur. Derajat ketidak-tentuan kinematis ialah suatu besaran yang menyatakan jumlah komponen bebas dari lendutan dititik diskrit yang mungkin terjadi yang berhubungan dengan diberikannya suatu pembebanan pada struktur. Pada struktur dengan titik hubung kaku, pada titik diskrit umumnya timbul : Tabel.. Jumlah lendutan translasi dan rotasi Konstruksi Jumlah lendutan translasi Jumlah lendutan rotasi Bidang Dua komponen saling Satu komponen anguler tegak lurus Ruang Tiga komponen saling tegak lurus Tiga komponen anguler Pada bangunan rangka batang dengan sambungan engsel (titik hubung tidak kaku), maka komponen rotasi dengan sendirinya tidak ada. Suatu struktur dengan derajat ketidak-tentuan kinematis sama dengan nol juga disebut kinematis tertentu. Rumus umum yang menyatakan jumlah derajat ketidaktentuan kinematis pada struktur yaitu : D = nt + nr nt = k b p. rj nr = k p. rj Keterangan : D = Jumlah derajat ketidaktentuan kinematis nt = Jumlah translasi linear, nr = Jumlah rotasi

k = Jumlah titik tumpul (termasuk perletakan) p = Jumlah perletakan, b = Jumlah batang rj = Koefisien lendutan, misalnya : - Untuk perletakan jepit, translasi dan rotasi - Untuk perletakan sendi translasi dan rotasi - Untuk perletakan rol translasi dan rotasi

Contoh : Diketahui suatu portal seperti gambar berikut. Tentukan jumlah derajat ketidaktentuan kinematisnya. Jawab : - Jumlah titik kumpul (k) = 9 - Jumlah batang (b) = - Koefisien lendutan untuk perletakan jepit : P =, rj untuk rotasi = dan translasi = - Koefisien lendutan untuk perletakan sendi : P =, rj untuk rotasi = dan translasi = Jumlah rotasi (nr) = k - p. rj = 9 (. +. ) = 7 Jumlah translasi (nt) = k b - p. rj =. 9 (. +. ) = sehingga D = 7 + = 9 D D D 5 D 7 D D D D 8 Perjanjian tanda : D 9 Arah vektor rotasi berlawanan arah jarum jam (+) Arah vektor translasi ke kanan dan ke atas (+) Dibawah ini diberikan beberapa macam struktur bidang yang akan ditunjukkan berapa derajat ketidak-tentuan kinematisnya.

Tabel.. Derajat ketidak-tentuan kinematis dari struktur Struktur Komponen bebas dari lendutan dititik pertemuan Derajat ketidak-tentuan kinematis (a) D D (b) D D (c) (d) D D D 5 D D D (e) D D D ( deformasi axial dari Elemen diabaikan) D (f) D 7 D D D 5 D D 7 (g) D D D D D D 5 D 7 D 9 D D 8 D D... Dasar Perhitungan 5

Dalam pasal ini, akan dijelaskan secara mendetail urut-urutan analisa dari suatu konstruksi bidang (gambar.) dengan mendasarkan pada metode kekakuan. (a) konstruksi statis tak tentu dengan pembebanan gaya-gaya D (b) derajat ketidak-tentuan D kinematis D : Q Q Q (c) diagram gaya luar ekivalen Q yang koresponding dengan lendutan D, pengganti dari sistim pembebanan pada gambar (a). EI EI EI L L L (d) struktur dasar yang merupakan struktur yang dikekang d D d (e) diberikan D = satuan d D D 5 (f) diberikan D = satuan D D (g) diberikan D = satuan (h) diagram H-d, dimana {H} merupakan reaksi elemen yang dikekang terhadap diberikannya deformasi {d}

(i) diagram kesetimbangan Gambar... Analisa balok menerus Langkah pertama ialah menyelidiki kompabilitas dari struktur dengan jalan memberikan berturut-turut lendutan D =, D =, dan D = (gambar..e,..f dan..g), jadi d = d = D, d = d 5 = D, d = D, d = atau disusun secara sistematis : d = d = D d = D d = D d 5 = D d = D Bila dinyatakan dalam hubungan matriks : d d d (.) = D d d 5 d atau : {d} = [A] {D} (.7) d d [A] = d d d 5 d (.8) D = D = D = Langkah kedua menyelidiki hubungan gaya dalam dan deformasi dengan melihat tiap-tiap elemen sebagai bagian yang diskrit (gbr..h) D D 7

