Interval Estimation Tjipto Juwono, Ph.D. May 2017 TJ (SU) Interval Estimation May 2017 1 / 19
Pendahuluan Point Estimator Perhatikan MPC pada persamaan regresi Ŷ i = ˆβ 1 + ˆβ 2 X i = 2.3121+0.5231X i (1) Estimasi ˆβ2 = 0.5231 pada persamaan (1) merupakan satu angka saja. Tidak ada angka lain. Karena itu disebut sebagai Point Estimator Estimasi ˆβ2 merupakan satu estimasi tunggal dari β 2 yang tidak diketahui. Estimasi tunggal tersebut diperoleh dari satu set sampling, dan kemungkinan besar harganya berbeda dengan harga yang sesungguhnya (β 2 ), walaupun mean dari sampling berulang diekspektasi mempunyai harga yang sama dengan harga sesungguhnya. TJ (SU) Interval Estimation May 2017 2 / 19
Pengertian Confidence Interval Definisi Confidence Interval Confidence Interval Pr( ˆβ 2 δ β 2 ˆβ 2 +δ) = 1 α (2) Pr( ˆβ 2 δ β 2 ˆβ 2 +δ) Probabilitas bahwa interval tersebut memuat β 2. PERHATIKAN! Probabilitas di atas bukanlah probabilitas bahwa β 2 berada di antara ( ˆβ 2 δ) dan ( ˆβ 2 +δ)! α level of significance Bagaimana cara menghitung δ? Kita perlu menghitung t terlebih dahulu. TJ (SU) Interval Estimation May 2017 3 / 19
Pengertian Confidence Interval Menuliskan Confidence Interval Kita bisa menuliskan interval ini sebagai berikut: ( ˆβ 2 δ) β 2 ( ˆβ 2 +δ), atau ˆβ 2 ±δ TJ (SU) Interval Estimation May 2017 4 / 19
Menghitung t Cara Menghitung Z Definisi Z Z = Estimator Parameter Standard Error of Estimator Z = ˆβ 2 β 2 se( ˆβ 2 ) = ( ˆβ 2 β 2 ) (Xi X) 2 σ (3) TJ (SU) Interval Estimation May 2017 5 / 19
Menghitung t Pengertian Z Ingat: Y i = β 1 +β 2 X i +u i. Di sini, u i terdistribusi secara normal. Akibatnya, ˆβ1, ˆβ2 juga terdistribusi secara normal. Sehingga Z pada Pers. (3) merupakan variabel normal standard. Dengan demikian, kita dapat membuat pernyataan probabilistik tentang β 2 asalkan variance populasi σ 2 yang sebenarnya diketahui. Jika µ dan σ 2 diketahui maka luas di bawah grafik normal di antara µ±σ adalah sekitar 68%. Luasan µ±2σ adalah sekitar 95% Luasan µ±3σ adalah sekitar 99.7% Tetapi σ 2 biasanya tidak diketahui. Dalam prakteknya, σ 2 digantikan oleh estimator ˆσ 2. Karena itu Z digantikan oleh t. TJ (SU) Interval Estimation May 2017 6 / 19
Menghitung t Cara Menghitung t Definisi t t = Estimator Parameter Estimated Standard Error of Estimator t = ˆβ 2 β 2 estimated se( ˆβ 2 ) = ( ˆβ 2 β 2 ) (Xi X) 2 ˆσ (4) variabel t yang didefinisikan di Pers. (4) mengikuti distribusi-t dengan df = n 2. TJ (SU) Interval Estimation May 2017 7 / 19
Menghitung t Mengapa Z diganti t? Z diganti t Z t σ ˆσ (5) TJ (SU) Interval Estimation May 2017 8 / 19
Menyusun Confidence Interval Menyusun Confidence interval dengan menggunakan t Pr( t α/2 t t α/2 ) = 1 α (6) t diperoleh dari Pers. (4), sedangkan t α/2 diperoleh dari distribusi-t dengan level of significance α/2 dan df = n 2. ±t α/2 disebut nilai kritis t pada level of significance α/2. TJ (SU) Interval Estimation May 2017 9 / 19
