Deret Taylor da Aalss Galat
Des : Adakata da semua turuaya,,,, meerus d dalam selag [a,b]. Msalka : o є[a,b], maka la-la d sektar o da є[a,b], dapat dperluas dekspas ke dalam deret Taylor :...!...! 1! '' 0 ' o m m o o o o o m Deret Taylor
o Jka - o =, maka : 1! ''! Coto : Hampr ugs =s ke dalam deret Taylor d sektar o =1. = s = cos ' 0 Peyelesaa : = - s o... m m! = - cos 4 = s dst. m o...
maka : s s1 cos1 s1 6 3 cos1 4 s1... 4 0,8415 0,5403 0,408 0,0901 3 0,0351 4... Kasus kusus adala bla ugs dperluas d sektar o =0, maka deretya damaka deret Maclaur yag merupaka deret Taylor baku. Coto-1 : = s dmaa o = 0
Peyelesaa : Coto- : =e dmaa o =0 Peyelesaa : cos0 6 s0 cos0 s0 s 3 10 6 s 5 3... 4! 0 3! 0! 0 1! 0 0 4 3 0 0 0 e e e e e... 4! 3!! 1 4 3 0 e e
Karea suku-suku deret Taylor tdak bergga bayakya, maka utuk alasa prakts deret Taylor dpotog sampa suku order tertetu. Deret Taylor yg dpotog s/d order ke- damaka deret Taylor terpotog yg dyataka: Dega demka deret Taylor yg dpotog sampa suku order ke- dapat dtuls :!...! 1! '' 0 ' R o o o o o o / ; 1! 1 resdu ssa galat dsebut c c R o o R P
dmaa : Coto : =s; o =1; utk deret Taylor orde ke- Peyelesaa :! 1 o k k k o k P 1! 1 1 c R o s1 4! 1 cos1 3! 1 s1! 1 cos1 1! 1 s1 4 3 4 P cos 5! 1 1! 4 1 5 1 4 1 4 4 c c R Galat
Aalss Galat Galat berasosas dega seberapa dekat solus ampra teradap solus sejatya. Semak kecl galatya, semak telt solus umerk yg ddapatka. Kta arus memaam dua al, yatu : a. Bagamaa megtug galat b. Bagamaa galat tmbul
^ Msalka : a adala la ampra teradap la sejat a, maka : ^ a a dsebut galat Coto : ^ a 10,5; a 10,45 10,45 10,5 0, 05 Galat Mutlak a ^ a Galat Galat relat relat : R 100% a ampra : 100% RA ^ a
Coto : Dketau : a= 10/3; â = 3,333 Htug : a. Galat! b. Galat mutlak! c. Galat relat! d. Galat relat ampra! Peyelesaa : a. Galat : є = a-â = 10/3 3,333 = 10.000/3000 9999/3000 = 1/3000 = 0,000333
Galat relat : b. Galat mutlak : є = a-â = 0,000333 R c. d. Pedekata la, pertuga umerk yg megguaka pedekata lelara terato, є RA dtug dega a cara : r1 ar RA a dmaa : a r+1 = la ampra lelara sekarag a r 100% a 0,000333 100% 0,01% 10/3 0,000333 Galat relat ampra : RA 100% 100% ^ a 3,333 r1 1 999 = la ampra lelara sebelumya
Proses lelara detka bla : є RA < є S є S = Toleras galat yag dspeskaska Semak kecl є S, semak telt solusya, amu semak bayak proses lelaraya Coto : Dketau : X r+1 =-X r+13 + 3/6; r =0,1,,3 Htug : є RA! X o = 0,5; є s = 0,00001
Peyelesaa : X o = 0,5 X X 043478 1 o X 1 = 0,4791667; RA s X1 X X 0051843 1 X = 0,4816638; RA s X X X 0005984 3 X 3 = 0,4813757; RA s X3 X X 0, 0000693 4 3 X 4 = 0,4814091; RA s X4 X X 5 0,0000081,! X beret 4 X 5 = 0,481405; RA s 5
SUMBER UTAMA GALAT NUMERIK Secara umum terdapat dua sumber utama peyebab galat dlm pertuga umerk, yatu : 1. Galat pemotoga trucato error. Galat pembulata roud-o error Ada sumber galat la, yatu : 1. Galat ekspermetal. Galat pemrograma
1. Galat Pemotoga trucato error. Galat tmbul akbat pegguaa ampra sebaga peggat ormula eksak. Maksudya, ekspres matematka yg leb kompleks dgat dega ormula yg leb sederaa. Tpe galat pemotoga bergatug pd metode komputas yg dguaka utuk pegampra sg kadag-kadag dsebut juga galat metode.