Ditinjau batang : H H = Jadi : = + - (.9) = - + (.) H + H Dengan metode momen area nilai dan dapat ditentukan yaitu : - Akibat H : a. Bidang momen b. Diagram H /EI H H EI Dari gambar b : L = /. H. L /EI - Akibat H : / L / L R = R = /. H. L = /EI a. Bidang momen b. Diagram H /EI H H EI / L / L L Dari gambar b : = /. H. L /EI = /. H. L /EI R = R = Dari persamaan dan diperoleh : = + /. H. L /EI /. H. L /EI = d.. (.) = - /. H. L /EI + /. H. L /EI = d.. (.) Jika persamaan (.) dan (.) ditransformasi ke dalam bentuk matriks maka : d / -/ H 8

= L /EI (.) d / -/ H Keterangan : d = menyatakan deformasi yang terjadi diujung elemen. H= menyatakan gaya dalam yang ada diujung elemen (momen lentur) Bila pers. (.) diinverskan, akan didapat : EI EI EI EI H = d + d H = d + d (.) L L L L Analogi dengan pers. (.) akan didapatkan hubungan ; EI EI EI EI H = d + d H = d + d (.5) L L L L EI EI EI EI H 5 = d 5 + d H = d 5 + d (.) L L L L Bila hubungan ini dinyatakan dalam bentuk matriks, H EI EI d H L d L EI EI EI EI H L L EI EI d H = L L EI EI d H 5 L L EI EI d 5 H EI EI L L d L L EI EI EI atau : {H} = [S] EI {d}, matriks [S] merupakan band L matriks L : (.7) L L EI [S] = L L H EI EI L L EI L L 9 EI L EI L

H H H H 5 H d = d = d = d = d 5 = d = Sebenarnya matriks [S] = suatu matriks yang menyatakan berapa besar gaya dalam [H] yang timbul diujung elemen bila dititik-titik tersebut diberikan satu satuan deformasi {d}.langkah ketiga, menyelidiki tentang kesetimbangan gaya luar dan gaya dalam. Dari gambar.. (i) diperoleh : Q = H + H Q = H + H 5 Q = H (.8) Bila dinyatakan secara matriks : H Q Q Q = H H H H 5 (.9) atau : {Q} = [B] {H} (.) H Q [B] = Q H H H H H 5 Q (.) H Tujuan utama, ialah mendapatkan hubungan : {Q} = [K] {D} (.) Menurut persamaan (.5) dapat dinyatakan : [K] = [B] [S] [A] (.) Untuk mendapatkan lendutan, persamaan (.) diinvers {D} = [K] - {Q} (.) Keterangan : {Q}= gaya-gaya luar yang bekerja dititik-titik diskrit.

{D}= lendutan dititik bersangkutan yang koresponding dengan gaya {Q}. Dari persamaan (.8) dan (.), didapatkan : [B] = [A] T (.5) Persamaan (.5) ini dapat dibuktikan dengan prinsip kerja virtuil. Q* (a) gaya luar virtuil (b) lendutan aktuil Gambar.. Konstruksi balok menerus dikerjakan gaya virtuil. Pada konstruksi tersebut dikerjakan gaya virtuil Q* (gambar..a) sehingga timbul gaya dalam H* pada elemennya, maka dari prinsip kerja virtuil akan didapatkan hubungan (dinyatakan dalam perkalian matriks) : {Q*} T {D} = {H*} T {d} (.) {d} = [A] {D} (.7) {Q*} = [B] {H*} (.8) {Q*} T = {H*} T [B] T (.9) maka persamaan (.) bisa dituliskan : {H*} T [B] T {D} = {H*} T [A] {D} (.) Bila disederhanakan, akan memberikan : [B] T = [A] [B] = [A] T (.) Dengan demikian persamaan (.5) akan bisa dituliskan : [K] = [A] T [S] [A] (.) Untuk menghitung gaya dalam, digunakan hubungan : {H} = [S] {d} {H} = [S] [A] {D} (.) {D} ialah matriks lendutan dititik diskrit dari perhitungan persamaan (.) Untuk lebih memudahkan pemahaman mengenai urutan / prinsip perhitungan dapat dilihat pada skema perhitungan metode kekakuan (Gambar.).

Skema Perhitungan Metode Kekakuan Tentukan struktur dasar yang dikekang Hitung momen primer Hitung dan tentukan degree of freedom (DOF) Hitung dan tentukan gaya luar ekivalen dititik diskrit koresponden dengan lendutan Diberikan gaya satuan pada lendutan dititik diskrit sesuai jumlah DOF * Gambar diagram hubungan H d Gambar diagram keseimbangan Susun matriks deformasi [A] berdasarkan * Susun dan hitung matriks [S] Hitung : [K] = [A] T [A] [S] Hitung : {D} = [K] - {Q} Rangka batang Portal dan balok Hitung : {H} = [S] [A]{D} Hitung : {H} = [S] [A]{D} Gambar diagram distribusi gaya dalam Gambar diagram distribusi gaya dalam Momen akhir Gambar.. Skema perhitungan metode kekakuan