Menyusun Confidence Interval Menyusun Confidence interval dengan menggunakan t [ Pr t α/2 ˆβ 2 β 2 se( ˆβ 2 ) t α/2 Pr[ˆβ2 t α/2 se( ˆβ 2 ) β 2 ˆβ 2 +t α/2 se( ˆβ ] 2 ) ] = 1 α = 1 α (7) Pers. (7) merupakan 100(1 α) percent confidence interval untuk β 2, yang dapat dituliskan: ˆβ 2 ±t α/2 se( ˆβ 2 ) (8) TJ (SU) Interval Estimation May 2017 10 / 19
Menyusun Confidence Interval Menyusun Confidence interval dengan menggunakan t untuk β 1 [ Pr t α/2 ˆβ 1 β 1 se( ˆβ 1 ) t α/2 Pr[ˆβ1 t α/2 se( ˆβ 1 ) β 2 ˆβ 1 +t α/2 se( ˆβ ] 1 ) ] = 1 α = 1 α (9) Pers. (9) merupakan 100(1 α) percent confidence interval untuk β 1, yang dapat dituliskan: ˆβ 1 ±t α/2 se( ˆβ 1 ) (10) TJ (SU) Interval Estimation May 2017 11 / 19
Contoh CONTOH Table 1: X Y 80 70 100 65 120 90 140 95 160 110 180 115 200 120 220 140 240 155 260 150 Data fiktif weekly family income X dan weekly family expenditure Y. Buat analisa regresi, dan plot hasilnya. Jelaskan plot tersebut dengan menggunakan teori Keynes Susunlah 95% confidence interval untuk data pada Tabel 1 di samping. TJ (SU) Interval Estimation May 2017 12 / 19
Contoh Daftar Rumus se( ˆβ 2 ) = se( ˆβ 1 ) = ˆσ (X X) 2 [ X 2 n (X X) 2 (Y Ŷ) 2 ] ˆσ r = (X X)(Y Ȳ) (n 1)s x s y ˆβ 2 = r s y s x ˆβ 1 = Ȳ ˆβ 2 X ˆσ = n 2 [ Pr t α/2 ˆβ 2 β 2 se( ˆβ 2 ) t α/2 Pr[ˆβ2 t α/2 se( ˆβ 2 ) β 2 ˆβ 2 +t α/2 se( ˆβ ] 2 ) ] = 1 α = 1 α TJ (SU) Interval Estimation May 2017 13 / 19
Contoh Contoh y 160 140 120 100 80 60 40 20 0 0 50 100 150 200 250 300 x Menurut Keynes, orang menaikkan konsumsinya jika pendapatannya bertambah, namun pertambahan konsumsi lebih kecil daripada pertambahan pendapatan. Marginal propensity to consume (MPC) lebih besar dari nol, tetapi lebih kecil dari satu; 0 < β 2 < 1. ˆβ 2 = 0.5091 Ŷ = 24.4545+0.5091X TJ (SU) Interval Estimation May 2017 14 / 19
Contoh Contoh ˆβ 2 = 0.5091 ˆβ 1 = 24.4545 se( ˆβ 2 )= 0.0357 se( ˆβ 1 )= 6.4138 r = 0.9808, r 2 = 0.9621 t critical = 2.3059 t critical se( ˆβ 2 )=2.3059 0.0357 = 0.0824 t critical se( ˆβ 1 )=2.3059 6.4138 = 14.7903 ˆβ 2 ±t α/2 se( ˆβ 2 ) = 0.5091±0.0824 0.4267 β 2 0.5915 ˆβ 1 ±t α/2 se( ˆβ 1 ) = 24.4545±14.7903 9.6642 β 1 39.2448 TJ (SU) Interval Estimation May 2017 15 / 19
Home Work 1 Download data INPUT1.xls (a) Buat analisa regresi (gunakan excel!) lengkap dan buat plotnya. (b) Susun 95% confidence interval. 2 (Pertanyaan sama seperti no 1, bandingkan hasilnya dengan no 1): X Y 7.00 49.6889 17.00 109.4747 23.00 73.4039 34.00 182.4335 44.00 191.9322 55.00 210.9488 70.00 257.3999 79.00 261.5319 89.00 281.8802 98.00 376.9975
TUGAS Catatan Untuk tabel t untuk regresi, jangan lupa df = n 2 (berbeda dengan t untuk statistik biasa, df = n 1). Untuk α = 0.05 (misalnya), two-tailed, maka nilai t α/2 ada pada kolom 0.05 (bukan 0.05/2). SSR = (Ŷi Ȳi) 2 SSE = (Y i Ŷi) 2 SST = (Y i Ȳi) 2 Koef. of determination adalah r 2. Dapat juga dihitung dengan rumus r 2 = 1 SSE (11) SST TJ (SU) Interval Estimation May 2017 17 / 19