Msalka: turua pertama 1, dampr dega ormula : ' 1 1 dmaa : = lebar abss +1 Coto : ampra ugs cos dega batua deret Taylor d sektar = 0! Peyelesaa : = cos = - s = - cos 4 = s
Maka : Galat pemotoga :... 10! 8! 6! 4!! 1 cos 10 8 6 4 Nla ampra Galat pemotoga 1! 1 1 c R o cos 7! 1! 6 0 7 1 6 1 6 6 c c R
Nla R yg tepat ampr tdk pera dapat kta perole, karea kta tdk megetau la c sebearya terkecual ormas bawa c terletak pada selag tertetu. Kareaya tugas kta adala mecar la maksmum yg mugk dar R utuk c dalam selag yg dberka, yatu : R Maks o c 1 c - o 1! 1
Coto-1 : Guaka deret Taylor orde 4 d sektar o =1 utuk megampr l0,9 da berka taksra utuk galat maksmum yag dbuat! Peyelesaa : = l 1 = 0 = 1/ 1 = 1 = -1/ 1 = -1 = / 3 1 = 4 = - 6/ 4 4 1 = -6 5 = 4/ 5 5 c = 4/c 5
Deret Taylor : 3 4 1 1 1 l 1 R4 3 4 3 4 0,1 0,1 0,1 l 0,9 0,1 R4 3 4 l 0,9 0,1053583 R4 5 4-0,1 R5 0,9 Maks 5 c 5! 0,9c1 0,0000034 Jad : l0,9 = -0,1053583 dega galat pemotoga < 0,0000034.
Coto- : Hampr la e d secara umerk,yatu : e 1 0 dega deret Maclaur orde 8! Peyelesaa : Deret Maclaur orde 8 dar e adala : e 1 0 4! 6 3! 1 1 8 4! 4 6 8 e d 1 d! 3! 4! 3 3 0 5 10 7 4 9 16 1 1 0 1 3 1 10 1 4 1 16 1,461774
GALAT PEMBULATAN Pertuga dg metode umerk ampr selalu megguaka blaga rl. Masala tmbul bla komputas umerk dkerjaka dega komputer karea semua blaga rl tdk dapat dsajka secara tepat d dlm komputer. Keterbatas a komputer dlm meyajka blaga rl megaslka galat yg dsebut galat pembulata.
Coto : 1/6 = 0,16666666, kalau 6 dgt komputer aya meulska 0,166667. Galat pembulataya = 1/6 0,166667 = -0,00000033. Kebayaka komputer dgtal mempuya dua cara peyaja blaga rl, yatu : a. Blaga ttk tetap ed pot Coto : 6.358; 0,013; 1.000
b. Blaga ttk kambag loatg pot Coto : 0,638 10 3 atau 0,638E+03 0,1714 10-13 atau 0,1714E-13 Dgt-dgt berart d dalam ormat blaga ttk kambag dsebut juga Agka Bea sgcat gure.