.5. Penutup Kesimpulan : Berhubung dengan hakekat dari metode kekakuan ini, maka analisa struktur akan selalu dimulai dengan memberikan pada struktur bersangkutan beberapa besaran anu yang dalam hal ini ialah merupakan lendutan pada titik diskrit sebagai besaran yang harus dicari, maka dalam proses analisa tersebut akan mengenal beberapa matriks yang penting sebagai berikut : Matriks deformasi [A], suatu matriks yang menyatakan hubungan kompatibiliti, atau hubungan deformasi dan lendutan : {d} = [A] {D} Matriks kekokohan interan elemen [S], suatu matriks yang memenuhi Hukum Hooke, dalam mana dinyatakan hubungan antara gaya dalam dan deformasi. {H} = [S] {d} Matriks statis [B], suatu matriks yang menyatakan kesetimbangan, antara gaya luar dan gaya dalam : {Q} = [B] {H} {Q} = [K] {D} [K] = [B] [S] [A] Persamaan diatas merupakan persamaan inti dari metode kekakuan ini, dimana [K] adalah matriks kekakuan struktur. Jadi salah satu tujuan utama dalam proses analisa ini ialah dapat menurunkan matriks kekakuan struktur [K]. Contoh Soal Aplikasi Perhitungan Balok Menerus Selanjutnya akan diberikan beberapa contoh pemakaian metode kekakuan ini pada analisa struktur. Tentukan lendutan dan momen lentur balok menerus dibawah ini.

Penyelesaian : (a) struktur dasar yang dikekang Momen primer : M AB = -M BA = -.. = -5 kg.m M BC = -MC B = - _.. 8 = - kg.m _ (b) momen primer (fixed-end momen) (c) derajat ketidak-tentuan kinematis : (d) gaya luar ekivalen dititik diskrit yang koresponding dengan lendutan D. Q = 5 [kg. m] (e) diberikan D = satuan d d H H H d H D (f) (g) diagram H-d diagram kesetimbangan H Q H

Gambar.. Balok atas tiga tumpuan Dari gambar. (e) dengan mudah akan didapatkan : d [A] = d d d Dari gambar..(f) : D = [S] = EI EI H H EI EI H EI EI 8 8 H EI EI 8 8 d = d = d = d = [S] = EI,,,,,5,5,5,5 5

Dari persamaan (.) [K] = [A] T [S] [A],, =,, EI,5,5,5,5 =,,,5,5 EI [K] = [,9 EI] [K] - = Dengan mengubah gaya q menjadi gaya titik ekivalen diujung elemen (gambar..b dan d) dan dengan melihat persamaan (.) : {D} = [K] - {Q} {D} =,9 EI {8} D = Dari persamaan (.) {H} = [S] [A] {D},9 EI,,, {H} =,,, EI,5,5 EI =,5,5,5,5 H H = kg.m H = 8 H = 8 kg.m H H = kg.m H 5 H = 5 kg.m EI A B C 8 5 Gambar..5. Distribusi gaya dalam

Gambar.5 menyatakan besarnya momen lentur batang, bukan sebagai momen titik. Jadi gaya dalam {H} yang didapat dari hasil perhitungan ini bukan merupakan momen lentur yang sebenarnya bekerja. Momen lentur yang sebenarnya bekerja (gambar..b) yaitu : M A = + - 5 = + 5 kg.m M BA = + 8 + 5 = - kg.m M BC = + - = + kg.m M C = + 5 + = - 7 kg.m H momen primer Momen akhir ini adalah momen yang bekerja pada batang atau disebut sebagai momen batang. Contoh. Tentukan lendutan dan momen lentur balok menerus dibawah ini. = kg A EI C M M B Penyelesaian : (a) struktur dasar yang dikekang A D B D (b) derajat ketidak-tentuan kinematis : D (c) diberikan D = satuan D d D d 7

(d) diberikan D = satuan d d H d d H H H (e) diagram H d Q Q H H (f) diagram kesetimbangan Gambar.. Balok atas dua tumpuan. Pertama yang dilakukan ialah menganggap konstruksi ini terdiri atas dua elemen diskrit,acdan CB (gambar..a). Titik C sebagai titik diskrit mempunyai dua derajat kebebasan, yaitu translasi dan rotasi.dari gambar., akan didapatkan hubunganhubungan sebagai berikut : - d [A] = - d H + H d d D = D = H + H 8

Selanjutnya dihitung matriks kekakuan : [K] = [A] T [S] [A] - = - - - EI - - = - - - EI 8 8 -,,8 K =,8,7 EI [K] - =,7 EI,7 -,8 -,8, {D} = [K] - {Q} {D} =,7 EI,7 -,8 -,8, - D D = 7,85 EI 575,89 EI Selanjutnya akan bisa dihitung gaya dalam : {H} = [S] [A] {D} 9

- = EI - 7,85 EI 575,89 EI = EI 8 7,85 EI 575,89 EI 8 H 9 H = 5 H -5 H - 9 5 5 M M Maka didapatkan hasil analisa : Gambar.7. Distribusi gaya dalam M A = 9 kg.m M B = - kg.m M CA = - M CB = 5 kg.m Bila dibandingkan hasil ini dengan rumus yang sudah diketahui :.. M A =. = 9 kg.m M B =. = kg.m Hasilnya sama.

