MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan
3.3 Himpunan Kompak Himpunan tak terhingga lebih sulit ditangani daripada himpunan terhingga. Namun ada himpunan tak terhingga yang mempunyai sifat seperti himpunan terhingga. Himpunan yang dimaksud adalah himpunan kompak. Contoh himpunan kompak adalah interval tutup [a,b]. Apa keistimewaannya? Sebagaimana yang terjadi di himpunan terhingga, setiap barisan di [a,b] akan mempunyai sub-barisan yang konvergen. (c) Hendra Gunawan (2015) 2
Himpunan Kompak (1) Def. Himpunan bilangan real A dikatakan kompak apabila setiap barisan di A mempunyai (sejumlah terhingga) titik limit di A, atau setara dengan itu, mempunyai sub-barisan yang konvergen ke suatu titik di A. Contoh himpunan kompak adalah himpunan terhingga dan interval tutup [a,b]. Himpunan kompak mesti merupakan himpunan tutup (bila tidak, akan ada barisan yang tidak mempunyai titik limit di A). (c) Hendra Gunawan (2015) 3
Himpunan Kompak (2) Karena alasan serupa, himpunan kompak juga mesti merupakan himpunan terbatas, yakni termuat dalam suatu interval [m,m]. Sebaliknya, himpunan tutup dan terbatas di R merupakan himpunan kompak. Teorema*. Himpunan A R kompak jika dan hanya jika A tutup dan terbatas. *Catatan. Kriteria kekompakan ini tidak berlaku secara umum di ruang metrik. (c) Hendra Gunawan (2015) 4
Bukti. Jika A kompak, maka A mesti tutup dan terbatas (telah dijelaskan sebelumnya). Sebaliknya, misalkan A tutup dan terbatas, dan (x k ) adalah suatu barisan di A. Maka, (x k ) merupakan barisan terbatas, sehingga mempunyai titik limit (a.l. limsup dan liminf) yang terhingga. Selanjutnya kita akan membuktikan bahwa titik limit tsb merupakan anggota A. Karena A tutup, kita cukup menunjukkan jika y adalah titik limit dari (x k ) maka y merupakan titik limit dari himpunan A. (c) Hendra Gunawan (2015) 5
Bukti (lanjutan). Ingat bahwa y merupakan titik limit dari (x k ) apabila setiap lingkungan dari y memuat tak terhingga banyak suku x k. Agar y menjadi titik limit dari A, setiap lingkungan dari y mesti memuat tak terhingga banyak anggota A selain y. Jika tak terhingga suku x k yg berada dalam lingkungan dari y tadi berbeda dari y, maka bukti selesai, karena x k ϵ A. Jika tidak, maka x k = y untuk suatu k, dan karenanya y ϵ A sesuatu yang ingin kita buktikan! [QED] (c) Hendra Gunawan (2015) 6
Kekompakan suatu himpunan dapat pula diketahui dari keberadaan suatu subcover terhingga dari sembarang cover buka untuk himpunan tsb. Def. Koleksi himpunan O disebut cover buka untuk himpunan A apabila anggota O adalah himpunan-himpunan buka dan S O S Sub-koleksi dari suatu cover O (untuk himpunan A) disebut subcover dari O asalkan ia masih merupakan cover untuk A. A. (c) Hendra Gunawan (2015) 7
Contoh Koleksi interval (1/n,1), n = 2,3,4, membentuk suatu cover buka untuk interval (0,1). Apakah terdapat subcover terhingga dari cover ini? Jawabannya negatif. Sembarang sub-koleksi terhingga dari cover ini tidak mungkin merupakan cover untuk (0,1). Pada himpunan kompak, situasinya berbeda. (c) Hendra Gunawan (2015) 8
Eksistensi Subcover Terhingga Teorema. Misalkan A kompak. Setiap cover buka untuk A mempunyai subcover terhingga. Ide pembuktian. Pertama pilih subcover terhitung, sebutlah S 1, S 2, S 3,. Selanjutnya pilih n cukup besar sehingga S 1, S 2,, S n masih merupakan cover untuk A. Eksistensi n tersebut dijamin oleh kekompakan himpunan A. (c) Hendra Gunawan (2015) 9
Sifat Lain Himpunan Kompak Teorema. Barisan bersarang himpunan kompak A1 A2 A3 mempunyai irisan tak kosong. Bukti. Latihan (atau lihat buku). Catatan. Teorema di atas tidak berlaku untuk barisan himpunan sembarang. Cari contohnya! (c) Hendra Gunawan (2015) 10
Latihan 1. Buktikan bahwa irisan dan gabungan sejumlah terhingga himpunan kompak tetap merupakan himpunan kompak. 2. Jika O = {S 1,, S n } adalah cover buka untuk suatu himpunan kompak A, mungkinkah S 1 S n = A? 3. Jika A S 1 S 2 dengan S 1 dan S 2 saling lepas dan A kompak, buktikan bahwa A S 1 kompak. Apakah hal ini masih berlaku apabila S 1 dan S 2 tidak saling lepas? 4. Untuk himpunan kompak manakah anda dapat menentukan suatu batas atas banyaknya himpunan dalam subcover dari sembarang cover buka? (c) Hendra Gunawan (2015) 11