ANGKA BENA Adala agka bermaka, agka petg atau agka yg dapat dguaka dg past. Coto : 43.13 memlk 5 agka bea 4,3,1,,3 0,1764 memlk 4 agka bea 1,7,6,4 0,000001 memlk agka bea 1, 78.300 memlk 6 agka bea,7,8,3,0,0 0,0090 memlk agka bea 9,0
GALAT TOTAL Galat akr atau galat total pada solus umerk merupaka jumla galat pemotoga da galat pembulata. Coto : Cos0, 1 0, 0, 4 4 0,9800667 Galat pemotoga Galat pembulata
Galat pemotoga tmbul karea kta megampr cos0, s/d suku orde 4 sedagka galat pembulata tmbul karea kta membulatka la ampra ke dalam 7 dgt bea.
ORDE PENGHAMPIRAN D dalam metode umerk, ugs serg dgat dg ugs ampra yag leb sederaa. Satu cara megugkapka tgkat ketelta pegampra tu adala dega megguaka otas : O-Besar Bg-O.
Msal : dampr dg ugs p. Jka -p M, yg dlm al M adala kostata rl > 0, maka kta kataka bawa p megampr dega orde pegampra O da dtuls dg : = p + O O juga dapat dartka sebaga orde galat dar pegampra ugs. Karea umumya cukup kecl, yatu < 1, maka semak tgg la semak kecl galat, yg berart semak telt pegampra ugsya.
Metode yg berorde O msalya, leb telt drpd metode yg berorde O. Juga pada metode yg berorde O, jka ukura djadka setega kal semula, maka galatya mejad seperempat kal galat semula. Umumya deret Taylor dguaka utuk megampr ugs. Msalka : +1 = +, =0,1,,.. Adala ttk-ttk sebesar, maka ampra +1 dega deret Taylor d sektar adala :
Dalam al : Jad, kta dapat meulska :!...! 1! 1 1 '' 1 ' 1 1 R!...! 1! 1 '' ' 1 R 1 1 1 1 1 ; 1! t O t R k k k O k 0 1 1!
Coto : 4! 3!! 1 5 4 3 O e 4 4 3 l 5 5 4 3 O 5! 3! s 7 5 3 O 6! 6! 4! 1 cos 8 6 4 O
BILANG TITIK AMBANG Blaga rl d dalam komputer umumya dsajka dalam ormat blaga ttk-ambag Blaga ttk-ambag a dtuls sebaga a = ± m B p = ± 0.d1dd3d4d5d6...d Bp m = mats/matsa rl, d1dd3d4d5d6...d adala dgt mats. B = bass sstem blaga yag dpaka, 8, 10, 16, dsb p = pagkatberupablagabulat, dar Pm sampa+pmaks Coto: 45.7654 = 0.457654 10 3
BILANG TITIK AMBANG Blaga Ttk-ambag Terormalsas Syarat: dgt yag pertama tdak bole 0 a = ± m B p = ± 0.d 1 d d 3 d 4 d 5 d 6... d B p 1 d 1 B -1 da 0 d k B-1 utuk k > 1. Pada sstem desmal, 1 d 1 9 da 0 d k 9, Pada sstem desmal, 1 d 1 9 da 0 d k 9, Sedagka pada sstem ber, d 1 =1da 0 d k 1. Coto: 0.0563 10-3 0.563 10-4, 0.000370 10 6 0.370 10 3
BILANG TITIK AMBANG Pembulata pada Blaga Ttk-ambag Blaga rl d dalam komputer mempuya retag la yag terbatas. Blaga ttk-ambag yag tdak dapat mecocok satu dar la-la d dalam retag la yag terseda, dbulatka kesala satu la d dalam retag Galat yag tmbul akbat pegampra tersebut dacu sebaga galat pembulata. Ada dua tekk pembulata yag lazm dpaka ole komputer, yatu pemeggala coppg da pembulata ke dgt terdekat roudg.
PEMENGGALAN CHOPPING Pemeggala coppg Msalka a = ±0. d 1 d d 3... d d +1... 10 p l cop a = ±0. d 1 d d 3... D -1 d 10 p Coto: π = 0.31415965358... 100 p l cop π = 0.314159 100 p 7 dgt mats Galat= 0.000000065...