Contoh.. : Tentukan lendutan dan momen lentur balok menerus dibawah ini. A EI kg B perletakan elastis M C k =,5 EI M Penyelesaian : D D (a) derajat ketidak-tentuan kinematis : l l D d d d d (b) diberikan D = satuan Q = - D k.d (c) gaya ekivalen dititik diskrit yang koresponding dengan lendutan D Q = - k D

(d) penyederhanaan dari gambar (c) Gambar.8. Konstruksi balok menerus atas perletakan elastis. Persoalan pada contoh soal ini sebenarnya sama dengan contoh., yang berbeda hanya dalam menetapkan vektor gaya yang bekerja, disamping ditentukan oleh gaya luar Q = kg, juga dipengaruhi oleh gaya pegas kd. D,7 -,8 (- kd ) {D} = [K] - {Q} = D,7 EI -,8, D =.,7 (- kd ),7 EI,7 D = (-,5EI. D ) D = -9,7 / EI,7 EI D = (-,8) (- +,5 EI. 9,7/EI) D = 7,/EI,7 EI Berdasarkan hasil lendutan D dan D yang didapat, bisa dihitung gaya dalam yang timbul pada elemen struktur. {H} = EI - - 8 8-9,7 / EI 7, / EI

H 9,5 H = 8,7 H -8,7 H -5,9 Maka didapatkan hasil analisa : M A = 9,5 kg.m M CA = 8,7 kg.m M CB = - 8,7 kg.m M B = -5,9 kg.m Contoh Soal Aplikasi Portal bidang tanpa pergoyangan (deformasi axial diabaikan) Sebagai contoh dari konstruksi portal bidang tanpa pergoyangan dapat dilihat pada gbr..9 berikut ini. (a) portal tanpa pergoyangan (b) portal menerus tanpa pergoyangan (c) portal dengan pergoyangan Gambar.9. Konstruksi portal bidang tanpa pergoyangan. Contoh. : Tentukan lendutan dan momen lentur portal bidang tanpa pergoyangan dibawah ini. q = kg/m B C kg kg. A 5. D.

Penyelesaian : B C A D (a) struktur dasar yang dikekang. Momen primer :.... M AB = + = +88 kg.m M BA = = - kg.m 5 5 M BC = -M CB = x x 5 = -5 kg.m M CD = -M BA = - kg.m M DC = -M AB = +88 kg.m 5 5 D D 88 88 (b) Momen primer (c) Derajat ketidak-tentuan kinematis : Q = -9 Q = 9 D d d d (d) Gaya ekivalen dititik diskrit yang koresponding dengan lendutan D. Q = 5 = - 9 kg.m Q = 5 = 9 kg.m (e) Diberikan D = satuan

d H d 5 d D H H d d d 5 H 5 d d d H H (f) Diberikan D = satuan (g) Diagram H-d Q H H Q H (h) Diagram kesetimbangan Gambar.. Portal simetris Dengan memperhatikan gambar.. akan didapatkan : d d [A] = d d d 5 d D = D = H 5 5 5 5 5 () () 5 5 EI () () 5 [S] = EI 5 5 = 5 5 5 5 5

Dari persamaan (.) : [K] = [A] T [S] [A] [K] = [K] = = Dengan mengubah gaya-gaya luar menjadi gaya ekivalen terpusat di ujung elemen atau dititik-titik diskrit (gambar..b dan d), dan dengan melihat persamaan (.) : {D} = [K] - {Q} D - -9 - =. = D - 9 Jadi putaran sudut dititik B dan C ialah sebesar : D = -D = {H} = [S] [A] {D} = H -8,5 EI 5 EI 5 EI 5 95 8EI 95 8EI 95 8EI EI 5 95 8EI 95 8EI +

H -9,5 H = -9,5 H 9,5 H 5 9,5 H 8,5 Momen akhir diperoleh : M A = 8,5 M BA = 9,5 M BC = 9,5 M CB = 9,5 M CD = 9,5 M D = 8,5 H 88 = + = 5 = + 5 = = + 88 = Momen primer 9,75 kg.m 58,5 kg.m 58,5 kg.m 58,5 kg.m 58,5 kg.m 9,75 kg.m 7