PEMBULATAN Pembulata ke dgt terdekat -roudg Msalka a = ±0. d 1 d d 3... d d +1... 10 p l roud a = ±0. d 1 d d 3... d 10 p
PEMBULATAN Coto: a = 0.56878571587 10-4 : D dalamkomputer 7 dgt dbulatka mejad l roud a = 0.568786 10-4 D dalam komputer 8 dgt dbulatka mejad? D dalam komputer 6 dgt dbulatka mejad Ddalam komputer 9 dgt dbulatka mejad?
ARITMETIKA BILANGAN TITIK AMBANG Kasus1: Pejumlaa termasuk peguraga blaga yag sagat kecl ke atau dar blaga yag leb besar meyebabka tmbulya galat pembulata. Coto: Msalka dguaka komputer dega 4 dgt bass 10. Htugla: 1.557 + 0.04381 = 0.1557 10 1 + 0.4381 10-1. Car Galat dar peyelesaa pejumlaa artmetka teradap blaga pedekata yag ddapat dega pemotoga da pembulata!
ARITMETIKA BILANGAN TITIK AMBANG Kasus: Peguraga dua bua blaga yag ampr sama besar early equal. Bla dua blaga ttk-ambag dkuragka, aslya mugk megadug ol pada poss dgt mats yag palg berart poss dgt palg kr. Keadaa damaka kelaga agka sgka loss o sgcace. Bak pemeggala maupu pembulata ke dgt terdekat megaslka jawaba yag sama
ARITMETIKA BILANGAN TITIK AMBANG Coto: Kurag 0.56780 10 5 dega 0.56430 10 5 5 agka sgka serta tetuka blaga galat yag ddapat dar pembulata da pemeggala! Kurag 3.141596536 dega 3.1415957341 11 agka sgka serta tetuka blaga galat yag ddapat dar pembulata da pemeggala!
ARITMETIKA BILANGAN TITIK AMBANG Coto: 1 Dberka. tugla 500 dega megguaka 6 agka bea da pembulata ke dgt terdekat! 500 11.15 500 Peyelesaa: 500*0.3 501 500 500.3830.3607 Solus eksak adala: 11.174755300747198! Keapa asl tdak akurat? Apaka ada cara peyelesaa yag leb bak?
Perambata Galat Pada suatu proses komputas yag memlk error aka meyebabka peumpukka error apabla proses tersebut dlakuka secara berutu. Meyebabka asl yag meympag dar sebearya kods tdak stabl ketdakstabla umerk Kods Stabl : error pada asl atara memlk pegaru yag sedkt pada asl akr. Ketdakstabla matematk : kods yag tmbul karea asl pertuga sagat peka teradap perubaa kecl data. 44
Ketdakstabla Dkataka tdak stabl jka asl tdak telt sebaga akbat metode komputas yag dpl. Coto : F = +1-, tug 500 sampa 6 agka petg, solus asl =11.174755300747198 F = +1-, tug 1345 sampa 6 agka petg, solus asl = 0.00450003667751 Car akar-akar polom 40 + = 0 sampa 4 agka petg F = e -1- / tug 0.01 sampa agka 6 petg 45
Kods Buruk Persoala dkataka berkods buruk bla jawabaya sagat peka teradap perubaa kecl data atau error pembulata. Coto : -4 + 3.999 = 0 akar-akar 1 =.03 da = 1.968-4 + 4.000 = 0 akar-akar 1 = =.000-4 + 4.001 = 0 akar-akarya majer 46
Blaga Kods Blaga kods ddeska sebaga : Blaga Kods = ε RA [â]/ ε RA â = â a/â Art blaga kods : Blaga kods = 1, galat relat ampra ugs sama dega galat relat Blaga kods >1, galat relat ampra ugs besar Blaga kods <1, galat relat ampra ugs kecl Kods buruk blaga kods besar Kods bak blaga kods kecl 47